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【摘要】本文结合独立学院学生特点，根据独立学院概率统计教学的实际，提出在概率统计教学中应适时培养学生的学习兴趣，教给学生学习知识的方法，提高学生认识事物、解决实际问题的能力.
【关键词】独立学院；概率统计教学
概率统计是一门重要的大学数学基础课，主要研究随机现象的规律性，在经济、金融、工程、管理等学科领域有广泛应用.概率统计属随机数学，与之前学生接触过的其他数学课程相比，无论从思想方法还是解题逻辑上都有很大不同.对很多学生来说，很难在较短时间内准确理解和把握，尤其对于独立学院的部分学生，他们的数学基础相对比较薄弱，因此在概率统计教学中结合背景知识，建立抽象数学理论与现实的桥梁，增强学生学习此门课的兴趣很有必要.
一、从学生熟悉的生活问题出发
例1 （生日问题）某班级有n个人（一年按365天计算，n<365），问：至少有两个人的生日在同一天的概率是多大?
此问题先让学生自己回答，肯定有不少学生认为这件事情发生的可能性不会很大，因为他们一直觉得在自己身边有人跟自己在同一天生日是件很难得的事情，同时也能调动他们参与解决此类问题的积极性.
解 令A={至少有两个人的生日在同一天}，A的情况比较复杂，但A的对立事件A={n个人的生日全不相同}出现的概率很容易计算：P(A)=Cn365n!365n=365!365n(365-n)!，从而P(A)=1-P(A)=1-365!365n(365-n)!.
对于不同的n值，计算得相应的P(A)如下表所示：
表中所列出的数据足以引起大家的惊奇，原来“一个班级中至少有两个人生日相同”这个事件发生的概率并不是如大多数人想象的那样小，在仅有64人的班级里，“至少有两个人的生日在同一天”的概率与1相差无几，几乎总是会发生，与我们的感觉大相径庭，因此“直觉”并不总是很靠谱，这样学生对此类问题肯定印象深刻.
二、结合学生专业特长适当延伸
例2 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取1件，如果发现是次品，则认为该箱产品不合格而拒收.计算若某箱产品已通过验收，它确实没有次品的概率.
解 设事件B表示“产品通过验收”，Ai(i=0,1,2)表示“箱中有i件次品”.
P(Ai)=13，P(B|Ai)=10-i10，(i=0,1,2)
P(A0|B)=P(A0)P(B|A0)∑2i=0P(Ai)P(B|Ai)=13910=1027.
按照惯例，这个题目到此本该结束.但是，如果在课堂上能结合学生的专业特点把此问题延伸一下，应该会有不一样的效果.比如是在给国际经济贸易专业的学生上课，就让他们针对这个“小贸易”问题发表一下自己的看法.很明显，在某箱产品通过验收的情况下它确实没有次品的概率为1027，这个值不算大，如果是他们自己在做这个生意，是按照这个现状继续生产侥幸过关，还是提高生产标准？按照这个现状继续生产，总会被查到有不合格品的时候，这样生意就做不下去了，因眼前利益而断了长远发展；如果提高生产标准，每次检验都过关，这样商家就会放松检验力度，有可能随着时间推移就不抽样检验了，“免检”就是由此而来的.
三、把课堂交给学生，自然引入抽象概念
例3 （分赌本问题）法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼长久的分赌本问题：甲乙两赌徒，赌技相同，各出赌注50法郎，设每局中无平局.他们约定，谁先赢三局，则得全部赌本100法郎.当甲赢了两局、乙赢了一局时，因故必须中止赌博.现问：这100法郎如何分才算公平？
把课堂交给学生，让他们自己来讨论这个分赌本的问题，讨论的结果主要集中为三类：平均分、全部归甲、按比例分.平均分和全部归甲显然有失公平.应按比例分，甲多分而乙少分.问题的焦点：应按怎样的比例来分？
（1）甲得100法郎中的23，乙得100法郎中的13.(这是基于已赌局数考虑的：甲赢了两局、乙赢了一局.)
（2）帕斯卡提出如下的分法：设想再赌下去，则甲的最终所得X为一个随机变量，它的可能取值为0或100.如再赌下去，分出输赢，只需再赌两局必可结束.其结果不外乎有2×2=4（种）情况之一发生：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙.其中“甲乙”表示第一局甲胜第二局乙胜.因为赌技相同，所以在这四种情况中有三种可使甲获得100法郎，只有一种情况（乙乙）下甲获得0法郎.所以甲获得100法郎的可能性为34，获得0法郎的可能性为14，即X的分布列为：
综上分析，甲的“期望”所得应为0×0.25+100×0.75=75(法郎)，这就是以概率为权的加权平均，即甲得75法郎，乙得25法郎.这种分法不仅考虑了已赌局数，而且包括了对再赌下去的一种“期望”，它比(1)更为合理,这就是“数学期望”这个名称的由来，学生更容易理解和接受.
四、把理论生活化
例4 关于估计量的无偏性问题.
不少同学对无偏估计的理解不是很到位，如果接着讲“无偏性只是评价估计量的一个标准，不是说无偏估计量一定是好的”，学生就更纳闷了.但是，举一个简单的生活例子，学生就很容易接受：有一只手表，时快时慢，每到整点的时候总是准的，此表可作为标准时间的无偏估计；另一只手表总是慢十分钟，是标准时间的有偏估计.不过很明显，第二只手表对掌握具体时间是更有帮助的.
教学有法，但无定法，贵在得法.抽象的数学概念、公式的介绍要做到吃透教材，结合独立学院学生特点，从实际背景和形成过程出发，用简单明了、通俗易懂的方式帮助学生在接受、理解的基础上掌握、灵活运用，从而提高学生学习的兴趣和自信心，增强创新意识和实践能力.
【关键词】独立学院；概率统计教学
概率统计是一门重要的大学数学基础课，主要研究随机现象的规律性，在经济、金融、工程、管理等学科领域有广泛应用.概率统计属随机数学，与之前学生接触过的其他数学课程相比，无论从思想方法还是解题逻辑上都有很大不同.对很多学生来说，很难在较短时间内准确理解和把握，尤其对于独立学院的部分学生，他们的数学基础相对比较薄弱，因此在概率统计教学中结合背景知识，建立抽象数学理论与现实的桥梁，增强学生学习此门课的兴趣很有必要.
一、从学生熟悉的生活问题出发
例1 （生日问题）某班级有n个人（一年按365天计算，n<365），问：至少有两个人的生日在同一天的概率是多大?
此问题先让学生自己回答，肯定有不少学生认为这件事情发生的可能性不会很大，因为他们一直觉得在自己身边有人跟自己在同一天生日是件很难得的事情，同时也能调动他们参与解决此类问题的积极性.
解 令A={至少有两个人的生日在同一天}，A的情况比较复杂，但A的对立事件A={n个人的生日全不相同}出现的概率很容易计算：P(A)=Cn365n!365n=365!365n(365-n)!，从而P(A)=1-P(A)=1-365!365n(365-n)!.
对于不同的n值，计算得相应的P(A)如下表所示：
表中所列出的数据足以引起大家的惊奇，原来“一个班级中至少有两个人生日相同”这个事件发生的概率并不是如大多数人想象的那样小，在仅有64人的班级里，“至少有两个人的生日在同一天”的概率与1相差无几，几乎总是会发生，与我们的感觉大相径庭，因此“直觉”并不总是很靠谱，这样学生对此类问题肯定印象深刻.
二、结合学生专业特长适当延伸
例2 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取1件，如果发现是次品，则认为该箱产品不合格而拒收.计算若某箱产品已通过验收，它确实没有次品的概率.
解 设事件B表示“产品通过验收”，Ai(i=0,1,2)表示“箱中有i件次品”.
P(Ai)=13，P(B|Ai)=10-i10，(i=0,1,2)
P(A0|B)=P(A0)P(B|A0)∑2i=0P(Ai)P(B|Ai)=13910=1027.
按照惯例，这个题目到此本该结束.但是，如果在课堂上能结合学生的专业特点把此问题延伸一下，应该会有不一样的效果.比如是在给国际经济贸易专业的学生上课，就让他们针对这个“小贸易”问题发表一下自己的看法.很明显，在某箱产品通过验收的情况下它确实没有次品的概率为1027，这个值不算大，如果是他们自己在做这个生意，是按照这个现状继续生产侥幸过关，还是提高生产标准？按照这个现状继续生产，总会被查到有不合格品的时候，这样生意就做不下去了，因眼前利益而断了长远发展；如果提高生产标准，每次检验都过关，这样商家就会放松检验力度，有可能随着时间推移就不抽样检验了，“免检”就是由此而来的.
三、把课堂交给学生，自然引入抽象概念
例3 （分赌本问题）法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼长久的分赌本问题：甲乙两赌徒，赌技相同，各出赌注50法郎，设每局中无平局.他们约定，谁先赢三局，则得全部赌本100法郎.当甲赢了两局、乙赢了一局时，因故必须中止赌博.现问：这100法郎如何分才算公平？
把课堂交给学生，让他们自己来讨论这个分赌本的问题，讨论的结果主要集中为三类：平均分、全部归甲、按比例分.平均分和全部归甲显然有失公平.应按比例分，甲多分而乙少分.问题的焦点：应按怎样的比例来分？
（1）甲得100法郎中的23，乙得100法郎中的13.(这是基于已赌局数考虑的：甲赢了两局、乙赢了一局.)
（2）帕斯卡提出如下的分法：设想再赌下去，则甲的最终所得X为一个随机变量，它的可能取值为0或100.如再赌下去，分出输赢，只需再赌两局必可结束.其结果不外乎有2×2=4（种）情况之一发生：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙.其中“甲乙”表示第一局甲胜第二局乙胜.因为赌技相同，所以在这四种情况中有三种可使甲获得100法郎，只有一种情况（乙乙）下甲获得0法郎.所以甲获得100法郎的可能性为34，获得0法郎的可能性为14，即X的分布列为：
综上分析，甲的“期望”所得应为0×0.25+100×0.75=75(法郎)，这就是以概率为权的加权平均，即甲得75法郎，乙得25法郎.这种分法不仅考虑了已赌局数，而且包括了对再赌下去的一种“期望”，它比(1)更为合理,这就是“数学期望”这个名称的由来，学生更容易理解和接受.
四、把理论生活化
例4 关于估计量的无偏性问题.
不少同学对无偏估计的理解不是很到位，如果接着讲“无偏性只是评价估计量的一个标准，不是说无偏估计量一定是好的”，学生就更纳闷了.但是，举一个简单的生活例子，学生就很容易接受：有一只手表，时快时慢，每到整点的时候总是准的，此表可作为标准时间的无偏估计；另一只手表总是慢十分钟，是标准时间的有偏估计.不过很明显，第二只手表对掌握具体时间是更有帮助的.
教学有法，但无定法，贵在得法.抽象的数学概念、公式的介绍要做到吃透教材，结合独立学院学生特点，从实际背景和形成过程出发，用简单明了、通俗易懂的方式帮助学生在接受、理解的基础上掌握、灵活运用，从而提高学生学习的兴趣和自信心，增强创新意识和实践能力.