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数学教育既是一门专业学科，又是一个学术领域。近10年来，儒家文化圈、华人世界在TIMSS（国际数学与科学教育成就趋势调查）、PISA（国际学生评定项目）等大型国际教育评价项目中的“突出表现”正成为一种“显学”，越来越得到各国政要、学术界、社会公众的普遍关注。那么，什么是数学教育？当前数学教育的研究现状如何，华人学者在这一领域做了哪些工作，取得了哪些成就，这是所有数学教育工作者关心的问题。
一、从“数学”与“教育”到“数学教育”
梁贯成，香港大学教育学院教授，国际数学及科学趋势研究香港区研究员，2013年度费兰登塔尔奖获得者，2002—2003年度福布莱特奖获得者，研究范围有数学教学及学习、数学教育比较研究、文化对数学学习的影响等。
在此次华人数学教育大会中，梁贯成教授主要谈的是有关数学教育的理论建设问题，他认为我们华人对理论特别不感兴趣，比较重视实际、实用，在数学架构的理论方面做得并不够。因此，梁教授主要从三个方面，即建立数学教育理论的重要性、国际数学教育理论建设的历程与华人在数学教育理论的建设过程中可以做的事情展开阐述。
数学教育到底是“道”还是“术”，这是梁教授给我们提出的第一个问题，接着，他从日本的柔道与空手道讲起，认为这些运动背后存在一个哲学与理论，并说华人在很多国际教育的比较中做得很好，如TIMSS、PISA，但这到底是“道”还是“术”，在其背后是不是存在一个理论支撑，这是值得我们思考的。他认为如果数学教育并不附属于某一大的教育理论，而是一个学术领域的话，要想实现领域化，就一定要有自己的理论，对现象之间的关系进行描述及对这个关系背后提出的原理给予解释，说明变数之间的关系，解释变数关系背后的原因。
同时，梁教授认为理论可以分为描述性理论和指导性理论，但不管是哪种理论，描述与解释是必须的，不可以让理论仅仅有指导性而没有说明其背后的原因，且理论常常是和实践相联系的。他认为在讲理论时要看重理论的两个方面，一是它“真不真”，二是理论“真”又如何，认为理论有正确性与适切性的问题，同时指出华人比较重视理论的适切性，这可能和实用主义有关。然而，梁教授认为，我们在做研究时不但要看理论的实用性，还要看真理是什么，要对真理有所追求。
如何看待数学教育理论建设的历程，梁教授认为数学是一门古老的学科，在古希腊时期就存在一些教育学理论，但数学教育是一门比较新的学科，不但要进行教育研究，而且也要想如何将数学做得更好。然而，数学教育作为一个学术领域，则始于19世纪末20世纪初学习心理学的发展，最先是关于课程、教材与教法的研究，研究课程怎么教，是教师教学的问题，抑或是学生、数学或者社会的问题。当时数学教育背后的哲学主要是实证主义，这是它的理论基础。发展到20世纪末，数学教育慢慢演变到以建构主义为理论基础，并从社会文化的理论框架而不单单从学习心理学的理论框架去分析数学问题。教学不单单是要看学生怎么学、教师怎么教，而且它总是在某一个环境中进行的，建构知识总是在某一情况、社会中进行的。此外，他还引用他人的观点指出数学是文化的产品，数学学习也是文化的产品，不能孤立起来，所以数学会受到整个文化的影响。因此，他认为，数学教育不单单要考虑心理学、数学与人的环境，还要考虑整体，考虑教育圈以外的情况，不管是数学，还是数学教育，这些都是社会的产物，是人类历史与社会发展的产物，不是从天上掉下来的，这对数学教育方法的研究有很大的影响。
如何看待华人学者在数学教育理论建设中所扮演的角色，梁教授指出，由于我们对理论的不重视，在理论建设方面有较大的限制，在一些国际性的大会中很少看到华人的参与。数学教育作为一种学术能力，在19世纪末20世纪初出现，并在20世纪60、70年代得到发展，但由于中国当时的历史与社会因素的影响，我们与外界的接触比较少，交流与沟通有限，当时的海外华人并没有成熟起来。此外，他认为语言也是影响华人学者在数学教育理论建设中发挥作用的一个重要因素，因为理论的建立需要沟通与发表，需要朋辈间的评判。
现在中国真正地富起来了，形成了一个很好的环境，对国际的影响也在加强，数学教育的水平也逐渐提高，世界对中国文化的认同度也在逐渐提升，这在整个华人数学教育的建设中很重要，在华人数学教育国际化的过程中也发挥着重要的作用。因此，梁教授指出，在数学教育的理论建设中，我们要想它发展成为成熟的学科，要有一定的分工，在分工的基础上重视合作，去粗取精。最后，他希望在老、中、青三代数学教育工作者的共同努力下，华人学者在理论建设领域作出卓越的贡献。
二、教育、数学与数学教育
史宁中，东北师范大学数学与统计学院教授，教育部应用统计重点实验室主任，国家《义务教育数学课程标准（2011年版）》修订组组长，国家《中学教师专业标准》制定组组长，教育部中学教师教育专业指导委员会主任，曾任东北师范大学校长，主要研究方向是数理统计。
史宁中教授主要基于教育与数学的视角来谈数学教育。什么是教育的本质，对此史教授认为教育是生存的需要，是一种本能，是主动性的行为。因此，他指出，我们在做教育研究时一定要回归教育本质，即教育首先是为了人的生存需要，然后才是为了社会的安定与国家的团结，它的目的是为了人更好地生存，所以我们应当把保持、放大孩子学习和创造的天性作为教育的原则。此外，他认为教育是知识的传授与教育的体验，本质上也是一种信息的传递，所以根据信息的承载工具与形式的不同，可以分为经验的教育（过程的教育）、知识的教育（结果的教育）和智慧的教育，其中智慧的教育表现在解题、做实验、游戏的过程中，通过过程的教育清楚有些事情必须要有本人的参与，仅仅依靠教师的“教”是学不会的。因此，他指出，教育应该以知识为本发展到以人的发展为本，或者走向智慧的教育。基于此，他提出了“尊重”的理念，指出要尊重教育规律、尊重人才成长规律、尊重受教育者的人格与人性、尊重学生的兴趣与个性发展，提倡在未来应实施智慧的教育，要让学生在过程中感悟教育的本质是教会学生做人、学会想事与学会做事。 同时，史教授又指出在修订数学课程标准时要将传统的“双基”（基本知识与基本技能）变成“四基”（基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验），认为一件事情走向异化，走到登峰造极的程度就会走向反面。“双基”强调基础知识扎实、基本技能熟练，但后来逐渐地简化为基础知识靠记忆、基本技能靠训练，使教育变成一种机械的教育。他认为知识需要摸索与积累，所以提出了基本活动经验，认为教师要帮助孩子积累自己的思维与做事的经验，而且指出数学学习应该建立在数学可能提供的数学思维，即基本思想上。
何谓数学素养？史教授认为任何一门学科都应该将学科的直觉或者学科直观作为培养目标，其实数学结果在本质上是看出来的，而不是证出来的，需要悟。他记得康德曾经说过，任何知识都是从直觉开始的，然后进入概念，最后以理念结束。因此，史教授指出，我们在学习数学时，要感悟数学的基本思想，这是数学产生与发展所依赖的思想，包括抽象、推理与模型，这也导致了学过数学的人与没有学过数学的人在思维上的本质差异。接着，他对数学抽象、数学推理与数学模型给予详细的介绍，指出数学抽象就是把数学要研究的对象抽象出数量、图形，特别是数量、图形之间的关系；数学推理是指从一个命题判断（可供判断的语句）到另一个命题判断的思维过程，有逻辑的推理是指命题内涵之间具有某种传递性；数学模型是指用数学的语言讲述现实世界的故事，不仅仅是数学，还包括现实世界中的那些将要讲述的东西，通过模型搭建数学与外部世界的关系。史教授认为数学本质的应用其实是一种模型的应用，要从数学和现实这两个出发点进行研究，从数学的角度汲取创造数学的灵感，促进数学自身的发展。
此外，史教授还指出当前数学领域出现的一些现象，如严重的对象符号化、推理形式化、逻辑论证公理化，认为数学教育不能这样，要发挥数学教育的功能，将科学形态的数学知识转化为可接受的教育形态的数学知识，让符号化的概念在教学中体现为现实、形式化的证明在教学中是直观体现的、推理体系的公理在教学中体现为归纳。
最后，他认为基础教育未来发展的最核心内容应是落实课程标准，把握“四基”教学，通过演绎、推理与归纳将单向的思维训练改为双向思维的培养，在高中数学课程中体现“基础性”的同时强调“选择性”，在促进学生全面发展的基础上鼓励学生个性发展，并相信在未来的10年这个目标有可能会实现。
三、数学教育走一回
林福来，台湾师范大学数学系教授，2011年荣获台湾科学委员会“终生成就奖”，主要研究领域为数学教育。
林福来教授主要采用说故事的方式讲述了一个有关数学教育的学术故事。他用一个数学式子ME=ΣijPi（Nj），其中Pi代表期间，Nj表示叙事，意思是指主要讲述在哪个期间自身在反省着的哪些故事。此次大会中，林教授主要讲述关于“台生”（典型的台湾中学生）与“英伦”（典型的英国中学生）的数学故事，从而启动台湾第一代数学教育实证研究的前导篇章，即加者与乘降者。这个故事发生在20世纪80年代初期，当时台湾“科学委员会”在原有的基础上增加了科学教育发展处，它所做的一个实证研究得到学界、心理学界、教育学界的参与与大力推动，而且在课程设计、教学、师资培育、研究方法上代代传承，为数学留下了鲜明的数学教育的印象。
这个故事是这样的：“英伦”与“台生”都是国中八年级的学生，林教授对他们如何解答“比例问题”进行了调查，考查他们面对4人份、6人份、8人份的情况时会怎么做，结果发现：“英伦”会说4人份、8人份的情况就是将其折半，6人份的话，就是在4人份的基础上再折半，得到2人份，4人份加上2人份就是6人份，从而避开所有的分数，也不会使用乘法与除法；“台生”则是采用除以8再乘以6得到6人份。在观察他们处理“K字问题”（图中K的形状一样、大小不同）时，他们的表现却是一样的，将其看作是等差数据进行处理，其他的类似行为一直被持续。林教授也指出，在对“英伦”进行访谈时，“英伦”说他用的是折半法，当问到他是不是除以2，他说不是，说没有做除以2的动作；那是乘以1/2吗，“英伦”说也不是，就是折半；对6人份，“英伦”认为就是8人份折半得到4人份，4人份折半得到2人份，4人份加上2人份就是6人份，和乘除法都没有关系，主要采用折半法、折半叠加法和加减法。由于“英伦”处理“比例问题”的策略一致使用折半法、加减法及加法策略，故称之为“加者”。“台生”对这个问题主要采用的方法是乘以1/2，除以2；除以8，乘以6；乘以6/8，到加法策略，也会使用乘法策略解较简易的比例问题，在遇到等差型问题时又降回加法策略，故称之为“乘降者”。
对于上述的调查与访谈情况，林教授引发了进一步的思考，为什么“台生”在碰到难一些的问题时会降回加法策略呢？为此，他做了一个有关“K字题”的访谈，并对不同的题目进行变型，发现“台生”在处理“比例推理”问题时的策略是看到整数倍的用乘法，看不到的用加法策略。同时，林教授指出，在20世纪80年代，社会上比较盛行的是巴西的街头数学、菜市场法，当时英国有关数学教育的白皮书就鼓励采用折半叠加的方法，但台湾地区并不鼓励菜市场法，独尊形式演算。因此，他认为之所以他们会出现不同的做法，主要是教育文化差异的影响，“英伦”拥有双数学系统，不但会采用学童法，也会形式演算，但如何实现双系统的科学、顺利地过渡，这是我们要思考的问题；“台生”则聚焦于单一的形式演算，有时会不知道自己在做什么，有因为缺乏数学感的学习氛围而被淘汰的可能。如果从文化的角度来看“台生”与“英伦”的数学教育，林教授认为我们可以看到：“英伦”的个人主义较浓，会独立思考，会使用学童法，其想法也会和教师给高分的想法南辕北辙；而“台生”的顺从主义就会较强，比较听教师与家长的话，采用形式演算的方法，使得自己的想法与教师给高分的方法一致性高达60%。
那么这个故事说明了什么？林教授对“加者与乘降者”的学术故事做了总结，认为数学可以了解层次模式的社会性议题，了解层次模式的普适性，一定要建立自己的模型进行数学教育研究，要了解学生的行为会因为社会差异与地域差异而不同。最后，他点出；其实，造就不老传奇故事的经验就是悟。 四、从国际视野看数学课程发展和改革的问题与趋势
范良火，英国南安普顿大学数学与科学教育研究中心主任，终身教授，一直从事数学教育研究，著有《华人如何学习数学》、《教师的教学知识发展研究》等。
范良火教授主要从国际视野来谈数学课程发展与改革的问题和趋势，他认为数学课程改革是一个长期的话题，会受到社会进步和经济发展及数学自身发展需求的影响，再加上TIMSS与PISA测试结果的作用，各个国家和地区，如越南、加拿大、马来西亚、芬兰等的政府产生了强大而直接地进行数学课程改革的压力与动力。因此，范教授结合这些地区的TIMSS与PISA公布的学生成绩，比较英国、荷兰、印度尼西亚和加拿大等国的最新数学课程发展和改革的实践及出现和遇到的主要争论与问题，并联系中国的情况提出个人对学校数学课程发展和改革有关问题的认识。
1.英国
范教授指出，根据TIMSS的比较结果，英国2011年四年级学生的排名是第9，八年级学生的排名是第10，在西欧国家中处于中等位置；2012年，其PISA的排名是第26位。根据调查得知，英国最新的数学课程是2010年新政府上台后进行检讨并开始引进与实施的，在2013年2月公布了咨询大纲，这可能是为了给教师更大的课程组织和教学的专业自由度，也可能是想让国家课程为所有的学校提供一个基准，为所有的年轻人提供自信和成功地接受不同阶段教育所需要的知识，并照顾到特殊资质学生的需要。英国实施新的数学课程也应该和TIMSS有关系，是为了确保国家课程能与国际上表现最好的国家和地区的最成功的课程相比有优势，能反映出国家已有的关于儿童如何学习和应用知识的集体智慧。此外，英国实施新课程标准也是为了对学生成绩设立严格的要求，使家长能理解他们的孩子在校整个学习阶段应学什么，考虑儿童需要进一步学习和发展所需要的基本知识。
基于这些可能的新课程引进与实施的原因，范教授发现英国的数学课程改革有了一定的变化，如政府对小学数学课程有了更高的标准，明确地要求学生要会对分数进行四则运算，这一改变与新加坡、我国香港等地的要求相一致；到9岁时，他们要知道到12×12的乘法表，这与美国Massachusetts州的要求一致；到7岁时，学生应该知道到20为止的Number bonds，如9 9=18等。而且，他还指出，英国的新课程改革对低年级学生的要求比较高，5岁的儿童（小学一年级）要学会简单的分数，如1/2和1/4，学生到9岁时要学会12×12的乘法表。同时，范教授又指出，ATM（英国数学教师协会）认为这对各个年级的要求太高，与学生的年龄段发展不符合，形式化的东西太早；过于依赖练习作为主要教学方法，培养不出数学熟练者；过多地注意过时的算术纸笔方法方面的发展技能，会影响学生在数学概念和能力方面奠定良好的基础。因此，他认为英国的国家数学课程需要继续解决的一个问题是怎样通过新的数学内容的运用和应用来同时发展学生数学推理和解决问题的能力。
2.荷兰
范教授指出荷兰四年级学生2011年TIMSS的排名位居第12位，其最新的数学课程在2013、2014学年开始实施，并在专业团体中进行了广泛的咨询，这主要是因为当时中学数学课程的时间减少，每周2～3学时，而且数学教师短缺。他认为荷兰当地的课程改革措施全部都是新的，16～18岁的中学生在毕业前都要参加独立的算术考试，考试成绩作为总成绩的一部分，明确要重视知识和技能的教学，走中间道路，但国家对基本知识和技能的作用及应该怎样教学存在不同的观点，主要集中在算术考试、现实数学教育、各阶段教育的作用、低阶段教育、图形计算器等层面，希望在今后的5年时间中荷兰的数学课程会更重视基本知识和技能，并认为这可能是一个循环过程，没有终点。
3.印度尼西亚
印度尼西亚2011年四年级学生的TIMSS成绩排名是第38位。范教授指出，该国家最新的数学课程改革是从2013年开始的，当时主要针对一、四、七、十年级，在2014年开始会针对二、五、八、十一年级的数学课程进行改革，预计2015年会对三、六、九、十二年级的数学课程进行改革。
为什么印度尼西亚会进行数学课程的改革，范教授指出，根据当地教育部的说法，国家的TIMSS与PISA成绩很低，学生不应该只“知”而不会“做”和“用”，所以当地的数学课程时数虽然没有改变，但减少了部分内容，使得算术内容更受重视，并将ICT（信息通讯技术）结合到各科目中，包括数学。但同时，范教授认为虽然此次课程改革表现出上述的特点，但几乎所有的教师和教育工作者认为他们之前实施的课程都OK，认为这次改革改得太快、太急，且全国统考有失教育公平等，不明确未来课程的发展方向在哪。
4.加拿大
加拿大的TIMSS成绩在西方国家还是比较好的，但其PISA2012的成绩排名是第13位。关于加拿大数学课程改革，范教授指出，国家现行的课程完全不教“四则运算”的基本方法，认为算法对学生学习数学有害，但家长等一些团体认为需要教一些基本方法，所以在未来，“四则运算”的基本方法可能会重新放入到新的数学课程中。
最后，范教授认为加强基础和发展理解是这些国家新课程改革的一个关注焦点，总体上有加强基础的趋势，但同时也指出，国家的数学课程改革要避免片面化与极端化，要客观全面地对待任何一种数学教育理论或学说，我国在数学课程改革中借鉴国外经验时不应简单地照搬，要批判性地借鉴。
五、香港地区数学教育研究：成果、亮点、挑战与反思
黄毅英，香港中文大学课程与教学学系教授、博士生导师，曾任教育本科课程学科主任及数学教育硕士课程总监，研究范围非常广泛，包括数学态度、课程学习环境、数学观、数学价值、数学教师宗教观、活动课程及儒家文化圈学习现象等。
黄教授开篇就说香港是个很小的地方，但在文化的密集性上会超出任何一个城市，不同的人群都曾在香港活动过。接着他将学习涉及的内容给予简略介绍，认为学习这一“麻雀”虽小，但五脏俱全，指出学习包括智性过程，如问题解决策略及模式、开放题的运用、概念地图、数学理解与误解、合作学习；包括情感因素，如态度、自信心、数字焦虑、投入动机、学习习惯、家庭背景、强化作用、课堂环境；包括信念，如师生的数学观和数学学习观、教师对有效数学学习的观感；包括经历空间，如现况研究、引入变异拓阔经历空间；包括不同群体的教与学，如学习差异、资优与学习困难、男女差异、少数族裔与新移民、幼儿数学；包括教学研究，如通达学习、变式课程、个别课题的教学、引入数学史、游戏与实物动手、小班教学；包括信息技术，如计算机教学、电子家课、CAS（计算机代数系统）及DG（互动几何）、ICT环境中的问题解决、对课程与教学的影响；包括课程，如课程的评析、跨地域研究（TIMSS、PISA、LPS）、城乡比较、课程历史脉络等。
同时，他认为香港地区的数学教研已初备规模，由“放洋取得博士学位”到“本土博士”再到培养其他地区的博士，在国际学术界上也受到认可，但仍须进行各种教学实验的有效性研究，如行动研究、教师的专业发展（转变）研究、不同群体学习方式的研究，从而在评估中促进学习。
此外，黄教授认为香港地区基本上摆脱了“数学教育=教育学 数学例子”的模式，在概念与方法上有外借与输出，形成了独立的数学教育学理，并且在治学态度上提倡学术的严谨性与论文的评审制度，言必有据，成为香港地区数学教育的亮点。与此同时，黄教授指出香港依旧存在下列一些情况，如重宏观理论轻学科、忘失发现研究的乐趣等，这不利于跨校合作，并将《碧岩录》中黄檗的“不道无禅，只是无师”变成了“不到无研，只是无时”来说明现时所看到的都是十年八年前的研究结果。
最后，黄教授讲到了郑毓信教授指出的数学教育改革的十五对对应关系，认为数学教育是一个平衡的问题，是搭一个桥梁的问题，基本功不应该变成思想与思考的障碍，应是发展思想的动力，关键在于我们能不能找到二者之间的桥梁，指出我们要对教数学与育人、教育学、满堂灌与满堂问、学与习、学与独学的关系进行反思，看它们是不是存在共通能力，要防止“去数学化”。最后，他借助道家的话，指出在阴阳之间我们不需要把每件事都一分为二来看待，“有你无我”不是最好的方法，“有推有拉”才是一个最完美的结合。
（责任编辑：孙建辉）
一、从“数学”与“教育”到“数学教育”
梁贯成，香港大学教育学院教授，国际数学及科学趋势研究香港区研究员，2013年度费兰登塔尔奖获得者，2002—2003年度福布莱特奖获得者，研究范围有数学教学及学习、数学教育比较研究、文化对数学学习的影响等。
在此次华人数学教育大会中，梁贯成教授主要谈的是有关数学教育的理论建设问题，他认为我们华人对理论特别不感兴趣，比较重视实际、实用，在数学架构的理论方面做得并不够。因此，梁教授主要从三个方面，即建立数学教育理论的重要性、国际数学教育理论建设的历程与华人在数学教育理论的建设过程中可以做的事情展开阐述。
数学教育到底是“道”还是“术”，这是梁教授给我们提出的第一个问题，接着，他从日本的柔道与空手道讲起，认为这些运动背后存在一个哲学与理论，并说华人在很多国际教育的比较中做得很好，如TIMSS、PISA，但这到底是“道”还是“术”，在其背后是不是存在一个理论支撑，这是值得我们思考的。他认为如果数学教育并不附属于某一大的教育理论，而是一个学术领域的话，要想实现领域化，就一定要有自己的理论，对现象之间的关系进行描述及对这个关系背后提出的原理给予解释，说明变数之间的关系，解释变数关系背后的原因。
同时，梁教授认为理论可以分为描述性理论和指导性理论，但不管是哪种理论，描述与解释是必须的，不可以让理论仅仅有指导性而没有说明其背后的原因，且理论常常是和实践相联系的。他认为在讲理论时要看重理论的两个方面，一是它“真不真”，二是理论“真”又如何，认为理论有正确性与适切性的问题，同时指出华人比较重视理论的适切性，这可能和实用主义有关。然而，梁教授认为，我们在做研究时不但要看理论的实用性，还要看真理是什么，要对真理有所追求。
如何看待数学教育理论建设的历程，梁教授认为数学是一门古老的学科，在古希腊时期就存在一些教育学理论，但数学教育是一门比较新的学科，不但要进行教育研究，而且也要想如何将数学做得更好。然而，数学教育作为一个学术领域，则始于19世纪末20世纪初学习心理学的发展，最先是关于课程、教材与教法的研究，研究课程怎么教，是教师教学的问题，抑或是学生、数学或者社会的问题。当时数学教育背后的哲学主要是实证主义，这是它的理论基础。发展到20世纪末，数学教育慢慢演变到以建构主义为理论基础，并从社会文化的理论框架而不单单从学习心理学的理论框架去分析数学问题。教学不单单是要看学生怎么学、教师怎么教，而且它总是在某一个环境中进行的，建构知识总是在某一情况、社会中进行的。此外，他还引用他人的观点指出数学是文化的产品，数学学习也是文化的产品，不能孤立起来，所以数学会受到整个文化的影响。因此，他认为，数学教育不单单要考虑心理学、数学与人的环境，还要考虑整体，考虑教育圈以外的情况，不管是数学，还是数学教育，这些都是社会的产物，是人类历史与社会发展的产物，不是从天上掉下来的，这对数学教育方法的研究有很大的影响。
如何看待华人学者在数学教育理论建设中所扮演的角色，梁教授指出，由于我们对理论的不重视，在理论建设方面有较大的限制，在一些国际性的大会中很少看到华人的参与。数学教育作为一种学术能力，在19世纪末20世纪初出现，并在20世纪60、70年代得到发展，但由于中国当时的历史与社会因素的影响，我们与外界的接触比较少，交流与沟通有限，当时的海外华人并没有成熟起来。此外，他认为语言也是影响华人学者在数学教育理论建设中发挥作用的一个重要因素，因为理论的建立需要沟通与发表，需要朋辈间的评判。
现在中国真正地富起来了，形成了一个很好的环境，对国际的影响也在加强，数学教育的水平也逐渐提高，世界对中国文化的认同度也在逐渐提升，这在整个华人数学教育的建设中很重要，在华人数学教育国际化的过程中也发挥着重要的作用。因此，梁教授指出，在数学教育的理论建设中，我们要想它发展成为成熟的学科，要有一定的分工，在分工的基础上重视合作，去粗取精。最后，他希望在老、中、青三代数学教育工作者的共同努力下，华人学者在理论建设领域作出卓越的贡献。
二、教育、数学与数学教育
史宁中，东北师范大学数学与统计学院教授，教育部应用统计重点实验室主任，国家《义务教育数学课程标准（2011年版）》修订组组长，国家《中学教师专业标准》制定组组长，教育部中学教师教育专业指导委员会主任，曾任东北师范大学校长，主要研究方向是数理统计。
史宁中教授主要基于教育与数学的视角来谈数学教育。什么是教育的本质，对此史教授认为教育是生存的需要，是一种本能，是主动性的行为。因此，他指出，我们在做教育研究时一定要回归教育本质，即教育首先是为了人的生存需要，然后才是为了社会的安定与国家的团结，它的目的是为了人更好地生存，所以我们应当把保持、放大孩子学习和创造的天性作为教育的原则。此外，他认为教育是知识的传授与教育的体验，本质上也是一种信息的传递，所以根据信息的承载工具与形式的不同，可以分为经验的教育（过程的教育）、知识的教育（结果的教育）和智慧的教育，其中智慧的教育表现在解题、做实验、游戏的过程中，通过过程的教育清楚有些事情必须要有本人的参与，仅仅依靠教师的“教”是学不会的。因此，他指出，教育应该以知识为本发展到以人的发展为本，或者走向智慧的教育。基于此，他提出了“尊重”的理念，指出要尊重教育规律、尊重人才成长规律、尊重受教育者的人格与人性、尊重学生的兴趣与个性发展，提倡在未来应实施智慧的教育，要让学生在过程中感悟教育的本质是教会学生做人、学会想事与学会做事。 同时，史教授又指出在修订数学课程标准时要将传统的“双基”（基本知识与基本技能）变成“四基”（基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验），认为一件事情走向异化，走到登峰造极的程度就会走向反面。“双基”强调基础知识扎实、基本技能熟练，但后来逐渐地简化为基础知识靠记忆、基本技能靠训练，使教育变成一种机械的教育。他认为知识需要摸索与积累，所以提出了基本活动经验，认为教师要帮助孩子积累自己的思维与做事的经验，而且指出数学学习应该建立在数学可能提供的数学思维，即基本思想上。
何谓数学素养？史教授认为任何一门学科都应该将学科的直觉或者学科直观作为培养目标，其实数学结果在本质上是看出来的，而不是证出来的，需要悟。他记得康德曾经说过，任何知识都是从直觉开始的，然后进入概念，最后以理念结束。因此，史教授指出，我们在学习数学时，要感悟数学的基本思想，这是数学产生与发展所依赖的思想，包括抽象、推理与模型，这也导致了学过数学的人与没有学过数学的人在思维上的本质差异。接着，他对数学抽象、数学推理与数学模型给予详细的介绍，指出数学抽象就是把数学要研究的对象抽象出数量、图形，特别是数量、图形之间的关系；数学推理是指从一个命题判断（可供判断的语句）到另一个命题判断的思维过程，有逻辑的推理是指命题内涵之间具有某种传递性；数学模型是指用数学的语言讲述现实世界的故事，不仅仅是数学，还包括现实世界中的那些将要讲述的东西，通过模型搭建数学与外部世界的关系。史教授认为数学本质的应用其实是一种模型的应用，要从数学和现实这两个出发点进行研究，从数学的角度汲取创造数学的灵感，促进数学自身的发展。
此外，史教授还指出当前数学领域出现的一些现象，如严重的对象符号化、推理形式化、逻辑论证公理化，认为数学教育不能这样，要发挥数学教育的功能，将科学形态的数学知识转化为可接受的教育形态的数学知识，让符号化的概念在教学中体现为现实、形式化的证明在教学中是直观体现的、推理体系的公理在教学中体现为归纳。
最后，他认为基础教育未来发展的最核心内容应是落实课程标准，把握“四基”教学，通过演绎、推理与归纳将单向的思维训练改为双向思维的培养，在高中数学课程中体现“基础性”的同时强调“选择性”，在促进学生全面发展的基础上鼓励学生个性发展，并相信在未来的10年这个目标有可能会实现。
三、数学教育走一回
林福来，台湾师范大学数学系教授，2011年荣获台湾科学委员会“终生成就奖”，主要研究领域为数学教育。
林福来教授主要采用说故事的方式讲述了一个有关数学教育的学术故事。他用一个数学式子ME=ΣijPi（Nj），其中Pi代表期间，Nj表示叙事，意思是指主要讲述在哪个期间自身在反省着的哪些故事。此次大会中，林教授主要讲述关于“台生”（典型的台湾中学生）与“英伦”（典型的英国中学生）的数学故事，从而启动台湾第一代数学教育实证研究的前导篇章，即加者与乘降者。这个故事发生在20世纪80年代初期，当时台湾“科学委员会”在原有的基础上增加了科学教育发展处，它所做的一个实证研究得到学界、心理学界、教育学界的参与与大力推动，而且在课程设计、教学、师资培育、研究方法上代代传承，为数学留下了鲜明的数学教育的印象。
这个故事是这样的：“英伦”与“台生”都是国中八年级的学生，林教授对他们如何解答“比例问题”进行了调查，考查他们面对4人份、6人份、8人份的情况时会怎么做，结果发现：“英伦”会说4人份、8人份的情况就是将其折半，6人份的话，就是在4人份的基础上再折半，得到2人份，4人份加上2人份就是6人份，从而避开所有的分数，也不会使用乘法与除法；“台生”则是采用除以8再乘以6得到6人份。在观察他们处理“K字问题”（图中K的形状一样、大小不同）时，他们的表现却是一样的，将其看作是等差数据进行处理，其他的类似行为一直被持续。林教授也指出，在对“英伦”进行访谈时，“英伦”说他用的是折半法，当问到他是不是除以2，他说不是，说没有做除以2的动作；那是乘以1/2吗，“英伦”说也不是，就是折半；对6人份，“英伦”认为就是8人份折半得到4人份，4人份折半得到2人份，4人份加上2人份就是6人份，和乘除法都没有关系，主要采用折半法、折半叠加法和加减法。由于“英伦”处理“比例问题”的策略一致使用折半法、加减法及加法策略，故称之为“加者”。“台生”对这个问题主要采用的方法是乘以1/2，除以2；除以8，乘以6；乘以6/8，到加法策略，也会使用乘法策略解较简易的比例问题，在遇到等差型问题时又降回加法策略，故称之为“乘降者”。
对于上述的调查与访谈情况，林教授引发了进一步的思考，为什么“台生”在碰到难一些的问题时会降回加法策略呢？为此，他做了一个有关“K字题”的访谈，并对不同的题目进行变型，发现“台生”在处理“比例推理”问题时的策略是看到整数倍的用乘法，看不到的用加法策略。同时，林教授指出，在20世纪80年代，社会上比较盛行的是巴西的街头数学、菜市场法，当时英国有关数学教育的白皮书就鼓励采用折半叠加的方法，但台湾地区并不鼓励菜市场法，独尊形式演算。因此，他认为之所以他们会出现不同的做法，主要是教育文化差异的影响，“英伦”拥有双数学系统，不但会采用学童法，也会形式演算，但如何实现双系统的科学、顺利地过渡，这是我们要思考的问题；“台生”则聚焦于单一的形式演算，有时会不知道自己在做什么，有因为缺乏数学感的学习氛围而被淘汰的可能。如果从文化的角度来看“台生”与“英伦”的数学教育，林教授认为我们可以看到：“英伦”的个人主义较浓，会独立思考，会使用学童法，其想法也会和教师给高分的想法南辕北辙；而“台生”的顺从主义就会较强，比较听教师与家长的话，采用形式演算的方法，使得自己的想法与教师给高分的方法一致性高达60%。
那么这个故事说明了什么？林教授对“加者与乘降者”的学术故事做了总结，认为数学可以了解层次模式的社会性议题，了解层次模式的普适性，一定要建立自己的模型进行数学教育研究，要了解学生的行为会因为社会差异与地域差异而不同。最后，他点出；其实，造就不老传奇故事的经验就是悟。 四、从国际视野看数学课程发展和改革的问题与趋势
范良火，英国南安普顿大学数学与科学教育研究中心主任，终身教授，一直从事数学教育研究，著有《华人如何学习数学》、《教师的教学知识发展研究》等。
范良火教授主要从国际视野来谈数学课程发展与改革的问题和趋势，他认为数学课程改革是一个长期的话题，会受到社会进步和经济发展及数学自身发展需求的影响，再加上TIMSS与PISA测试结果的作用，各个国家和地区，如越南、加拿大、马来西亚、芬兰等的政府产生了强大而直接地进行数学课程改革的压力与动力。因此，范教授结合这些地区的TIMSS与PISA公布的学生成绩，比较英国、荷兰、印度尼西亚和加拿大等国的最新数学课程发展和改革的实践及出现和遇到的主要争论与问题，并联系中国的情况提出个人对学校数学课程发展和改革有关问题的认识。
1.英国
范教授指出，根据TIMSS的比较结果，英国2011年四年级学生的排名是第9，八年级学生的排名是第10，在西欧国家中处于中等位置；2012年，其PISA的排名是第26位。根据调查得知，英国最新的数学课程是2010年新政府上台后进行检讨并开始引进与实施的，在2013年2月公布了咨询大纲，这可能是为了给教师更大的课程组织和教学的专业自由度，也可能是想让国家课程为所有的学校提供一个基准，为所有的年轻人提供自信和成功地接受不同阶段教育所需要的知识，并照顾到特殊资质学生的需要。英国实施新的数学课程也应该和TIMSS有关系，是为了确保国家课程能与国际上表现最好的国家和地区的最成功的课程相比有优势，能反映出国家已有的关于儿童如何学习和应用知识的集体智慧。此外，英国实施新课程标准也是为了对学生成绩设立严格的要求，使家长能理解他们的孩子在校整个学习阶段应学什么，考虑儿童需要进一步学习和发展所需要的基本知识。
基于这些可能的新课程引进与实施的原因，范教授发现英国的数学课程改革有了一定的变化，如政府对小学数学课程有了更高的标准，明确地要求学生要会对分数进行四则运算，这一改变与新加坡、我国香港等地的要求相一致；到9岁时，他们要知道到12×12的乘法表，这与美国Massachusetts州的要求一致；到7岁时，学生应该知道到20为止的Number bonds，如9 9=18等。而且，他还指出，英国的新课程改革对低年级学生的要求比较高，5岁的儿童（小学一年级）要学会简单的分数，如1/2和1/4，学生到9岁时要学会12×12的乘法表。同时，范教授又指出，ATM（英国数学教师协会）认为这对各个年级的要求太高，与学生的年龄段发展不符合，形式化的东西太早；过于依赖练习作为主要教学方法，培养不出数学熟练者；过多地注意过时的算术纸笔方法方面的发展技能，会影响学生在数学概念和能力方面奠定良好的基础。因此，他认为英国的国家数学课程需要继续解决的一个问题是怎样通过新的数学内容的运用和应用来同时发展学生数学推理和解决问题的能力。
2.荷兰
范教授指出荷兰四年级学生2011年TIMSS的排名位居第12位，其最新的数学课程在2013、2014学年开始实施，并在专业团体中进行了广泛的咨询，这主要是因为当时中学数学课程的时间减少，每周2～3学时，而且数学教师短缺。他认为荷兰当地的课程改革措施全部都是新的，16～18岁的中学生在毕业前都要参加独立的算术考试，考试成绩作为总成绩的一部分，明确要重视知识和技能的教学，走中间道路，但国家对基本知识和技能的作用及应该怎样教学存在不同的观点，主要集中在算术考试、现实数学教育、各阶段教育的作用、低阶段教育、图形计算器等层面，希望在今后的5年时间中荷兰的数学课程会更重视基本知识和技能，并认为这可能是一个循环过程，没有终点。
3.印度尼西亚
印度尼西亚2011年四年级学生的TIMSS成绩排名是第38位。范教授指出，该国家最新的数学课程改革是从2013年开始的，当时主要针对一、四、七、十年级，在2014年开始会针对二、五、八、十一年级的数学课程进行改革，预计2015年会对三、六、九、十二年级的数学课程进行改革。
为什么印度尼西亚会进行数学课程的改革，范教授指出，根据当地教育部的说法，国家的TIMSS与PISA成绩很低，学生不应该只“知”而不会“做”和“用”，所以当地的数学课程时数虽然没有改变，但减少了部分内容，使得算术内容更受重视，并将ICT（信息通讯技术）结合到各科目中，包括数学。但同时，范教授认为虽然此次课程改革表现出上述的特点，但几乎所有的教师和教育工作者认为他们之前实施的课程都OK，认为这次改革改得太快、太急，且全国统考有失教育公平等，不明确未来课程的发展方向在哪。
4.加拿大
加拿大的TIMSS成绩在西方国家还是比较好的，但其PISA2012的成绩排名是第13位。关于加拿大数学课程改革，范教授指出，国家现行的课程完全不教“四则运算”的基本方法，认为算法对学生学习数学有害，但家长等一些团体认为需要教一些基本方法，所以在未来，“四则运算”的基本方法可能会重新放入到新的数学课程中。
最后，范教授认为加强基础和发展理解是这些国家新课程改革的一个关注焦点，总体上有加强基础的趋势，但同时也指出，国家的数学课程改革要避免片面化与极端化，要客观全面地对待任何一种数学教育理论或学说，我国在数学课程改革中借鉴国外经验时不应简单地照搬，要批判性地借鉴。
五、香港地区数学教育研究：成果、亮点、挑战与反思
黄毅英，香港中文大学课程与教学学系教授、博士生导师，曾任教育本科课程学科主任及数学教育硕士课程总监，研究范围非常广泛，包括数学态度、课程学习环境、数学观、数学价值、数学教师宗教观、活动课程及儒家文化圈学习现象等。
黄教授开篇就说香港是个很小的地方，但在文化的密集性上会超出任何一个城市，不同的人群都曾在香港活动过。接着他将学习涉及的内容给予简略介绍，认为学习这一“麻雀”虽小，但五脏俱全，指出学习包括智性过程，如问题解决策略及模式、开放题的运用、概念地图、数学理解与误解、合作学习；包括情感因素，如态度、自信心、数字焦虑、投入动机、学习习惯、家庭背景、强化作用、课堂环境；包括信念，如师生的数学观和数学学习观、教师对有效数学学习的观感；包括经历空间，如现况研究、引入变异拓阔经历空间；包括不同群体的教与学，如学习差异、资优与学习困难、男女差异、少数族裔与新移民、幼儿数学；包括教学研究，如通达学习、变式课程、个别课题的教学、引入数学史、游戏与实物动手、小班教学；包括信息技术，如计算机教学、电子家课、CAS（计算机代数系统）及DG（互动几何）、ICT环境中的问题解决、对课程与教学的影响；包括课程，如课程的评析、跨地域研究（TIMSS、PISA、LPS）、城乡比较、课程历史脉络等。
同时，他认为香港地区的数学教研已初备规模，由“放洋取得博士学位”到“本土博士”再到培养其他地区的博士，在国际学术界上也受到认可，但仍须进行各种教学实验的有效性研究，如行动研究、教师的专业发展（转变）研究、不同群体学习方式的研究，从而在评估中促进学习。
此外，黄教授认为香港地区基本上摆脱了“数学教育=教育学 数学例子”的模式，在概念与方法上有外借与输出，形成了独立的数学教育学理，并且在治学态度上提倡学术的严谨性与论文的评审制度，言必有据，成为香港地区数学教育的亮点。与此同时，黄教授指出香港依旧存在下列一些情况，如重宏观理论轻学科、忘失发现研究的乐趣等，这不利于跨校合作，并将《碧岩录》中黄檗的“不道无禅，只是无师”变成了“不到无研，只是无时”来说明现时所看到的都是十年八年前的研究结果。
最后，黄教授讲到了郑毓信教授指出的数学教育改革的十五对对应关系，认为数学教育是一个平衡的问题，是搭一个桥梁的问题，基本功不应该变成思想与思考的障碍，应是发展思想的动力，关键在于我们能不能找到二者之间的桥梁，指出我们要对教数学与育人、教育学、满堂灌与满堂问、学与习、学与独学的关系进行反思，看它们是不是存在共通能力，要防止“去数学化”。最后，他借助道家的话，指出在阴阳之间我们不需要把每件事都一分为二来看待，“有你无我”不是最好的方法，“有推有拉”才是一个最完美的结合。
（责任编辑：孙建辉）