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数学是思维的体操。因此，数学教学可以视作数学思维活动展示的过程。暴露数学思维过程，并不是说对任何数学知识点都平均用力去暴露，而应从教学的重点、难点、疑点这三个着力点来进行暴露。下面笔者以“三角形的内角和”一课为例加以分析。
一、教学新知，暴露思维过程
教师出示一个任意的直角三角形：我们先来看看直角三角形的情况，怎样才能知道这个直角三角形的内角和是多少度呢？
生：把这样两个完全一样的直角三角形拼在一起，就可以得到正方形或长方形。
教师根据学生回答分别操作演示拼成正方形与长方形的情况。
师：那你认为直角三角形的内角和应该是多少度？怎么知道的？
生：因为长方形或正方形的内角和都是360°，而它们可以平分为两个直角三角形，所以每个直角三角形的内角和就是360°除以2等于180°。
【解析】直角三角形内角和的情形最简单，教师引导学生从正方形可以分割成任意等腰直角三角形（特例），长方形可以分割成任意直角三角形（普例）的直观演示中，直接获得了“直角三角形的内角和等于180°”的结论。这一结论的得到，为后续学习锐角三角形、钝角三角形的内角和既提供了条件又形成了思维定势——为暴露学生的“钝角三角形的内角和大于180°”“锐角三角形的内角和小于180°”等错误想法埋下伏笔。这是暴露思维过程艺术手法的具体应用和体现。
师：我们已经知道，直角三角形的内角和等于180°，那猜一猜，钝角三角形的内角和呢？应该是多少？
生：大于180°。
生：等于180°。
师：那锐角三角形的内角和呢？
生：小于180°。
生：等于180°。
【解析】猜想是暴露数学思维过程的重要方法。学生通过动手操作和计算，对“直角三角形的内角和等于180°”的结论印象越是深刻和牢固，就越会形成思维定势，也就产生了思维疑点。学生的猜想有对有错，能够真实地暴露他们的疑点和难点。显而易见，学生得出的“钝角三角形的内角和大于180°”与“锐角三角形的内角和小于180°”的两个猜想都是错误的，但又是合情的，对于知识本身是一种错觉，但对于发展小学生的数学思维而言却不失为灵丹妙药。猜想和尝试都是数学思维的生命线，学会猜想是学会思维的先导。
师：可以用什么办法来验证？（小组讨论、操作）
生：我们组是先量出钝角三角形中的三个内角各是多少度，再加起来算出180°。
生：我们组是把钝角三角形的三个角剪下来，然后并排拼接，得到一个平角，所以是180°。（学生动手展示）
生：我们组是画一条钝角三角形里面的高，然后沿高对折，这样就会得到两个直角三角形。刚才已经知道直角三角形的内角和是180°。180°乘2，减去90°乘2还等于180°。所以钝角三角形内角和也跟直角三角形一样，应该是180°。（学生边操作边解说）
师：你们组善于利用已学过的知识来解决新问题，这是数学学习的好方法。直角三角形的内角和是180°，是已知的，所以你们组就想到把钝角三角形通过沿高对折，折成两个直角三角形来推导出它的内角和度数。这样，我们就得到钝角三角形的内角和是180°的结论。
师：那锐角三角形的内角和是多少度呢？大家能不能从刚才两种三角形内角和的推导过程中得到启发呢？请大家独立完成。
师：得到结论了吗？一起回答。
生：锐角三角形的内角和等于180°。
师：看来，不管是直角三角形、钝角三角形，还是锐角三角形，它们的内角和都是等于180°。那说明……
生：三角形的内角和是180°。（师板书）
【解析】对猜想必须通过验证加以证实。这里先让学生通过动手测量、计算、剪拼等数学活动，从而使猜想中的疑点清晰起来，初步掌握了“三角形的内角和是180°”的结论。
二、巩固新知，完善知识结构
师：根据“三角形内角和是180°”的结论，在一个三角形中，我们如果知道其中两个内角的度数，那怎么知道第三个角的度数？
生：用180°分别减去两个内角的度数。
生：也可以用180°减去两个内角度数的和。
1.已知两个内角的度数求另一个内角的度数的练习。
【解析】暴露数学思维过程，也应该包括暴露结论的应用过程，特别是知识新授后的巩固环节，属于新知识的首次应用，一般应提供完整的、标准式的范例，并要求学生将各种应用过程展示出来，以区分和强化新知，获得更为全面而清晰的观念。
2.在一个直角三角形中，已知一个锐角是58°，另一个锐角是多少度？
师：请大家独立完成。（指名板演）
生：180°-90°-58°=32°。
生：180°-（90°+58°）=32°。
生：90°-58°=32°。
师：这是什么意思？
生3：因为三角形内角和是180°，在直角三角形中，一个直角就占了90°，所以另外两个锐角的和也等于90°，已知其中一个锐角等于58°，可直接用“90°-58°”求出另外一个锐角的度数。
【解析】由于三角形的内角和是180°，这一结论是从三种情形中归纳推导出来的，所以在实际应用中就应该遵循从一般到特殊的应用过程，使演绎过程也相应暴露出来。
师：直角三角形中的两个锐角之和等于90°，那钝角三角形的两个锐角和呢？
生：小于90°。
师：锐角三角形的两个锐角和呢？
生：大于90°。
师：看来“三角形内角和是180°”这一重要发现，可以解决许多问题。
3.判断题。
①钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和。（ ）
②每个三角形中至少有两个锐角。（ ）
③一个三角形中最多有两个直角。（ ）
④直角三角形的两个锐角和小于钝角三角形中的两个锐角和。（ ）
4.思考题。
①一个三角形中的两个内角和等于89°，这是什么三角形？
②三角形中最小的一个锐角是45°，这个三角形可能是什么三角形？
【解析】暴露数学思维过程，也应该注意广度和强度的协同发展。这里先让学生应用结论解决各个具体问题（广度），接着又从实际应用中概括、演绎出新的三个结论（深度），同时又安排了一组是非题让学生进行判断，在判断过程中发现、检验和矫正学生思维疑点和错误点，使新知更好更准地扎根于学生头脑中。两道思考题，是对新知学习的又一次升华，使教学重点、难点、疑点的教学效果得到了新的评估和检验。
该课例着重暴露了学生思维过程的三个方面：重点——如何形成“三角形内角和是180°”的结论；难点——怎样想到三角形内角和是180°的；疑点——为什么直角三角形、钝角三角形和锐角三角形的内角和都是180°？为了更好地暴露这三方面的数学思维过程，精心设计和组织了教学的基本流程。在流程的每个阶段，一切为了重点、难点、疑点而暴露，所有程序都井然有序、简单明快、生动有趣。由此可以看出，充分暴露数学思维过程，找准暴露的着力点，是优化数学教学的重要方面，也是提高课堂教学效益的有效途径之一。
（作者单位：福建省平潭县城中小学 责任编辑：王彬）
一、教学新知，暴露思维过程
教师出示一个任意的直角三角形：我们先来看看直角三角形的情况，怎样才能知道这个直角三角形的内角和是多少度呢？
生：把这样两个完全一样的直角三角形拼在一起，就可以得到正方形或长方形。
教师根据学生回答分别操作演示拼成正方形与长方形的情况。
师：那你认为直角三角形的内角和应该是多少度？怎么知道的？
生：因为长方形或正方形的内角和都是360°，而它们可以平分为两个直角三角形，所以每个直角三角形的内角和就是360°除以2等于180°。
【解析】直角三角形内角和的情形最简单，教师引导学生从正方形可以分割成任意等腰直角三角形（特例），长方形可以分割成任意直角三角形（普例）的直观演示中，直接获得了“直角三角形的内角和等于180°”的结论。这一结论的得到，为后续学习锐角三角形、钝角三角形的内角和既提供了条件又形成了思维定势——为暴露学生的“钝角三角形的内角和大于180°”“锐角三角形的内角和小于180°”等错误想法埋下伏笔。这是暴露思维过程艺术手法的具体应用和体现。
师：我们已经知道，直角三角形的内角和等于180°，那猜一猜，钝角三角形的内角和呢？应该是多少？
生：大于180°。
生：等于180°。
师：那锐角三角形的内角和呢？
生：小于180°。
生：等于180°。
【解析】猜想是暴露数学思维过程的重要方法。学生通过动手操作和计算，对“直角三角形的内角和等于180°”的结论印象越是深刻和牢固，就越会形成思维定势，也就产生了思维疑点。学生的猜想有对有错，能够真实地暴露他们的疑点和难点。显而易见，学生得出的“钝角三角形的内角和大于180°”与“锐角三角形的内角和小于180°”的两个猜想都是错误的，但又是合情的，对于知识本身是一种错觉，但对于发展小学生的数学思维而言却不失为灵丹妙药。猜想和尝试都是数学思维的生命线，学会猜想是学会思维的先导。
师：可以用什么办法来验证？（小组讨论、操作）
生：我们组是先量出钝角三角形中的三个内角各是多少度，再加起来算出180°。
生：我们组是把钝角三角形的三个角剪下来，然后并排拼接，得到一个平角，所以是180°。（学生动手展示）
生：我们组是画一条钝角三角形里面的高，然后沿高对折，这样就会得到两个直角三角形。刚才已经知道直角三角形的内角和是180°。180°乘2，减去90°乘2还等于180°。所以钝角三角形内角和也跟直角三角形一样，应该是180°。（学生边操作边解说）
师：你们组善于利用已学过的知识来解决新问题，这是数学学习的好方法。直角三角形的内角和是180°，是已知的，所以你们组就想到把钝角三角形通过沿高对折，折成两个直角三角形来推导出它的内角和度数。这样，我们就得到钝角三角形的内角和是180°的结论。
师：那锐角三角形的内角和是多少度呢？大家能不能从刚才两种三角形内角和的推导过程中得到启发呢？请大家独立完成。
师：得到结论了吗？一起回答。
生：锐角三角形的内角和等于180°。
师：看来，不管是直角三角形、钝角三角形，还是锐角三角形，它们的内角和都是等于180°。那说明……
生：三角形的内角和是180°。（师板书）
【解析】对猜想必须通过验证加以证实。这里先让学生通过动手测量、计算、剪拼等数学活动，从而使猜想中的疑点清晰起来，初步掌握了“三角形的内角和是180°”的结论。
二、巩固新知，完善知识结构
师：根据“三角形内角和是180°”的结论，在一个三角形中，我们如果知道其中两个内角的度数，那怎么知道第三个角的度数？
生：用180°分别减去两个内角的度数。
生：也可以用180°减去两个内角度数的和。
1.已知两个内角的度数求另一个内角的度数的练习。
【解析】暴露数学思维过程，也应该包括暴露结论的应用过程，特别是知识新授后的巩固环节，属于新知识的首次应用，一般应提供完整的、标准式的范例，并要求学生将各种应用过程展示出来，以区分和强化新知，获得更为全面而清晰的观念。
2.在一个直角三角形中，已知一个锐角是58°，另一个锐角是多少度？
师：请大家独立完成。（指名板演）
生：180°-90°-58°=32°。
生：180°-（90°+58°）=32°。
生：90°-58°=32°。
师：这是什么意思？
生3：因为三角形内角和是180°，在直角三角形中，一个直角就占了90°，所以另外两个锐角的和也等于90°，已知其中一个锐角等于58°，可直接用“90°-58°”求出另外一个锐角的度数。
【解析】由于三角形的内角和是180°，这一结论是从三种情形中归纳推导出来的，所以在实际应用中就应该遵循从一般到特殊的应用过程，使演绎过程也相应暴露出来。
师：直角三角形中的两个锐角之和等于90°，那钝角三角形的两个锐角和呢？
生：小于90°。
师：锐角三角形的两个锐角和呢？
生：大于90°。
师：看来“三角形内角和是180°”这一重要发现，可以解决许多问题。
3.判断题。
①钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和。（ ）
②每个三角形中至少有两个锐角。（ ）
③一个三角形中最多有两个直角。（ ）
④直角三角形的两个锐角和小于钝角三角形中的两个锐角和。（ ）
4.思考题。
①一个三角形中的两个内角和等于89°，这是什么三角形？
②三角形中最小的一个锐角是45°，这个三角形可能是什么三角形？
【解析】暴露数学思维过程，也应该注意广度和强度的协同发展。这里先让学生应用结论解决各个具体问题（广度），接着又从实际应用中概括、演绎出新的三个结论（深度），同时又安排了一组是非题让学生进行判断，在判断过程中发现、检验和矫正学生思维疑点和错误点，使新知更好更准地扎根于学生头脑中。两道思考题，是对新知学习的又一次升华，使教学重点、难点、疑点的教学效果得到了新的评估和检验。
该课例着重暴露了学生思维过程的三个方面：重点——如何形成“三角形内角和是180°”的结论；难点——怎样想到三角形内角和是180°的；疑点——为什么直角三角形、钝角三角形和锐角三角形的内角和都是180°？为了更好地暴露这三方面的数学思维过程，精心设计和组织了教学的基本流程。在流程的每个阶段，一切为了重点、难点、疑点而暴露，所有程序都井然有序、简单明快、生动有趣。由此可以看出，充分暴露数学思维过程，找准暴露的着力点，是优化数学教学的重要方面，也是提高课堂教学效益的有效途径之一。
（作者单位：福建省平潭县城中小学 责任编辑：王彬）