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摘 要：作为高中教师，一题多解，多题一解已经不能满足学生的需求，用高等数学的思想、观点和方法来指导中学数学教学实践，沟通高等数学与初等数学的内在联系，指导学生进行研究性学习，培养学生的探究精神与创新能力，将是新形势下中学数学教学追求的一个新的目标，本文旨在通过一道高考真题从初等解法到高等解法的过渡，传递这一思想。
关键词：高等数学；高考试题；函数；导数
函数思想与方法是我们认识客观世界的重要武器，而导数是研究函数的重要工具，导数又是与高等数学衔接的知识，所以高考数学很重视导数的考察。近年来，以高等数学知识为背景的导数综合题在高考中频繁出现，一般所占分值大约十几分。细细品味题目背后的故事，会别有一番趣味。
下面笔者就2014年高考新课标II卷理科数学的导数试题进行评析，与大家分享。
（2014全国新课标II理数21）已知。
讨论的单调性。
设，若有，求的最大值。
已知，估算的近似值（精确到0.001）。
该题可以说是近几年高考中难度最大的。2014年吉林省15万左右的考生，做上此题者屈指可数。当年全省最高分149分（估计大多错在该题的第三问）；而到了2015年高考时，全省数学满分150分竟然有三十多个，可见当年这道题的难度。
一般来说第一问都是送分的，故此问解答略去，但是导数题一般布置的非常微妙，对第二问肯定有作用，而第三问一般都要用到第二问的结论，一着不慎满盘皆输，所以导数压轴题的特点可以用四个字来概括----步步惊心。
接下来分析第二问，
法一 分类讨论
此处因式分解也是需要深厚的功力。分类讨论思想在导数中是经常用到的，有时同学们不知道什么时候开始讨论，其实不用刻意为之，让讨论来的自然一些。
（1）当时，，等号仅当时成立，所以在单调递增，而，所以对任意，；
（2）当时，若满足，即时，而，因此当时，。
综上，的最大值为2。 其实，这种求参数的取值范围题型，除了分类讨论之外，很容易让学生想到用分离参数的方法，研究发现利用分参法不能解决出现了“”型的式子，而这就是高等数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则。
法二：洛必达法则
由（1）得，当时，恒成立；
，实现分离参数的目的；构造一个新函数
设；只需求出即可；
再构造函数
因为，，即，在上单调递增；
即，在上单调递增；的最小值为，出现，由洛必达可得
即；所以。
当然，用洛必达法则来做此题，思路非常清晰，回避讨论。
最后分析第三问，最吸引人之处是第三问，我先给出国家考试中心给的参考答案：
由（Ⅱ）法一知，。
当时，，；
当时，，
，所以的近似值为0.639。
参考答案如此简洁，简洁的让人看不懂！那2个b 来的太突然了！！！稍安勿躁，我们慢慢破解：
法一 ：由（2）得 中，我们想要出现，还要出现ln2 ，这就要找到一个合适的x，因此 令，
得，即，
化简并移项得
，这便估算了的下确界。
其实对下确界的估计比较容易想到，而对上确界的估计较难理解。事实上，我们再次感受一下“步步惊心”：在第（2）问解法一中便已为第（3）问的上确界估计做了准备，并采用了相应的方法，如果考生在较为简单的第（2）问中采用采用解法二或其他方法，便很难估出上确界。可见游戏还没结束前，还不知谁能笑到最后。
让我们继续进行解题大业，由第（2）问解法一得
若，则时有，而，故此时若，则。
取，令，则，故
，化简并移项得，这便估算了的上确界。
此外，上确界估计中的不是凭空构造而出，而是由解出的。
至此，我们证明了，由四舍五入的原则，的近似值为0.693。
这个解法一较为复杂，导致本应较为简单的新课标II卷因此题而难度凸现，考场上鲜有考生能够做出本题。在这种情况下，我们试图再追寻其他解法。
法二：高等数学中定积分解法
注意到，故，这启示我们将转化为曲边梯形的面积计算。，由定积分的几何意义知此即下图所示曲边梯形面积。
由在上单增知下凸函数，故。
取直线，其中，将此曲边梯形分为20个小的曲边梯形，这20个小的曲边梯形面积之和等于大曲边梯形的面积，即的值。用表示第个小曲边梯形的面积，
则。至此，我们便求出了解法一中较为棘手的上确界（这里只计算了20项，看似不多但实际上由于变量在分母上也比较麻烦），接下来可以参考解法一的下界求法，
也可以用求得，但这里的放缩过宽，分割成20份达不到题目要求的精度，需分割为几百份，这个度很难把握，不适合在考场上使用。
这相比前一个方法简单不少，但是需要高等数学的知识。本题还有很多初等数学解法，还有这里就不一一列举了。
此处肯定有同学会问，不会高等数学怎么办？那就用解法一；用高等数学解法高考给分吗？吉林省数学阅卷组长吉林大学数学学院李院长曾说：在数学里，不错就是对。
其实，类似这样的题目还有很多，比如2008年全国卷II，2010年全国卷II，2013年辽宁理科，2014年全国卷II。可以这样说，从2006年起全国卷就一直在朝这个方向出题，而且在2014年达到顶峰，好几个省压轴题都有高等数学的背景，洛必达法则，拉格朗日中值定理，泰勒展式，泰勒级数，麦克劳林公式，调和点列，仿射几何变换等等。上述知识，看似可怖，实则可爱，由于高中生时间所限，只需掌握基本概念、基本应用就足以应对高考难题，不知不觉中，已入“蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”之境。
关键词：高等数学；高考试题；函数；导数
函数思想与方法是我们认识客观世界的重要武器，而导数是研究函数的重要工具，导数又是与高等数学衔接的知识，所以高考数学很重视导数的考察。近年来，以高等数学知识为背景的导数综合题在高考中频繁出现，一般所占分值大约十几分。细细品味题目背后的故事，会别有一番趣味。
下面笔者就2014年高考新课标II卷理科数学的导数试题进行评析，与大家分享。
（2014全国新课标II理数21）已知。
讨论的单调性。
设，若有，求的最大值。
已知，估算的近似值（精确到0.001）。
该题可以说是近几年高考中难度最大的。2014年吉林省15万左右的考生，做上此题者屈指可数。当年全省最高分149分（估计大多错在该题的第三问）；而到了2015年高考时，全省数学满分150分竟然有三十多个，可见当年这道题的难度。
一般来说第一问都是送分的，故此问解答略去，但是导数题一般布置的非常微妙，对第二问肯定有作用，而第三问一般都要用到第二问的结论，一着不慎满盘皆输，所以导数压轴题的特点可以用四个字来概括----步步惊心。
接下来分析第二问，
法一 分类讨论
此处因式分解也是需要深厚的功力。分类讨论思想在导数中是经常用到的，有时同学们不知道什么时候开始讨论，其实不用刻意为之，让讨论来的自然一些。
（1）当时，，等号仅当时成立，所以在单调递增，而，所以对任意，；
（2）当时，若满足，即时，而，因此当时，。
综上，的最大值为2。 其实，这种求参数的取值范围题型，除了分类讨论之外，很容易让学生想到用分离参数的方法，研究发现利用分参法不能解决出现了“”型的式子，而这就是高等数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则。
法二：洛必达法则
由（1）得，当时，恒成立；
，实现分离参数的目的；构造一个新函数
设；只需求出即可；
再构造函数
因为，，即，在上单调递增；
即，在上单调递增；的最小值为，出现，由洛必达可得
即；所以。
当然，用洛必达法则来做此题，思路非常清晰，回避讨论。
最后分析第三问，最吸引人之处是第三问，我先给出国家考试中心给的参考答案：
由（Ⅱ）法一知，。
当时，，；
当时，，
，所以的近似值为0.639。
参考答案如此简洁，简洁的让人看不懂！那2个b 来的太突然了！！！稍安勿躁，我们慢慢破解：
法一 ：由（2）得 中，我们想要出现，还要出现ln2 ，这就要找到一个合适的x，因此 令，
得，即，
化简并移项得
，这便估算了的下确界。
其实对下确界的估计比较容易想到，而对上确界的估计较难理解。事实上，我们再次感受一下“步步惊心”：在第（2）问解法一中便已为第（3）问的上确界估计做了准备，并采用了相应的方法，如果考生在较为简单的第（2）问中采用采用解法二或其他方法，便很难估出上确界。可见游戏还没结束前，还不知谁能笑到最后。
让我们继续进行解题大业，由第（2）问解法一得
若，则时有，而，故此时若，则。
取，令，则，故
，化简并移项得，这便估算了的上确界。
此外，上确界估计中的不是凭空构造而出，而是由解出的。
至此，我们证明了，由四舍五入的原则，的近似值为0.693。
这个解法一较为复杂，导致本应较为简单的新课标II卷因此题而难度凸现，考场上鲜有考生能够做出本题。在这种情况下，我们试图再追寻其他解法。
法二：高等数学中定积分解法
注意到，故，这启示我们将转化为曲边梯形的面积计算。，由定积分的几何意义知此即下图所示曲边梯形面积。
由在上单增知下凸函数，故。
取直线，其中，将此曲边梯形分为20个小的曲边梯形，这20个小的曲边梯形面积之和等于大曲边梯形的面积，即的值。用表示第个小曲边梯形的面积，
则。至此，我们便求出了解法一中较为棘手的上确界（这里只计算了20项，看似不多但实际上由于变量在分母上也比较麻烦），接下来可以参考解法一的下界求法，
也可以用求得，但这里的放缩过宽，分割成20份达不到题目要求的精度，需分割为几百份，这个度很难把握，不适合在考场上使用。
这相比前一个方法简单不少，但是需要高等数学的知识。本题还有很多初等数学解法，还有这里就不一一列举了。
此处肯定有同学会问，不会高等数学怎么办？那就用解法一；用高等数学解法高考给分吗？吉林省数学阅卷组长吉林大学数学学院李院长曾说：在数学里，不错就是对。
其实，类似这样的题目还有很多，比如2008年全国卷II，2010年全国卷II，2013年辽宁理科，2014年全国卷II。可以这样说，从2006年起全国卷就一直在朝这个方向出题，而且在2014年达到顶峰，好几个省压轴题都有高等数学的背景，洛必达法则，拉格朗日中值定理，泰勒展式，泰勒级数，麦克劳林公式，调和点列，仿射几何变换等等。上述知识，看似可怖，实则可爱，由于高中生时间所限，只需掌握基本概念、基本应用就足以应对高考难题，不知不觉中，已入“蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”之境。