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[摘 要]本文以耦合振动理论为基础研究大尺寸超声套料工具的三维振动，并建立决定工具谐振频率与其材料及尺寸之间关系的频率方程。着重研究了大尺寸超声套料工具径向开槽对加工工具振动的影响。从理论上得出了决定工具开槽位置的数学表达式，并用ANSYS分析软件对理论结果进行验证。实验表明，大尺寸超声加工工具的设计频率与分析值基本符合。超声工具的径向开槽可大大抑制工具的径向振动，提高加工工具的工作效率。
[关键词]耦合振动；谐振频率；径向开槽
中图分类号：E1 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2019）02-0300-02
1.前言
超声加工技术是近几十年来得到迅速发展的一种复合加工技术，已广泛应用于车削、铣削、磨削、钻削等多种加工工艺中，并取得了良好的加工效果。此种加工技术金刚石的优良切削性能与工具的超声频振动有效的结合。具有加工生效率高，工具磨损小，加工精度高，轴向切削力小，应用广泛等特点[1]。
现在的超声加工钻孔工具主要为硬脆材料微小零件，而对于大尺寸的超声套料工具则应用较少，在实际工作中，要求加工工具的谐振频率必须等于换能器与变幅杆系统的共振频率，否则将会出现换能器频率下降 ，加工工具振动模式发生变化等许多变化[2]，因此，必须从理论上找出加工工具谐振频率 ，对于径向尺寸远小于纵向尺寸的套料工具，径向振动对纵向振动的影响不大，可以忽略不计。此时用一维振动理论便可以得出与实验相符合的结果，但对于大尺寸套料工具，由于其径向尺寸接近或大于振动系统
工作频率所对应的纵波波长，工具将产生严重的径向振动。并且，径向振动与纵向振动相互影响，此时，一维振动理论的计算结果与实际将出现很大的误差[3]。本文根据弹性力学原理建立了大尺寸套料工具的频率方程，并通过套料工具径向开槽的方式对套料工具的径向振动进行抑制，利用有限元分析软件ANSYS对结果进行验证与分析。
2.大尺寸套料工具的频率方程
套料工具的为圆柱体，用直角坐标系表示 ，三个方向的尺寸分别为 ， 和 ，设与z轴垂直的上下底面分别为声波的激发与辐射面，而声波能量沿着工具的轴向传播，即z轴方向传播 ，而 x和y两个方向则属于工具的横向振动方向，根据弹性力学原理，振动体内任一点的轴向应力 、 、 和轴向应变 、 、 的关系为
式中，E和ν为材料的杨氏模量和泊松系数，设定振动体各轴向之间的应力比分别为 、 、 ，定义为振动体轴向之间的耦合系数。令 、 、 ，称为振动体的表观弹性系数，由（1）～（3）式可得，利用弹性体的表观弹性系数概念，根据表观弹性法原理，可把大尺寸振动工具的振动看成是沿振动工具轴向的三个互相垂直的一维纵振动的耦合振动，而沿各轴的一维纵振动可以看成是弹性系数分别为 、 、 的细长棒的纵向振动，在空载的情况下，即工具的边界自由情况下，可得大尺寸振动工具的频率方程式（8）～（10）三式分别为工具三个轴向的频率方程，其中 ， ， ， ， ， ，分别称为振动工具三维耦合振动的轴向波数及声速，ρ为材料密度，f为谐振频率，正整数i、j、m分别对应振动体不同的振动模式。把上述各量代入（8）～（10）三式可得
式中 ， ， c为细长棒中一维纵振动的传播速度 ，由上述（8）～（10）三式结合（4）式消去耦合系数 、 、 可得决定大尺寸套料工具谐振频率的频率方程式
给定工具的材料及尺寸，就可得出工具耦合振动的谐振频率 ，由于上述频率方程考虑了工具的径向振动的影响，因此，它得出的结果不同于一维理论的数值，由（14）式可以看出，大尺寸套料工具的频率方程为一关于A的三次方程，由此可解得三个频率 ，结合分析可以看出，这三个谐振频率分别对应工具的轴向及横向共振频率 。工具的轴向共振频率也就是其工作频率，它必须与换能器振动系统的共振频率保持一致，否则将导致振动系统的轴向工作效率下降，甚至无效。对应（14）式的解，工具的振动可分为以下两种状态：
（1）工具的径向尺寸远小于轴向尺寸，一般在2倍以上，径向谐振频率远高于其轴向共振频率，因此，径向振动对轴向振动影响不大，工具的振动可看成是沿Z方向的细长棒的一维纵振动，此时，利用一维理论计算及设计工具即可满足要求。
（2）在工具的径向尺寸与轴向尺寸相当，此时，工具的轴向共振频率与共径向共振频率比较接近，在这种情况下，由于泊松效应的影响，工具在纵向振动的同时，在其径向也产生较强的振动。径向振动与轴向之间的相互耦合使工作的轴向振动状态发生变化，此时，如果采用一维理论计算与设计工具，理论与实验出现的误差较大，因此，必须利用上述耦合振动理论对工具的三维耦合振动进行研究。并且为了保证套料工具的工作效率及共辐射面上的位移分布的均匀性，必须对其径向的振动进行抑制。
3.大尺寸套料工具中径向开槽对振动的抑制
从以上分析可以看出，大尺寸套料工具存在三个方向的谐振频率，其中只有一个是实际需要的，为了抑制径向振动，可采用在大尺寸套料工具径向开槽的方法。
3.1 开槽位置的确定
由于换能器的激励方向是沿套料工具的Z轴，因此，开槽也必须能够抑制工具的径向振动，最简单的方法是平行于Z轴，在大尺寸套料工具径向上开一些小长槽，槽的位置必须位于工具的振动模式的节點处，因为此处应力集中，易产生径向振动，且对轴向振动影响最小，其振动节点的位置可由下式决定，
式中 为对应的波长，另外，为了减少开槽对工具纵向振动的影响 ，槽的位置也必须位于工具轴向振动的节点处，并且对称于工具的轴向振动节面。
3.2开槽宽度的确定
开槽的位置确定后，还必须合理的确定开槽的宽度，若开槽宽度大小，则起不到有效的抑制作用，而宽度太大时，由于工具质量的改变较大，易发生使工具的轴向振动状态发生改变，从而影响工具的轴向频率。经过试验发现，开槽宽度约为 ～ 时，效果最为理想。由此可以看出，为了抑制不同振动模式下的径向振动，需在工具上开设不同宽度的槽子。 3.3 开槽长度的确定
开槽长度对工具的振动同样有较大的影响，当开槽长度太短时，由于工具的径向分布于工具的整个圆面，因此不能有效地减小径向振动，同时对于工具振动辐射面的位移分布的改善也不理想。但是，当开槽长度过大时，由于开槽离工具辐射面的太近，易造成工具的声波辐射面上位移分布不均匀，影响工具辐射效率及产品质量，因此，综合上述情况，结合实际生产，最有效且不明显影响工具振动的开槽长度为1/4～1/3λ，其中λ为工具轴向振动的波长。
4.实验与结论
为验证大尺寸套料工料的设计，本方采用一些大尺寸超声套料工具，其材料为40cr，声速为5200m/s，泊松系数υ=0.34，测量工具的开槽前轴向谐振频率 ，开槽前轴向位移 ，开槽前径向位移 ，开槽前轴向谐振频率 ，开槽前轴向位移 ，开槽前径向位移 ，开槽后工具的几何尺寸及测试数据见下表，
5.结论
本文导出的大尺寸超声套料工具的设计公式考虑了工具的径向振动，与一维理论相比，频率的设计更接近于测量值，另外，与数值计算方法相比，本法计算简单，为了有效的抑制工具的径向振动，必须称利用频率方程计算出工具的径向及轴向谐振频率 ，对最接近工具軸向振动基频的径向振动进行开槽抑制，只有这样，对能有效抑制大尺寸工具的横向振动，并且对改善工具的声波辐射面的位移分布，使其分布更均匀，从而提高加工效率。
参考文献
[1].E.Mori，K.Itoh and A. Imamura. Analysis of a short column vibrator by apparent elasticity method and its application. Ultarasonics International 1977 Conference Proceedings， 262.
[2].林书玉，张福成.超声塑料焊接工具横向振动及开槽的研究，声学技术，1992.
[3].K.Adachi and S.Ueha.Modal vibration control of large ultrasonic tools with the use of wave-trapped horns.[J].Acoust.Soc.Am，1990；87（1）.
[关键词]耦合振动；谐振频率；径向开槽
中图分类号：E1 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2019）02-0300-02
1.前言
超声加工技术是近几十年来得到迅速发展的一种复合加工技术，已广泛应用于车削、铣削、磨削、钻削等多种加工工艺中，并取得了良好的加工效果。此种加工技术金刚石的优良切削性能与工具的超声频振动有效的结合。具有加工生效率高，工具磨损小，加工精度高，轴向切削力小，应用广泛等特点[1]。
现在的超声加工钻孔工具主要为硬脆材料微小零件，而对于大尺寸的超声套料工具则应用较少，在实际工作中，要求加工工具的谐振频率必须等于换能器与变幅杆系统的共振频率，否则将会出现换能器频率下降 ，加工工具振动模式发生变化等许多变化[2]，因此，必须从理论上找出加工工具谐振频率 ，对于径向尺寸远小于纵向尺寸的套料工具，径向振动对纵向振动的影响不大，可以忽略不计。此时用一维振动理论便可以得出与实验相符合的结果，但对于大尺寸套料工具，由于其径向尺寸接近或大于振动系统
工作频率所对应的纵波波长，工具将产生严重的径向振动。并且，径向振动与纵向振动相互影响，此时，一维振动理论的计算结果与实际将出现很大的误差[3]。本文根据弹性力学原理建立了大尺寸套料工具的频率方程，并通过套料工具径向开槽的方式对套料工具的径向振动进行抑制，利用有限元分析软件ANSYS对结果进行验证与分析。
2.大尺寸套料工具的频率方程
套料工具的为圆柱体，用直角坐标系表示 ，三个方向的尺寸分别为 ， 和 ，设与z轴垂直的上下底面分别为声波的激发与辐射面，而声波能量沿着工具的轴向传播，即z轴方向传播 ，而 x和y两个方向则属于工具的横向振动方向，根据弹性力学原理，振动体内任一点的轴向应力 、 、 和轴向应变 、 、 的关系为
式中，E和ν为材料的杨氏模量和泊松系数，设定振动体各轴向之间的应力比分别为 、 、 ，定义为振动体轴向之间的耦合系数。令 、 、 ，称为振动体的表观弹性系数，由（1）～（3）式可得，利用弹性体的表观弹性系数概念，根据表观弹性法原理，可把大尺寸振动工具的振动看成是沿振动工具轴向的三个互相垂直的一维纵振动的耦合振动，而沿各轴的一维纵振动可以看成是弹性系数分别为 、 、 的细长棒的纵向振动，在空载的情况下，即工具的边界自由情况下，可得大尺寸振动工具的频率方程式（8）～（10）三式分别为工具三个轴向的频率方程，其中 ， ， ， ， ， ，分别称为振动工具三维耦合振动的轴向波数及声速，ρ为材料密度，f为谐振频率，正整数i、j、m分别对应振动体不同的振动模式。把上述各量代入（8）～（10）三式可得
式中 ， ， c为细长棒中一维纵振动的传播速度 ，由上述（8）～（10）三式结合（4）式消去耦合系数 、 、 可得决定大尺寸套料工具谐振频率的频率方程式
给定工具的材料及尺寸，就可得出工具耦合振动的谐振频率 ，由于上述频率方程考虑了工具的径向振动的影响，因此，它得出的结果不同于一维理论的数值，由（14）式可以看出，大尺寸套料工具的频率方程为一关于A的三次方程，由此可解得三个频率 ，结合分析可以看出，这三个谐振频率分别对应工具的轴向及横向共振频率 。工具的轴向共振频率也就是其工作频率，它必须与换能器振动系统的共振频率保持一致，否则将导致振动系统的轴向工作效率下降，甚至无效。对应（14）式的解，工具的振动可分为以下两种状态：
（1）工具的径向尺寸远小于轴向尺寸，一般在2倍以上，径向谐振频率远高于其轴向共振频率，因此，径向振动对轴向振动影响不大，工具的振动可看成是沿Z方向的细长棒的一维纵振动，此时，利用一维理论计算及设计工具即可满足要求。
（2）在工具的径向尺寸与轴向尺寸相当，此时，工具的轴向共振频率与共径向共振频率比较接近，在这种情况下，由于泊松效应的影响，工具在纵向振动的同时，在其径向也产生较强的振动。径向振动与轴向之间的相互耦合使工作的轴向振动状态发生变化，此时，如果采用一维理论计算与设计工具，理论与实验出现的误差较大，因此，必须利用上述耦合振动理论对工具的三维耦合振动进行研究。并且为了保证套料工具的工作效率及共辐射面上的位移分布的均匀性，必须对其径向的振动进行抑制。
3.大尺寸套料工具中径向开槽对振动的抑制
从以上分析可以看出，大尺寸套料工具存在三个方向的谐振频率，其中只有一个是实际需要的，为了抑制径向振动，可采用在大尺寸套料工具径向开槽的方法。
3.1 开槽位置的确定
由于换能器的激励方向是沿套料工具的Z轴，因此，开槽也必须能够抑制工具的径向振动，最简单的方法是平行于Z轴，在大尺寸套料工具径向上开一些小长槽，槽的位置必须位于工具的振动模式的节點处，因为此处应力集中，易产生径向振动，且对轴向振动影响最小，其振动节点的位置可由下式决定，
式中 为对应的波长，另外，为了减少开槽对工具纵向振动的影响 ，槽的位置也必须位于工具轴向振动的节点处，并且对称于工具的轴向振动节面。
3.2开槽宽度的确定
开槽的位置确定后，还必须合理的确定开槽的宽度，若开槽宽度大小，则起不到有效的抑制作用，而宽度太大时，由于工具质量的改变较大，易发生使工具的轴向振动状态发生改变，从而影响工具的轴向频率。经过试验发现，开槽宽度约为 ～ 时，效果最为理想。由此可以看出，为了抑制不同振动模式下的径向振动，需在工具上开设不同宽度的槽子。 3.3 开槽长度的确定
开槽长度对工具的振动同样有较大的影响，当开槽长度太短时，由于工具的径向分布于工具的整个圆面，因此不能有效地减小径向振动，同时对于工具振动辐射面的位移分布的改善也不理想。但是，当开槽长度过大时，由于开槽离工具辐射面的太近，易造成工具的声波辐射面上位移分布不均匀，影响工具辐射效率及产品质量，因此，综合上述情况，结合实际生产，最有效且不明显影响工具振动的开槽长度为1/4～1/3λ，其中λ为工具轴向振动的波长。
4.实验与结论
为验证大尺寸套料工料的设计，本方采用一些大尺寸超声套料工具，其材料为40cr，声速为5200m/s，泊松系数υ=0.34，测量工具的开槽前轴向谐振频率 ，开槽前轴向位移 ，开槽前径向位移 ，开槽前轴向谐振频率 ，开槽前轴向位移 ，开槽前径向位移 ，开槽后工具的几何尺寸及测试数据见下表，
5.结论
本文导出的大尺寸超声套料工具的设计公式考虑了工具的径向振动，与一维理论相比，频率的设计更接近于测量值，另外，与数值计算方法相比，本法计算简单，为了有效的抑制工具的径向振动，必须称利用频率方程计算出工具的径向及轴向谐振频率 ，对最接近工具軸向振动基频的径向振动进行开槽抑制，只有这样，对能有效抑制大尺寸工具的横向振动，并且对改善工具的声波辐射面的位移分布，使其分布更均匀，从而提高加工效率。
参考文献
[1].E.Mori，K.Itoh and A. Imamura. Analysis of a short column vibrator by apparent elasticity method and its application. Ultarasonics International 1977 Conference Proceedings， 262.
[2].林书玉，张福成.超声塑料焊接工具横向振动及开槽的研究，声学技术，1992.
[3].K.Adachi and S.Ueha.Modal vibration control of large ultrasonic tools with the use of wave-trapped horns.[J].Acoust.Soc.Am，1990；87（1）.