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【摘要】作为一名数学教师，对课堂中动态生成的“错误”，我们不应该不知所措，而要用欣赏的眼光悦纳学生的错误，并将错误进行分类、归因，挖掘“错误”资源的“隐性价值”，化“错”为美，让数学课堂流淌灵动、智慧之美。
【关键词】类型与归因；化错教学；数学思维
小学生的思维发展还比较稚嫩，对事物的认知还处在“片面性”的层次，因而犯错也是不可避免的。英国心理学家贝恩布里奇说：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。” [1]因此，作为一名数学老师，我们不能“谈错色变”，而要悦纳学生的错误，欣赏学生的错误，像华应龙老师那样，
一、寻根探源，知“错”即改
古人云：“知己知彼，百战不殆。”要想“化错”，首先要寻找到错误的源头，从根源上寻求解决问题的方法，做到铲“错”除根，让学生知“错”即改。
1. 归类，给“错”贴上标签
在小学数学课堂教学中，学生在做题时最常见的错误有以下几种：第一种是审题错误。审题是一种非常重要的数学能力，审题错误主要是因为学生在理解上出现了偏颇。有的学生一味地追求速度，在没有弄明白题意的情况下就匆忙答题，结果只能“败下阵来”。第二种是混淆概念的错误。虽然教材对许多数学概念都有了较为形象具体的表述，但是学生对概念只是“囫囵吞枣”地记忆，完全没有进行“反刍消化”。如认识圆的直径等数学概念模糊不清，数位与计数单位容易混淆……第三种是由于演算过程中的“小马虎”造成的计算失误。第四种是无意识性的随机错误。给学生的错误类型贴上不同的标签，既便于对错误的成因进行分析，又方便“对错下药”，找到“化错”的途径和方法。
2. 归因，给“错”把脉问诊
上面提到的四种错误，除了随机错误，大部分错误都有其“病灶”所在。以概念不清为例，小学生的思维侧重于具体形象化，对于空洞的概念总是将其进行“可视化”操作后进行理解，但往往在抽象与实物之间转换时发生了错误。而审题方面的错误也会发生类似的情况，如学生在题目中看到“扩大了10倍”与“扩大到10倍”，由于两个词很像，学生往往混淆，不明白究竟是扩大后的数是原数的几倍。小学生没有足够的生活阅历，这种类型的词汇经常导致审题失误，这就需要教师对错误进行分析，抽丝剥茧找到“病灶”，然后“对症下药”，彻底解“错”。
二、对症下药，落“错”生花
了解了学生在数学课堂中错误的类型以及产生错误的原因之后，我们就要巧妙地“化错”，让学生在“化错”中获得数学思维生长的力量。
1.“错”中识“质”
对于课堂教学中学生出现的错误，教师要充分给予关注，因为这些错误真实地反映了学生当时的思维状态、认知起点以及产生的困惑等。教师可以在教学中通过实验操作等探究活动，对学生的认知错误将错就错，让学生在错误中认识到问题的实质，从而实现知识的自主建构。
例如，在教学三角形的分类这一内容时，教师给每组同学准备了6个三角形，让学生进行分类，各小组学生很快地根据角的特点把这6个三角形分成了三类，但是不知道各类三角形的名称。学生先是拿着两个直角三角形，他们认为这两个三角形应该叫锐角三角形，理由是这类三角形有两个锐角，只有一个直角，锐角的个数多，所以叫锐角三角形。这时教师顺水推舟，指着两个锐角三角形问学生，这类三角形又该叫什么三角形呢？在这个时候，学生们都意识到了现在的这类三角形，应该叫锐角三角形，因为它全是锐角，所以只能叫锐角三角形。而刚才那一类还有一个角是直角，所以应该叫直角三角形。上述活动中，学生因为两类三角形中锐角的个数问题而导致了命名的矛盾，教师因势利导，让学生在矛盾中去寻求每一类三角形的本质特征，然后根据它们的本质特征重新命名。通过这一过程，学生对锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的内涵和外延有了更加深刻的理解。也就是学生在错误中认识了问题的本质，数学思维也得到了有效的发展，使得课堂教学更加走向深入。
2.“错”中找“对”
黑格尔说过：“错误本身是达到真理的必然环节，由于错误真理才会被发现。” [2]有时候，“差错”往往是“正确”的引领者，而“错误”往往是正确思路的“孕育器”。例如，学习乘法分配律之后，学生会创造出“600÷3+600÷40=600÷（3+40）=215”的“除法分配律”。我们可以顺势引导学生探究除法究竟有没有分配律，什么时候存在，什么时候不存在，进而可以更好地认识为什么乘法有分配律，让学生觉得错得有价值[3]。在这个过程中，学生通过“自我否定”来纠正自己的错误，从而实现了知识自我建构的过程，找到了没有“除法分配律”这个“对”的认识。
3.“错”中求“高”
数学课堂中，学生的错误总是屡见不鲜。要么是一不留心数字抄错了，要么是乘法口诀背错了，要么是小数点“站错位置”了……总之，都是芝麻大的错误，却像白纸上的许多小黑点一样，让老师感到非常不舒服。针对这一点，我主要采用面批课堂作业的方式来整治。当批到错题时，我并不是直接告诉学生错在哪里，而是让学生自己找出“症结”所在。但是，并不是所有的学生都能探囊取物般地找出错误。对于这类学生，就可以将错误进行扩大化，扩大到全班的层面来进行教学。如在教学分数除以分数时，我首先通过让学生学习分数除以整数的基础上独立尝试计算的方式，使学生在尝试中把错误暴露出来；接着，我利用课堂巡视把这些错例收集起来并呈现在黑板上，作为教学的生成资源加以利用；然后通过小组的讨论与交流，发现错例中存在的问题。通过师生、生生之间的思维火花相互碰撞，从而帮助部分学生清除思维过程中的滞碍。
4.“错”中寻“宝”
培养学生的创新能力是数学教学的最大价值，让数学思想在学生的心中扎根，也应该是数学教学的本质。在数学课堂中，我们要让学生出现的“错误”呈现出来，让学生在分类中认清错误的类型、归因中明白错误的原因，反思中获得正确的认识。在这个过程中，学生不仅加深了对知识内容的理解，而且提高了分析解决问题的能力。可以说，是“错误”让学生变得更加“完美”了。让我们来看看下面的例子：
在教学“长方形、正方形的认识”中“画长方形”这一环节时，先要求学生在作业纸上尝试画一个长方形，结果出现了下面这些情况：①图形不封口。②把长方形的长和宽画成曲线形的。③将两条长或两条宽画得不一样长……这时教师充分利用这些“错误”资源，选择几个投影出来，引导学生分析讨论分别错在哪里？是什么原因导致出现这样的错误？顿时教室里热闹起来。学生甲说：“长方形是一个封闭的图形，画的时候应该封口。”学生乙说：“长方形的长和宽是直的线，应该用铅笔沿直尺贴近把线画直。”学生丙说：“长方形的两条长和两条宽长度分别是相等的，不一样长的话就不是长方形了。”……这样，学生把错误的原因一个个地找出来了。教师接着说：“那我们在画长方形时应该注意哪些问题呢？怎么样才能画一个正确的长方形呢？”然后学生通过小组间的讨论交流，很快总结出画长方形的方法和画长方形時的几个注意点。对于学生在课堂中出现的“错误”，我们不能给予否定或回避，而是及时关注并直面学生的这些错误，变“错”为“宝”，把它们作为课堂生成的资源，让学生对“错误”进行分析、讨论，从中获得解决问题的方法，最大限度地调动起学生学习的积极性和主动性，从而让学生发现问题、分析问题和解决问题的能力“更上一层楼”。
总之，数学课堂中的错误也有其潜在的价值，作为数学教师要慧眼识“错”，并学会“翻转”，化“错”为美，将“错误”变成宝贵的知识“财富”。只要合理用“错”，把握生成，我们的数学课堂就会更加灵动、靓丽！
【参考文献】
[1] 王宜练.善待“错误”资源 打造精彩课堂[J]. 小学教学参考：数学，2008（10）：75.
[2] 陆茗竹.让错误成就数学精彩的课堂[J]. 语言文字学：数学，2016（10）：35.
[3] 华应龙. 聆听儿童思维真实的声音——我的融错教育观[J]. 人民教育，2010（12）：46.
【关键词】类型与归因；化错教学；数学思维
小学生的思维发展还比较稚嫩，对事物的认知还处在“片面性”的层次，因而犯错也是不可避免的。英国心理学家贝恩布里奇说：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。” [1]因此，作为一名数学老师，我们不能“谈错色变”，而要悦纳学生的错误，欣赏学生的错误，像华应龙老师那样，
一、寻根探源，知“错”即改
古人云：“知己知彼，百战不殆。”要想“化错”，首先要寻找到错误的源头，从根源上寻求解决问题的方法，做到铲“错”除根，让学生知“错”即改。
1. 归类，给“错”贴上标签
在小学数学课堂教学中，学生在做题时最常见的错误有以下几种：第一种是审题错误。审题是一种非常重要的数学能力，审题错误主要是因为学生在理解上出现了偏颇。有的学生一味地追求速度，在没有弄明白题意的情况下就匆忙答题，结果只能“败下阵来”。第二种是混淆概念的错误。虽然教材对许多数学概念都有了较为形象具体的表述，但是学生对概念只是“囫囵吞枣”地记忆，完全没有进行“反刍消化”。如认识圆的直径等数学概念模糊不清，数位与计数单位容易混淆……第三种是由于演算过程中的“小马虎”造成的计算失误。第四种是无意识性的随机错误。给学生的错误类型贴上不同的标签，既便于对错误的成因进行分析，又方便“对错下药”，找到“化错”的途径和方法。
2. 归因，给“错”把脉问诊
上面提到的四种错误，除了随机错误，大部分错误都有其“病灶”所在。以概念不清为例，小学生的思维侧重于具体形象化，对于空洞的概念总是将其进行“可视化”操作后进行理解，但往往在抽象与实物之间转换时发生了错误。而审题方面的错误也会发生类似的情况，如学生在题目中看到“扩大了10倍”与“扩大到10倍”，由于两个词很像，学生往往混淆，不明白究竟是扩大后的数是原数的几倍。小学生没有足够的生活阅历，这种类型的词汇经常导致审题失误，这就需要教师对错误进行分析，抽丝剥茧找到“病灶”，然后“对症下药”，彻底解“错”。
二、对症下药，落“错”生花
了解了学生在数学课堂中错误的类型以及产生错误的原因之后，我们就要巧妙地“化错”，让学生在“化错”中获得数学思维生长的力量。
1.“错”中识“质”
对于课堂教学中学生出现的错误，教师要充分给予关注，因为这些错误真实地反映了学生当时的思维状态、认知起点以及产生的困惑等。教师可以在教学中通过实验操作等探究活动，对学生的认知错误将错就错，让学生在错误中认识到问题的实质，从而实现知识的自主建构。
例如，在教学三角形的分类这一内容时，教师给每组同学准备了6个三角形，让学生进行分类，各小组学生很快地根据角的特点把这6个三角形分成了三类，但是不知道各类三角形的名称。学生先是拿着两个直角三角形，他们认为这两个三角形应该叫锐角三角形，理由是这类三角形有两个锐角，只有一个直角，锐角的个数多，所以叫锐角三角形。这时教师顺水推舟，指着两个锐角三角形问学生，这类三角形又该叫什么三角形呢？在这个时候，学生们都意识到了现在的这类三角形，应该叫锐角三角形，因为它全是锐角，所以只能叫锐角三角形。而刚才那一类还有一个角是直角，所以应该叫直角三角形。上述活动中，学生因为两类三角形中锐角的个数问题而导致了命名的矛盾，教师因势利导，让学生在矛盾中去寻求每一类三角形的本质特征，然后根据它们的本质特征重新命名。通过这一过程，学生对锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的内涵和外延有了更加深刻的理解。也就是学生在错误中认识了问题的本质，数学思维也得到了有效的发展，使得课堂教学更加走向深入。
2.“错”中找“对”
黑格尔说过：“错误本身是达到真理的必然环节，由于错误真理才会被发现。” [2]有时候，“差错”往往是“正确”的引领者，而“错误”往往是正确思路的“孕育器”。例如，学习乘法分配律之后，学生会创造出“600÷3+600÷40=600÷（3+40）=215”的“除法分配律”。我们可以顺势引导学生探究除法究竟有没有分配律，什么时候存在，什么时候不存在，进而可以更好地认识为什么乘法有分配律，让学生觉得错得有价值[3]。在这个过程中，学生通过“自我否定”来纠正自己的错误，从而实现了知识自我建构的过程，找到了没有“除法分配律”这个“对”的认识。
3.“错”中求“高”
数学课堂中，学生的错误总是屡见不鲜。要么是一不留心数字抄错了，要么是乘法口诀背错了，要么是小数点“站错位置”了……总之，都是芝麻大的错误，却像白纸上的许多小黑点一样，让老师感到非常不舒服。针对这一点，我主要采用面批课堂作业的方式来整治。当批到错题时，我并不是直接告诉学生错在哪里，而是让学生自己找出“症结”所在。但是，并不是所有的学生都能探囊取物般地找出错误。对于这类学生，就可以将错误进行扩大化，扩大到全班的层面来进行教学。如在教学分数除以分数时，我首先通过让学生学习分数除以整数的基础上独立尝试计算的方式，使学生在尝试中把错误暴露出来；接着，我利用课堂巡视把这些错例收集起来并呈现在黑板上，作为教学的生成资源加以利用；然后通过小组的讨论与交流，发现错例中存在的问题。通过师生、生生之间的思维火花相互碰撞，从而帮助部分学生清除思维过程中的滞碍。
4.“错”中寻“宝”
培养学生的创新能力是数学教学的最大价值，让数学思想在学生的心中扎根，也应该是数学教学的本质。在数学课堂中，我们要让学生出现的“错误”呈现出来，让学生在分类中认清错误的类型、归因中明白错误的原因，反思中获得正确的认识。在这个过程中，学生不仅加深了对知识内容的理解，而且提高了分析解决问题的能力。可以说，是“错误”让学生变得更加“完美”了。让我们来看看下面的例子：
在教学“长方形、正方形的认识”中“画长方形”这一环节时，先要求学生在作业纸上尝试画一个长方形，结果出现了下面这些情况：①图形不封口。②把长方形的长和宽画成曲线形的。③将两条长或两条宽画得不一样长……这时教师充分利用这些“错误”资源，选择几个投影出来，引导学生分析讨论分别错在哪里？是什么原因导致出现这样的错误？顿时教室里热闹起来。学生甲说：“长方形是一个封闭的图形，画的时候应该封口。”学生乙说：“长方形的长和宽是直的线，应该用铅笔沿直尺贴近把线画直。”学生丙说：“长方形的两条长和两条宽长度分别是相等的，不一样长的话就不是长方形了。”……这样，学生把错误的原因一个个地找出来了。教师接着说：“那我们在画长方形时应该注意哪些问题呢？怎么样才能画一个正确的长方形呢？”然后学生通过小组间的讨论交流，很快总结出画长方形的方法和画长方形時的几个注意点。对于学生在课堂中出现的“错误”，我们不能给予否定或回避，而是及时关注并直面学生的这些错误，变“错”为“宝”，把它们作为课堂生成的资源，让学生对“错误”进行分析、讨论，从中获得解决问题的方法，最大限度地调动起学生学习的积极性和主动性，从而让学生发现问题、分析问题和解决问题的能力“更上一层楼”。
总之，数学课堂中的错误也有其潜在的价值，作为数学教师要慧眼识“错”，并学会“翻转”，化“错”为美，将“错误”变成宝贵的知识“财富”。只要合理用“错”，把握生成，我们的数学课堂就会更加灵动、靓丽！
【参考文献】
[1] 王宜练.善待“错误”资源 打造精彩课堂[J]. 小学教学参考：数学，2008（10）：75.
[2] 陆茗竹.让错误成就数学精彩的课堂[J]. 语言文字学：数学，2016（10）：35.
[3] 华应龙. 聆听儿童思维真实的声音——我的融错教育观[J]. 人民教育，2010（12）：46.