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摘要：勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带之一。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。勾股定理实现了由数到形的转化，把数量关系整化为了形的特征，勾股定理及其逆定理，直观地揭示了三角形的特征。勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。《九章算术》中勾股定理涉及8种勾股数，这在古代世界数学文献中是罕见的。通过勾股数，可知勾股定理是不变的，但勾股弦数据则可多变，可谓是静中有动，神奇多变。
关键词：勾股定理;证明;方法
中图分类号：G4 文献标识码：A
一、欧几里得对勾股定理的证明
公元前300年欧几里得对毕达哥拉斯定理（勾股定理）的证明，并未因时光的流逝而丝毫丧失它的美与活力。这个证明的美妙之处在于其先决条件的精炼，欧几里得的命题不是关于代数方程式c?=a?+b?，而是述及了一种几何现象，涉及到以直角三角形的三条边为边作的实在的正方形。
欧几里得证明了以AB和AC为边的两个小正方形面积之和等于以斜边BC为边的大正方形面积，为了证明这点，他采用了一个非常奇妙的方法，从直角顶点开始作线段AL，使之与大正方形的边平行，并将大正方形分割为两个矩形，证明左边矩形的面积等于以AB为边的正方形面积;同样，右边矩形的面积等于以AC为边的正方形面积即可，由此可直接导出，两个矩形面积之和等于大正方形面積，同样也就等于两个小正方形面积之和。
二、刘徽之说
勾股：刘徽注称“短面曰勾，长面曰股，相与结角曰弦”，意思是说直角三角形里“短边叫勾，长边叫股，斜边叫弦”;勾股术：已知直角三角形的两边推求第三边的方法，也就是《九章算术》中所载的三种不同互求形式，
三、赵爽的“弦图”证明
赵爽撰成“勾股圆方图”说，附录于《周髀算经》首张的注文中，勾股图说中的勾股定理，赵爽写成为“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦”，他的证明利用了一个“弦图”，弦图是运用几何和算术工具获得代数结构的技巧。赵爽所谓的“弦实”是弦平方的面积，“弦图”是以弦为边的正方形。在“弦图”内作四个相等的勾股形，各以正方形的边为弦。如图，赵爽称这四个勾股形面积为“朱实”，中间的小正方形面积为“黄实”。
设a、b、c为勾股形的勾、股、弦，则一个朱实是?ab，四个朱实是1/2ab，黄实是（b-a）2，c2=2ab+（b-a）2=a2+b2，c=√a2+b2
2002年世界数学家大会（ICM-2002）在北京召开，此届大会的会标就是经过艺术处理得“弦图”，它像一个风吹，欢迎世界各地数学家们的到来。
中国著名的证明方法
画两个边长为（a+b）的正方形，如图，其中a，b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和相等，从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等（等量减等量），左图剩下两个正方形，分别以a，b为边，而右图剩下以c为边的正方形，于是a2+b2=c2
四、矩形面积公式证明勾股定理
如图，同一个正方形被分成两个较小的相互交叠的正方形，一个是3×3，一个是4×4，它们交叠的部分与5×5正方形中没有被它们占据的空余部分面积相同，这说明大正方形的面积即32与42的和。
两个阴影矩形面积的和等于小阴影正方形（由两个正方形组成）的面积。令5，4和3为变量c，b和a的值，从而证明a2+b2=c2
总之，勾股定理在数学上是全方位的，它给人们的启迪不仅在于“形”的方面，而且也在于“数”的方面。如果从“数”的角度看，就会注意到数论中“勾股数”的问题，即不定方程x2+y2=z2的“正整数解组”;瞻仰历史，勾股定理曾经出现在众多文明之中;在建筑上，它是保证作成直角的一种方法;在数学上，它是贯穿许多数学学科的一个不可或缺的工具。可见，它成为了每一个学者跨进数学殿堂的必备品。
参考文献
[1][美]威廉.邓纳姆 天才引导的历 中国对外翻译出版公司 1997.2
[2]吴文俊 中国数学史大系 北京师范大学出版社 1998.9
[3]瞿连林 初中数学重点与难点 光明日报出版社 1991.1
[4]马复等 数学 北京师范大学出版社 2004.5
[5]白尚怒 《九章算术》注释 科学出版社 1980.11
[6]常克峰 怎样教与学平面几何 光明日报出版社 1991.1
[7]傅钟鹏 中华古数学巡礼 辽宁人民出版社 1982.9
[8]考克塞特 几何学的新探索 北京大学出版社 1983.3
[9]迈克尔.塞拉 发现几何 人民教育出版社 2000.7
关键词：勾股定理;证明;方法
中图分类号：G4 文献标识码：A
一、欧几里得对勾股定理的证明
公元前300年欧几里得对毕达哥拉斯定理（勾股定理）的证明，并未因时光的流逝而丝毫丧失它的美与活力。这个证明的美妙之处在于其先决条件的精炼，欧几里得的命题不是关于代数方程式c?=a?+b?，而是述及了一种几何现象，涉及到以直角三角形的三条边为边作的实在的正方形。
欧几里得证明了以AB和AC为边的两个小正方形面积之和等于以斜边BC为边的大正方形面积，为了证明这点，他采用了一个非常奇妙的方法，从直角顶点开始作线段AL，使之与大正方形的边平行，并将大正方形分割为两个矩形，证明左边矩形的面积等于以AB为边的正方形面积;同样，右边矩形的面积等于以AC为边的正方形面积即可，由此可直接导出，两个矩形面积之和等于大正方形面積，同样也就等于两个小正方形面积之和。
二、刘徽之说
勾股：刘徽注称“短面曰勾，长面曰股，相与结角曰弦”，意思是说直角三角形里“短边叫勾，长边叫股，斜边叫弦”;勾股术：已知直角三角形的两边推求第三边的方法，也就是《九章算术》中所载的三种不同互求形式，
三、赵爽的“弦图”证明
赵爽撰成“勾股圆方图”说，附录于《周髀算经》首张的注文中，勾股图说中的勾股定理，赵爽写成为“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦”，他的证明利用了一个“弦图”，弦图是运用几何和算术工具获得代数结构的技巧。赵爽所谓的“弦实”是弦平方的面积，“弦图”是以弦为边的正方形。在“弦图”内作四个相等的勾股形，各以正方形的边为弦。如图，赵爽称这四个勾股形面积为“朱实”，中间的小正方形面积为“黄实”。
设a、b、c为勾股形的勾、股、弦，则一个朱实是?ab，四个朱实是1/2ab，黄实是（b-a）2，c2=2ab+（b-a）2=a2+b2，c=√a2+b2
2002年世界数学家大会（ICM-2002）在北京召开，此届大会的会标就是经过艺术处理得“弦图”，它像一个风吹，欢迎世界各地数学家们的到来。
中国著名的证明方法
画两个边长为（a+b）的正方形，如图，其中a，b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和相等，从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等（等量减等量），左图剩下两个正方形，分别以a，b为边，而右图剩下以c为边的正方形，于是a2+b2=c2
四、矩形面积公式证明勾股定理
如图，同一个正方形被分成两个较小的相互交叠的正方形，一个是3×3，一个是4×4，它们交叠的部分与5×5正方形中没有被它们占据的空余部分面积相同，这说明大正方形的面积即32与42的和。
两个阴影矩形面积的和等于小阴影正方形（由两个正方形组成）的面积。令5，4和3为变量c，b和a的值，从而证明a2+b2=c2
总之，勾股定理在数学上是全方位的，它给人们的启迪不仅在于“形”的方面，而且也在于“数”的方面。如果从“数”的角度看，就会注意到数论中“勾股数”的问题，即不定方程x2+y2=z2的“正整数解组”;瞻仰历史，勾股定理曾经出现在众多文明之中;在建筑上，它是保证作成直角的一种方法;在数学上，它是贯穿许多数学学科的一个不可或缺的工具。可见，它成为了每一个学者跨进数学殿堂的必备品。
参考文献
[1][美]威廉.邓纳姆 天才引导的历 中国对外翻译出版公司 1997.2
[2]吴文俊 中国数学史大系 北京师范大学出版社 1998.9
[3]瞿连林 初中数学重点与难点 光明日报出版社 1991.1
[4]马复等 数学 北京师范大学出版社 2004.5
[5]白尚怒 《九章算术》注释 科学出版社 1980.11
[6]常克峰 怎样教与学平面几何 光明日报出版社 1991.1
[7]傅钟鹏 中华古数学巡礼 辽宁人民出版社 1982.9
[8]考克塞特 几何学的新探索 北京大学出版社 1983.3
[9]迈克尔.塞拉 发现几何 人民教育出版社 2000.7