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摘 要：类比作为一种推理形式，在数学的发展中有着重要作用。恰当地运用类比可以有效地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。而将类比运用到课堂教学中去，能有效地突破知识难点，顺利帮助学生完成知识的建构。既构建了高中数学“类比推理”资源库，又结合案例对如何使用该资源库作了说明。
关键词：类比推理 类比思想 建构 课堂教学
一、类比推理及其特性
1.类比推理: 类比作为一种推理方法，它既不同于归纳推理也不同于演绎推理。应用类比推理可以在两个不同知识领域之间实行知识的过渡，因此，人们常常把类比方法誉为理智的桥梁，是信息转移的桥梁。经常有这样的情况：长时间沉思于某一问题而未得解决，然而在某一时刻，在其沉思圈子之外有一个信息倒起了很大的启发作用，触发信息的过渡，使问题得以解决。这往往得益于类比。正如康德所说：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比，这个方法往往能指引我们前进。”所谓类比是根据两个对象之间的相似，把信息从一个对象转移给另一个对象。类比的实质就是信息从模型向原型的转移。
2.类比的特征：两个对象的某些属性是相同的，或者表面上毫无共同之处，只是在某种观点上或某一抽象层次上是相似的，它的结论不是简单的模仿、复制，而是创造性设想。因此，我们在教学过程中，要有意识地对学生进行直觉思维能力的训练，着重训练学生的类比归纳猜想能力。类比推理是根据个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，是一种非逻辑推理。具有创新性, 主观性,等特征。
二、类比推理的价值和意义
1.类比可激发学生学习兴趣
“兴趣”是最好的老师。浓厚的兴趣和强烈的求知欲望是学生的内驱力，创设数学教学情境是激发学生兴趣的有效方法。
在实际教学中，应多介绍一些大科学家的类比实例，介绍类比在科学发明发现中的重大作用，形成良好的氛围。如计算机的诞生、飞机制造的历史、伽利略的抛物实验、杨振宁的“场论”等等一系列重大发明发现。继而引导学生认识到，在平时解题过程中也有一系列的类比，这样激励学生大胆类比，猜想发现，最后论证。通过类比可以探索出很多新的知识、方法，寻求出与众不同的解题思路，探索数学规律。由于类比是从特殊到特殊的一种猜测、推理，从一个已知的领域去探索另一个领域，而这正符合学生的好奇、去了解陌生世界的心理。因势利导，这样不仅激发了学生类比的欲望，而且提高了他们的类比兴趣，养成良好的类比习惯。让学生去主动地探索、研究新的知识。
2.通过类比可得新知
数学教材中，很多新的知识在很大程度上是在先前的知识上发展而来的，在方法、思想等方面都有着一定的联系。一旦学习的主体发现了这些联系之间存在的相似性和可比较性，那么就可以利用原有的认知结构有效地学习新知识，同时也可以将先后的知识组成一个完整的体系。
3.通过类比提高学生数学思维能力
高中数学课程提出应注重提高学生的数学思维能力，这也是数学教育的基本目标之一。当学生遇到一个陌生的问题时，有了类比的意识，他就会联想一个在形式或方法上较为熟悉的问题来进行类比。发现其内在联系，架起桥梁，沟通知识与知识、方法与方法之间的关联，激活学生的思维，从而去提高学生的思维能力。
4.类比是数学发现与创新的重要手段
类比就是一种大胆的合理的推理，它是创新的一种手段。因为有了类比，在研究一个问题时，学生将跳出一定的框架，不受现有知识的约束，根据其中的思想方法、表现形式等去利用其他的知识、方法来大胆提出设想、来找到具有创新性的解题方法。
三、类比推理的手段
1.通过类比“旧知”，构建知识体系
按照《课标》的要求教材是按照知识发展的顺序来安排。知识和知识之间螺旋上升，构成了完整的体系，知识之间也存在着思想方法等联系，教学就是要利用这种联系让学生利用旧知来探索新知。
在讲授等比数列时，先回忆等差数列中的相关知识：
定义：an＋1－an=d（d为常数），
通项公式：an=a1＋（n－1）d，
性质：an=am＋（ｎ－ｍ）ｄ；
若ｍ＋ｎ＝ｐ＋ｑ，则am＋an＝ap＋aq。
通过小组合作，回忆旧知的证明推导方法，来类比得到新知，得到结论，给出证明。这种类比的方法可以广泛地运用，
譬如，平面向量到空间向量的类比，平面解析几何到立体几何的类比等等。当然不仅是知识体系的类比，也可以包括一些常见的结论，如平面向量中“若=λ+μ且λ＋μ＝１，则P、A、B三点共线”，类比空间向量“若=x+y+z且x＋y＋z＝１，则P、A、B、C四点共面”。
2.通过类比“方法”，领会其中思想
教师教学生，不仅是简单地讲解知识，不能仅满足于让学生模仿性地解题。更要让学生学会一种思考的方法，分析问题的能力、迁移解题的能力。
定积分中求曲边梯形的面积,步骤为“无限分割——以直代曲——求和——取极限”,核心为“以直代曲”。在同学们探讨得出方法，理解思想方法之后，我给出思考题：“证明半球的体积为πR3”。同学们通过讨论想出了分割的多种方法，①底面与圆面平行的若干圆柱；②底面与圆面垂直的若干小半圆柱；③圆锥。在讨论中不断克服困难，以高昂的斗志深化、巩固了思想方法。
3.通过类比“形式”，发展创新思维
在解题的过程中应要求学生不拘一格，以发散的思维来观察分析问题形式。问题情境发生了根本性的变化，两个对象在表面上毫无共同之处，但通过观察、创造条件，使两者存在共同点，这种类比不是一种简单的模仿，而是一种创造性。
譬如：（1）已知函数f（x）=ax＋b，3a2＋4b2=12，求证：当x∈[-1，1]时，|ax＋b|≤。
分析：由3a2＋4b2=12的形式联想类比到椭圆的标准形式＋=1，故设a=2cosθ，b=sinθ，
有|ax＋b|=|2xcosθ＋sinθ|≤≤，得证。
（2）解方程2x+xy=y2y+yz=z2z+zx=x
分析：观察每个式子中都有一未知数为一次项，整理得y=z=x=，观察形式类比联想到正切的二倍角公式，
设x=tanθ，θ∈（-，），则y=tan2θ，z=tan4θ，x=tan8θ。
故有tanθ=tan8θ，
所以8θ=θ＋kπ，θ=∈（-，），
即x=tan，y=tan，z= tan，k=0，±1，±2，±3。
四、培养学生类比意识的教学途径
1.教师自身要有完善的知识体系和深厚的专业基本功
要想能顺利地引导、组织学生去运用类比的思想去发现新知和创新解题，教师作为组织者一定要具有完善的知识体系和深厚的专业基本功，否则怎能发现不同板块知识之间的内在联系，怎能有效组织好类比教学，展示数学的内在和谐美，展示数学知识的统一性。因此在平时的钻研中教师必须站在一定的高度去把握知识的结构、去研究透知识表象背后的思想方法，不能思维定势地去思考问题，对问题能有自己独到的见解，通过自身的努力夯实专业基本功。
2.经常创设类比问题情境
要想培养学生的类比能力，教学中的类比问题情境显得尤为重要。数学课堂教学中，教师要恰如其分地创设类比联想的问题情境，暴露数学的思维过程，把每一个环节展现给学生，让学生观察和类比。现在的数学教材中，每章都有引人入胜的章头图，同时在很多小节中也有生活的实例，学生可以从实际问题中类比得到数学知识；同时，新教材在编排顺序上按知识的发展顺序进行，也利于教师在组织教学时进行前后的类比教学。
3.实行变式教学
应该说变式教学是中国教学中成功的环节，通过变式的教学让学生分析、提炼出不同表象后面相同本质的东西，通过长时间的潜移默化的影响培养学生分析问题的意识和能力，从而为进一步的主动类比提供可能。只有这样学生才会在遇到新的问题时站在一定的高度去认识、把握，才能有新的想法。
4.教学过程中注重知识的生成
通过教学发现，学生已有的知识水平对类比能否顺利实施开展起决定性作用，只有有了相关知识作为保障，才有“跳一跳摸得着”的可能。所以在平时的教学中要更多在学生的主体活动中生成知识，教师作为一个组织者和引导者。让学生在自主的活动中感悟到其中的思想方法和内在联系，只有这样学生才能在遇到新问题时浮现出已有的思想方法和不同知识形式来进行类比。否则如果教师只是一味的灌输,那么只是带来僵硬的思维方式。
5.开展小组合作交流
考虑到中学生的思维的不成熟性、不完善性，类比教学有时对学生的要求可能相对较高，凭一己之力可能难以在短时间内发现内在联系去达成目标。所以在课堂教学中可适时采用小组合作探究式，俗话说“三个臭皮匠顶上一个诸葛亮”。通过合理搭配小组的构成，营造轻松的研讨氛围，让平时思维不活跃的学生有勇于表现自己、展示自己的机会，通过小组的合作去提出问题、解决问题、构建知识。在通过展示成果的方式让学生的主体活动充斥着课堂，去批判地接受新知的生成。
五、类比教学中的注意点
1.知识、方法的可类比性
教师在组织学生以类比的方式来学习探究新知的时候一定要注意所给材料和要探究知识之间一定要存在着形式、方法或思想等方面的联系，不能让学生的类比活动毫无头绪，变成无方向的一种所谓的探究，而不是真正意义上的类比。譬如学生可以用类比的思想利用等差数列的相关性质来推导等比数列的相关性质，但你不能要求学生利用等差数列的求和方法来类比探究等比数列的求和方法。
2.类比中的科学性
类比虽然是一种大胆的猜想，但类比不能仅满足于猜想，停留在猜想到的东西，还要进行科学性的验证。笔者在一次复习教学中安排了以下看似相关的两道题，
（1）在椭圆x2＋8y2=8上找一点P，使点P到直线l：x－y＋4=0的距离最小。
分析：把点与直线的距离转移为两平行线之间的距离。
设与l平行且与椭圆相切的直线为y=x＋m，联立得9x2＋16mx＋8m2－8=0，
通过△=0结合图象得m=3，从而得到最短距离和切点坐标（即为P点）。
（2）求椭圆x2＋4y2= 4上的点到点（0，5）的最大距离。
学生用类比的思想，想到以（0，5）为圆心作圆，设方程为x2＋（y－5）2=r2，利用圆和椭圆的相切联立求出r2=，即最大距离为__________。
可以看出学生类比其中相切的思想方法，求出了最大距离，感觉一气呵成。但细细一想，若求最短距离，利用同样的方法仍然只能求出r2=，出现了问题。
分析原因，由于在圆锥曲线中x和y有了范围，所以相切只要求联立后的方程只有一解，一个符合范围的解，而不一定△=0，所以此处的类比由于范围的原因而不具有可类比性，出现了问题。
六、高中数学教学渗透“类比推理”的现状分析
大部分教师缺乏研究意识，不能充分挖掘类比素材；不能将类比的思想渗透在教学中。
七、高中数学中“类比推理”资源库构建及应用
1.类比推理资源库的构建
从2004年秋季开始实施新课程，本课题开展研究，按“依据课标，紧扣教材；立足基础，适当拓展；纵横联系，突出主干”的原则，构建了以高中数学的主干内容为线索的“类比推理”资源库,其框架如下：
第一部分：实数与集合的类比
第二部分：数与形的类比
第三部分：函数中的类比
第四部分：立体几何与平面几何的类比
第五部分：高维与低维的类比
第六部分：等比数列与等差数列的类比
第七部分：不相等与相等的类比
第八部分：不等式中的类比
第九部分：多元与一元的类比
第十部分：椭圆与圆的类比
第十一部分：椭圆与双曲线的类比
第十二部分：无限与有限的类比
第十三部分：离散与连续的类比
第十三部分：解题方法的类比
第十四部分：高考中的类比推理
第十五部分：高中数学类比推理训练题精编
第十六部分：高中学数学类比思想应用的教学案例
2.“类比推理”资源在数学教学中的应用
类比作为一种思想，同时也是一种方法，类比可以开拓学生的视野，提高创新思维，通过类比的课堂教学也把课堂交给了学生。在数学学习中乃至处理生活中的实际问题所起的作用是不容忽视的。所以，教师在日常的教学中要重视类比思想的渗透和培养。
①在概念的形成过程中培养类比推理能力
数学概念的形成过程，经历了数学家漫长的创造过程，浓缩地将数学家的发现过程暴露给学生，则无疑是教学生学会“数学地思考”，是培养合情推理能力的重要途径。
②在定理、公式发现过程中培养类比推理能力
数学公式和定理的发现过程，是合情推理的经典之作，自然是进行合情推理能力培养的典型材料。
③在解题思路的探索中培养类比推理能力
从条件要达到结论的彼岸,是观察、归纳、类比、猜想、联想、直觉、灵感等合情推理手段的综合运用的过程。
④在复习课中的应用
通过类比，沟通知识、方法间的联系，形成所学内容的整体结构 通过类比，加强横向联系，推广应用。
⑤在研究性学习和课外活动中的应用
类比推理的素材用于研究性学习活动或课外活动中，引导学生提出新问题，解决新问题。
3.克服类比推理的负迁移效应
类比认知是指由已知事物在某些方面相似，去推论这些事物在其他方面也同样相似的一种认知模式，它是思考、学习新知识的一种方式，类比的思维方式是特殊——特殊，是一个猜测的方法。类比是将一类事物所得的研究方法和规律应用于另一类事物，是创造性的联想。数学的某些知识存在相似性，一般表现在数学符号、公式结构和研究方法等方面，数学中采用类比方法，可以有效激活原有知识结构的生长点，顺利搭建新旧知识的思维联系，降低感知的难度，同时激发想象的欲望，唤醒学生的创新意识。由于类比具有偶然性，得到的结论不一定是科学的，往往需要论证，若类比使用不当，可能产生伪科学认知，人为增添知识的矛盾，若教学语言不严谨，还增加后续的教学难度。
迁移认知是学习中的一条重要规律。它是指用已有的知识和技能学习新知识，新技能。已有的认知在学习过程中产生积极影响属于正迁移，对学习新知识起促进作用。例如，学会了骑单车，有助于学习驾驶摩托车。产生消极影响称为负迁移，例如，学会了骑单车，会妨碍学习骑三轮车。一切有意义的学习都是在原有的基础上进行的。即一切有意义的学习必然涉及类比认知和迁移认知，高中数学学习尤其如此。
在新课程改革下，要注意初高中数学新旧知识的衔接，这就要求高中数学教师积极进行引导，克服一些负面影响，从而顺利完成教学任务。那么高中学生在学习数学时的类比认知和迁移认知有哪些表现呢？
第一种表现：学生学习高中数学时，由于缺乏学法指导，加上新教材内容多难度大。部分学生不重视数学概念的理解，在运用类比认知时，错把类比当作逻辑推理方法，对概念之间只有形式的比较，抓不住概念的本质特征，主要表现在：
①没有抓住类比特征。例如实数与集合类比，特征是不等号与包含关系符号类比。
②没有弄清概念内涵。例如数列与函数类比，实际上数列是特殊的函数。
③有些类比对象选择不科学。
第二种表现：知识与知识、概念与概念、技巧与技巧之间，有时彼此类似或有许多共同因素，促成对认知的正迁移，学习轻松自如，事半功倍；有时不同因素难以区分，相互干扰，则会发生负迁移，学生往往分不清主次。主要表现在：
①用错相似形式的数学公式。例如实数运算性质与对数性质。
②错误理解公式。例如向量的数量积，椭圆与双曲线中a、b、c的几何意义。
③错误地推广知识，例如不等式的性质等。
数学教学的目的是使学生运用数学的思想方法解决问题，培养他们的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，为学生的终身服务。这涉及到知识的掌握与运用。但是知识是静止的，方法的运用是动态的，因此，在掌握知识及运用方法上要充分应用类比认知和迁移认知。在高中数学教学中应注意以下几点：
第一，既教猜想又教证明，欧拉从有限到无限的类比使他获得了极大的成功，然而这并不意味着类比总是可靠的。类比既具有引导我们走向成功的一面，也有能把人们引入歧途的一面。因此，我们必须以科学的态度对待类比，既要大胆地使用类比，又要严格证明。在教学中，教师要将“猜想”与“证明”同时进行，即类比的结论，若判断成立，则要给予证明；若判断是错误的,需举反例。
第二，既重类比规律又重特殊性，类比有规律可循，但又不是一成不变的;类比不是万能的，但类比又是十分重要．在类比时,既重类比规律又重其特殊性。
第三，在数学概念的教学中，应恰当地运用类比认知法，不能混淆比喻与类比，要对学生在类比过程中产生的想法，能确定正误及时评价，不能确定的给予方法上的指导。
教材中安排得最多的是类比内容，在讲授新知识的同时，经常联系旧知识，创造条件进行类比，扩展学生的思路，养成学生进行类比的习惯。平面几何的基本元素是点和直线，而立体几何的基本元素是点、直线和平面，如果我们建立如下对应关系：平面内的点对应到空间中的点或直线，平面内的直线对应到空间中的直线或平面，那么把平面几何某些定理中的点换作直线，或把线换作平面，就可以帮助学生“发现”一类相似的立体几何定理。
第四，教师在备课时应充分了解有部分知识学生可能发生负迁移，讲课时应使用各种方法对该知识重点讲解，把它讲清，讲透，把学生的负迁移消灭在萌芽状态。
第五，当有些知识技能发生正迁移时，我们应该运用正迁移的规律培养学生的能力，古人说的举一反三、触类旁通就是指学习中的这种正迁移。
第六，在数学概念的切入点和数学思想方法的应用中，应注意思维的发散性、严密性和逻辑性。要精选例题，精讲过程，精练习题，培养学生多思的解题习惯和灵活的解题能力，切忌“题海战术”，因为大量的做题，使学生建立了数学问题与知识之间机械式的条件反射，形成负迁移，学生遇到问题的第一反应是相应的内容，而不做具体分析，这不利于数学思想方法的理解和应用。“题海战术”还使学生过分强调解题经验，限制了学生的思维，不利于创新人才的培养，更无助于知识与能力的提高。
因此，在教学中，要防止学生根据形式类似，进行类比造成的错误．多了解学生的具体情况，因材施教是法宝，重视类比和迁移对学生的影响，使每一部分的教学顺利地承上启下，使学生正确、牢固、灵活地掌握知识，掌握数学的思想方法，有利于全面提高学生的素质。
八、实验的效果分析
学生数学素养增强，整体成绩提高;发现问题解决问题的能力增强;教师的专业水平得到提升。
“数学学习的过程”是一种“具体化”和“同化”的过程。教师应将自己的“再创造”为学生展现出“活生生”的思维活动，从而帮助每一个学生最终相对独立地去完成数学思维的建构活动。一个好的数学教师应该通过自己的教学使学生受到强烈的感染，从而激发他们对数学的兴趣和热爱，增强他们的数学意识，使学生体会到数学活动的内在乐趣。我们更需要培养学生对数学美的鉴赏和追求，因为对于美的鉴赏正是调动学生学习积极性的有效手段。只有我们意识到类比的教育教学价值，通过类比的教学方法去展示数学的知识，才能让学生拓展视野，以极大的热情去研究、学习数学，认识到数学世界的和谐统一，才能真正实现学生由“学会”到“会学”的转化。巨大的科学发明需要有较强的类比能力，而较强的类比能力正基于猜想与证明的有机结合。对类比的各种状态要给予严格论证，还要捕捉各种类比念头，抓住两系统间的相似之处，利用类比这座雄伟的桥梁，将信息不断地过渡，并不断地证明，使其科学化，从而使学生的创造力不断地在类比成功中得到升华。
参考文献：
1.严运华著: 高中数学“类比推理”资源的构建及应用.2007
2.波利亚著：数学与猜想.科学出版社.1984
3.刘云章等：数学解题思维策略.湖南教育出版社.1992
4.徐利治、郑毓信、朱梧木贾等：数学方法论教程.江苏教育出版社.1992
5.周以宏：浅谈数学直觉的解题功能.数学通报2004，2
关键词：类比推理 类比思想 建构 课堂教学
一、类比推理及其特性
1.类比推理: 类比作为一种推理方法，它既不同于归纳推理也不同于演绎推理。应用类比推理可以在两个不同知识领域之间实行知识的过渡，因此，人们常常把类比方法誉为理智的桥梁，是信息转移的桥梁。经常有这样的情况：长时间沉思于某一问题而未得解决，然而在某一时刻，在其沉思圈子之外有一个信息倒起了很大的启发作用，触发信息的过渡，使问题得以解决。这往往得益于类比。正如康德所说：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比，这个方法往往能指引我们前进。”所谓类比是根据两个对象之间的相似，把信息从一个对象转移给另一个对象。类比的实质就是信息从模型向原型的转移。
2.类比的特征：两个对象的某些属性是相同的，或者表面上毫无共同之处，只是在某种观点上或某一抽象层次上是相似的，它的结论不是简单的模仿、复制，而是创造性设想。因此，我们在教学过程中，要有意识地对学生进行直觉思维能力的训练，着重训练学生的类比归纳猜想能力。类比推理是根据个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，是一种非逻辑推理。具有创新性, 主观性,等特征。
二、类比推理的价值和意义
1.类比可激发学生学习兴趣
“兴趣”是最好的老师。浓厚的兴趣和强烈的求知欲望是学生的内驱力，创设数学教学情境是激发学生兴趣的有效方法。
在实际教学中，应多介绍一些大科学家的类比实例，介绍类比在科学发明发现中的重大作用，形成良好的氛围。如计算机的诞生、飞机制造的历史、伽利略的抛物实验、杨振宁的“场论”等等一系列重大发明发现。继而引导学生认识到，在平时解题过程中也有一系列的类比，这样激励学生大胆类比，猜想发现，最后论证。通过类比可以探索出很多新的知识、方法，寻求出与众不同的解题思路，探索数学规律。由于类比是从特殊到特殊的一种猜测、推理，从一个已知的领域去探索另一个领域，而这正符合学生的好奇、去了解陌生世界的心理。因势利导，这样不仅激发了学生类比的欲望，而且提高了他们的类比兴趣，养成良好的类比习惯。让学生去主动地探索、研究新的知识。
2.通过类比可得新知
数学教材中，很多新的知识在很大程度上是在先前的知识上发展而来的，在方法、思想等方面都有着一定的联系。一旦学习的主体发现了这些联系之间存在的相似性和可比较性，那么就可以利用原有的认知结构有效地学习新知识，同时也可以将先后的知识组成一个完整的体系。
3.通过类比提高学生数学思维能力
高中数学课程提出应注重提高学生的数学思维能力，这也是数学教育的基本目标之一。当学生遇到一个陌生的问题时，有了类比的意识，他就会联想一个在形式或方法上较为熟悉的问题来进行类比。发现其内在联系，架起桥梁，沟通知识与知识、方法与方法之间的关联，激活学生的思维，从而去提高学生的思维能力。
4.类比是数学发现与创新的重要手段
类比就是一种大胆的合理的推理，它是创新的一种手段。因为有了类比，在研究一个问题时，学生将跳出一定的框架，不受现有知识的约束，根据其中的思想方法、表现形式等去利用其他的知识、方法来大胆提出设想、来找到具有创新性的解题方法。
三、类比推理的手段
1.通过类比“旧知”，构建知识体系
按照《课标》的要求教材是按照知识发展的顺序来安排。知识和知识之间螺旋上升，构成了完整的体系，知识之间也存在着思想方法等联系，教学就是要利用这种联系让学生利用旧知来探索新知。
在讲授等比数列时，先回忆等差数列中的相关知识：
定义：an＋1－an=d（d为常数），
通项公式：an=a1＋（n－1）d，
性质：an=am＋（ｎ－ｍ）ｄ；
若ｍ＋ｎ＝ｐ＋ｑ，则am＋an＝ap＋aq。
通过小组合作，回忆旧知的证明推导方法，来类比得到新知，得到结论，给出证明。这种类比的方法可以广泛地运用，
譬如，平面向量到空间向量的类比，平面解析几何到立体几何的类比等等。当然不仅是知识体系的类比，也可以包括一些常见的结论，如平面向量中“若=λ+μ且λ＋μ＝１，则P、A、B三点共线”，类比空间向量“若=x+y+z且x＋y＋z＝１，则P、A、B、C四点共面”。
2.通过类比“方法”，领会其中思想
教师教学生，不仅是简单地讲解知识，不能仅满足于让学生模仿性地解题。更要让学生学会一种思考的方法，分析问题的能力、迁移解题的能力。
定积分中求曲边梯形的面积,步骤为“无限分割——以直代曲——求和——取极限”,核心为“以直代曲”。在同学们探讨得出方法，理解思想方法之后，我给出思考题：“证明半球的体积为πR3”。同学们通过讨论想出了分割的多种方法，①底面与圆面平行的若干圆柱；②底面与圆面垂直的若干小半圆柱；③圆锥。在讨论中不断克服困难，以高昂的斗志深化、巩固了思想方法。
3.通过类比“形式”，发展创新思维
在解题的过程中应要求学生不拘一格，以发散的思维来观察分析问题形式。问题情境发生了根本性的变化，两个对象在表面上毫无共同之处，但通过观察、创造条件，使两者存在共同点，这种类比不是一种简单的模仿，而是一种创造性。
譬如：（1）已知函数f（x）=ax＋b，3a2＋4b2=12，求证：当x∈[-1，1]时，|ax＋b|≤。
分析：由3a2＋4b2=12的形式联想类比到椭圆的标准形式＋=1，故设a=2cosθ，b=sinθ，
有|ax＋b|=|2xcosθ＋sinθ|≤≤，得证。
（2）解方程2x+xy=y2y+yz=z2z+zx=x
分析：观察每个式子中都有一未知数为一次项，整理得y=z=x=，观察形式类比联想到正切的二倍角公式，
设x=tanθ，θ∈（-，），则y=tan2θ，z=tan4θ，x=tan8θ。
故有tanθ=tan8θ，
所以8θ=θ＋kπ，θ=∈（-，），
即x=tan，y=tan，z= tan，k=0，±1，±2，±3。
四、培养学生类比意识的教学途径
1.教师自身要有完善的知识体系和深厚的专业基本功
要想能顺利地引导、组织学生去运用类比的思想去发现新知和创新解题，教师作为组织者一定要具有完善的知识体系和深厚的专业基本功，否则怎能发现不同板块知识之间的内在联系，怎能有效组织好类比教学，展示数学的内在和谐美，展示数学知识的统一性。因此在平时的钻研中教师必须站在一定的高度去把握知识的结构、去研究透知识表象背后的思想方法，不能思维定势地去思考问题，对问题能有自己独到的见解，通过自身的努力夯实专业基本功。
2.经常创设类比问题情境
要想培养学生的类比能力，教学中的类比问题情境显得尤为重要。数学课堂教学中，教师要恰如其分地创设类比联想的问题情境，暴露数学的思维过程，把每一个环节展现给学生，让学生观察和类比。现在的数学教材中，每章都有引人入胜的章头图，同时在很多小节中也有生活的实例，学生可以从实际问题中类比得到数学知识；同时，新教材在编排顺序上按知识的发展顺序进行，也利于教师在组织教学时进行前后的类比教学。
3.实行变式教学
应该说变式教学是中国教学中成功的环节，通过变式的教学让学生分析、提炼出不同表象后面相同本质的东西，通过长时间的潜移默化的影响培养学生分析问题的意识和能力，从而为进一步的主动类比提供可能。只有这样学生才会在遇到新的问题时站在一定的高度去认识、把握，才能有新的想法。
4.教学过程中注重知识的生成
通过教学发现，学生已有的知识水平对类比能否顺利实施开展起决定性作用，只有有了相关知识作为保障，才有“跳一跳摸得着”的可能。所以在平时的教学中要更多在学生的主体活动中生成知识，教师作为一个组织者和引导者。让学生在自主的活动中感悟到其中的思想方法和内在联系，只有这样学生才能在遇到新问题时浮现出已有的思想方法和不同知识形式来进行类比。否则如果教师只是一味的灌输,那么只是带来僵硬的思维方式。
5.开展小组合作交流
考虑到中学生的思维的不成熟性、不完善性，类比教学有时对学生的要求可能相对较高，凭一己之力可能难以在短时间内发现内在联系去达成目标。所以在课堂教学中可适时采用小组合作探究式，俗话说“三个臭皮匠顶上一个诸葛亮”。通过合理搭配小组的构成，营造轻松的研讨氛围，让平时思维不活跃的学生有勇于表现自己、展示自己的机会，通过小组的合作去提出问题、解决问题、构建知识。在通过展示成果的方式让学生的主体活动充斥着课堂，去批判地接受新知的生成。
五、类比教学中的注意点
1.知识、方法的可类比性
教师在组织学生以类比的方式来学习探究新知的时候一定要注意所给材料和要探究知识之间一定要存在着形式、方法或思想等方面的联系，不能让学生的类比活动毫无头绪，变成无方向的一种所谓的探究，而不是真正意义上的类比。譬如学生可以用类比的思想利用等差数列的相关性质来推导等比数列的相关性质，但你不能要求学生利用等差数列的求和方法来类比探究等比数列的求和方法。
2.类比中的科学性
类比虽然是一种大胆的猜想，但类比不能仅满足于猜想，停留在猜想到的东西，还要进行科学性的验证。笔者在一次复习教学中安排了以下看似相关的两道题，
（1）在椭圆x2＋8y2=8上找一点P，使点P到直线l：x－y＋4=0的距离最小。
分析：把点与直线的距离转移为两平行线之间的距离。
设与l平行且与椭圆相切的直线为y=x＋m，联立得9x2＋16mx＋8m2－8=0，
通过△=0结合图象得m=3，从而得到最短距离和切点坐标（即为P点）。
（2）求椭圆x2＋4y2= 4上的点到点（0，5）的最大距离。
学生用类比的思想，想到以（0，5）为圆心作圆，设方程为x2＋（y－5）2=r2，利用圆和椭圆的相切联立求出r2=，即最大距离为__________。
可以看出学生类比其中相切的思想方法，求出了最大距离，感觉一气呵成。但细细一想，若求最短距离，利用同样的方法仍然只能求出r2=，出现了问题。
分析原因，由于在圆锥曲线中x和y有了范围，所以相切只要求联立后的方程只有一解，一个符合范围的解，而不一定△=0，所以此处的类比由于范围的原因而不具有可类比性，出现了问题。
六、高中数学教学渗透“类比推理”的现状分析
大部分教师缺乏研究意识，不能充分挖掘类比素材；不能将类比的思想渗透在教学中。
七、高中数学中“类比推理”资源库构建及应用
1.类比推理资源库的构建
从2004年秋季开始实施新课程，本课题开展研究，按“依据课标，紧扣教材；立足基础，适当拓展；纵横联系，突出主干”的原则，构建了以高中数学的主干内容为线索的“类比推理”资源库,其框架如下：
第一部分：实数与集合的类比
第二部分：数与形的类比
第三部分：函数中的类比
第四部分：立体几何与平面几何的类比
第五部分：高维与低维的类比
第六部分：等比数列与等差数列的类比
第七部分：不相等与相等的类比
第八部分：不等式中的类比
第九部分：多元与一元的类比
第十部分：椭圆与圆的类比
第十一部分：椭圆与双曲线的类比
第十二部分：无限与有限的类比
第十三部分：离散与连续的类比
第十三部分：解题方法的类比
第十四部分：高考中的类比推理
第十五部分：高中数学类比推理训练题精编
第十六部分：高中学数学类比思想应用的教学案例
2.“类比推理”资源在数学教学中的应用
类比作为一种思想，同时也是一种方法，类比可以开拓学生的视野，提高创新思维，通过类比的课堂教学也把课堂交给了学生。在数学学习中乃至处理生活中的实际问题所起的作用是不容忽视的。所以，教师在日常的教学中要重视类比思想的渗透和培养。
①在概念的形成过程中培养类比推理能力
数学概念的形成过程，经历了数学家漫长的创造过程，浓缩地将数学家的发现过程暴露给学生，则无疑是教学生学会“数学地思考”，是培养合情推理能力的重要途径。
②在定理、公式发现过程中培养类比推理能力
数学公式和定理的发现过程，是合情推理的经典之作，自然是进行合情推理能力培养的典型材料。
③在解题思路的探索中培养类比推理能力
从条件要达到结论的彼岸,是观察、归纳、类比、猜想、联想、直觉、灵感等合情推理手段的综合运用的过程。
④在复习课中的应用
通过类比，沟通知识、方法间的联系，形成所学内容的整体结构 通过类比，加强横向联系，推广应用。
⑤在研究性学习和课外活动中的应用
类比推理的素材用于研究性学习活动或课外活动中，引导学生提出新问题，解决新问题。
3.克服类比推理的负迁移效应
类比认知是指由已知事物在某些方面相似，去推论这些事物在其他方面也同样相似的一种认知模式，它是思考、学习新知识的一种方式，类比的思维方式是特殊——特殊，是一个猜测的方法。类比是将一类事物所得的研究方法和规律应用于另一类事物，是创造性的联想。数学的某些知识存在相似性，一般表现在数学符号、公式结构和研究方法等方面，数学中采用类比方法，可以有效激活原有知识结构的生长点，顺利搭建新旧知识的思维联系，降低感知的难度，同时激发想象的欲望，唤醒学生的创新意识。由于类比具有偶然性，得到的结论不一定是科学的，往往需要论证，若类比使用不当，可能产生伪科学认知，人为增添知识的矛盾，若教学语言不严谨，还增加后续的教学难度。
迁移认知是学习中的一条重要规律。它是指用已有的知识和技能学习新知识，新技能。已有的认知在学习过程中产生积极影响属于正迁移，对学习新知识起促进作用。例如，学会了骑单车，有助于学习驾驶摩托车。产生消极影响称为负迁移，例如，学会了骑单车，会妨碍学习骑三轮车。一切有意义的学习都是在原有的基础上进行的。即一切有意义的学习必然涉及类比认知和迁移认知，高中数学学习尤其如此。
在新课程改革下，要注意初高中数学新旧知识的衔接，这就要求高中数学教师积极进行引导，克服一些负面影响，从而顺利完成教学任务。那么高中学生在学习数学时的类比认知和迁移认知有哪些表现呢？
第一种表现：学生学习高中数学时，由于缺乏学法指导，加上新教材内容多难度大。部分学生不重视数学概念的理解，在运用类比认知时，错把类比当作逻辑推理方法，对概念之间只有形式的比较，抓不住概念的本质特征，主要表现在：
①没有抓住类比特征。例如实数与集合类比，特征是不等号与包含关系符号类比。
②没有弄清概念内涵。例如数列与函数类比，实际上数列是特殊的函数。
③有些类比对象选择不科学。
第二种表现：知识与知识、概念与概念、技巧与技巧之间，有时彼此类似或有许多共同因素，促成对认知的正迁移，学习轻松自如，事半功倍；有时不同因素难以区分，相互干扰，则会发生负迁移，学生往往分不清主次。主要表现在：
①用错相似形式的数学公式。例如实数运算性质与对数性质。
②错误理解公式。例如向量的数量积，椭圆与双曲线中a、b、c的几何意义。
③错误地推广知识，例如不等式的性质等。
数学教学的目的是使学生运用数学的思想方法解决问题，培养他们的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，为学生的终身服务。这涉及到知识的掌握与运用。但是知识是静止的，方法的运用是动态的，因此，在掌握知识及运用方法上要充分应用类比认知和迁移认知。在高中数学教学中应注意以下几点：
第一，既教猜想又教证明，欧拉从有限到无限的类比使他获得了极大的成功，然而这并不意味着类比总是可靠的。类比既具有引导我们走向成功的一面，也有能把人们引入歧途的一面。因此，我们必须以科学的态度对待类比，既要大胆地使用类比，又要严格证明。在教学中，教师要将“猜想”与“证明”同时进行，即类比的结论，若判断成立，则要给予证明；若判断是错误的,需举反例。
第二，既重类比规律又重特殊性，类比有规律可循，但又不是一成不变的;类比不是万能的，但类比又是十分重要．在类比时,既重类比规律又重其特殊性。
第三，在数学概念的教学中，应恰当地运用类比认知法，不能混淆比喻与类比，要对学生在类比过程中产生的想法，能确定正误及时评价，不能确定的给予方法上的指导。
教材中安排得最多的是类比内容，在讲授新知识的同时，经常联系旧知识，创造条件进行类比，扩展学生的思路，养成学生进行类比的习惯。平面几何的基本元素是点和直线，而立体几何的基本元素是点、直线和平面，如果我们建立如下对应关系：平面内的点对应到空间中的点或直线，平面内的直线对应到空间中的直线或平面，那么把平面几何某些定理中的点换作直线，或把线换作平面，就可以帮助学生“发现”一类相似的立体几何定理。
第四，教师在备课时应充分了解有部分知识学生可能发生负迁移，讲课时应使用各种方法对该知识重点讲解，把它讲清，讲透，把学生的负迁移消灭在萌芽状态。
第五，当有些知识技能发生正迁移时，我们应该运用正迁移的规律培养学生的能力，古人说的举一反三、触类旁通就是指学习中的这种正迁移。
第六，在数学概念的切入点和数学思想方法的应用中，应注意思维的发散性、严密性和逻辑性。要精选例题，精讲过程，精练习题，培养学生多思的解题习惯和灵活的解题能力，切忌“题海战术”，因为大量的做题，使学生建立了数学问题与知识之间机械式的条件反射，形成负迁移，学生遇到问题的第一反应是相应的内容，而不做具体分析，这不利于数学思想方法的理解和应用。“题海战术”还使学生过分强调解题经验，限制了学生的思维，不利于创新人才的培养，更无助于知识与能力的提高。
因此，在教学中，要防止学生根据形式类似，进行类比造成的错误．多了解学生的具体情况，因材施教是法宝，重视类比和迁移对学生的影响，使每一部分的教学顺利地承上启下，使学生正确、牢固、灵活地掌握知识，掌握数学的思想方法，有利于全面提高学生的素质。
八、实验的效果分析
学生数学素养增强，整体成绩提高;发现问题解决问题的能力增强;教师的专业水平得到提升。
“数学学习的过程”是一种“具体化”和“同化”的过程。教师应将自己的“再创造”为学生展现出“活生生”的思维活动，从而帮助每一个学生最终相对独立地去完成数学思维的建构活动。一个好的数学教师应该通过自己的教学使学生受到强烈的感染，从而激发他们对数学的兴趣和热爱，增强他们的数学意识，使学生体会到数学活动的内在乐趣。我们更需要培养学生对数学美的鉴赏和追求，因为对于美的鉴赏正是调动学生学习积极性的有效手段。只有我们意识到类比的教育教学价值，通过类比的教学方法去展示数学的知识，才能让学生拓展视野，以极大的热情去研究、学习数学，认识到数学世界的和谐统一，才能真正实现学生由“学会”到“会学”的转化。巨大的科学发明需要有较强的类比能力，而较强的类比能力正基于猜想与证明的有机结合。对类比的各种状态要给予严格论证，还要捕捉各种类比念头，抓住两系统间的相似之处，利用类比这座雄伟的桥梁，将信息不断地过渡，并不断地证明，使其科学化，从而使学生的创造力不断地在类比成功中得到升华。
参考文献：
1.严运华著: 高中数学“类比推理”资源的构建及应用.2007
2.波利亚著：数学与猜想.科学出版社.1984
3.刘云章等：数学解题思维策略.湖南教育出版社.1992
4.徐利治、郑毓信、朱梧木贾等：数学方法论教程.江苏教育出版社.1992
5.周以宏：浅谈数学直觉的解题功能.数学通报2004，2