论文部分内容阅读
“数学是思维的体操”，它能开发学生的智力，培养学生的思维能力，有助于学会思考、学会学习、学会创造。
知识是思维的载体，学习数学的目的是为了促进智慧的生长。郑毓信教授曾强调：分数是数学思维真正进入小学数学的地方。分数也是一些学生在数学学习中表现出真正困难的实际起点。
一、为什么困难
分数是学生数的概念的第一次扩展。在认识分数之前，学生认识的数都是万以内的整数，比如：0、1、2、3、4……
数的产生来源于实际生活的需要。朱国荣老师认为，在分数意义拓展时，分数被用来表示一个量与另一个量的比的关系。比如，把一堆苹果平均分成两份，其中的一份是苹果总数的。苹果总数的可能是1个，也可能是2个、3个……，当苹果总数是1个时，苹果总数的就是个。这个不再具体表示数量的多少，而表示部分和整体数量之间的关系。和学生认识自然数的经验和过程不相一致，不符合学生认识数的逻辑顺序。这也是学生在认识分数时普遍感到模糊、困难的根源。
二、困难在哪里
经过一段时间的分数教学，感触颇深。苏教版《义务教育教科书·数学》“分数”这部分知识分四次教学，安排如下：
三年级上册第七单元“分数的初步认识（一）”，认识一个物体（或图形）的几分之一（几分之几），同分母分数的大小比较，同分母分数的加、减法。
三年级下册第七单元“分数的初步认识（二）”，进一步丰富对分数的理解，把几个物体组成整体，认识整体的几分之一（几），求整体的几分之一（几）是多少。
五年级下册第四单元“分数的意义和性质”，教学分数的意义和分数单位，分数与除法的关系，求一个数是另一个数的几分之几，真分数与假分数，把假分数化成整数或带分数，分数与小数的互化，分数的基本性质，约分通分。
六年级上册第二单元“分数乘法”，分数与整数相乘，求一个数的几分之几是多少的实际问题，分数乘分数，分数连乘及其实际问题，认识倒数。
六年级上册第三单元“分数除法”，分数除以整数，整数除以分数，分数除以分数，简单的分数除法实际问题，分数连除和乘除混合运算。
六年级上册第五单元“分数四则混合运算”，分数四则混合运算，稍复杂的分数实际问题。
经过梳理教材，有两个知识点在学生的思维的提升方面起着至关重要的作用，可谓是两次飞跃。
（一）第一次飞跃——分数的意义
学生对分数认识，首次感受到一个数不再单纯的表示量，它是从感性走向理性的开始。分数的意义，在分数这部分知识中起引领作用，不论是分数的基本性质，分数大小的比较，约分、通分及四则计算，分数实际问题都建立在分数意义之上。从数学的角度来看，分数的引入是为了解决在整数集合里除法不是总能实施的矛盾。因此， 让学生认识到将一个物体、一个图形、一个计量单位、一些物体作为整体平均分，抽象出单位“1”，在教学中引导学生理解和掌握分数的概念，分数中的其它知识也会迎刃而解。
（二）第二次飞跃——分数乘法
分数乘法的计算方法的推导和有关分数乘法的实际问题的解决，为学生对分数作为分率的理解提供了机会。从中可以认识到分数不仅可以表示一个具体的量，还可以表示部分与整体之间的关系。学生从具体的数的世界转入到抽象的数的世界，认知上的一次跳跃，又是一次理性的提升。
三、如何突破困难
（一）让数学思维在“说”中渐入佳境
数学语言是数学思维的工具，是数学思维的外壳。爱因斯坦曾说过：“一个人智力的发展和形成概念的方法，在很大程度上取决于语言。”小学生语言区域狭窄，更缺乏数学语言。实践证明：语言能力提高了，思维能力也得到很好的发展。因此，在分数教学中，发展学生的思维，就要加强说理训练。
1.引导模仿，仿照着说
模仿是提供一种数学语言表达的范式，让学生仿照着范式思考，从而培养学生思维的准确性。在进行分数实际问题教学中，解题的关键是找准题中的关键句、单位“1”和数量关系，而题中的关键句的呈现形式各不相同。如：“十月份用水量比九月份节约”“其中是第一天用的”“ 一袋米吃了”等等。在理解这些句子中分数意义时，可以让学生试着这样说：把哪个量看作单位“1”？谁的几分之几是多少？数量关系式是什么？通过多次训练，学生不仅掌握了分析数量关系的方法，而且从儿童的自然语言，逐步过渡到规范、准确的数学语言，提高了学生数学语言表达能力，也促进了学生思维能力的提高。
2.引导联想，变着法说
引导学生联想，通过一个条件（关系）推出与其相关的条件（关系），培养学生的发散思维。在解决分数实际问题系时，关键句不仅可以表述成分数的形式，还可以表述成其他形式。如：根据“盐是盐水的”，启发学生联想：水是盐水的，盐是水的，盐比水少，盐与盐水的比是（ ）：（ ），鹽与水的比是（ ）：（ ），水是盐的（ ）倍等等。
在教学中，教师创造数学语言训练的机会，循循善诱，让学生在“说”中“思”，在“思”中“说”，培养学生表达自己见解的习惯，鼓励学生敢“想”，敢“说”，敢“与众不同”，对提高学生的求异思维起到事半功倍的效果。
3.引导反思，有条理地说
由于学生自我意识的发展还不成熟，对自己的思维破绽、错误不易注意。当学生对所学的内容有了较全面的理解和掌握时，教师应及时引导学生反思，让学生说解题思路、解题步骤。在说的过程中，不断调整自己的思维，试着自我总结，自我评价，提炼思想方法并形成解题策略。因此，在解决分数实际问题的过程中，应着力培养学生“自我反省”的习惯，有条理的表述思维过程。
4.引导比较，自由地说
在分数教学中，有很多具体内容不同，但有着相似结构的实际问题，教师可以创造机会，让学生仔细观察，鼓励学生独立思考，比较其相同点和不同点，自由的发表自己的见解，从联系中探索内在规律，这样，不同于单纯的就题讲题，还可以形成“自由辩论”的学风。
如：梨有60千克， 。苹果有多少千克？
（6）60÷（1 + ）
通过各抒己见，探索结构之间的关系，把相同的思考过程提炼出来，进一步抽象化、符号化。这样，在面对新的实际问题时，就能把已有的方法和策略，类推到新的情境中，迅速找到解决问题的方法。通过这样的练习，可以丰富学生的联想，增强思维活力，提高思维敏捷性。
（二）让数学思维在“图”中越飞越高
运用线段图解决问题是一种数学技能。围绕“解决分数实际问题”对我校六年级学生做了调查问卷。情况如下：
我们总想学生把线段图当做一种解题的策略，信手拈来。从上面的数据可以看出，对于大多数学生来说，成人看似简单的线段图，学生理解有一定的困难。
1.在具体情境中理解分数的意义
如：明明家有鹅4只，是鸡只数的，有几只鸡？
“鹅是鸡只数的”中表示：1只鹅对应3只鸡，2只鹅对应6只鸡，以此类推，4只鹅对应12只鸡。
理解的意义是一个破题的过程，清楚的破题，就自然而然地得到了解题的思路。因此，在解决实际问题的教学过程中，应重视破题这个环节。
2.由“文”到“图”
从儿童视角出发，将数学知识的过程、方法和结果用图像进行表征，勾勒出数学知识的本质属性。借助于学生能见到的或想到的几何图形、线段图等，对数量关系的直接感知，帮助学生理清数量关系：哪个量作为单位“1”，哪部分是单位“1”的几分之几，抽象的数量关系变得直观，有利于学生把握数学问题的本质。
3.图式结合，强化训练
教材中提供现成的线段图，帮助学生理解题意，但学生并不理解画线段图的过程。教学中让学生自己试着画，还原图形，然后与教材中的图对照，发现错误及时纠正。学生会画线段图不是一朝一夕能解决的问题，教师还应多鼓励。
用线段图来表征数学问题，可以帮助学生轻松的解答复杂关系的实际问题，既培养了学生的能力，又促进了学生思维的发展。因此画线段这样的图式意识是一种重要数学观念，会用图式表征是关键数学能力，图式思维更是必备学习品质。
（作者单位：江苏省南京市溧水区实验小学 ）
（责任编辑：杨强）
知识是思维的载体，学习数学的目的是为了促进智慧的生长。郑毓信教授曾强调：分数是数学思维真正进入小学数学的地方。分数也是一些学生在数学学习中表现出真正困难的实际起点。
一、为什么困难
分数是学生数的概念的第一次扩展。在认识分数之前，学生认识的数都是万以内的整数，比如：0、1、2、3、4……
数的产生来源于实际生活的需要。朱国荣老师认为，在分数意义拓展时，分数被用来表示一个量与另一个量的比的关系。比如，把一堆苹果平均分成两份，其中的一份是苹果总数的。苹果总数的可能是1个，也可能是2个、3个……，当苹果总数是1个时，苹果总数的就是个。这个不再具体表示数量的多少，而表示部分和整体数量之间的关系。和学生认识自然数的经验和过程不相一致，不符合学生认识数的逻辑顺序。这也是学生在认识分数时普遍感到模糊、困难的根源。
二、困难在哪里
经过一段时间的分数教学，感触颇深。苏教版《义务教育教科书·数学》“分数”这部分知识分四次教学，安排如下：
三年级上册第七单元“分数的初步认识（一）”，认识一个物体（或图形）的几分之一（几分之几），同分母分数的大小比较，同分母分数的加、减法。
三年级下册第七单元“分数的初步认识（二）”，进一步丰富对分数的理解，把几个物体组成整体，认识整体的几分之一（几），求整体的几分之一（几）是多少。
五年级下册第四单元“分数的意义和性质”，教学分数的意义和分数单位，分数与除法的关系，求一个数是另一个数的几分之几，真分数与假分数，把假分数化成整数或带分数，分数与小数的互化，分数的基本性质，约分通分。
六年级上册第二单元“分数乘法”，分数与整数相乘，求一个数的几分之几是多少的实际问题，分数乘分数，分数连乘及其实际问题，认识倒数。
六年级上册第三单元“分数除法”，分数除以整数，整数除以分数，分数除以分数，简单的分数除法实际问题，分数连除和乘除混合运算。
六年级上册第五单元“分数四则混合运算”，分数四则混合运算，稍复杂的分数实际问题。
经过梳理教材，有两个知识点在学生的思维的提升方面起着至关重要的作用，可谓是两次飞跃。
（一）第一次飞跃——分数的意义
学生对分数认识，首次感受到一个数不再单纯的表示量，它是从感性走向理性的开始。分数的意义，在分数这部分知识中起引领作用，不论是分数的基本性质，分数大小的比较，约分、通分及四则计算，分数实际问题都建立在分数意义之上。从数学的角度来看，分数的引入是为了解决在整数集合里除法不是总能实施的矛盾。因此， 让学生认识到将一个物体、一个图形、一个计量单位、一些物体作为整体平均分，抽象出单位“1”，在教学中引导学生理解和掌握分数的概念，分数中的其它知识也会迎刃而解。
（二）第二次飞跃——分数乘法
分数乘法的计算方法的推导和有关分数乘法的实际问题的解决，为学生对分数作为分率的理解提供了机会。从中可以认识到分数不仅可以表示一个具体的量，还可以表示部分与整体之间的关系。学生从具体的数的世界转入到抽象的数的世界，认知上的一次跳跃，又是一次理性的提升。
三、如何突破困难
（一）让数学思维在“说”中渐入佳境
数学语言是数学思维的工具，是数学思维的外壳。爱因斯坦曾说过：“一个人智力的发展和形成概念的方法，在很大程度上取决于语言。”小学生语言区域狭窄，更缺乏数学语言。实践证明：语言能力提高了，思维能力也得到很好的发展。因此，在分数教学中，发展学生的思维，就要加强说理训练。
1.引导模仿，仿照着说
模仿是提供一种数学语言表达的范式，让学生仿照着范式思考，从而培养学生思维的准确性。在进行分数实际问题教学中，解题的关键是找准题中的关键句、单位“1”和数量关系，而题中的关键句的呈现形式各不相同。如：“十月份用水量比九月份节约”“其中是第一天用的”“ 一袋米吃了”等等。在理解这些句子中分数意义时，可以让学生试着这样说：把哪个量看作单位“1”？谁的几分之几是多少？数量关系式是什么？通过多次训练，学生不仅掌握了分析数量关系的方法，而且从儿童的自然语言，逐步过渡到规范、准确的数学语言，提高了学生数学语言表达能力，也促进了学生思维能力的提高。
2.引导联想，变着法说
引导学生联想，通过一个条件（关系）推出与其相关的条件（关系），培养学生的发散思维。在解决分数实际问题系时，关键句不仅可以表述成分数的形式，还可以表述成其他形式。如：根据“盐是盐水的”，启发学生联想：水是盐水的，盐是水的，盐比水少，盐与盐水的比是（ ）：（ ），鹽与水的比是（ ）：（ ），水是盐的（ ）倍等等。
在教学中，教师创造数学语言训练的机会，循循善诱，让学生在“说”中“思”，在“思”中“说”，培养学生表达自己见解的习惯，鼓励学生敢“想”，敢“说”，敢“与众不同”，对提高学生的求异思维起到事半功倍的效果。
3.引导反思，有条理地说
由于学生自我意识的发展还不成熟，对自己的思维破绽、错误不易注意。当学生对所学的内容有了较全面的理解和掌握时，教师应及时引导学生反思，让学生说解题思路、解题步骤。在说的过程中，不断调整自己的思维，试着自我总结，自我评价，提炼思想方法并形成解题策略。因此，在解决分数实际问题的过程中，应着力培养学生“自我反省”的习惯，有条理的表述思维过程。
4.引导比较，自由地说
在分数教学中，有很多具体内容不同，但有着相似结构的实际问题，教师可以创造机会，让学生仔细观察，鼓励学生独立思考，比较其相同点和不同点，自由的发表自己的见解，从联系中探索内在规律，这样，不同于单纯的就题讲题，还可以形成“自由辩论”的学风。
如：梨有60千克， 。苹果有多少千克？
（6）60÷（1 + ）
通过各抒己见，探索结构之间的关系，把相同的思考过程提炼出来，进一步抽象化、符号化。这样，在面对新的实际问题时，就能把已有的方法和策略，类推到新的情境中，迅速找到解决问题的方法。通过这样的练习，可以丰富学生的联想，增强思维活力，提高思维敏捷性。
（二）让数学思维在“图”中越飞越高
运用线段图解决问题是一种数学技能。围绕“解决分数实际问题”对我校六年级学生做了调查问卷。情况如下：
我们总想学生把线段图当做一种解题的策略，信手拈来。从上面的数据可以看出，对于大多数学生来说，成人看似简单的线段图，学生理解有一定的困难。
1.在具体情境中理解分数的意义
如：明明家有鹅4只，是鸡只数的，有几只鸡？
“鹅是鸡只数的”中表示：1只鹅对应3只鸡，2只鹅对应6只鸡，以此类推，4只鹅对应12只鸡。
理解的意义是一个破题的过程，清楚的破题，就自然而然地得到了解题的思路。因此，在解决实际问题的教学过程中，应重视破题这个环节。
2.由“文”到“图”
从儿童视角出发，将数学知识的过程、方法和结果用图像进行表征，勾勒出数学知识的本质属性。借助于学生能见到的或想到的几何图形、线段图等，对数量关系的直接感知，帮助学生理清数量关系：哪个量作为单位“1”，哪部分是单位“1”的几分之几，抽象的数量关系变得直观，有利于学生把握数学问题的本质。
3.图式结合，强化训练
教材中提供现成的线段图，帮助学生理解题意，但学生并不理解画线段图的过程。教学中让学生自己试着画，还原图形，然后与教材中的图对照，发现错误及时纠正。学生会画线段图不是一朝一夕能解决的问题，教师还应多鼓励。
用线段图来表征数学问题，可以帮助学生轻松的解答复杂关系的实际问题，既培养了学生的能力，又促进了学生思维的发展。因此画线段这样的图式意识是一种重要数学观念，会用图式表征是关键数学能力，图式思维更是必备学习品质。
（作者单位：江苏省南京市溧水区实验小学 ）
（责任编辑：杨强）