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在平面图形中研究最短距离问题，是近年来各地中考命题的热点.2014年广州市中考卷第24题就以二次函数为背景，用存在性问题的方式，推陈出新，研究四边形的最短周长.本文尝试对该题进行一些探讨评析，供同行研讨.1 考题展示与思路探讨
题目：已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）过点A、B，顶点为C.点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点.
（1）求抛物线的解析式与顶点C的坐标.
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围.
2 考题特点评析
2.1 能力要求层次分明，知识点交汇相融
本题为函数与图形结合的综合题，压轴味道浓厚.三个小题彼此关联，能力要求层次鲜明.第（1）问，面向全体，是考查最为基本的运用待定系数法求二次函数解析式、顶点坐标等常规要求；第（2）问，面向中层，有一定的挑战性，考查学生灵活运用知识的水平，结合相似三角形或勾股定理的相关知识，研究抛物线上动点坐标的变化规律；第（3）问，具有浓郁的选拔色彩，较为复杂，需要具有较高的综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.如果学生之前没有积累一定量的解决最短路径问题的经验，那毫无疑义在考场上将面临极大的挑战.其对应的知识点主要有：轴对称的性质、平移的性质、平行四边形的性质、待定系数法求直线解析式等.同时，在各小问知识点之中，充分融汇了方程与函数、分类讨论、数形结合、转化等重要的数学思想方法，成为一个以函数为载体，以图形性质为内核的完美统一的有机整体.
2.2 源于课本，拓展教材思维空间
第（3）问“四边形周长最短问题”其实是源于人教版《数学》教科书八年级上册“134课题学习：最短路径问题”.类比教材86页的“造桥选址问题”，河流相当于两条平行直线k、l所夹部分，桥梁MN相当于线段C′P′，不同的只是原分居于河流两侧的两定点A、B，在这里变成在“河流kl”的同侧.如果以直线l为对称轴，作点A的对称点A′，则问题也就转变为研究从A′到B的路径A′C′P′B最短问题了（图7）.至此我们看到，第（3）问本质上就是“造桥选址问题”，其解决的基本策略就是利用轴对称和平移的知识，将问题逐步转化为“两点之间，线段最短”的数学模型.当然，命题者推陈出新，将原与河流垂直的桥梁MN，变成了现在与“河流”成一固定交角的CP，拓展了思维的空间，也增加了数学的趣味性.3 教学思考
3.1 提高对“综合与实践”课程内容的认识
本题第（3）问从内容形式上讲，当属“综合与实践”部分.数学课程内容分为“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”和“综合与实践”四部分.就“综合与实践”部分，《课标（2011年版）》明确指出，其设置目的就是“培养学生综合运用有关知识和方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识、创新意识，积累活动经验，提高解决现实问题的能力.”并且明确要求“应当保证每学期至少一次”的教学活动.在教材形式上，综合与实践内容是以“课题学习”、“数学活动”和“拓广探索”类习题等多种方式呈现的，分散于全书各章之中，并与相关的主要数学内容较紧密地结合.比如“最短路径问题”，正是人教修订版教材中新增的一个课题学习活动.在教学中，要重视并保证这样的课题学习活动的有效开展，使学生在整体理解数学内容的同时，也能积累并创造出解决实际问题的经验与策略，并逐步形成他们的数学思维能力.
3.2 注重对解题基本模式的整理积累
罗增儒教授在《数学解题学引论》中提出数学解题的四步程式：“理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思”.他认为解题最关键的就是“理解题意，模式识别”的过程.“在弄清条件、弄清结论的同时，努力在条件与结论之间找出直接的联系——化归为已经解决的基本问题.在每个人的头脑里都或多或少、或优或劣储存有一些基本模式与经典题型，对于大量的常规题来说，题意弄清楚了，题型就得以识别，记忆中关于这类题的解法就召之即来，这就是模式识别.”比如本题的最短周长，说千道万，最后终归落幕于“最短距离问题”.所以在教学中，我们要注重以典型问题或经典题型为抓手，做好数学解题方法的归类与积累，以帮助学生形成较为完善的数学解题模式体系.
题目：已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）过点A、B，顶点为C.点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点.
（1）求抛物线的解析式与顶点C的坐标.
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围.
2 考题特点评析
2.1 能力要求层次分明，知识点交汇相融
本题为函数与图形结合的综合题，压轴味道浓厚.三个小题彼此关联，能力要求层次鲜明.第（1）问，面向全体，是考查最为基本的运用待定系数法求二次函数解析式、顶点坐标等常规要求；第（2）问，面向中层，有一定的挑战性，考查学生灵活运用知识的水平，结合相似三角形或勾股定理的相关知识，研究抛物线上动点坐标的变化规律；第（3）问，具有浓郁的选拔色彩，较为复杂，需要具有较高的综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.如果学生之前没有积累一定量的解决最短路径问题的经验，那毫无疑义在考场上将面临极大的挑战.其对应的知识点主要有：轴对称的性质、平移的性质、平行四边形的性质、待定系数法求直线解析式等.同时，在各小问知识点之中，充分融汇了方程与函数、分类讨论、数形结合、转化等重要的数学思想方法，成为一个以函数为载体，以图形性质为内核的完美统一的有机整体.
2.2 源于课本，拓展教材思维空间
第（3）问“四边形周长最短问题”其实是源于人教版《数学》教科书八年级上册“134课题学习：最短路径问题”.类比教材86页的“造桥选址问题”，河流相当于两条平行直线k、l所夹部分，桥梁MN相当于线段C′P′，不同的只是原分居于河流两侧的两定点A、B，在这里变成在“河流kl”的同侧.如果以直线l为对称轴，作点A的对称点A′，则问题也就转变为研究从A′到B的路径A′C′P′B最短问题了（图7）.至此我们看到，第（3）问本质上就是“造桥选址问题”，其解决的基本策略就是利用轴对称和平移的知识，将问题逐步转化为“两点之间，线段最短”的数学模型.当然，命题者推陈出新，将原与河流垂直的桥梁MN，变成了现在与“河流”成一固定交角的CP，拓展了思维的空间，也增加了数学的趣味性.3 教学思考
3.1 提高对“综合与实践”课程内容的认识
本题第（3）问从内容形式上讲，当属“综合与实践”部分.数学课程内容分为“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”和“综合与实践”四部分.就“综合与实践”部分，《课标（2011年版）》明确指出，其设置目的就是“培养学生综合运用有关知识和方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识、创新意识，积累活动经验，提高解决现实问题的能力.”并且明确要求“应当保证每学期至少一次”的教学活动.在教材形式上，综合与实践内容是以“课题学习”、“数学活动”和“拓广探索”类习题等多种方式呈现的，分散于全书各章之中，并与相关的主要数学内容较紧密地结合.比如“最短路径问题”，正是人教修订版教材中新增的一个课题学习活动.在教学中，要重视并保证这样的课题学习活动的有效开展，使学生在整体理解数学内容的同时，也能积累并创造出解决实际问题的经验与策略，并逐步形成他们的数学思维能力.
3.2 注重对解题基本模式的整理积累
罗增儒教授在《数学解题学引论》中提出数学解题的四步程式：“理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思”.他认为解题最关键的就是“理解题意，模式识别”的过程.“在弄清条件、弄清结论的同时，努力在条件与结论之间找出直接的联系——化归为已经解决的基本问题.在每个人的头脑里都或多或少、或优或劣储存有一些基本模式与经典题型，对于大量的常规题来说，题意弄清楚了，题型就得以识别，记忆中关于这类题的解法就召之即来，这就是模式识别.”比如本题的最短周长，说千道万，最后终归落幕于“最短距离问题”.所以在教学中，我们要注重以典型问题或经典题型为抓手，做好数学解题方法的归类与积累，以帮助学生形成较为完善的数学解题模式体系.