摘 要:一般地,对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,过一点P(m,n)作其图象的切线,究竟可作几条切线呢?本文给出了直观形象的结论.
　　关键词:三次函数;切线;直观形象结论;高考试题;?摇探究问题
　　
　　?摇提出另类问题
　　引题1:(2004天津,理20)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值. (1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程.
　　引题2:(2009江西,文12)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于?摇()
　　A. -1或- B. -1或
　　C. -或- D. -或7
　　引题3:(2007全国Ⅱ,理22)已知函数f(x)=x3-x. (1)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程;(2)设a>0,如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:-a　　过一点作三次函数图象的切线,我们知道:引题1中可作一条,引题2中可作两条,引题3中可作三条. 那么,一般地,对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,过一点P(m,n)可作几条该图象的切线?
　　
　　探究另类问题
　　曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程为:y-f(t)=f ′(t)(x-t)?摇. 又因切线要过点P(m,n),故有:n-f(t)=f ′(t)(m-t). 于是,过点P(m,n)作曲线f(x)=ax3+bx2+cx+d切线的条数,即为关于t的方程n-f(t)=f ′(t)•(m-t)的实根个数(重根只算一个),记g(t)=f ′(t)(t-m)-f(t)+n,也就是关于t的函数g(t)在实数集R上零点的个数.
　　易求函数g(t)的导数g′(t)=f ″(t)(t-m)=6at+(t-m).
　　1.?摇当m=-时,g′(t)=6at+2≥0(或≤0),函数g(t)是单调函数,函数g(t)有且只有一个零点,故恰好可作一条切线.
　　2.?摇当m≠-时,g-和g(m)分别是三次函数g(t)的极大值和极小值(或极小值和极大值). 结合三次函数g(t)的图象可知:
　　(1)?摇当且仅当g-g(m)>0时,函数g(t)有且只有一个零点,故恰好可作一条切线.
　　(2)?摇当且仅当g-g(m)=0时,函数g(t)有且只有两个零点,故恰好可作两条切线.
　　(3)当且仅当g-g(m)<0时,函数g(t)有且只有三个零点,故恰好可作三条切线.
　　?摇直观形象结论
　　因为g(t)=f ′(t)(t-m)-f(t)+n,所以g(m)=0?圳n=f(m)?圳点P(m,n)在三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d图象上. g-=0?圳n-f-=f ′-m+?圳点P(m,n)在三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d图象对称中心-,f-处的切线l:y-f-=f ′-x+上. 再结合线性规划知识以及上面的探究,不难得到以下直观形象的结论:
　　
　　1.?摇当且仅当点P(m,n)为三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d图象对称中心-,f-或点P(m,n)同时在切线l和三次函数f(x)图象上方(或下方)时(如图1阴影部分(不包括边界)),过点P(m,n)恰好可作一条切线.
　　2.?摇当且仅当点P(m,n)在切线l或三次函数f(x)图象(交点-,f-除外)上时(如图2),过点P(m,n)恰好可作两条切线.
　　3.?摇当且仅当点P(m,n)夹在切线l与三次函数f(x)图象中间时(如图3阴影部分(不包括边界)),过点P(m,n)恰好可作三条切线.
　　
　　图3
　　
　　简单另类应用
　　参考答案有误的一道高考试题:(2004重庆,文15)已知曲线y=x3+,则过点P(2,4)的切线方程是_______. 给出的参考答案只有一条切线4x-y-4=0,而点P(2,4)在曲线y=x3+上且不是曲线y=x3+的对称中心,根据上面的结论应该恰好可作两条切线,不难算出所求切线方程应该是4x-y-4=0和x-y+2=0,其中一条是以P(2,4)为切点的切线,而漏掉了过点P与曲线相切于点(-1,1)的切线.
　　由此可见:应用本文的结论可以有效地防止漏解或增解;掌握本文的探究过程,也就掌握了解决这类问题的一般方法.