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摘 要： 本文对线性系统从时域、复域和频域进行了稳定性分析，总结了控制系统的主要判据，并借助MATLAB及控制工具箱对线性系统的稳定性进行了分析，分析过程简单，结合实例验证了其真实性、有效性，同时应用MATLAB设计控制器，对控制系统的性能指标进行了改善。
关键词： 线性系统 稳定性 MATLAB 控制系统校正
引言
稳定性是系统能在实际中应用的首要条件。因此，如何分析系统的稳定性并找出保证系统稳定的措施，便成为自动控制理论的一个基本任务［１］。线性系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数，而与输入无关。线性系统稳定的条件是其特征根均具有负实部，在实际工程系统中，为避开对特征方程的直接求解，就只好讨论特征根的分布，即看其是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性，由此形成了一系列稳定性判据，而且这些方法都已经过了数学上的证明，是完全有理论根据的，是实用性非常好的方法［５］－［８］。在MATLAB未产生前，由于自动控制系统的复杂性，判别稳定性计算量非常大，而采用了MATLAB以后，稳定性分析将变得很简单。采用MATLAB还可以对复杂的控制系统进一步进行分析和设计。
1.控制系统稳定性定义
关于稳定性的定义有许多种，较典型的说法有两种：一种是由俄国学者李雅普诺夫首先提出的平衡状态稳定性，另一种指系统的运动稳定性。对于线线控制系统而言，这两种说法是等价的。根据李雅普诺夫稳定性理论，线性控制系统的稳定性可以定义如下：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定，简称为稳定；反之，若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间的推移而发散，则称系统为不稳定。由上述稳定性定义可以推知，线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的根都具有负实部，或者说闭环传递函数的极点均位于左半S开平面（不包括虚轴）［１］。
2.系统稳定性分析方法概述［２］
在经典控制理论中，常用时域分析法、复域分析法或频率分析法来分析控制系统的性能。不同的方法有不同的适用范围，下面对上述方法进行具体研究。
2.1时域分析法
在经典控制理论中，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行稳定性分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。在时域分析系统的稳定性，必须研究在输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统的输出响应趋于最终期值h（∞）。显然，一个稳定的系统，其时域响应曲线必须是衰减的。
2.2复域分析法
在复域中进行系统稳定性分析，尤其当系统参数K的变化时，选定合适的参数范围使系统达到所需要稳定要求。有两种方法：一是直接法，即对于较易得到系统闭环传递函数的场合，直接求出系统所有闭环极点，判断是否都具有负实部来确定系统的稳定性；二是根轨迹法，利用系统开闭环传递绘制根轨迹，由线性系统稳定的充分必要条件：闭环传递函数的极点均位于左半S开平面（不包括虚轴），确定使根轨迹在左半S开平面部分时参数范围为系统稳定的区域。
2.2.1直接法
若n≤2，可直接求取其特征方程根（即闭环极点）来判断系统稳定性，即使（1）有待定参数，也容易求出特征方程根的一般形式，但对于求取n>3的高阶系统特征方程式的根很麻烦，所以对高阶系统一般都采用间接法来判断稳定性，在时域中常采用间接方法是代数判据（也称劳斯判据）。
2.2.2根轨迹法
根轨迹法是一种图解方法，这种方法是根据系统开环零、极点的分布来研究系统中可变参数变化时，系统闭环特征根的变化规律，从而研究系统的稳定性。因此，根轨迹法在控制系统的分析和设计中是一种很实用的工程方法。它的最大特点是能够很清晰地了解到闭环特征根的分布，一目了然地得出系统稳定时参数的取值范围，并且不必求出系统的闭环传递函数，适用于较复杂系统。根轨迹法的关键环节就是能够正确地绘制出系统的根轨迹，简单根轨迹可用试探法绘制，复杂根轨迹则应利用其绘制基本规则进行绘制。
2.2.3频域分析法
频域分析法是应用频率特性研究系统的一种经典方法，以系统的频率特性为数学模型，用bode图或其他图表作为分析工具。当系统的开环传递函数表达式不易求出，就无法应用代数判据或根轨迹法判断闭环系统的稳定性，此时应用频率稳定判据就非常方便。其前提条件就是要正确地把系统的频率特性绘制成曲线，常用的频率特性曲线大致有三种：幅相曲线（极坐标图）；bode图，也称为对数频率特性曲线；对数幅相曲线（尼科尔斯图）。曲线的绘制可根据系统的开环频率特性的表达式通过取值描点法、叠加法绘制根轨迹草图，或利用MATLAB等计算机辅助工具来实现［４］，［７］。
3.MATLAB实现系统稳定性分析［６］，［８］
3.1时域分析法判断系统的稳定性
程序如下：
num=［50］；den=［13-10］；
［num1，den1］=cloop（num，den）；
impulse（num1，den1）title（‘impulse response’）
程序中num为开环传递函数分子系数矩阵，den为分母系数矩阵。
系统的稳定性，是指系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，当扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种能力［３］。从图1可以很直观地看出该系统是稳定的。
3.2直接判定法
根据稳定的充分必要条件判别线性系统的稳定性，最简单的方法是求出系统所有极点，并观察是否含有实部大于0的极点，如果有，系统则不稳定。然而实际的控制系统大部分都是高阶系统，这样就面临求解高次方程，求根工作量很大，但在MATLAB中只需分别调用roots（den）或eig（A）即可，这样就可以由得出的极点位置直接判定系统的稳定性。
创建M文档，命名为00.m，在M文档中输入如下程序：
G=tf（［1，7，24，24］，［1，10，35，50，24］）；
roots（G.den{1}）
运行结果：ans=
-4.0000
-3.0000
-2.0000
-1.0000
由此可以判定该系统是稳定系统。
3.3轨迹法判断系统的稳定性
MATLAB控制工具箱中提供了rlocus函数，来绘制系统的根轨迹，利用rlocfind函数，在图形窗口显示十字光标，可以求得特殊点对应的K值，进而分析系统稳定性情况。
已知一控制系统，H（s）=1，其开环传递函数为：
selected_point=0+1.4373i
k=6.1979
p=-3.0178
0.0089+1.4331i
0.0089-1.4331i
光标选定分离点，程序结果为：
selected_point=-0.4194-0.0076i
k=0.3850
p=-2.1547
-0.4226+0.0069i
-0.4226-0.0069i
上述数据显示了增益及对应的闭环极点位置。由此可得出如下结论：
（1）0 （2）k=0.4时，对应为分离点，系统处于临界阻尼状态；
（3）0.4 （4）k=6时，系统有一对虚根，系统处于临界稳定状态；
（5）k>6时，系统的一对复根的实部为正，系统处于不稳定状态。
3.4Nyquist曲线判断系统的稳定性
已知一控制系统，H（s）=1，其开环传递函数为：
创建M文档，命名为01.m，在M文档中输入如下程序：
den1=［1，3，2，0］；%求系统开环传递函数
Gs1=tf（num1，den1）；
Gs2=tf（num2，den1）；
%求系统闭环传递函数
Hs=1；
Gsys1=feedback（Gs1，Hs）；
Gsys2=feedback（Gs2，Hs）；
t=［0：0.1：25］；
Figure（1）；
%绘制闭环系统阶跃响应曲线
Subplot（2，2，1）；step（Gsys1，t）；
Subplot（2，2，3）；step（Gsys2，t）；
%绘制开环系统的nyquist图
Subplot（2，2，2）；nyquist（Gs1）；grid on；
Subplot（2，2，4）；nyquist（Gs2）；grid on；
奈氏稳定判据的内容是：若开环传递函数在s平面右半平面上有P个极点，则当系统角频率X由-∞变到+∞时，如果开环频率特性的轨迹在复平面上逆时针围绕（-1，j0）点转P圈，则闭环系统是稳定的，否则是不稳定的。
当k=3时，从图3（a）中可以看出，Nyquist曲线不包围（-1，j0）点，同时开环系统所有极点都位于s平面左半平面，因此，根据奈氏判据判定以此构成的闭环系统是稳定的，这一点也可以从图2（a）中系统的单位阶跃响应得到证实，从图3（a）中可以看出系统大约23s后就渐渐趋于稳定。当k=9时，从图3（b）中可以看出，Nyquist曲线按逆时针包围（-1，j0）点2圈，但此时P=0，所以根据奈氏判据判定以此构成的闭环系统是不稳定的，图3（b）的系统阶跃响应曲线也证实了这一点，系统一直振荡不定。
4.应用MATLAB设计全状态反馈控制器实现系统的校正［３］，［７］，［９］
因为由初始条件和参考输入引起的系统过渡过程的特性直接取决于极点，所以极点配置设计的目的是使用反馈使得系统的过渡过程能够在一个可以接受的时间周期内衰减消失。状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相同的控制增益矩阵F，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的输入。如果一个系统是能控的，且其所有变量均可用于反馈，则可应用全状态反馈控制式u（t）=-Fx（t）将闭环系统的极点配置在s平面的任意位置。
例：求控制增益矩阵F，使例1给出的系统在受u（t）=-Fx（t）控制时，原系统一对不稳定极点1.0000+3.0000i，10000-3.0000i，被重新配置在-1.0000和-1.5000位置，其余极点不变。绘出加入全状态反馈控制器后系统的零点极点图（图4），判定系统稳定性。通过仿真脉冲响应来验证稳定性，并和原系统响应作比较。
解：（1）判断原系统是否能控。根据矩阵A和B，利用MATLAB可以判断例1给出的系统是能控的。
（2）求控制增益矩阵F。得F=［18.00004.6250-0.4690-1.0625］。
（3）用MATLAB绘制出校正后系统的零点、极点图、校正前后系统脉冲响应对比图（图5）。
由于将原系统不稳定的极点进行了重新配置，原系统得到了校正，由不稳定系统变成了稳定系统。
5.结论
控制系统的稳定性对于建造系统或设计系统有着重要意义，也是对系统进行综合的主要依据，分析系统的稳定性，便成为研究自动控制理论不可缺少的内容。本文总结了系统稳定性分析的方法。通过MATLAB的工具箱可以很容易地绘制处系统的根轨迹、时域响应、频域响应，使得分析系统的稳定性变得快捷方便。最后应用MATLAB设计控制器，实现了对系统性能的改善。
参考文献：
［1］胡寿松.自动控制原理［M］.北京：科学出版社.
［2］胡湘娟，杨毅.线性自动控制系统稳定性分析［J］.衡阳师范学院学报.2006，27（3）：45-48.
［3］刘豹.现代控制理论［M］.北京：机械工业出版社，1989.
［4］楼顺天，于卫.基于MATLAB的系统分析与设计——控制系统［M］.西安：西安电子科技大学出版社，1999.
［5］任金霞，黄运强.基于MATLAB的自动控制系统稳定性分析［J］.江西有色金属，2002，9（3）：43-45.
［6］王双红.基于MATLAB的控制系统稳定性分析［J］.中原工学院学报，2007，18（5）：53-55.
［7］薛定宇.反馈控制系统设计与分析——MATLAB语言应用［M］.北京：清华大学出版社，2000：206-209.
［8］燕碧娟，王春花，雄小燕.控制系统稳定性分析及MATLAB实现［J］.机械工程与自动化，2006（2）：111-113.
［9］杨丽，肖冬荣.控制系统稳定性判据与MATLAB仿真［J］.武汉理工大学学报，2007，31（2）：285-288.
关键词： 线性系统 稳定性 MATLAB 控制系统校正
引言
稳定性是系统能在实际中应用的首要条件。因此，如何分析系统的稳定性并找出保证系统稳定的措施，便成为自动控制理论的一个基本任务［１］。线性系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数，而与输入无关。线性系统稳定的条件是其特征根均具有负实部，在实际工程系统中，为避开对特征方程的直接求解，就只好讨论特征根的分布，即看其是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性，由此形成了一系列稳定性判据，而且这些方法都已经过了数学上的证明，是完全有理论根据的，是实用性非常好的方法［５］－［８］。在MATLAB未产生前，由于自动控制系统的复杂性，判别稳定性计算量非常大，而采用了MATLAB以后，稳定性分析将变得很简单。采用MATLAB还可以对复杂的控制系统进一步进行分析和设计。
1.控制系统稳定性定义
关于稳定性的定义有许多种，较典型的说法有两种：一种是由俄国学者李雅普诺夫首先提出的平衡状态稳定性，另一种指系统的运动稳定性。对于线线控制系统而言，这两种说法是等价的。根据李雅普诺夫稳定性理论，线性控制系统的稳定性可以定义如下：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定，简称为稳定；反之，若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间的推移而发散，则称系统为不稳定。由上述稳定性定义可以推知，线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的根都具有负实部，或者说闭环传递函数的极点均位于左半S开平面（不包括虚轴）［１］。
2.系统稳定性分析方法概述［２］
在经典控制理论中，常用时域分析法、复域分析法或频率分析法来分析控制系统的性能。不同的方法有不同的适用范围，下面对上述方法进行具体研究。
2.1时域分析法
在经典控制理论中，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行稳定性分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。在时域分析系统的稳定性，必须研究在输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统的输出响应趋于最终期值h（∞）。显然，一个稳定的系统，其时域响应曲线必须是衰减的。
2.2复域分析法
在复域中进行系统稳定性分析，尤其当系统参数K的变化时，选定合适的参数范围使系统达到所需要稳定要求。有两种方法：一是直接法，即对于较易得到系统闭环传递函数的场合，直接求出系统所有闭环极点，判断是否都具有负实部来确定系统的稳定性；二是根轨迹法，利用系统开闭环传递绘制根轨迹，由线性系统稳定的充分必要条件：闭环传递函数的极点均位于左半S开平面（不包括虚轴），确定使根轨迹在左半S开平面部分时参数范围为系统稳定的区域。
2.2.1直接法
若n≤2，可直接求取其特征方程根（即闭环极点）来判断系统稳定性，即使（1）有待定参数，也容易求出特征方程根的一般形式，但对于求取n>3的高阶系统特征方程式的根很麻烦，所以对高阶系统一般都采用间接法来判断稳定性，在时域中常采用间接方法是代数判据（也称劳斯判据）。
2.2.2根轨迹法
根轨迹法是一种图解方法，这种方法是根据系统开环零、极点的分布来研究系统中可变参数变化时，系统闭环特征根的变化规律，从而研究系统的稳定性。因此，根轨迹法在控制系统的分析和设计中是一种很实用的工程方法。它的最大特点是能够很清晰地了解到闭环特征根的分布，一目了然地得出系统稳定时参数的取值范围，并且不必求出系统的闭环传递函数，适用于较复杂系统。根轨迹法的关键环节就是能够正确地绘制出系统的根轨迹，简单根轨迹可用试探法绘制，复杂根轨迹则应利用其绘制基本规则进行绘制。
2.2.3频域分析法
频域分析法是应用频率特性研究系统的一种经典方法，以系统的频率特性为数学模型，用bode图或其他图表作为分析工具。当系统的开环传递函数表达式不易求出，就无法应用代数判据或根轨迹法判断闭环系统的稳定性，此时应用频率稳定判据就非常方便。其前提条件就是要正确地把系统的频率特性绘制成曲线，常用的频率特性曲线大致有三种：幅相曲线（极坐标图）；bode图，也称为对数频率特性曲线；对数幅相曲线（尼科尔斯图）。曲线的绘制可根据系统的开环频率特性的表达式通过取值描点法、叠加法绘制根轨迹草图，或利用MATLAB等计算机辅助工具来实现［４］，［７］。
3.MATLAB实现系统稳定性分析［６］，［８］
3.1时域分析法判断系统的稳定性
程序如下：
num=［50］；den=［13-10］；
［num1，den1］=cloop（num，den）；
impulse（num1，den1）title（‘impulse response’）
程序中num为开环传递函数分子系数矩阵，den为分母系数矩阵。
系统的稳定性，是指系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，当扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种能力［３］。从图1可以很直观地看出该系统是稳定的。
3.2直接判定法
根据稳定的充分必要条件判别线性系统的稳定性，最简单的方法是求出系统所有极点，并观察是否含有实部大于0的极点，如果有，系统则不稳定。然而实际的控制系统大部分都是高阶系统，这样就面临求解高次方程，求根工作量很大，但在MATLAB中只需分别调用roots（den）或eig（A）即可，这样就可以由得出的极点位置直接判定系统的稳定性。
创建M文档，命名为00.m，在M文档中输入如下程序：
G=tf（［1，7，24，24］，［1，10，35，50，24］）；
roots（G.den{1}）
运行结果：ans=
-4.0000
-3.0000
-2.0000
-1.0000
由此可以判定该系统是稳定系统。
3.3轨迹法判断系统的稳定性
MATLAB控制工具箱中提供了rlocus函数，来绘制系统的根轨迹，利用rlocfind函数，在图形窗口显示十字光标，可以求得特殊点对应的K值，进而分析系统稳定性情况。
已知一控制系统，H（s）=1，其开环传递函数为：
selected_point=0+1.4373i
k=6.1979
p=-3.0178
0.0089+1.4331i
0.0089-1.4331i
光标选定分离点，程序结果为：
selected_point=-0.4194-0.0076i
k=0.3850
p=-2.1547
-0.4226+0.0069i
-0.4226-0.0069i
上述数据显示了增益及对应的闭环极点位置。由此可得出如下结论：
（1）0
（3）0.4
（5）k>6时，系统的一对复根的实部为正，系统处于不稳定状态。
3.4Nyquist曲线判断系统的稳定性
已知一控制系统，H（s）=1，其开环传递函数为：
创建M文档，命名为01.m，在M文档中输入如下程序：
den1=［1，3，2，0］；%求系统开环传递函数
Gs1=tf（num1，den1）；
Gs2=tf（num2，den1）；
%求系统闭环传递函数
Hs=1；
Gsys1=feedback（Gs1，Hs）；
Gsys2=feedback（Gs2，Hs）；
t=［0：0.1：25］；
Figure（1）；
%绘制闭环系统阶跃响应曲线
Subplot（2，2，1）；step（Gsys1，t）；
Subplot（2，2，3）；step（Gsys2，t）；
%绘制开环系统的nyquist图
Subplot（2，2，2）；nyquist（Gs1）；grid on；
Subplot（2，2，4）；nyquist（Gs2）；grid on；
奈氏稳定判据的内容是：若开环传递函数在s平面右半平面上有P个极点，则当系统角频率X由-∞变到+∞时，如果开环频率特性的轨迹在复平面上逆时针围绕（-1，j0）点转P圈，则闭环系统是稳定的，否则是不稳定的。
当k=3时，从图3（a）中可以看出，Nyquist曲线不包围（-1，j0）点，同时开环系统所有极点都位于s平面左半平面，因此，根据奈氏判据判定以此构成的闭环系统是稳定的，这一点也可以从图2（a）中系统的单位阶跃响应得到证实，从图3（a）中可以看出系统大约23s后就渐渐趋于稳定。当k=9时，从图3（b）中可以看出，Nyquist曲线按逆时针包围（-1，j0）点2圈，但此时P=0，所以根据奈氏判据判定以此构成的闭环系统是不稳定的，图3（b）的系统阶跃响应曲线也证实了这一点，系统一直振荡不定。
4.应用MATLAB设计全状态反馈控制器实现系统的校正［３］，［７］，［９］
因为由初始条件和参考输入引起的系统过渡过程的特性直接取决于极点，所以极点配置设计的目的是使用反馈使得系统的过渡过程能够在一个可以接受的时间周期内衰减消失。状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相同的控制增益矩阵F，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的输入。如果一个系统是能控的，且其所有变量均可用于反馈，则可应用全状态反馈控制式u（t）=-Fx（t）将闭环系统的极点配置在s平面的任意位置。
例：求控制增益矩阵F，使例1给出的系统在受u（t）=-Fx（t）控制时，原系统一对不稳定极点1.0000+3.0000i，10000-3.0000i，被重新配置在-1.0000和-1.5000位置，其余极点不变。绘出加入全状态反馈控制器后系统的零点极点图（图4），判定系统稳定性。通过仿真脉冲响应来验证稳定性，并和原系统响应作比较。
解：（1）判断原系统是否能控。根据矩阵A和B，利用MATLAB可以判断例1给出的系统是能控的。
（2）求控制增益矩阵F。得F=［18.00004.6250-0.4690-1.0625］。
（3）用MATLAB绘制出校正后系统的零点、极点图、校正前后系统脉冲响应对比图（图5）。
由于将原系统不稳定的极点进行了重新配置，原系统得到了校正，由不稳定系统变成了稳定系统。
5.结论
控制系统的稳定性对于建造系统或设计系统有着重要意义，也是对系统进行综合的主要依据，分析系统的稳定性，便成为研究自动控制理论不可缺少的内容。本文总结了系统稳定性分析的方法。通过MATLAB的工具箱可以很容易地绘制处系统的根轨迹、时域响应、频域响应，使得分析系统的稳定性变得快捷方便。最后应用MATLAB设计控制器，实现了对系统性能的改善。
参考文献：
［1］胡寿松.自动控制原理［M］.北京：科学出版社.
［2］胡湘娟，杨毅.线性自动控制系统稳定性分析［J］.衡阳师范学院学报.2006，27（3）：45-48.
［3］刘豹.现代控制理论［M］.北京：机械工业出版社，1989.
［4］楼顺天，于卫.基于MATLAB的系统分析与设计——控制系统［M］.西安：西安电子科技大学出版社，1999.
［5］任金霞，黄运强.基于MATLAB的自动控制系统稳定性分析［J］.江西有色金属，2002，9（3）：43-45.
［6］王双红.基于MATLAB的控制系统稳定性分析［J］.中原工学院学报，2007，18（5）：53-55.
［7］薛定宇.反馈控制系统设计与分析——MATLAB语言应用［M］.北京：清华大学出版社，2000：206-209.
［8］燕碧娟，王春花，雄小燕.控制系统稳定性分析及MATLAB实现［J］.机械工程与自动化，2006（2）：111-113.
［9］杨丽，肖冬荣.控制系统稳定性判据与MATLAB仿真［J］.武汉理工大学学报，2007，31（2）：285-288.