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［编者按］在全国第八届深化小学数学教学改革观摩交流会上，江苏省江阴市实验小学强震球老师执教的“角的度量”获得了一等奖第一名。中国教育学会副理事长马云鹏在评课中说：“该课具有浓浓的数学味，学生不仅学会了量角的方法，而且经历了量角工具的探索过程，把握了量角器的构造特点，积累了丰富的数学活动经验。”为了给读者深入学习和研究这一成功案例提供素材，本刊特约请强震球老师谈谈他的设计思路。
“角的度量”这一内容，历来是小学数学教学的难点。通常，教师把这一内容的教学界定为技能训练课。在这个界定之下，教学时教师往往先简单地介绍一下度量角的单位——度，然后组织认识一下量角器的各个部分，最后在学生熟记量角“对点、对边、读刻度”三大步骤的前提下组织学生进行大量的技能训练。但是，大量的技能训练虽然花了大量的时间，学生学习的效果却并不理想。这主要有以下两个原因。
一是学生对量角器的本质认识不到位。从本质上说，尺、用来测量面积的方格纸、量角器等都是测量单位的集合，量角器就是单位小角的集合。但是由于度量角的基本单位“1度的角”实在太小，因此在量角器上难以反映。量角器的制作者一般都把量角器中的1度分割线去掉大部分，只留下沿着圆周的一些刻度。把量角器作为现成产品介绍给学生，教学时空上虽然通畅和快捷，但由于学生对量角器的结构特点不甚理解，学生认识量角器会显得比较突兀。他们不理解量角器上为什么会有那么多的小格，为什么要标上里一圈外一圈的刻度。也就是说学生很难理解“量角器就是单位小角的集合”。另外，学生已经学习的度量工具中，有的没刻度，有的有刻度,有的只有单向刻度，有的有双向刻度。尺上只有单向刻度，是因为尺的摆放与读数比较容易；方格纸上没有刻度，是因为稍大一点的面积可以借助计算得到。用量角器量角时，如果只有单向刻度，量不同朝向的角的大小时不方便，因此不得不加上两圈刻度，学生对此也不理解。笔者认为：量角器的高度简约化、智慧化和学生已有经验之间的矛盾使学生对于量角器本质的理解产生了障碍。
二是学生对量角方法的本质认识不到位。无论是长度、面积、体积、重量、角度的度量，本质都是用基本单位与当前所测量对象进行比较。例如，测量面积就是把被测量对象与单位面积进行比较，被测量对象中含有多少个面积单位它的面积就是多少。而量角的本质是看被测量的角中包含多少个单位角。正是由于学生对于量角器的本质不明，所以学生对于量角方法的本质的理解也就造成了障碍。
量角器的本质是“单位小角”的集合，角的度量的本质是看被测量对象中含有多少个“单位小角”，促使学生对这两个本质充分而深刻理解是上好这节课的逻辑基础。笔者对教学策略的设计就是围绕这两个本质展开的。
1．明确量角的单位是“单位小角”。笔者首先设计了“利用大小相同的小角，比较∠1、∠2这两个角的大小”这一数学活动，让学生体验“利用大小相同的小角”比较的优越性：不仅能比出角的大小，而且可以比出到底大了多少。这样的设计不仅让学生明确了量角的单位是“单位小角”，而且用量角器量角的方法的雏形也已经悄然出现。
需要说明的是，由于用“1度”小角来作为单位角在制作和操作上都非常不便，笔者选择了“10度”的角作为“单位小角”进行教学。
2．明确量角器是“单位小角”的集合。在教学过程中，笔者设计了一个把单位小角合并成为半圆的演示活动。通过演示，不仅展示了一个“简易量角器”的形成过程，更重要的是突出了量角器与“单位小角”的内在联系。这一联系一旦确立，量角的方法就不再是死的教条，而是“用单位小角比较角的大小”的延伸，是有意义的学习。
3．强化用“简易量角器”量角的方法。笔者特意安排学生用“简易量角器”测量了三个角的大小。“简易量角器”与“成品量角器”相比，具有线条稀疏便于数、无刻度只能数、无缺省可以数的三个特点。正因为有这三个特点，用“简易量角器”学习量角就有了非常大的优势：一是方法容易学会，二是能够突出“量角器”和“量角方法”的本质，三是有效地化解了难点。
4．“简易量角器”渐变为“成品量角器”。只有展示“渐变”和“现实需要”，才能使学生理解知识的来龙去脉，感受到当前学习的现实价值。在引出“成品量角器”的过程中，笔者不是一步到位直接呈现，而是展示了每次“渐变”的过程。同时，还用恰当的解释给每一个环节赋予其“现实需要”。如下图：
上面提出的四个策略，是笔者设计本课教学的初期阶段的一些零散的想法，如何将这些零散的想法整合为一个整体呢？
建构主义的教学理论强调，学生对知识的主动探索、发现和对所学知识意义的主动建构，是一个从“不平衡”到“平衡”的不断反复的过程。这个理论对于整合教学策略、构建动态课堂提供了很好的启迪：追踪量角器设计者的思考轨迹，凸现种种矛盾冲突，不断激发学生深入思考，展示知识的形成过程，让学生理解“量角器的本质”和“量角方法的本质”。也就是说，教学时要把学生的角色从“量角器的使用者”转换为“量角器的制作者”，引导学生对量角器进行再创造，在探索和实践的过程中掌握知识的原理，在建构工具的同时建构方法。由此，在教学设计时，笔者把量角器的结构和使用的教学具体分解落实为环环紧扣、层层设伏的五个步骤。
1．由角的大小的意义引出可以用单位角来度量角的大小。
（1）利用动态角的变化复习角的大小指的是角的两条边叉开的大小。
（2）利用活动角比较两个角的大小。
（3）利用单位小角比较两个角的大小。
（4）比较“利用活动角比较”和“利用单位小角比较”两种方法，指明后者的优势。
这一环节激活了学生的学习潜能，唤醒了学生对角的大小的理解，为用单位角量角的大小作了铺垫。复习用活动角比较角的大小，用活动角来比较角的大小时的注意点“点对点，边对边”,实际上就是用量角器量角方法的雏形。同时，还通过学生的讨论与操作，让学生悟出用小角测量的可行性与操作要点，为学生理解量角的原理打下坚实的基础。
2．由单位小角的使用不便引出要把单位小角合并为半圆工具 。
（1）设疑：我们能不能想个办法，既保留小角比较精确的优点，又改进操作麻烦的缺点，让这些小角用起来方便些呢？从而引导得出可以把小角合并成为半圆。（多媒体演示）
（2）练习：用“简易量角器”测量三个角的大小。（其中第三个角测量不出整数结果，从而引出单位角还要细分）
本环节突出反映了量角器的本质——单位角的集合，强化了用“简易量角器”测量角的大小的方法。
3．由这种半圆工具度量不准确引出要把单位小角分得更细些 。
（1）设疑：第三个角测量不出整数结果，怎样才能知道比较确切的结果？
（2）教学1°。
（3）演示：把工具简化。
（4）呼应：测量第三个角的准确结果。
这一环节的设计思路是：在矛盾冲突中引出把单位角细分，从而形成没有两圈刻度的细分后的量角器。而学生实际使用的量角器的靠近中心部分是没有分割线的，使得学生不易理解量角器是单位小角的集合，演示量角器的动态演变过程用意就在于弥补这个不足。
4．由细分后的半圆工具读数不便引出要加刻度，进而引出两圈刻度 。
（1）下面两个角各是多少度？从哪边数起？从而引出要加第一圈刻度。
（2）下面这个角多少度？从哪边数起？从而引出要加第二圈刻度。
（3）完整认识量角器。
（4）读刻度的专项训练（含变式训练）。
这一环节特别重视用真实的问题情境引导学生感悟必须加两圈刻度。到此，一个完整的量角器已经成形。这时，教师相机引导学生全面认识量角器，然后进行读刻度的练习。
5．总结量角方法，进行相应练习。
（1）学生自己量出一个角的大小。
（2）由学生总结测量方法。
（3）量角练习。
在教学设计的实施教程中，虽然学生用量角器量角的练习并不多，但是本课一开始就致力于量角方法的探索，到这一学习阶段，学生自己量角、总结方法就水到渠成。(作者单位：江苏省江阴市实验小学)
□责任编辑 邓园生
E-mail: jxjydys@126.com
“角的度量”这一内容，历来是小学数学教学的难点。通常，教师把这一内容的教学界定为技能训练课。在这个界定之下，教学时教师往往先简单地介绍一下度量角的单位——度，然后组织认识一下量角器的各个部分，最后在学生熟记量角“对点、对边、读刻度”三大步骤的前提下组织学生进行大量的技能训练。但是，大量的技能训练虽然花了大量的时间，学生学习的效果却并不理想。这主要有以下两个原因。
一是学生对量角器的本质认识不到位。从本质上说，尺、用来测量面积的方格纸、量角器等都是测量单位的集合，量角器就是单位小角的集合。但是由于度量角的基本单位“1度的角”实在太小，因此在量角器上难以反映。量角器的制作者一般都把量角器中的1度分割线去掉大部分，只留下沿着圆周的一些刻度。把量角器作为现成产品介绍给学生，教学时空上虽然通畅和快捷，但由于学生对量角器的结构特点不甚理解，学生认识量角器会显得比较突兀。他们不理解量角器上为什么会有那么多的小格，为什么要标上里一圈外一圈的刻度。也就是说学生很难理解“量角器就是单位小角的集合”。另外，学生已经学习的度量工具中，有的没刻度，有的有刻度,有的只有单向刻度，有的有双向刻度。尺上只有单向刻度，是因为尺的摆放与读数比较容易；方格纸上没有刻度，是因为稍大一点的面积可以借助计算得到。用量角器量角时，如果只有单向刻度，量不同朝向的角的大小时不方便，因此不得不加上两圈刻度，学生对此也不理解。笔者认为：量角器的高度简约化、智慧化和学生已有经验之间的矛盾使学生对于量角器本质的理解产生了障碍。
二是学生对量角方法的本质认识不到位。无论是长度、面积、体积、重量、角度的度量，本质都是用基本单位与当前所测量对象进行比较。例如，测量面积就是把被测量对象与单位面积进行比较，被测量对象中含有多少个面积单位它的面积就是多少。而量角的本质是看被测量的角中包含多少个单位角。正是由于学生对于量角器的本质不明，所以学生对于量角方法的本质的理解也就造成了障碍。
量角器的本质是“单位小角”的集合，角的度量的本质是看被测量对象中含有多少个“单位小角”，促使学生对这两个本质充分而深刻理解是上好这节课的逻辑基础。笔者对教学策略的设计就是围绕这两个本质展开的。
1．明确量角的单位是“单位小角”。笔者首先设计了“利用大小相同的小角，比较∠1、∠2这两个角的大小”这一数学活动，让学生体验“利用大小相同的小角”比较的优越性：不仅能比出角的大小，而且可以比出到底大了多少。这样的设计不仅让学生明确了量角的单位是“单位小角”，而且用量角器量角的方法的雏形也已经悄然出现。
需要说明的是，由于用“1度”小角来作为单位角在制作和操作上都非常不便，笔者选择了“10度”的角作为“单位小角”进行教学。
2．明确量角器是“单位小角”的集合。在教学过程中，笔者设计了一个把单位小角合并成为半圆的演示活动。通过演示，不仅展示了一个“简易量角器”的形成过程，更重要的是突出了量角器与“单位小角”的内在联系。这一联系一旦确立，量角的方法就不再是死的教条，而是“用单位小角比较角的大小”的延伸，是有意义的学习。
3．强化用“简易量角器”量角的方法。笔者特意安排学生用“简易量角器”测量了三个角的大小。“简易量角器”与“成品量角器”相比，具有线条稀疏便于数、无刻度只能数、无缺省可以数的三个特点。正因为有这三个特点，用“简易量角器”学习量角就有了非常大的优势：一是方法容易学会，二是能够突出“量角器”和“量角方法”的本质，三是有效地化解了难点。
4．“简易量角器”渐变为“成品量角器”。只有展示“渐变”和“现实需要”，才能使学生理解知识的来龙去脉，感受到当前学习的现实价值。在引出“成品量角器”的过程中，笔者不是一步到位直接呈现，而是展示了每次“渐变”的过程。同时，还用恰当的解释给每一个环节赋予其“现实需要”。如下图：
上面提出的四个策略，是笔者设计本课教学的初期阶段的一些零散的想法，如何将这些零散的想法整合为一个整体呢？
建构主义的教学理论强调，学生对知识的主动探索、发现和对所学知识意义的主动建构，是一个从“不平衡”到“平衡”的不断反复的过程。这个理论对于整合教学策略、构建动态课堂提供了很好的启迪：追踪量角器设计者的思考轨迹，凸现种种矛盾冲突，不断激发学生深入思考，展示知识的形成过程，让学生理解“量角器的本质”和“量角方法的本质”。也就是说，教学时要把学生的角色从“量角器的使用者”转换为“量角器的制作者”，引导学生对量角器进行再创造，在探索和实践的过程中掌握知识的原理，在建构工具的同时建构方法。由此，在教学设计时，笔者把量角器的结构和使用的教学具体分解落实为环环紧扣、层层设伏的五个步骤。
1．由角的大小的意义引出可以用单位角来度量角的大小。
（1）利用动态角的变化复习角的大小指的是角的两条边叉开的大小。
（2）利用活动角比较两个角的大小。
（3）利用单位小角比较两个角的大小。
（4）比较“利用活动角比较”和“利用单位小角比较”两种方法，指明后者的优势。
这一环节激活了学生的学习潜能，唤醒了学生对角的大小的理解，为用单位角量角的大小作了铺垫。复习用活动角比较角的大小，用活动角来比较角的大小时的注意点“点对点，边对边”,实际上就是用量角器量角方法的雏形。同时，还通过学生的讨论与操作，让学生悟出用小角测量的可行性与操作要点，为学生理解量角的原理打下坚实的基础。
2．由单位小角的使用不便引出要把单位小角合并为半圆工具 。
（1）设疑：我们能不能想个办法，既保留小角比较精确的优点，又改进操作麻烦的缺点，让这些小角用起来方便些呢？从而引导得出可以把小角合并成为半圆。（多媒体演示）
（2）练习：用“简易量角器”测量三个角的大小。（其中第三个角测量不出整数结果，从而引出单位角还要细分）
本环节突出反映了量角器的本质——单位角的集合，强化了用“简易量角器”测量角的大小的方法。
3．由这种半圆工具度量不准确引出要把单位小角分得更细些 。
（1）设疑：第三个角测量不出整数结果，怎样才能知道比较确切的结果？
（2）教学1°。
（3）演示：把工具简化。
（4）呼应：测量第三个角的准确结果。
这一环节的设计思路是：在矛盾冲突中引出把单位角细分，从而形成没有两圈刻度的细分后的量角器。而学生实际使用的量角器的靠近中心部分是没有分割线的，使得学生不易理解量角器是单位小角的集合，演示量角器的动态演变过程用意就在于弥补这个不足。
4．由细分后的半圆工具读数不便引出要加刻度，进而引出两圈刻度 。
（1）下面两个角各是多少度？从哪边数起？从而引出要加第一圈刻度。
（2）下面这个角多少度？从哪边数起？从而引出要加第二圈刻度。
（3）完整认识量角器。
（4）读刻度的专项训练（含变式训练）。
这一环节特别重视用真实的问题情境引导学生感悟必须加两圈刻度。到此，一个完整的量角器已经成形。这时，教师相机引导学生全面认识量角器，然后进行读刻度的练习。
5．总结量角方法，进行相应练习。
（1）学生自己量出一个角的大小。
（2）由学生总结测量方法。
（3）量角练习。
在教学设计的实施教程中，虽然学生用量角器量角的练习并不多，但是本课一开始就致力于量角方法的探索，到这一学习阶段，学生自己量角、总结方法就水到渠成。(作者单位：江苏省江阴市实验小学)
□责任编辑 邓园生
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