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1不动点综述
我们这里所谓的不动点，即双振子的质心，质心不动，即以质心为参考系.因为此类方法前人已有很多描述，这里我们仅稍作梳理.
[TP6GW68.TIF，Y#]
如图1所示在光滑水平面上由原长为L、劲度系数为k的轻弹簧连接着A、B两个小球（可看作质点），质量分别为m、2m，易知质心O与A、B距离之比为2∶1，初始时弹簧无形变.现分三类简单情况研究稳态振动.（1）将弹簧压缩后无初速释放；（2）不压缩弹簧，但给A一个初速度v0；（3）既不压缩也无初速，但对B施加一个恒力F.那么在质心参考系中看到的两个振子各自的振动情况将如图2所示.以向右为正方向.我们仅研究其中一个球的位移情况，另一个的读者可自行推导.
第一种情况如图2上，最基本也核心：质心O是一个不动的点，相当于将弹簧固定在O点，切开分配，A、B两个小球分别接在原长为2L/3、L/3的固定弹簧上振动；根据劲度系数反比于弹簧长度，kA=3k/2，故A振动的圆频率为ω=kA/m=3k/2m，可以证明B亦然；且O系中二者初始时均无速度，即处于振动中的最大位移，则A的振幅是初始压缩量的2/3.（图中OA、OB为A、B在质心系中振动的平衡位置，即弹簧无形变）.有了这些参数，A振动位移为xA=AAcosωt.
[TP6GW69.TIF，Y#]
第二种情况如图2中：质心具有v0/3向右的平动速度，无加速度；故A、B的初始位置为平衡位置（弹簧无形变），且各自相对于质心的速度如图；但这并不影响弹簧的按质心分配，故二者振动的圆频率同上.A相对于OA的振幅可根据平衡位置的速度vAm=AAω解出，从而质心系中A的振动位移为xA=AAcos（ωt 3π/2），转到地面参考系时只需再叠加O本身的位移即可.
第三种情况如图2下：质心具有a0=F/3m的平动加速度，则以其为参考系时，A、B初始位于最大位移（速度为0），但受到恒力作用：A受到惯性力ma0=F/3，B受到的是F与惯性力之差：F-2ma0=F/3.作为恒力，它们不影响振动频率，但影响平衡位置；两小球在质心系中具有的新平衡位置OA′、OB′可以这样确定：OA′在OA左方AA=（F/3）/kA=2F/9k处，再代入xA=AAcosωt即可.
对于更复杂的情况，可以将第二、三两种情况结合起来，以能量等关系求解振幅、初相位等；但以质心为不动点模式下的弹簧分配不受影响，振动频率始终不变.
2复杂的稳态振动模式
在大学里，这类问题多是先列位移再求导之类的枯燥解法，能不能改变一下？
例1如图3所示完全相同的两个单摆并排悬挂，摆长均为l，摆球质量均为m，且用原长等于悬点间距的、劲度系数为k的轻弹簧相连，试研究这周期性运动模式：初始时A球离开原位置一小段距离A，而B未动，然后由静止释放后的运动.
解如图4左所示是两球的回复力情况，其中F=kA，F′=mgsinθ≈mgA/l.以向右为正，质心O的初始位移是A/2，如图4右，加速度大小a0F F′-F2mgA2l；在质心系中，A球相对其平衡位置的初位移（即左半弹簧缩短量）为A/2，回复力大小为FA=F F′-ma0=kA mgA2l.二者初始均无速度，为最大位移，故质心为振幅A/2、圆频率ω0=a0/（A/2）=g/l的单摆运动，其位移x0=（A/2）cosω0t.而质心系中A的振幅亦为A/2，圆频率为
ω=FA/（A/2）m=g/l 2k/m
，不是简单的半根弹簧！故A的位移为x=（A/2）cosωt.回到地面系，A相对于其原平衡位置的位移为
xA=x x0=（A/2）×（cosω0t cosωt）.
例2图5对学习竞赛的同学来说应是非常熟悉，这里我们把原题复杂化一下：光滑水平面上，中央是质量为M的大球，1、2两小球质量分别为m1、m2，球均可视为质点.要想形成两小球始终反向而大球不动的振动模式，k1、k2要满足什么关系呢？结论当然是圆频率相等，即k1/m1=k2/m2.
此条件下我们来分析两小球同向、大球反向动的模式.如图6所示，大球左边受到的是挤压力，右边受到的是拉伸力，如果将其竖切，总能找到一个切面，是挤压力到拉伸力的转折点，则该面上应是无作用力的；想象由此将大球分成左右两份，左边质量为λM，右边为（1-λ）M，它们在振动中将互不影响.
三振子系统被分割成了两个相互独立的双振子系统，其中O1、O2分别为左、右系统的不动点（质心），剩余三条虚线为三球各自的平衡位置.根据分配特性，λM相当于接在左弹簧中长为m1L/（m1 λM）的一段（L为左弹簧原长）上，其劲度系数为kA=（m1 λM）k1/m1.同理（1-λ）M相当于接在劲度系数为.kB=[m2 （1-λ）M]k2/m2的弹簧上.欲两系统振动圆频率相同，则需kA/λM=kB/[（1-λ）M]，整理得λ=m1/（m1 m2），过程中已用到图5的结论.最后，
ωkAλM=（m1 m2 M）k1/Mm1，
而各球的位移就不缁述了.
最后我们反观一下，果真可以这样切开吗？注意大球，它在左右两个系统中的位移是一样大的，我们假设为x；则左部的加速度aA=kAx/λM=x×kA/λM；右部加速度为aB=kBx/（1-λ）M=x×kB/[（1-λ）M]，显然我们的λ可使aA=aB，满足分离条件，因此将大球拆分符合实际规律，可以等效替代.
3评价
其实不动点法不见得能比求导解析快捷，但二者恰好体现了两类顺序：是先建立物理模型，再代数运算；还是先数学运算，再分析模型？二者并无优劣之分，解析法的适用范围更广.质心系的最大意义在于展现简易生动的运动情景，避免学生堕入只有公式和运算的形而上学的怪圈，进而有利于培养学生对自然科学的兴趣和感知能力.
我们这里所谓的不动点，即双振子的质心，质心不动，即以质心为参考系.因为此类方法前人已有很多描述，这里我们仅稍作梳理.
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如图1所示在光滑水平面上由原长为L、劲度系数为k的轻弹簧连接着A、B两个小球（可看作质点），质量分别为m、2m，易知质心O与A、B距离之比为2∶1，初始时弹簧无形变.现分三类简单情况研究稳态振动.（1）将弹簧压缩后无初速释放；（2）不压缩弹簧，但给A一个初速度v0；（3）既不压缩也无初速，但对B施加一个恒力F.那么在质心参考系中看到的两个振子各自的振动情况将如图2所示.以向右为正方向.我们仅研究其中一个球的位移情况，另一个的读者可自行推导.
第一种情况如图2上，最基本也核心：质心O是一个不动的点，相当于将弹簧固定在O点，切开分配，A、B两个小球分别接在原长为2L/3、L/3的固定弹簧上振动；根据劲度系数反比于弹簧长度，kA=3k/2，故A振动的圆频率为ω=kA/m=3k/2m，可以证明B亦然；且O系中二者初始时均无速度，即处于振动中的最大位移，则A的振幅是初始压缩量的2/3.（图中OA、OB为A、B在质心系中振动的平衡位置，即弹簧无形变）.有了这些参数，A振动位移为xA=AAcosωt.
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第二种情况如图2中：质心具有v0/3向右的平动速度，无加速度；故A、B的初始位置为平衡位置（弹簧无形变），且各自相对于质心的速度如图；但这并不影响弹簧的按质心分配，故二者振动的圆频率同上.A相对于OA的振幅可根据平衡位置的速度vAm=AAω解出，从而质心系中A的振动位移为xA=AAcos（ωt 3π/2），转到地面参考系时只需再叠加O本身的位移即可.
第三种情况如图2下：质心具有a0=F/3m的平动加速度，则以其为参考系时，A、B初始位于最大位移（速度为0），但受到恒力作用：A受到惯性力ma0=F/3，B受到的是F与惯性力之差：F-2ma0=F/3.作为恒力，它们不影响振动频率，但影响平衡位置；两小球在质心系中具有的新平衡位置OA′、OB′可以这样确定：OA′在OA左方AA=（F/3）/kA=2F/9k处，再代入xA=AAcosωt即可.
对于更复杂的情况，可以将第二、三两种情况结合起来，以能量等关系求解振幅、初相位等；但以质心为不动点模式下的弹簧分配不受影响，振动频率始终不变.
2复杂的稳态振动模式
在大学里，这类问题多是先列位移再求导之类的枯燥解法，能不能改变一下？
例1如图3所示完全相同的两个单摆并排悬挂，摆长均为l，摆球质量均为m，且用原长等于悬点间距的、劲度系数为k的轻弹簧相连，试研究这周期性运动模式：初始时A球离开原位置一小段距离A，而B未动，然后由静止释放后的运动.
解如图4左所示是两球的回复力情况，其中F=kA，F′=mgsinθ≈mgA/l.以向右为正，质心O的初始位移是A/2，如图4右，加速度大小a0F F′-F2mgA2l；在质心系中，A球相对其平衡位置的初位移（即左半弹簧缩短量）为A/2，回复力大小为FA=F F′-ma0=kA mgA2l.二者初始均无速度，为最大位移，故质心为振幅A/2、圆频率ω0=a0/（A/2）=g/l的单摆运动，其位移x0=（A/2）cosω0t.而质心系中A的振幅亦为A/2，圆频率为
ω=FA/（A/2）m=g/l 2k/m
，不是简单的半根弹簧！故A的位移为x=（A/2）cosωt.回到地面系，A相对于其原平衡位置的位移为
xA=x x0=（A/2）×（cosω0t cosωt）.
例2图5对学习竞赛的同学来说应是非常熟悉，这里我们把原题复杂化一下：光滑水平面上，中央是质量为M的大球，1、2两小球质量分别为m1、m2，球均可视为质点.要想形成两小球始终反向而大球不动的振动模式，k1、k2要满足什么关系呢？结论当然是圆频率相等，即k1/m1=k2/m2.
此条件下我们来分析两小球同向、大球反向动的模式.如图6所示，大球左边受到的是挤压力，右边受到的是拉伸力，如果将其竖切，总能找到一个切面，是挤压力到拉伸力的转折点，则该面上应是无作用力的；想象由此将大球分成左右两份，左边质量为λM，右边为（1-λ）M，它们在振动中将互不影响.
三振子系统被分割成了两个相互独立的双振子系统，其中O1、O2分别为左、右系统的不动点（质心），剩余三条虚线为三球各自的平衡位置.根据分配特性，λM相当于接在左弹簧中长为m1L/（m1 λM）的一段（L为左弹簧原长）上，其劲度系数为kA=（m1 λM）k1/m1.同理（1-λ）M相当于接在劲度系数为.kB=[m2 （1-λ）M]k2/m2的弹簧上.欲两系统振动圆频率相同，则需kA/λM=kB/[（1-λ）M]，整理得λ=m1/（m1 m2），过程中已用到图5的结论.最后，
ωkAλM=（m1 m2 M）k1/Mm1，
而各球的位移就不缁述了.
最后我们反观一下，果真可以这样切开吗？注意大球，它在左右两个系统中的位移是一样大的，我们假设为x；则左部的加速度aA=kAx/λM=x×kA/λM；右部加速度为aB=kBx/（1-λ）M=x×kB/[（1-λ）M]，显然我们的λ可使aA=aB，满足分离条件，因此将大球拆分符合实际规律，可以等效替代.
3评价
其实不动点法不见得能比求导解析快捷，但二者恰好体现了两类顺序：是先建立物理模型，再代数运算；还是先数学运算，再分析模型？二者并无优劣之分，解析法的适用范围更广.质心系的最大意义在于展现简易生动的运动情景，避免学生堕入只有公式和运算的形而上学的怪圈，进而有利于培养学生对自然科学的兴趣和感知能力.