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摘要 为了培养非数学专业学生微积分知识的应用能力,我们提出以“启发应用意识,培养应用能力”为宗旨,包含教材、课堂教学、课程考核、课件制作等内容的综合课程建设方案。其中教材编写基本思路为:在强调直观的基础上,改善对数学原理的叙述,以逼近技术形式改造多处微积分理论表述方式,并在强调思想性与综合性的基础上模块式地融入数学建模内容。教学内容的改革中还包含习题、教学法的改变等。文章还对改革内容进行了具体介绍。
关键词 微积分 课程建设 逼近技术 数学建模
【中图分类号】O172-4
一、 课程建设出发点:非数学专业学生学数学是为了用数学
“学数学就是为了用数学”这个说法,对非数学专业的学生而言,似乎天经地义。然而目前的现状是,许多已经毕业的工科学生,不知道学了微积分有什么用,当然更谈不上怎样用。笔者教学生涯的大部分时间,均为改变此现状而参与微积分课程的教学改革【1,2】,虽勉为其力,而成效不大,其中体会可说是五味杂陈。如今的感觉,一方面是教学改革的困难,另一方面,对非数学专业学生,上述问题的核心在于“用微积分”,即能够以微积分为工具解决实际问题。即使不涉及学数学较深层次上对人的一般理性思维的影响(即数学的所谓“素质教育”作用),“用微积分”的内涵也丰富而深刻。使学生通过微积分学习达到这个目标,其重要性是不言而喻的,然而课题也是系统性的、巨大而困难的。
就微积分强调应用的改革来说,近年来科技进步带来的一些事件,已使环境大大改善了:大学生数学建模竞赛活动和相关课程的开设,影响了许多学生,使他们对数学的兴趣和重视程度大为改观,使他们数学应用能力也得到明显提高。但是,检讨微积分课程本身,我们并不乐观。微积分应用的意识和相关的技术,都没有在现有课程本身得到足够的强调、系统的训练。把问题推给数学建模(通常是小学时的选修课程加小面积的培训),既不能解决面上的问题,在微积分应用本身所达到的深度也很不够。
基于以上看法,我们多年来持续在微积分课程内就以上目标进行改革。改革的入手,笼统地说,就从回答“微积分有什么用?”和“怎样用?”开始。事实上,微积分的产生过程,就是相关应用问题解答的过程,所以,这些问题并不难回答,然而在现有微积分教材中虽然不乏各种应用例题,却找不到针对其主要内容的 “明确答案”。当然,有人认为微积分教材不见得需要给出这些答案,许多数学课程都不提供此类答案,为什么对微积分就要这样要求呢。但基于下列原因,笔者不敢苟同。
其一,微积分不能等同于初等数学。初等数学的应用简单而直接,所以没人认为初等数学无用。其二,微积分不能等同于其它数学课程。工科开设的概率统计类、线性代数类课程(以及其它工程数学类课程),应用指向明确;而数理类专业“较深的”数学课程,大部分应用也较为“专门”。其三,只需稍稍涉猎数学史,就可以知道微积分本身的应用远非直截了当。微积分中关键问题的解决,酝酿了两千年时间,成为人类思维最光辉的成果。作为一个工科专业的学生,当然不可能也无须全盘接受这些成果,然而涉及应用的关键理论如果也搞不明白,应用就成了空话。就以“微元法”为例,其在建立积分、微分方程中的作用不言而喻,但要理解它,则需对微分、极限等概念有足够的理解,否则就可能出错甚至完全不能建立相关的表达式。而微分、极限等概念的思想是相当深刻的。简言之,微积分属于那种“不懂就不会用”的学问,要想使学生学会“用微积分”,对一些重要基本概念的理解是绕不过去的,而且,空洞地了解微积分有哪些用途,也是没有用的。
那么是否可以说,不知道微积分有什么用的学生,原因是没有学懂微积分?或者反过来说,学懂微积分,就会用微积分呢?
就此简单得出结论当然不行。问题的核心在于什么叫“学懂微积分”。从使用微积分的角度出发,会做“别人出的题目”,例如求出某个表达式的极限、微分、积分等,即使笔头考试获得不错的成绩,也不足以认为已经学懂了微积分,因为这样的学生未必会“用微积分”,这正是我们改革的一个基本出发点,也是其困难所在。
二、 教育改革成功的关键在于良好的可操作性
许多同仁可能都和笔者有类似的看法,那就是:真正的教育改革其实是很困难的事情。一般来说,发现某个教育弊端是容易的。进一步,克服这些弊端的途径、方法,做一番调查研究,也不难设想。教育改革的根本困难在于,我们常常需要改变一种已经形成规范的事情。例如本文提出的教育改革,需要改变的是现今国内的微积分教育现状。我国大学非数学专业的微积分,即“高等数学”,就是在数十年中,在全国高校范围内,在“樊映川体系”的大旗下,千锤百炼形成的教育规范。想改变这类体系,困难可想而知。就笔者几十年的教学经历而言,所见过的成功(实质性的)的教学改革,可谓是寥若晨星。而且这些“成功”的改革成果,能形成教学规范,长远在教学中存在下去的,又是凤毛麟角。那么核心的问题出在哪里?
对于教育改革来说,一方面,一项改革的创意,是否胜过旧的规范,可能未必有那么明确,另一方面,创意变成完整的教学系统,好比“万里长征只迈开了第一步”,需要艰辛的工作。以笔者多年参与教学改革的经验(以教训居多),从设计改革方案开始,就把“可操作性”作为最重要的因素考虑,并争取做到最好,是教育改革成功的必要条件。
首先,一项改革创意提升为改革的主题,需要反复斟酌:是否反映了时代和相关领域的进步和迫切需求?提法是否明确响亮,有说服力和号召性?等等。一个好的改革主题,有利于得到广泛的支持,也会成为一个好的开端,同时一个好的改革主题不是孤立存在的,支撑这个主题的理由、措施也是必须考虑的因素。
进一步,当改革主题进入实施阶段时,就要通过反复思考、论证等工作,确定实施的措施,每一项都要考虑到在教学中如何具体实现,而且如何形成教学中的、具体而容易执行的规范。可以说,形不成规范的教学改革是没有生命力的,而规范本身的生命力则决定于其可操作性,所以良好的可操作性是一项教育改革成功的前提。 三、课程建设主要内容
基于以上理由,我们在反复锤炼的基础上,提出以“启发应用意识,培养应用能力”为宗旨,包含教材、课堂教学、课程考核、课件制作甚至网上课堂等内容的综合课程建设方案。从教材方面说,首先,微积分理论内容本身有改造的必要。这一改造不是指向现有微积分教材的数学理论内容取舍(从我们近年来所涉猎的国内外非数学专业微积分教材来看,国内教材的理论内容取舍是合理的),而是更多地指向内容的编排系统,例如其理论侧重安排、概念提法、算法强调甚至习题安排和要求。其理由是,微积分之所以有用,主要源于其中包含了众多的“计算技术”,尤其是近似计算技术。例如微分和积分本身就是重要的计算技术。而从计算技术的角度讲解微分和积分,当然需要很大改变。进一步,众所周知,微积分中的众多计算技术,其根源都在于“逼近”思想。例如微分作为线性逼近,无穷级数作为函数逼近等等。事实上,微积分理论的基础——极限概念,就是逼近概念的基础,而把逼近这个更加具体、更加可操作的概念作为微积分应用的基础加以强调,并以此统领微积分中众多的应用算法,并辅以相应的训练,则有希望使这些算法成为具体的应用技术而易于把握。为此,我们在教材编写中一方面改变相关概念的提法,改造相关理论的叙述方式,另一方面,还要改造和添加针对逼近技术的习题和教学要求。
在上述理论改造的基础上,为进一步培养学生的应用意识和能力,我们需要在微积分理论的适当部分,“模块式”地嵌入几部分数学建模内容,为此还需要调整和改造部分数学理论内容。例如,《高等数学》教材中已包含了不少数学应用的例题和习题,但这些“应用题”穿插于数学理论的间隙中,是作为理解数学理论的例证的,学生难以从中学到数学建模的思想方法。数学建模有其不同于数学理论的规律和法则,例如就微积分应用而言,导数对应于某一量的变化率;利用微元法可以建立积分求某些总量,也可以建立微分方程求某些未知函数,但这些应用都有待在教材和实际教学中有足够的强调和训练。我们在编写教材时,将相关内容重新整合到数学建模内容中,不但并不勉强,而且有希望收到双重功效:既保证了数学理论内容的循序渐进和系统性,也有利于从浅入深,而且集中透彻地介绍数学建模的思想和方法,而后者更是课程改革的目标之一,同时还有利于安排从易到难的数学建模实践训练。必须指出,“数学建模”的核心是“建”,其实践是非常重要的,不通过教师引导安排一定量的实践训练,不可能达到需要的教学效果。所以与教材改革相对应的教学实践的改革,必须包含一定量的实践教学活动。
但是,如果教材中硬性嵌入几处数学建模内容,则可能导致失败。其原因是:国内的微积分教材体系,是从数学分析内容中简化而来的,一方面,“推理有余而说理不足”,被删减的艰深理论并未被浅显的说明补足。好在近年来的教学改革已使这方面大大改观了,不少新版教材在这方面有了长足的进步。但我们认为,这方面还有大量的工作要做,因为有关的“说理”需要特别强调微积分的应用,而这会导致说理的指向和重点完全不同。
简言之,我们把传统的微积分课程作两方面的改造:一方面,对微积分的数学理论部分,改变其“纯数学”的样貌,以“逼近”作为理论与应用之间的桥梁,并安排足够的相关训练。另一方面,把相关的数学建模内容整合为模块,“分块”嵌入适当理论部分,以便分别保证数学理论和建模方法的教学目标,并便于安排相关的实践性教学活动。以上的改革内容不仅要体现在教材中,而且伴随着教学重点、教学方式的明显改变。进一步,为了强调新的教学内容和重点,也要改变课程考核内容和方式。目前,我们正以优质课程建设的名义进行上述改革,希望同行老师多提宝贵意见。
参考文献
[1] 贾晓峰,工程高校《微积分与数学建模》课程改革思路与实践,工科数学,1998年第三期,70-72。
[2] 贾晓峰主编,微积分与数学模型(上下册),高等教育出版社,1999年(第一版),2008年(第二版)。
关键词 微积分 课程建设 逼近技术 数学建模
【中图分类号】O172-4
一、 课程建设出发点:非数学专业学生学数学是为了用数学
“学数学就是为了用数学”这个说法,对非数学专业的学生而言,似乎天经地义。然而目前的现状是,许多已经毕业的工科学生,不知道学了微积分有什么用,当然更谈不上怎样用。笔者教学生涯的大部分时间,均为改变此现状而参与微积分课程的教学改革【1,2】,虽勉为其力,而成效不大,其中体会可说是五味杂陈。如今的感觉,一方面是教学改革的困难,另一方面,对非数学专业学生,上述问题的核心在于“用微积分”,即能够以微积分为工具解决实际问题。即使不涉及学数学较深层次上对人的一般理性思维的影响(即数学的所谓“素质教育”作用),“用微积分”的内涵也丰富而深刻。使学生通过微积分学习达到这个目标,其重要性是不言而喻的,然而课题也是系统性的、巨大而困难的。
就微积分强调应用的改革来说,近年来科技进步带来的一些事件,已使环境大大改善了:大学生数学建模竞赛活动和相关课程的开设,影响了许多学生,使他们对数学的兴趣和重视程度大为改观,使他们数学应用能力也得到明显提高。但是,检讨微积分课程本身,我们并不乐观。微积分应用的意识和相关的技术,都没有在现有课程本身得到足够的强调、系统的训练。把问题推给数学建模(通常是小学时的选修课程加小面积的培训),既不能解决面上的问题,在微积分应用本身所达到的深度也很不够。
基于以上看法,我们多年来持续在微积分课程内就以上目标进行改革。改革的入手,笼统地说,就从回答“微积分有什么用?”和“怎样用?”开始。事实上,微积分的产生过程,就是相关应用问题解答的过程,所以,这些问题并不难回答,然而在现有微积分教材中虽然不乏各种应用例题,却找不到针对其主要内容的 “明确答案”。当然,有人认为微积分教材不见得需要给出这些答案,许多数学课程都不提供此类答案,为什么对微积分就要这样要求呢。但基于下列原因,笔者不敢苟同。
其一,微积分不能等同于初等数学。初等数学的应用简单而直接,所以没人认为初等数学无用。其二,微积分不能等同于其它数学课程。工科开设的概率统计类、线性代数类课程(以及其它工程数学类课程),应用指向明确;而数理类专业“较深的”数学课程,大部分应用也较为“专门”。其三,只需稍稍涉猎数学史,就可以知道微积分本身的应用远非直截了当。微积分中关键问题的解决,酝酿了两千年时间,成为人类思维最光辉的成果。作为一个工科专业的学生,当然不可能也无须全盘接受这些成果,然而涉及应用的关键理论如果也搞不明白,应用就成了空话。就以“微元法”为例,其在建立积分、微分方程中的作用不言而喻,但要理解它,则需对微分、极限等概念有足够的理解,否则就可能出错甚至完全不能建立相关的表达式。而微分、极限等概念的思想是相当深刻的。简言之,微积分属于那种“不懂就不会用”的学问,要想使学生学会“用微积分”,对一些重要基本概念的理解是绕不过去的,而且,空洞地了解微积分有哪些用途,也是没有用的。
那么是否可以说,不知道微积分有什么用的学生,原因是没有学懂微积分?或者反过来说,学懂微积分,就会用微积分呢?
就此简单得出结论当然不行。问题的核心在于什么叫“学懂微积分”。从使用微积分的角度出发,会做“别人出的题目”,例如求出某个表达式的极限、微分、积分等,即使笔头考试获得不错的成绩,也不足以认为已经学懂了微积分,因为这样的学生未必会“用微积分”,这正是我们改革的一个基本出发点,也是其困难所在。
二、 教育改革成功的关键在于良好的可操作性
许多同仁可能都和笔者有类似的看法,那就是:真正的教育改革其实是很困难的事情。一般来说,发现某个教育弊端是容易的。进一步,克服这些弊端的途径、方法,做一番调查研究,也不难设想。教育改革的根本困难在于,我们常常需要改变一种已经形成规范的事情。例如本文提出的教育改革,需要改变的是现今国内的微积分教育现状。我国大学非数学专业的微积分,即“高等数学”,就是在数十年中,在全国高校范围内,在“樊映川体系”的大旗下,千锤百炼形成的教育规范。想改变这类体系,困难可想而知。就笔者几十年的教学经历而言,所见过的成功(实质性的)的教学改革,可谓是寥若晨星。而且这些“成功”的改革成果,能形成教学规范,长远在教学中存在下去的,又是凤毛麟角。那么核心的问题出在哪里?
对于教育改革来说,一方面,一项改革的创意,是否胜过旧的规范,可能未必有那么明确,另一方面,创意变成完整的教学系统,好比“万里长征只迈开了第一步”,需要艰辛的工作。以笔者多年参与教学改革的经验(以教训居多),从设计改革方案开始,就把“可操作性”作为最重要的因素考虑,并争取做到最好,是教育改革成功的必要条件。
首先,一项改革创意提升为改革的主题,需要反复斟酌:是否反映了时代和相关领域的进步和迫切需求?提法是否明确响亮,有说服力和号召性?等等。一个好的改革主题,有利于得到广泛的支持,也会成为一个好的开端,同时一个好的改革主题不是孤立存在的,支撑这个主题的理由、措施也是必须考虑的因素。
进一步,当改革主题进入实施阶段时,就要通过反复思考、论证等工作,确定实施的措施,每一项都要考虑到在教学中如何具体实现,而且如何形成教学中的、具体而容易执行的规范。可以说,形不成规范的教学改革是没有生命力的,而规范本身的生命力则决定于其可操作性,所以良好的可操作性是一项教育改革成功的前提。 三、课程建设主要内容
基于以上理由,我们在反复锤炼的基础上,提出以“启发应用意识,培养应用能力”为宗旨,包含教材、课堂教学、课程考核、课件制作甚至网上课堂等内容的综合课程建设方案。从教材方面说,首先,微积分理论内容本身有改造的必要。这一改造不是指向现有微积分教材的数学理论内容取舍(从我们近年来所涉猎的国内外非数学专业微积分教材来看,国内教材的理论内容取舍是合理的),而是更多地指向内容的编排系统,例如其理论侧重安排、概念提法、算法强调甚至习题安排和要求。其理由是,微积分之所以有用,主要源于其中包含了众多的“计算技术”,尤其是近似计算技术。例如微分和积分本身就是重要的计算技术。而从计算技术的角度讲解微分和积分,当然需要很大改变。进一步,众所周知,微积分中的众多计算技术,其根源都在于“逼近”思想。例如微分作为线性逼近,无穷级数作为函数逼近等等。事实上,微积分理论的基础——极限概念,就是逼近概念的基础,而把逼近这个更加具体、更加可操作的概念作为微积分应用的基础加以强调,并以此统领微积分中众多的应用算法,并辅以相应的训练,则有希望使这些算法成为具体的应用技术而易于把握。为此,我们在教材编写中一方面改变相关概念的提法,改造相关理论的叙述方式,另一方面,还要改造和添加针对逼近技术的习题和教学要求。
在上述理论改造的基础上,为进一步培养学生的应用意识和能力,我们需要在微积分理论的适当部分,“模块式”地嵌入几部分数学建模内容,为此还需要调整和改造部分数学理论内容。例如,《高等数学》教材中已包含了不少数学应用的例题和习题,但这些“应用题”穿插于数学理论的间隙中,是作为理解数学理论的例证的,学生难以从中学到数学建模的思想方法。数学建模有其不同于数学理论的规律和法则,例如就微积分应用而言,导数对应于某一量的变化率;利用微元法可以建立积分求某些总量,也可以建立微分方程求某些未知函数,但这些应用都有待在教材和实际教学中有足够的强调和训练。我们在编写教材时,将相关内容重新整合到数学建模内容中,不但并不勉强,而且有希望收到双重功效:既保证了数学理论内容的循序渐进和系统性,也有利于从浅入深,而且集中透彻地介绍数学建模的思想和方法,而后者更是课程改革的目标之一,同时还有利于安排从易到难的数学建模实践训练。必须指出,“数学建模”的核心是“建”,其实践是非常重要的,不通过教师引导安排一定量的实践训练,不可能达到需要的教学效果。所以与教材改革相对应的教学实践的改革,必须包含一定量的实践教学活动。
但是,如果教材中硬性嵌入几处数学建模内容,则可能导致失败。其原因是:国内的微积分教材体系,是从数学分析内容中简化而来的,一方面,“推理有余而说理不足”,被删减的艰深理论并未被浅显的说明补足。好在近年来的教学改革已使这方面大大改观了,不少新版教材在这方面有了长足的进步。但我们认为,这方面还有大量的工作要做,因为有关的“说理”需要特别强调微积分的应用,而这会导致说理的指向和重点完全不同。
简言之,我们把传统的微积分课程作两方面的改造:一方面,对微积分的数学理论部分,改变其“纯数学”的样貌,以“逼近”作为理论与应用之间的桥梁,并安排足够的相关训练。另一方面,把相关的数学建模内容整合为模块,“分块”嵌入适当理论部分,以便分别保证数学理论和建模方法的教学目标,并便于安排相关的实践性教学活动。以上的改革内容不仅要体现在教材中,而且伴随着教学重点、教学方式的明显改变。进一步,为了强调新的教学内容和重点,也要改变课程考核内容和方式。目前,我们正以优质课程建设的名义进行上述改革,希望同行老师多提宝贵意见。
参考文献
[1] 贾晓峰,工程高校《微积分与数学建模》课程改革思路与实践,工科数学,1998年第三期,70-72。
[2] 贾晓峰主编,微积分与数学模型(上下册),高等教育出版社,1999年(第一版),2008年(第二版)。