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历经近几年高中数学考试阅卷,透析同学们的解题过程,总有不同的感受,有的同学答题表现为思路清晰、结构严谨、书写规范,让阅卷老师有“赏心悦目”的舒服和认同感,而有的同学答题往往表现出形形色色的漏洞和错误,尤其是“会而不对,对而不全”这样的解题,使人不禁有“恨铁不成钢”的无奈和叹息状。实践证实:审题认真、解法恰当、书写规范是数学考试制胜的关键。本文旨在通过对立体几何与解析几何中的常见错题进行分析与纠正,力求让同学们在解题时减少不必要的失误,发挥应有的水平,提高解题准确率,取得理想的成绩。
症状一:审阅题目不认真
同学们在考试过程中存在急于求成的心理,使得审题时出现失误:没有看全题目就下笔答题;或没有注意题目中关键的叙述,误解题意;或浮于题目表面信息,不思考深层含义,理解不透等,从而得出错解,这是同学们最难以接受、而又经常发生的错误。
错因1 忽视限制条件
例1 过定点A(1,2)作两直线与圆C:x2+y2+ax+2y+a2=0相切,则k的取值范围是什么?
错解:当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,则AC>r,即(1+a2)2+(2+1)2>4-3a24即a2+a+9>0,a∈R
错因:忽视题中方程必须是圆的方程,有些学生不考虑D2+E2-4F>0
正解:∵x2+y2+ax+2y+a2=0为圆的方程,∴a2+4-4a2>0得-233r,即(1+a2)2+(2+1)2>4-3a24即a2+a+9>0,a∈R,所以-233 对策:审题时抓住题目中细节和关键点,重视限制条件,注意认真检查。
错因2:遗漏隐含信息
例2 直线y=kx+1,当k变化时,直线被椭圆x24+y2=1截得的最大弦长是多少?
错解1:设直线与椭圆的相交于A,B,由y=kx+1x24+y2=1得A(0,1),B(-(4k2+8k),1+k(4k2+8k)),AB=(4k2+8k)2+[k(4k2+8k)]2,因不会求此函数的最值而得不到答案。
错解2:直线y=kx+1,恒过P(0,1),又是椭圆的短轴上顶点,因而此直线被椭圆的弦长即为点P与椭圆上任意一点Q的距离,设椭圆上任意一点Q(x,y),PQ2=x2+(y-1)2,又x2=4-4y2,所以PQ2=4-4y2+(y-1)2=-3y2-2y+5,当y=-13时,ymax=433。
正解:直线y=kx+1,恒过P(0,1),又是椭圆的短轴上顶点,因而此直线被椭圆的弦长即为点P与椭圆上任意一点Q的距离,设椭圆上任意一点Q(2cosθ,sinθ)。
∴PQ2=(2cosθ)2+(sinθ-1)2=-3sin2θ-2sinθ+5
∴当sinθ=-13时,|PQ|2max=163
∴PQmax=433
错因:错解1没能挖掘出y=kx+1的特征:过椭圆短轴顶点P(0,1);错解2答案没错,但解答过程中没有注意到椭圆上任意一点的范围,y∈[-1,1]。
对策:在解题中要深入分析,善于发现题目中所隐含条件,积极思考等式成立的条件、变量的取值范围、隐含的信息等。
症状二:知识掌握不牢固
由于对知识掌握不够熟练,仅凭死记硬背,往往只能停留在基本概念表面认识上,对基础知识不能充分理解和灵活运用,缺乏综合运用能力。
错因1 概念理解有偏差
例3 给出下列四个命题:
(1)各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱
(2)若直线l⊥平面α,l∥平面β,则α⊥β;
(3)命题“异面直线a,b不垂直,则过a的任一平面和b都不垂直”的否定;
(4)底面是正三角形,且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。
其中正确的命题是 (2)
错解:选择(1)(2)(4)
错因:(1)中上下底面为菱形侧面为正方形的四棱柱不是正棱柱;(4)中是正三棱锥的性质,但很多同学凭感觉认为如果侧面是等腰三角形,则侧棱长相等,所以一定是正三棱锥,事实上,只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就不是正三棱锥了。
正解:选择(2)
例4 已知直线l1:ax+2y+6=0与l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则实数a的取值是什么?
错解:令a(a-1)-2=0,得a=-1或2
错因:两直线l1,l2的方程分别是A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0,若l1与l2平行,则A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0。因此须将计算出的a带入两个方程验证,是否有重合的可能。
正解:当a=2时l1与l2重合,故舍去。a=-1
对策:掌握基本概念的内涵和外延,准确把握,透彻理解。
错因2:知识运用不灵活
例5 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若点P到直线BC的距离与到直线C1D1距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是什么?
错因:此题是将抛物线定义寓于正方体中,由于缺乏空间想象力和灵活运用数学概念的能力,因此无从下手。
正解:∵C1D1⊥平面BC1,∴C1D1⊥C1P即P到直线C1D1的距离就是线段PC1的长,所以P到直线BC与直线C1D1的距离相等,就是在平面BC1内有P到点C1的距离和P到直线BC的距离相等,因此由抛物线定义可知动点P在以C1为焦点,直线BC为准线的抛物线上。
对策:对各章节的知识运用要能融会贯通,通过分析问题的实质,抓住解题的关键。
症状三:思维分析有局限
解题的分析过程,就是思维过程,首先要认真看题,审清题目的真实含义,然后运用所掌握的知识对问题进行分析思考,可正向思维、逆向思维,甚至是发散性思维,通过全面思考后,合理整合有效信息,得出正确的结论。如果不重视对思维过程进行研究,而是单一思维、定势思维等局限的思维就很难顺利解题了。
错因1:主观臆断出错
例6 有一棱长为a的正方体骨架,其内放置一气球,使其充气且尽可能地大(仍保持为球的形状),则气球表面积的最大值为 .
错解:球最大时为正方体的内切球,所以球的直径为a,球的表面积为πa2。
错因:由于学生平时遇到的都是正方体的内切球,未能弄清此处正方体骨架是一个空架子。
正解:球最大时与正方体的各棱相切,过正方体的对角面的截面图如图,因此直径应为2a,球的表面积为2πa2。
例7 抛物线y=4x2的准线方程为
错解:∵2p=4,p=2∴准线方程是y=-1
错因:把方程y=4x2当成标准方程。
正解:∵x2=14y,2p=14,p=18,准线方程是y=-116
对策:解题必须有因有果、有根有据、理由充分、因果对应,不能似是而非、主观臆断而妄下结论。
错因2 思维定势影响
例8 椭圆中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=32,已知点P(0,32)到椭圆上的点最远距离是7,求这个椭圆的方程。
错解:设所求椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)
因为ba=a2-c2a2=1-e2=12所以a=2b于是椭圆方程为x24b2+y2b2=1
设椭圆上点M(x,y)到点P(0,32)的距离为d,则:d2=x2+(y-32)2
=4b2(1-y2b2)+y2-3y+94=-3(y+12)2+4b2+3所以当y=-12时,
有d2max=4b2+3=7,b=1所以所求椭圆方程为x24+y2=1
错因:由椭圆方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)得
由(1)式知是y的二次函数,其对称轴为y=-12
上述错解在于没有就对称轴在区间\内或外进行分类,
正解:其正确应对f(y)=-3(y+12)2+4b2+3的最值情况进行讨论:
(1)当-b≤-12,即b≥12时d2max=f(-12)=4b2+3=7
b=1,方程为x24+y2=1
(2)当-12<-b,即b<12时,d2max=f(-b)=7
b=7-32>12,与b<12矛盾。
综上所述,所求椭圆方程为x24+y2=1
对策:思维定势在考试中是经常出现的,在现在变化无穷的考试背景下,要突破思维过程中的障碍,多几个“心眼”看问题。
错因三:思维不严所致
例9 点AB到平面α距离距离分别为12,20,若斜线AB与α成30°的角,则AB的长等于 .
错解:16.
错因:只考虑AB在平面同侧的情形,忽略AB在平面两测的情况。
正解:16或64。
例10 过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有几条?
错解:设直线的方程为y=kx+1,联立y2=4xy=kx+1,得(kx+1)2=4x,
即:k2x2+(2k-4)x+1=0,再由Δ=0,得k=1,所以只有一条。
错因:本题的解法有两个问题,一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了,另外又将斜率k=0的情形丢掉了,故本题应有三解,即直线有三条。
对策:一些考题的解题思路并不难,只是对一些特殊情况要加以注意,在考试中缜密思考,严谨答题才不至于“冤枉”丢分。
症状四:解题方法不恰当
解题方法是数学思想方法在实际问题的灵活运用,解题方法选择是否恰当,是客观反映学生数学素养的具体体现;许多同学由于解法选取不当耽误了解题时间,有的甚至出现较大失误。
错因1:解法选取不当
例11 自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC,则PA2+PB2+PC2= 。
错因:没有考虑到球内接矩形,直接运算,易造成计算错误。
正解:4R2,可将PA,PB,PC看成是球内接矩形的三度,则PA2+PB2+PC2应是矩形对角线的平方,即球直径的平方4R2。
例12 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线交于
A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2x1x2为
错因:先分别求出x1x2,y1y2用推理的方法,既繁且容易出错。
正解:特例法:当直线垂直于x轴时,A(p2,p),B(p2,-p),y1y2x1x2=-p2p24=-4
对策:平时要熟练掌握每一类题型的解题通法,在解题时要有意识地一题多解,通过比较找准最简单易求的方法,合理选取简捷方法。
错因2:答题不合规范
例13 如图,在Rt△AOB中,,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB,以直线AO为轴旋转得到且二面角B-AO-C是直二面角,动点D在斜边AB上,求证:平面COD⊥平面AOB
错解∵二面角B-AO-C是直二面角
∴CO⊥BO,又∵CO⊥AO,∴CO⊥平面AOB,又CO在平面COD内,∴平面COD⊥平面AOB
错因:该证明过程在应用“二面角B-AO-C是直二面角”时,未详细论述二面角的平面角是什么,而直接得到结论“∴CO⊥BO”,跨度过大,线面垂直时,要把平面的两条相交直线说清楚,显然条件“∵AO∩BO=O”未罗列,故易失分
正解:∵CO⊥AO,BO⊥AO∴∠COB为二面角B-AO-C的平面角
∵二面角B-AO-C是直二面角,∴∠COB=90°即CO⊥BO
又∵CO⊥AO,AO⊥BO=O,∴CO⊥平面AOB,又CO平面COD
∴平面COD⊥平面AOB
对策:规范答题、层次清晰、书写认真是取得高分的重要因素。
纵上所述的四类症状是同学们在学习和考试中经常遇到的,也是失分频率较高的地方,因此在平时的学习和解题中要处处留心,有目的地加以训练,避免错解、力求正解,在考试答题做到又好又快!
症状一:审阅题目不认真
同学们在考试过程中存在急于求成的心理,使得审题时出现失误:没有看全题目就下笔答题;或没有注意题目中关键的叙述,误解题意;或浮于题目表面信息,不思考深层含义,理解不透等,从而得出错解,这是同学们最难以接受、而又经常发生的错误。
错因1 忽视限制条件
例1 过定点A(1,2)作两直线与圆C:x2+y2+ax+2y+a2=0相切,则k的取值范围是什么?
错解:当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,则AC>r,即(1+a2)2+(2+1)2>4-3a24即a2+a+9>0,a∈R
错因:忽视题中方程必须是圆的方程,有些学生不考虑D2+E2-4F>0
正解:∵x2+y2+ax+2y+a2=0为圆的方程,∴a2+4-4a2>0得-233
错因2:遗漏隐含信息
例2 直线y=kx+1,当k变化时,直线被椭圆x24+y2=1截得的最大弦长是多少?
错解1:设直线与椭圆的相交于A,B,由y=kx+1x24+y2=1得A(0,1),B(-(4k2+8k),1+k(4k2+8k)),AB=(4k2+8k)2+[k(4k2+8k)]2,因不会求此函数的最值而得不到答案。
错解2:直线y=kx+1,恒过P(0,1),又是椭圆的短轴上顶点,因而此直线被椭圆的弦长即为点P与椭圆上任意一点Q的距离,设椭圆上任意一点Q(x,y),PQ2=x2+(y-1)2,又x2=4-4y2,所以PQ2=4-4y2+(y-1)2=-3y2-2y+5,当y=-13时,ymax=433。
正解:直线y=kx+1,恒过P(0,1),又是椭圆的短轴上顶点,因而此直线被椭圆的弦长即为点P与椭圆上任意一点Q的距离,设椭圆上任意一点Q(2cosθ,sinθ)。
∴PQ2=(2cosθ)2+(sinθ-1)2=-3sin2θ-2sinθ+5
∴当sinθ=-13时,|PQ|2max=163
∴PQmax=433
错因:错解1没能挖掘出y=kx+1的特征:过椭圆短轴顶点P(0,1);错解2答案没错,但解答过程中没有注意到椭圆上任意一点的范围,y∈[-1,1]。
对策:在解题中要深入分析,善于发现题目中所隐含条件,积极思考等式成立的条件、变量的取值范围、隐含的信息等。
症状二:知识掌握不牢固
由于对知识掌握不够熟练,仅凭死记硬背,往往只能停留在基本概念表面认识上,对基础知识不能充分理解和灵活运用,缺乏综合运用能力。
错因1 概念理解有偏差
例3 给出下列四个命题:
(1)各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱
(2)若直线l⊥平面α,l∥平面β,则α⊥β;
(3)命题“异面直线a,b不垂直,则过a的任一平面和b都不垂直”的否定;
(4)底面是正三角形,且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。
其中正确的命题是 (2)
错解:选择(1)(2)(4)
错因:(1)中上下底面为菱形侧面为正方形的四棱柱不是正棱柱;(4)中是正三棱锥的性质,但很多同学凭感觉认为如果侧面是等腰三角形,则侧棱长相等,所以一定是正三棱锥,事实上,只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就不是正三棱锥了。
正解:选择(2)
例4 已知直线l1:ax+2y+6=0与l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则实数a的取值是什么?
错解:令a(a-1)-2=0,得a=-1或2
错因:两直线l1,l2的方程分别是A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0,若l1与l2平行,则A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0。因此须将计算出的a带入两个方程验证,是否有重合的可能。
正解:当a=2时l1与l2重合,故舍去。a=-1
对策:掌握基本概念的内涵和外延,准确把握,透彻理解。
错因2:知识运用不灵活
例5 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若点P到直线BC的距离与到直线C1D1距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是什么?
错因:此题是将抛物线定义寓于正方体中,由于缺乏空间想象力和灵活运用数学概念的能力,因此无从下手。
正解:∵C1D1⊥平面BC1,∴C1D1⊥C1P即P到直线C1D1的距离就是线段PC1的长,所以P到直线BC与直线C1D1的距离相等,就是在平面BC1内有P到点C1的距离和P到直线BC的距离相等,因此由抛物线定义可知动点P在以C1为焦点,直线BC为准线的抛物线上。
对策:对各章节的知识运用要能融会贯通,通过分析问题的实质,抓住解题的关键。
症状三:思维分析有局限
解题的分析过程,就是思维过程,首先要认真看题,审清题目的真实含义,然后运用所掌握的知识对问题进行分析思考,可正向思维、逆向思维,甚至是发散性思维,通过全面思考后,合理整合有效信息,得出正确的结论。如果不重视对思维过程进行研究,而是单一思维、定势思维等局限的思维就很难顺利解题了。
错因1:主观臆断出错
例6 有一棱长为a的正方体骨架,其内放置一气球,使其充气且尽可能地大(仍保持为球的形状),则气球表面积的最大值为 .
错解:球最大时为正方体的内切球,所以球的直径为a,球的表面积为πa2。
错因:由于学生平时遇到的都是正方体的内切球,未能弄清此处正方体骨架是一个空架子。
正解:球最大时与正方体的各棱相切,过正方体的对角面的截面图如图,因此直径应为2a,球的表面积为2πa2。
例7 抛物线y=4x2的准线方程为
错解:∵2p=4,p=2∴准线方程是y=-1
错因:把方程y=4x2当成标准方程。
正解:∵x2=14y,2p=14,p=18,准线方程是y=-116
对策:解题必须有因有果、有根有据、理由充分、因果对应,不能似是而非、主观臆断而妄下结论。
错因2 思维定势影响
例8 椭圆中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=32,已知点P(0,32)到椭圆上的点最远距离是7,求这个椭圆的方程。
错解:设所求椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)
因为ba=a2-c2a2=1-e2=12所以a=2b于是椭圆方程为x24b2+y2b2=1
设椭圆上点M(x,y)到点P(0,32)的距离为d,则:d2=x2+(y-32)2
=4b2(1-y2b2)+y2-3y+94=-3(y+12)2+4b2+3所以当y=-12时,
有d2max=4b2+3=7,b=1所以所求椭圆方程为x24+y2=1
错因:由椭圆方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)得
由(1)式知是y的二次函数,其对称轴为y=-12
上述错解在于没有就对称轴在区间\内或外进行分类,
正解:其正确应对f(y)=-3(y+12)2+4b2+3的最值情况进行讨论:
(1)当-b≤-12,即b≥12时d2max=f(-12)=4b2+3=7
b=1,方程为x24+y2=1
(2)当-12<-b,即b<12时,d2max=f(-b)=7
b=7-32>12,与b<12矛盾。
综上所述,所求椭圆方程为x24+y2=1
对策:思维定势在考试中是经常出现的,在现在变化无穷的考试背景下,要突破思维过程中的障碍,多几个“心眼”看问题。
错因三:思维不严所致
例9 点AB到平面α距离距离分别为12,20,若斜线AB与α成30°的角,则AB的长等于 .
错解:16.
错因:只考虑AB在平面同侧的情形,忽略AB在平面两测的情况。
正解:16或64。
例10 过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有几条?
错解:设直线的方程为y=kx+1,联立y2=4xy=kx+1,得(kx+1)2=4x,
即:k2x2+(2k-4)x+1=0,再由Δ=0,得k=1,所以只有一条。
错因:本题的解法有两个问题,一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了,另外又将斜率k=0的情形丢掉了,故本题应有三解,即直线有三条。
对策:一些考题的解题思路并不难,只是对一些特殊情况要加以注意,在考试中缜密思考,严谨答题才不至于“冤枉”丢分。
症状四:解题方法不恰当
解题方法是数学思想方法在实际问题的灵活运用,解题方法选择是否恰当,是客观反映学生数学素养的具体体现;许多同学由于解法选取不当耽误了解题时间,有的甚至出现较大失误。
错因1:解法选取不当
例11 自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC,则PA2+PB2+PC2= 。
错因:没有考虑到球内接矩形,直接运算,易造成计算错误。
正解:4R2,可将PA,PB,PC看成是球内接矩形的三度,则PA2+PB2+PC2应是矩形对角线的平方,即球直径的平方4R2。
例12 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线交于
A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2x1x2为
错因:先分别求出x1x2,y1y2用推理的方法,既繁且容易出错。
正解:特例法:当直线垂直于x轴时,A(p2,p),B(p2,-p),y1y2x1x2=-p2p24=-4
对策:平时要熟练掌握每一类题型的解题通法,在解题时要有意识地一题多解,通过比较找准最简单易求的方法,合理选取简捷方法。
错因2:答题不合规范
例13 如图,在Rt△AOB中,,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB,以直线AO为轴旋转得到且二面角B-AO-C是直二面角,动点D在斜边AB上,求证:平面COD⊥平面AOB
错解∵二面角B-AO-C是直二面角
∴CO⊥BO,又∵CO⊥AO,∴CO⊥平面AOB,又CO在平面COD内,∴平面COD⊥平面AOB
错因:该证明过程在应用“二面角B-AO-C是直二面角”时,未详细论述二面角的平面角是什么,而直接得到结论“∴CO⊥BO”,跨度过大,线面垂直时,要把平面的两条相交直线说清楚,显然条件“∵AO∩BO=O”未罗列,故易失分
正解:∵CO⊥AO,BO⊥AO∴∠COB为二面角B-AO-C的平面角
∵二面角B-AO-C是直二面角,∴∠COB=90°即CO⊥BO
又∵CO⊥AO,AO⊥BO=O,∴CO⊥平面AOB,又CO平面COD
∴平面COD⊥平面AOB
对策:规范答题、层次清晰、书写认真是取得高分的重要因素。
纵上所述的四类症状是同学们在学习和考试中经常遇到的,也是失分频率较高的地方,因此在平时的学习和解题中要处处留心,有目的地加以训练,避免错解、力求正解,在考试答题做到又好又快!