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摘要 本文从管理类运筹学课程的教学目的入手，结合教研组的教学经验，介绍了运筹学课程的多种教学方法，及基于Lindo软件、MATLAB语言、计算机程序语言的课内实验的开展。从而使得学生可以学以致用，将运筹学的核心思想——最优化思想应用于生产、生活和科学研究中，用来解决实际问题，并掌握解题思路。
关键词 运筹学；教学方法；实际问题
AbstractSeveral Teaching Methods are introduced. Also, the ways of solving cases in class based on Lindo， MATLAB and other program languages are recommended.
Keywords Operations Research；Teaching Method； Practical Problem
一、 引言
运筹学课程[1]是以定量分析方法为主，来研究社会、经济的管理问题，将工程思想和管理思想相结合，应用系统的、科学的、数学分析的方法，通过建模、检验和求解数学模型等手段来获得最优决策的一门学科。它是数学的一个重要分支，其核心是研究优化的理论与方法。上海工程技术大学管理学院将运筹学课程设定为学院各专业的学科基础必修课。
在教学过程中，学院根据管理类学生对本课程的要求强调具有“较宽的基础理论知识、较强的应用能力”等特点，在理论课中开展了课内实验，充分利用先进的计算机应用软件（Lindo、高级语言程序设计、MATLAB语言），使学生不仅摆脱了繁琐、复杂的数字计算，有更多的时间去领会方法的原理、锻炼建模的能力，并且能够将所学的知识融会贯通，激发 了学生的学习兴趣，提高了教学质量。
二、 运筹学课程的特点
由运筹学的定义，可以得出运筹学课程的一下特点[3]：
1．交叉性
运筹学是一种综合应用经济学、管理学、数学、社会学等学科的科学方法，这些学科相互交叉、相互渗透，综合应用。
2．应用性
运筹学的研究从一开始就有着强烈的实践性和应用性。该学科最早应用于军事部门，第二次世界大战以后，转向民用部门。随后运筹学各个分支的产生和发展，也都和实际应用密不可分。目前，运筹学的应用领域主要包括：生产计划、库存管理、运输问题、设备维修、设备可靠性、项目评价、城市规划、甚至社会保障等。
3．最优性
运筹学强调最优性。所谓最优，包含2方面的含义：一是指所讨论问题的结论“最优”；二是指解决问题的方法“最优”。
4．多分支
运筹学自20世纪30年代末产生以来，经过大半个世纪的发展，已经成为具有坚实理论基础、完善的体系结构的科学方法。并形成了一系列的分支，包括：
（1）规划论：线性规划（含整数规划）、目标规划和动态规划。主要研究，在满足给定约束条件下，按一个或多个目标来寻求最优方案的方法；其应用领域十分广泛，在工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策中都可以发挥重要的作用。
（2）图论与网络分析：图是研究离散事物之间关系的一种分析模型，具有形象化的特点。
（3）排队论：主要研究公共服务系统的运行与优化的数学理论方法。
（4）决策论：主要解决带有不确定性和风险决策问题所发展的一套系统分析方法。
（5）存贮论：主要研究生产经营中各种物资应当在什么时间，以多少数量来补充库存，才能使库存和采购的总费用最小的问题。
（6）对策论：主要研究在竞争环境下决策者行为的数学方法。
正由于运筹学应用的广泛性、多学科的交叉性、多分支性，以及在社会、经济等管理领域的大范围应用，从而引发了对运筹学课程教学方法及实践教学环节的讨论。
以往运筹学课程的教学方法很不科学[3]。主要表现在讲授方法单一，教学手段不灵活，考试方法传统，以及缺乏课堂活动等方面。
从21世纪初开始，逐步有了运筹学课程实践教学环节的方法探讨。目前主要有文献[3]中提到的计算机辅助教学方法的概述；文献[5]中提到的针MBA的案例教学；文献[4]中提到的利用Excel的丰富函数和数值计算功能的实践教学；以及文献[1]中提到的针对数学与应用数学专业和信息与计算科学专业的实践教学。
三、 管理类运筹学课程的教学方法
美国前运筹学会主席邦特（S.Bonder）认为：运筹学的发展领域，更应强调发展运筹学应用和运筹学科学。我们也认为：管理类运筹学课程的教学，应该着重放在运筹学基本原理的理解、基本方法的掌握以及基本模型的应用上。使学生通过运筹学课程的学习，能够运用运筹学的原理、方法、模型去分析、解决管理、现实生活中的实际问题。
根据以上教学目的，针对教学大纲中的内容，我们采取了在理论知识的课堂教学过程中，穿插运用多种教学手段、并且加入课内实验的教学方法。
1．引导式教学：采用引例介绍、案例分析相结合的引导式教学。
引例介绍：针对运筹学中比较抽象、深奥的基本知识与基本理论，我们对一种新模型、新方法的介绍总是从一个浅显易懂的实际案例开始，如产品生产计划、运输问题、指派问题等，首先将要解决的问题导入，以激发和调动学生解决问题的欲望；然后循序渐进、深入浅出地引出有关概念和方法，使学生在解决实际问题的过程中牢固掌握概念和方法。
案例分析：运筹学的模型和方法是面向应用的，也是学生今后工作中解决实际问题的基本工具。因此，对于每一类典型的模型和方法，我们从经典案例集中选择、或者结合书本上较大型的、难度适中的案例，详细的讲解、分析相关模型的选择、运用和方法的基本原理、步骤，让学生确实看到该模型和方法在解决实际问题中的作用；然后，再布置一个类似的案例，要求学生以小组形式进行案例调查、案例分析和案例报告。
比如：在完成排队论的教学后，组织学生对某理发店的顾客情况、理发师服务情况进行一定数量的记录，然后运用排队论的知识给出该理发店服务设施的配置是否合理；若不合理，应如何重新配置等结论。通过亲自动手操作，学生们不仅熟练掌握了运用运筹学模型和方法解决实际应用问题的流程，而且学会了分析问题、解决问题的方法，深刻体会到用科学知识解决实际问题的妙处。
2． 立体化教学
在课堂教学之余，我们还注重将运筹学教学从第一课堂延伸至第二课堂，使学生能够运用运筹学的理论和方法，解决管理中的实际问题。带领学生积极参加科学研究项目，在完成过程中体会问题来源、数据收集、理论分析、建立模型、模型求解、模型应用的运筹学解决问题的主线。
比如：我们引导学生参加了国家社会科学基金项目《社会保险基金预警预报系统的研究》（项目编号：02BJY135）。学生们运用线性规划的原理、模型和方法对上海最低生活标准进行了测算。
3．信息技术教学
（1）网上教学资源的共享
目前课堂教学全部采用课堂讲授、多媒体与在线教学相结合的讲授方式，使学生可以更直观地理解教学内容，激发学生学习兴趣。在运筹学课程网站上，学生可以看到教学大纲、教案、课件、习题、实验指导、参考资料、教学录像、历年考试试卷和答案等内容，学生可以随时上网学习和下载，通过网络化的教学方式（网络课件、网上答疑、网上讨论），学生可以在课外自主学习，提高了教学质量。
（2）运筹学算法软件包的掌握
运筹学算法软件包的实习操作属于课内实验的内容。在这类实践教学环节中，我们借助于Lindo软件、MATLAB语言，使学生掌握已有算法软件包的成果，提高研究和解决问题的速度与效率。
由于运筹学主要是用于解决复杂大系统的各种优化问题，涉及的变量个数多、约束条件杂、数字计算繁琐，因而实际的运筹学模型往往非常庞大，手工计算已是不可能，必须借助于计算机才能得到问题的解。
因此，在课内实验教学环节中，我们事先布置题目，要求学生用Lindo软件、MATLAB语言中的系统函数计算大型的实际问题。这种教学方法一方面可以使学生对所学到的知识学以致用，着重分析问题、建立模型，另一方面可以锻炼学生的自学能力。通常，我们要求学生用Lindo软件完成线性规划、整数规划、目标规划的实际题，而MATLAB语言作为补充，用来完成图论、动态规划中的问题。
（3）模型算法的设计和实现
虽然目前已经有运筹学的算法软件包，我们仍然在课内实验环节安排了算法编程练习。我们引导学生，从已经建立的模型出发，在熟练掌握方法计算步骤的基础上，运用所学过的数学知识，对计算过程进行严密的数理逻辑推理，解决算法设计；继而选用学生自己掌握最好的一门计算机编程语言，实现相关算法，求得解析解。目前，我们尝试的运筹学自编算法包括：单纯形法、最短路、最小费用最大流、整数规划、动态规划、决策论等。
这种教学方法将运筹学的学习和运用与以往所学的高级语言程序设计相结合，给学生创造了运用已经掌握的知识解决实际问题的机会，让学生体会到所学知识的有用性，使学生完成由理性——实践——再理论——再实践的学习过程。
四、 结束语
这种教学方法和课内实验相结合的实践教学模式取得很好的效果。很多学生参与到教师的科研项目，并在全国高教杯数学建模大赛上屡获名次。学生在完成实验报告时，都指出，结合实际问题，并采用运筹学方法予以解决后，感觉运筹学很有用；而且，当学生编写算法、借助于计算机求解出问题的解后，更是有一种成就感。
参考文献
[1]胡发胜，刘桂真.国家精品课程运筹学的教学改革与实践[J].中国大学教学.2006（7）：9-10.
[2]夏昌华.运筹学中的最优化思想与中学数学教学[J].浙江教育学院学报.2007（2）：73-78.
[3]刘舒燕.管理类运筹学课程教学改革思路[J].交通高教研究.2000（3）：73-75.
[4]邱丽绚.《管理运筹学》课程的计算机辅助教学初探[J].黎明职业大学学报.2003（4）：47-49.
[5]余勇，孔刚.MBA《管理运筹学》案例教学方法探讨[J].电子科技大学学报社科版.2001，3（4）：97-99.
[6]《运筹学》编写组.运筹学（修订版）[M].北京：清华大学出版社，1990.
※ 本文受管理科学与工程重点学科资助（编号：XK0704）。
作者简介：范君晖：（1977.2-），女，汉族，安徽宣城人。讲师，硕士。研究方向：系统工程。
关键词 运筹学；教学方法；实际问题
AbstractSeveral Teaching Methods are introduced. Also, the ways of solving cases in class based on Lindo， MATLAB and other program languages are recommended.
Keywords Operations Research；Teaching Method； Practical Problem
一、 引言
运筹学课程[1]是以定量分析方法为主，来研究社会、经济的管理问题，将工程思想和管理思想相结合，应用系统的、科学的、数学分析的方法，通过建模、检验和求解数学模型等手段来获得最优决策的一门学科。它是数学的一个重要分支，其核心是研究优化的理论与方法。上海工程技术大学管理学院将运筹学课程设定为学院各专业的学科基础必修课。
在教学过程中，学院根据管理类学生对本课程的要求强调具有“较宽的基础理论知识、较强的应用能力”等特点，在理论课中开展了课内实验，充分利用先进的计算机应用软件（Lindo、高级语言程序设计、MATLAB语言），使学生不仅摆脱了繁琐、复杂的数字计算，有更多的时间去领会方法的原理、锻炼建模的能力，并且能够将所学的知识融会贯通，激发 了学生的学习兴趣，提高了教学质量。
二、 运筹学课程的特点
由运筹学的定义，可以得出运筹学课程的一下特点[3]：
1．交叉性
运筹学是一种综合应用经济学、管理学、数学、社会学等学科的科学方法，这些学科相互交叉、相互渗透，综合应用。
2．应用性
运筹学的研究从一开始就有着强烈的实践性和应用性。该学科最早应用于军事部门，第二次世界大战以后，转向民用部门。随后运筹学各个分支的产生和发展，也都和实际应用密不可分。目前，运筹学的应用领域主要包括：生产计划、库存管理、运输问题、设备维修、设备可靠性、项目评价、城市规划、甚至社会保障等。
3．最优性
运筹学强调最优性。所谓最优，包含2方面的含义：一是指所讨论问题的结论“最优”；二是指解决问题的方法“最优”。
4．多分支
运筹学自20世纪30年代末产生以来，经过大半个世纪的发展，已经成为具有坚实理论基础、完善的体系结构的科学方法。并形成了一系列的分支，包括：
（1）规划论：线性规划（含整数规划）、目标规划和动态规划。主要研究，在满足给定约束条件下，按一个或多个目标来寻求最优方案的方法；其应用领域十分广泛，在工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策中都可以发挥重要的作用。
（2）图论与网络分析：图是研究离散事物之间关系的一种分析模型，具有形象化的特点。
（3）排队论：主要研究公共服务系统的运行与优化的数学理论方法。
（4）决策论：主要解决带有不确定性和风险决策问题所发展的一套系统分析方法。
（5）存贮论：主要研究生产经营中各种物资应当在什么时间，以多少数量来补充库存，才能使库存和采购的总费用最小的问题。
（6）对策论：主要研究在竞争环境下决策者行为的数学方法。
正由于运筹学应用的广泛性、多学科的交叉性、多分支性，以及在社会、经济等管理领域的大范围应用，从而引发了对运筹学课程教学方法及实践教学环节的讨论。
以往运筹学课程的教学方法很不科学[3]。主要表现在讲授方法单一，教学手段不灵活，考试方法传统，以及缺乏课堂活动等方面。
从21世纪初开始，逐步有了运筹学课程实践教学环节的方法探讨。目前主要有文献[3]中提到的计算机辅助教学方法的概述；文献[5]中提到的针MBA的案例教学；文献[4]中提到的利用Excel的丰富函数和数值计算功能的实践教学；以及文献[1]中提到的针对数学与应用数学专业和信息与计算科学专业的实践教学。
三、 管理类运筹学课程的教学方法
美国前运筹学会主席邦特（S.Bonder）认为：运筹学的发展领域，更应强调发展运筹学应用和运筹学科学。我们也认为：管理类运筹学课程的教学，应该着重放在运筹学基本原理的理解、基本方法的掌握以及基本模型的应用上。使学生通过运筹学课程的学习，能够运用运筹学的原理、方法、模型去分析、解决管理、现实生活中的实际问题。
根据以上教学目的，针对教学大纲中的内容，我们采取了在理论知识的课堂教学过程中，穿插运用多种教学手段、并且加入课内实验的教学方法。
1．引导式教学：采用引例介绍、案例分析相结合的引导式教学。
引例介绍：针对运筹学中比较抽象、深奥的基本知识与基本理论，我们对一种新模型、新方法的介绍总是从一个浅显易懂的实际案例开始，如产品生产计划、运输问题、指派问题等，首先将要解决的问题导入，以激发和调动学生解决问题的欲望；然后循序渐进、深入浅出地引出有关概念和方法，使学生在解决实际问题的过程中牢固掌握概念和方法。
案例分析：运筹学的模型和方法是面向应用的，也是学生今后工作中解决实际问题的基本工具。因此，对于每一类典型的模型和方法，我们从经典案例集中选择、或者结合书本上较大型的、难度适中的案例，详细的讲解、分析相关模型的选择、运用和方法的基本原理、步骤，让学生确实看到该模型和方法在解决实际问题中的作用；然后，再布置一个类似的案例，要求学生以小组形式进行案例调查、案例分析和案例报告。
比如：在完成排队论的教学后，组织学生对某理发店的顾客情况、理发师服务情况进行一定数量的记录，然后运用排队论的知识给出该理发店服务设施的配置是否合理；若不合理，应如何重新配置等结论。通过亲自动手操作，学生们不仅熟练掌握了运用运筹学模型和方法解决实际应用问题的流程，而且学会了分析问题、解决问题的方法，深刻体会到用科学知识解决实际问题的妙处。
2． 立体化教学
在课堂教学之余，我们还注重将运筹学教学从第一课堂延伸至第二课堂，使学生能够运用运筹学的理论和方法，解决管理中的实际问题。带领学生积极参加科学研究项目，在完成过程中体会问题来源、数据收集、理论分析、建立模型、模型求解、模型应用的运筹学解决问题的主线。
比如：我们引导学生参加了国家社会科学基金项目《社会保险基金预警预报系统的研究》（项目编号：02BJY135）。学生们运用线性规划的原理、模型和方法对上海最低生活标准进行了测算。
3．信息技术教学
（1）网上教学资源的共享
目前课堂教学全部采用课堂讲授、多媒体与在线教学相结合的讲授方式，使学生可以更直观地理解教学内容，激发学生学习兴趣。在运筹学课程网站上，学生可以看到教学大纲、教案、课件、习题、实验指导、参考资料、教学录像、历年考试试卷和答案等内容，学生可以随时上网学习和下载，通过网络化的教学方式（网络课件、网上答疑、网上讨论），学生可以在课外自主学习，提高了教学质量。
（2）运筹学算法软件包的掌握
运筹学算法软件包的实习操作属于课内实验的内容。在这类实践教学环节中，我们借助于Lindo软件、MATLAB语言，使学生掌握已有算法软件包的成果，提高研究和解决问题的速度与效率。
由于运筹学主要是用于解决复杂大系统的各种优化问题，涉及的变量个数多、约束条件杂、数字计算繁琐，因而实际的运筹学模型往往非常庞大，手工计算已是不可能，必须借助于计算机才能得到问题的解。
因此，在课内实验教学环节中，我们事先布置题目，要求学生用Lindo软件、MATLAB语言中的系统函数计算大型的实际问题。这种教学方法一方面可以使学生对所学到的知识学以致用，着重分析问题、建立模型，另一方面可以锻炼学生的自学能力。通常，我们要求学生用Lindo软件完成线性规划、整数规划、目标规划的实际题，而MATLAB语言作为补充，用来完成图论、动态规划中的问题。
（3）模型算法的设计和实现
虽然目前已经有运筹学的算法软件包，我们仍然在课内实验环节安排了算法编程练习。我们引导学生，从已经建立的模型出发，在熟练掌握方法计算步骤的基础上，运用所学过的数学知识，对计算过程进行严密的数理逻辑推理，解决算法设计；继而选用学生自己掌握最好的一门计算机编程语言，实现相关算法，求得解析解。目前，我们尝试的运筹学自编算法包括：单纯形法、最短路、最小费用最大流、整数规划、动态规划、决策论等。
这种教学方法将运筹学的学习和运用与以往所学的高级语言程序设计相结合，给学生创造了运用已经掌握的知识解决实际问题的机会，让学生体会到所学知识的有用性，使学生完成由理性——实践——再理论——再实践的学习过程。
四、 结束语
这种教学方法和课内实验相结合的实践教学模式取得很好的效果。很多学生参与到教师的科研项目，并在全国高教杯数学建模大赛上屡获名次。学生在完成实验报告时，都指出，结合实际问题，并采用运筹学方法予以解决后，感觉运筹学很有用；而且，当学生编写算法、借助于计算机求解出问题的解后，更是有一种成就感。
参考文献
[1]胡发胜，刘桂真.国家精品课程运筹学的教学改革与实践[J].中国大学教学.2006（7）：9-10.
[2]夏昌华.运筹学中的最优化思想与中学数学教学[J].浙江教育学院学报.2007（2）：73-78.
[3]刘舒燕.管理类运筹学课程教学改革思路[J].交通高教研究.2000（3）：73-75.
[4]邱丽绚.《管理运筹学》课程的计算机辅助教学初探[J].黎明职业大学学报.2003（4）：47-49.
[5]余勇，孔刚.MBA《管理运筹学》案例教学方法探讨[J].电子科技大学学报社科版.2001，3（4）：97-99.
[6]《运筹学》编写组.运筹学（修订版）[M].北京：清华大学出版社，1990.
※ 本文受管理科学与工程重点学科资助（编号：XK0704）。
作者简介：范君晖：（1977.2-），女，汉族，安徽宣城人。讲师，硕士。研究方向：系统工程。