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[摘 要]瓦斯突出是煤矿事故的重要组成部分，而瓦斯涌出量的预测则是矿井瓦斯防治的前提。本文在瓦斯涌出量与矿井开采深度统计数据的基础上，通过数值分析建立了线性型、二次多项式型、指数型和双曲线型四种数学模型，并利用Matlab软件进行了仿真分析。通过对比，得出了瓦斯涌出量与开采深度之间的最佳函数关系式，达到了准确预测矿井瓦斯涌出量、减少煤矿事故的目的。
[关键词]瓦斯涌出量；预测；曲线拟合
中图分类号：TH122 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2017）47-0096-02
1.引言
建国以来，我国煤矿发生的重大、特大人身伤亡事故中，瓦斯灾害就占到了90%以上。鉴于瓦斯事故具有重大危险性，煤矿管理部门对如何预防该类型事故给与了高度重视，众多的煤矿也在日常管理中积累了大量的实测数据。那么，如何通过这些实测数据找到一个恰当、准确的瓦斯涌出量预测公式，为瓦斯综合治理、煤矿安全管理提供科学依据，从而采取有效措施预防瓦斯事故的发生，减少生命财产损失，具有重大现实意义。
2.矿井瓦斯涌出量分析
瓦斯主要是由腐植性有機物质在成煤过程中通过生物化学作用生成的，其主要成分是甲烷。在成煤过程中，由于煤层内的瓦斯向地表移动和地面空气向煤层深部渗透、扩散，所以在沿煤层的垂直方向上一般会出现四个分带。位于上面的三个分带统称为瓦斯风化带，瓦斯风化带以下称为甲烷带，甲烷带内的甲烷体积分数一般超过80%。四个分带的赋存特点是煤层的瓦斯含量随深度的增加而有规律性的增加，其增加梯度因地质条件不同而有所变化。
瓦斯在煤层中的赋存状态一般可以分为吸附状态和游离状态两种。正常情况下，游离瓦斯和吸附瓦斯分子之间总是处于不断交换的动态平衡过程中，煤层瓦斯含量等于游离瓦斯含量和吸附瓦斯含量之和。当对井下煤层进行开采时，由于受采掘作业的影响，煤层及围岩中瓦斯赋存的平衡条件会遭到破坏，处于破坏区内的开采煤层及围岩、邻近煤层、采空区中的瓦斯极有可能涌入井下巷道，造成矿井瓦斯涌出。实践证明，随着开采深度的增加，矿井瓦斯涌出量也呈现出规律性的增加。通过分析不同开采深度上的瓦斯涌出量数据，运用数值分析方法找出瓦斯涌出量随开采深度的变化规律，得出开采深度与瓦斯涌出量之间的函数关系，就能够预测未开采区域的瓦斯涌出量，为瓦斯治理提供科学依据。
3.矿井瓦斯涌出量数学模型
3.1 数学原理
煤矿的实测数据可以看作是在某一区间内由有限个采样点组成的一组离散数据。从理论上讲，数据间的函数关系是存在的。但是，通过这些离散数据不可能直接获得该函数的精确表达式。而且在测量过程中由于误差的存在，所获得的数据不可能完全准确，如果强行要求函数表达式的计算结果严格通过各采样点，显然也是不够合理的。假定可以构造一个函数去逼近，使其在采样点的值与实际值在某种意义下达到最优，这就是曲线拟合的思想。因此，根据煤矿井下的实测数据，运用曲线拟合的思想，就可以通过拟合得到开采深度与瓦斯涌出量之间的函数关系。
3.2 模型的建立与求解
根据离散数据曲线拟合的基本思想，要得到的近似表达式，首先需要建立相应的数学模型，然后按照某种最优原理进行求解。比较常用的数学模型有线性型、可线性化的数学模型（如指数型、双曲线型等）和非线性型等形式。对于符合多项式形式的数学模型，可直接调用Matlab函数进行求解，而对于非多项式形式的数学模型，则可以通过数学处理转化成多项式形式进行求解。Matlab曲线拟合的最优标准是采用最小二乘法原理，所构造的函数是一个次数小于插值节点个数的多项式。
设测得的n个离散数据点为（xi，yi），构造一个m（m≤n）次多项式g（x）：
（1）
最小二乘法的基本原理是使上述拟合多项式在各采样点处的偏差的平方和达到最小。数学上已经证明，上述最小二乘法逼近问题的解总是确定的。用最小二乘法求最佳逼近函数，从几何角度看就是求拟合曲线，其关键在于确定的形式。这不仅是数学问题，还需要考虑所研究对象的运动规律及所测数据的分布规律。通常是先用实测数据（xi，yi）绘出描点图，再结合实际问题的特点，确定出的形式，然后再用最小二乘法原理计算出逼近函数。为了使获得的拟合曲线更加接近实际，有时需要对比分析几种不同形式的拟合函数所得到的结果，从而找出最佳拟合曲线。在Matlab软件中，采用最小二乘法进行曲线拟合时，实际上是求一个系数向量，该系数向量是一个多项式的系数a1，a2，…，am+1组成的集合。可以直接调用polyfit函数来求得多项式的系数，再调用polyval函数按所求的系数向量计算采样点的近似值。通过曲线拟合得到的近似表达式后，需要分析拟合函数在采样点逼近实际值的程度，也就是求拟合函数的均方误差，均方误差越小，说明选择的模型越好，越接近实际情况。当采用多种数学模型进行曲线拟合时，也可以利用均方误差作为选择最佳拟合曲线的参数之一。均方误差的计算公式为：
（2）
上式中，σ表示拟合结果和原始数据的均方误差；
f（xi）表示拟合函数在采样点的值，在此为按开采深度计算出的瓦斯涌出量，m3/min；
yi表示采样点原始数据，即瓦斯涌出量的原始数据，m3/min。
4.数学模型的应用
某矿现场实测的瓦斯涌出量数据见表1，为了减小误差，表中的开采深度为统计期内经加权平均后得到的深度。
根据表1的离散数据，首先在Matlab中绘出开采深度与瓦斯涌出量的描点图。然后根据曲线的走向寻求合适的数学模型进行拟合。
4.1 采用线性模型拟合
确定函数形式为g（x）=a1x+a2，即：q=a1h+a2 （3）
上式中：a1、a2为多项式系数，h为开采深度（m），q为瓦斯涌出量（m3/min）。 由表1中的数据，调用polyfit函数，可求得系数向量：
P=[0.01217，-25.9384]，即a1=0.01217，a2=-25.9384。则瓦斯涌出量与开采深度之间的函数关系为：q=0.01217h-25.9384
采用线性函数模型拟合的均方误差σ=0.2267。
4.2 采用二次多项式模型拟合
确定函数形式为g（x）=a1x2+a2x+a3，即：
q=a1h2+a2h+a3 （4）
上式中：a1、a2、a3为多项式系数，h为开采深度（m），q为瓦斯涌出量（m3/min）。
调用polyfit函数，可求得系数向量
P=[0.000025290955848，0.100450765949152，-21.544428744719605]，即a1=0.000025290955848，a2=0.100450765949152，a3=-21.544428744719605。将系数代入（4）可得瓦斯涌出量与开采深度之间的函数关系。
计算得该二次拟合多项式的均方误差σ=0.2096，其均方误差比线性模型小。一般情况下，拟合多项式的次数越高，拟合效果越好，但是多项式次数较高时，拟合曲线也容易产生振荡，所以拟合多项式的次数应视实际情况而定。对于上述拟合，采用二次拟合多项式时，二次项前面的系数较小，当采用更高次时会更小。而采用高次拟合多项式时，随着拟合多项式次数的增加，其均方误差减小的值是很微小的。如采用三次多项式拟合时，其均方误差为0.2094，较二次拟合多项式的均方误差仅减少了0.0002。对于表1所给离散数据的曲线拟合，二次多项式为多项式拟合模型中的最佳拟合曲线。
4.3 采用双曲线模型拟合
确定函数形式为g（x）=，即：q= （5）
同指数型模型一样，上述形式不能直接调用Matlab函数进行求解，需要进行相应的数学处理之后再求解。最后求得：a=74.2155b=-20207.5830。采用双曲线型拟合的均方误差σ=1.1063。
4.4 采用指数模型拟合
确定函数形式为，即： （6）
上述形式不能直接调用Matlab函数进行求解，需要进行相应的数学处理之后再求解。最后求得：a=5.2818 b=864.0971
采用双曲线型拟合的均方误差σ=0.2156。
4.5 拟合曲线的选择
从均方误差的角度来看，采用二次多项式拟合得到的擬合结果比指数型精度更高，而指数型拟合的精度又比线性拟合结果更优，采用双曲线模型拟合的精度最差。
上述只是从误差的角度进行分析得出的结论，为找到最佳的拟合曲线，还应结合瓦斯涌出量随开采深度的实际变化规律进行选取。在甲烷带内虽然瓦斯的含量和压力随着埋深的增加呈有规律的增加，但是随着开采深度的增加，瓦斯涌出量不可能呈线性的无限增加。当到达一定开采深度后，其变化将由直线向曲线转变，趋势变平缓。而从拟合的结果来看，随着开采深度的增加，四种拟合曲线的瓦斯涌出量都呈规律性的增加。线性模型的瓦斯涌出量增加率始终不变，多项式模型的瓦斯涌出量增加率越变越大，指数型模型和双曲线模型的瓦斯涌出量增加率越变越小。前两种拟合模型的变化趋势与实际情况不相符，后两种拟合模型的变化趋势与实际情况相符合。但是，指数型拟合曲线的均方误差远小于双曲线型拟合曲线的均方误差。因此，应选用指数型拟合曲线作为最佳拟合曲线进行预测更为合适。
5.结论
用数学方法模拟实际过程的实践可以很好的表征瓦斯突出事故中的影响因素。但是在运用曲线拟合方法探讨瓦斯涌出量与开采深度之间的函数关系时，不应该只考虑均方误差的大小，同时也应注意拟合曲线的变化趋势必须与实际情况相符合。通过建立线性型、多项式型、指数型和双曲线型四种数学模型，运用Matlab曲线拟合功能得到了四种模型的函数表达式，在对比分析各模型均方误差和预测曲线的变化趋势以后，指出了指数型拟合曲线作为最佳拟合曲线进行瓦斯突出危险性预测最为合适。
参考文献
[1] 吴观茂，黄明，李刚.基于BP神经网络的瓦斯含量预测[J].煤田地质与勘探，2008，36（1）：30～32.
[2] 梁发宽，朱卫国，尤亚.煤矿瓦斯含量预测及瓦斯赋存规律分析[J].煤矿开采，2007，12（1）：81～83.
作者简介
姬志飞，男，新疆乌鲁木齐碱泉1街2号陆军边海防学院乌鲁木齐校区，副教授，山东大学控制科学与工程专业毕业，工学硕士，主要从事多媒体通信和机电控制等研究。
[关键词]瓦斯涌出量；预测；曲线拟合
中图分类号：TH122 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2017）47-0096-02
1.引言
建国以来，我国煤矿发生的重大、特大人身伤亡事故中，瓦斯灾害就占到了90%以上。鉴于瓦斯事故具有重大危险性，煤矿管理部门对如何预防该类型事故给与了高度重视，众多的煤矿也在日常管理中积累了大量的实测数据。那么，如何通过这些实测数据找到一个恰当、准确的瓦斯涌出量预测公式，为瓦斯综合治理、煤矿安全管理提供科学依据，从而采取有效措施预防瓦斯事故的发生，减少生命财产损失，具有重大现实意义。
2.矿井瓦斯涌出量分析
瓦斯主要是由腐植性有機物质在成煤过程中通过生物化学作用生成的，其主要成分是甲烷。在成煤过程中，由于煤层内的瓦斯向地表移动和地面空气向煤层深部渗透、扩散，所以在沿煤层的垂直方向上一般会出现四个分带。位于上面的三个分带统称为瓦斯风化带，瓦斯风化带以下称为甲烷带，甲烷带内的甲烷体积分数一般超过80%。四个分带的赋存特点是煤层的瓦斯含量随深度的增加而有规律性的增加，其增加梯度因地质条件不同而有所变化。
瓦斯在煤层中的赋存状态一般可以分为吸附状态和游离状态两种。正常情况下，游离瓦斯和吸附瓦斯分子之间总是处于不断交换的动态平衡过程中，煤层瓦斯含量等于游离瓦斯含量和吸附瓦斯含量之和。当对井下煤层进行开采时，由于受采掘作业的影响，煤层及围岩中瓦斯赋存的平衡条件会遭到破坏，处于破坏区内的开采煤层及围岩、邻近煤层、采空区中的瓦斯极有可能涌入井下巷道，造成矿井瓦斯涌出。实践证明，随着开采深度的增加，矿井瓦斯涌出量也呈现出规律性的增加。通过分析不同开采深度上的瓦斯涌出量数据，运用数值分析方法找出瓦斯涌出量随开采深度的变化规律，得出开采深度与瓦斯涌出量之间的函数关系，就能够预测未开采区域的瓦斯涌出量，为瓦斯治理提供科学依据。
3.矿井瓦斯涌出量数学模型
3.1 数学原理
煤矿的实测数据可以看作是在某一区间内由有限个采样点组成的一组离散数据。从理论上讲，数据间的函数关系是存在的。但是，通过这些离散数据不可能直接获得该函数的精确表达式。而且在测量过程中由于误差的存在，所获得的数据不可能完全准确，如果强行要求函数表达式的计算结果严格通过各采样点，显然也是不够合理的。假定可以构造一个函数去逼近，使其在采样点的值与实际值在某种意义下达到最优，这就是曲线拟合的思想。因此，根据煤矿井下的实测数据，运用曲线拟合的思想，就可以通过拟合得到开采深度与瓦斯涌出量之间的函数关系。
3.2 模型的建立与求解
根据离散数据曲线拟合的基本思想，要得到的近似表达式，首先需要建立相应的数学模型，然后按照某种最优原理进行求解。比较常用的数学模型有线性型、可线性化的数学模型（如指数型、双曲线型等）和非线性型等形式。对于符合多项式形式的数学模型，可直接调用Matlab函数进行求解，而对于非多项式形式的数学模型，则可以通过数学处理转化成多项式形式进行求解。Matlab曲线拟合的最优标准是采用最小二乘法原理，所构造的函数是一个次数小于插值节点个数的多项式。
设测得的n个离散数据点为（xi，yi），构造一个m（m≤n）次多项式g（x）：
（1）
最小二乘法的基本原理是使上述拟合多项式在各采样点处的偏差的平方和达到最小。数学上已经证明，上述最小二乘法逼近问题的解总是确定的。用最小二乘法求最佳逼近函数，从几何角度看就是求拟合曲线，其关键在于确定的形式。这不仅是数学问题，还需要考虑所研究对象的运动规律及所测数据的分布规律。通常是先用实测数据（xi，yi）绘出描点图，再结合实际问题的特点，确定出的形式，然后再用最小二乘法原理计算出逼近函数。为了使获得的拟合曲线更加接近实际，有时需要对比分析几种不同形式的拟合函数所得到的结果，从而找出最佳拟合曲线。在Matlab软件中，采用最小二乘法进行曲线拟合时，实际上是求一个系数向量，该系数向量是一个多项式的系数a1，a2，…，am+1组成的集合。可以直接调用polyfit函数来求得多项式的系数，再调用polyval函数按所求的系数向量计算采样点的近似值。通过曲线拟合得到的近似表达式后，需要分析拟合函数在采样点逼近实际值的程度，也就是求拟合函数的均方误差，均方误差越小，说明选择的模型越好，越接近实际情况。当采用多种数学模型进行曲线拟合时，也可以利用均方误差作为选择最佳拟合曲线的参数之一。均方误差的计算公式为：
（2）
上式中，σ表示拟合结果和原始数据的均方误差；
f（xi）表示拟合函数在采样点的值，在此为按开采深度计算出的瓦斯涌出量，m3/min；
yi表示采样点原始数据，即瓦斯涌出量的原始数据，m3/min。
4.数学模型的应用
某矿现场实测的瓦斯涌出量数据见表1，为了减小误差，表中的开采深度为统计期内经加权平均后得到的深度。
根据表1的离散数据，首先在Matlab中绘出开采深度与瓦斯涌出量的描点图。然后根据曲线的走向寻求合适的数学模型进行拟合。
4.1 采用线性模型拟合
确定函数形式为g（x）=a1x+a2，即：q=a1h+a2 （3）
上式中：a1、a2为多项式系数，h为开采深度（m），q为瓦斯涌出量（m3/min）。 由表1中的数据，调用polyfit函数，可求得系数向量：
P=[0.01217，-25.9384]，即a1=0.01217，a2=-25.9384。则瓦斯涌出量与开采深度之间的函数关系为：q=0.01217h-25.9384
采用线性函数模型拟合的均方误差σ=0.2267。
4.2 采用二次多项式模型拟合
确定函数形式为g（x）=a1x2+a2x+a3，即：
q=a1h2+a2h+a3 （4）
上式中：a1、a2、a3为多项式系数，h为开采深度（m），q为瓦斯涌出量（m3/min）。
调用polyfit函数，可求得系数向量
P=[0.000025290955848，0.100450765949152，-21.544428744719605]，即a1=0.000025290955848，a2=0.100450765949152，a3=-21.544428744719605。将系数代入（4）可得瓦斯涌出量与开采深度之间的函数关系。
计算得该二次拟合多项式的均方误差σ=0.2096，其均方误差比线性模型小。一般情况下，拟合多项式的次数越高，拟合效果越好，但是多项式次数较高时，拟合曲线也容易产生振荡，所以拟合多项式的次数应视实际情况而定。对于上述拟合，采用二次拟合多项式时，二次项前面的系数较小，当采用更高次时会更小。而采用高次拟合多项式时，随着拟合多项式次数的增加，其均方误差减小的值是很微小的。如采用三次多项式拟合时，其均方误差为0.2094，较二次拟合多项式的均方误差仅减少了0.0002。对于表1所给离散数据的曲线拟合，二次多项式为多项式拟合模型中的最佳拟合曲线。
4.3 采用双曲线模型拟合
确定函数形式为g（x）=，即：q= （5）
同指数型模型一样，上述形式不能直接调用Matlab函数进行求解，需要进行相应的数学处理之后再求解。最后求得：a=74.2155b=-20207.5830。采用双曲线型拟合的均方误差σ=1.1063。
4.4 采用指数模型拟合
确定函数形式为，即： （6）
上述形式不能直接调用Matlab函数进行求解，需要进行相应的数学处理之后再求解。最后求得：a=5.2818 b=864.0971
采用双曲线型拟合的均方误差σ=0.2156。
4.5 拟合曲线的选择
从均方误差的角度来看，采用二次多项式拟合得到的擬合结果比指数型精度更高，而指数型拟合的精度又比线性拟合结果更优，采用双曲线模型拟合的精度最差。
上述只是从误差的角度进行分析得出的结论，为找到最佳的拟合曲线，还应结合瓦斯涌出量随开采深度的实际变化规律进行选取。在甲烷带内虽然瓦斯的含量和压力随着埋深的增加呈有规律的增加，但是随着开采深度的增加，瓦斯涌出量不可能呈线性的无限增加。当到达一定开采深度后，其变化将由直线向曲线转变，趋势变平缓。而从拟合的结果来看，随着开采深度的增加，四种拟合曲线的瓦斯涌出量都呈规律性的增加。线性模型的瓦斯涌出量增加率始终不变，多项式模型的瓦斯涌出量增加率越变越大，指数型模型和双曲线模型的瓦斯涌出量增加率越变越小。前两种拟合模型的变化趋势与实际情况不相符，后两种拟合模型的变化趋势与实际情况相符合。但是，指数型拟合曲线的均方误差远小于双曲线型拟合曲线的均方误差。因此，应选用指数型拟合曲线作为最佳拟合曲线进行预测更为合适。
5.结论
用数学方法模拟实际过程的实践可以很好的表征瓦斯突出事故中的影响因素。但是在运用曲线拟合方法探讨瓦斯涌出量与开采深度之间的函数关系时，不应该只考虑均方误差的大小，同时也应注意拟合曲线的变化趋势必须与实际情况相符合。通过建立线性型、多项式型、指数型和双曲线型四种数学模型，运用Matlab曲线拟合功能得到了四种模型的函数表达式，在对比分析各模型均方误差和预测曲线的变化趋势以后，指出了指数型拟合曲线作为最佳拟合曲线进行瓦斯突出危险性预测最为合适。
参考文献
[1] 吴观茂，黄明，李刚.基于BP神经网络的瓦斯含量预测[J].煤田地质与勘探，2008，36（1）：30～32.
[2] 梁发宽，朱卫国，尤亚.煤矿瓦斯含量预测及瓦斯赋存规律分析[J].煤矿开采，2007，12（1）：81～83.
作者简介
姬志飞，男，新疆乌鲁木齐碱泉1街2号陆军边海防学院乌鲁木齐校区，副教授，山东大学控制科学与工程专业毕业，工学硕士，主要从事多媒体通信和机电控制等研究。