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摘要 为了培养非数学专业学生微积分知识的应用能力，我们提出以“启发应用意识，培养应用能力”为宗旨，包含教材、课堂教学、课程考核、课件制作等内容的综合课程建设方案。其中教材编写基本思路为：在强调直观的基础上，改善对数学原理的叙述，以逼近技术形式改造多处微积分理论表述方式，并在强调思想性与综合性的基础上模块式地融入数学建模内容。教学内容的改革中还包含习题、教学法的改变等。文章还对改革内容进行了具体介绍。
关键词 微积分 课程建设 逼近技术 数学建模
【中图分类号】O172-4
一、 课程建设出发点：非数学专业学生学数学是为了用数学
“学数学就是为了用数学”这个说法，对非数学专业的学生而言，似乎天经地义。然而目前的现状是，许多已经毕业的工科学生，不知道学了微积分有什么用，当然更谈不上怎样用。笔者教学生涯的大部分时间，均为改变此现状而参与微积分课程的教学改革【1，2】，虽勉为其力，而成效不大，其中体会可说是五味杂陈。如今的感觉，一方面是教学改革的困难，另一方面，对非数学专业学生，上述问题的核心在于“用微积分”，即能够以微积分为工具解决实际问题。即使不涉及学数学较深层次上对人的一般理性思维的影响（即数学的所谓“素质教育”作用），“用微积分”的内涵也丰富而深刻。使学生通过微积分学习达到这个目标，其重要性是不言而喻的，然而课题也是系统性的、巨大而困难的。
就微积分强调应用的改革来说，近年来科技进步带来的一些事件，已使环境大大改善了：大学生数学建模竞赛活动和相关课程的开设，影响了许多学生，使他们对数学的兴趣和重视程度大为改观，使他们数学应用能力也得到明显提高。但是，检讨微积分课程本身，我们并不乐观。微积分应用的意识和相关的技术，都没有在现有课程本身得到足够的强调、系统的训练。把问题推给数学建模（通常是小学时的选修课程加小面积的培训），既不能解决面上的问题，在微积分应用本身所达到的深度也很不够。
基于以上看法，我们多年来持续在微积分课程内就以上目标进行改革。改革的入手，笼统地说，就从回答“微积分有什么用？”和“怎样用？”开始。事实上，微积分的产生过程，就是相关应用问题解答的过程，所以，这些问题并不难回答，然而在现有微积分教材中虽然不乏各种应用例题，却找不到针对其主要内容的 “明确答案”。当然，有人认为微积分教材不见得需要给出这些答案，许多数学课程都不提供此类答案，为什么对微积分就要这样要求呢。但基于下列原因，笔者不敢苟同。
其一，微积分不能等同于初等数学。初等数学的应用简单而直接，所以没人认为初等数学无用。其二，微积分不能等同于其它数学课程。工科开设的概率统计类、线性代数类课程（以及其它工程数学类课程），应用指向明确；而数理类专业“较深的”数学课程，大部分应用也较为“专门”。其三，只需稍稍涉猎数学史，就可以知道微积分本身的应用远非直截了当。微积分中关键问题的解决，酝酿了两千年时间，成为人类思维最光辉的成果。作为一个工科专业的学生，当然不可能也无须全盘接受这些成果，然而涉及应用的关键理论如果也搞不明白，应用就成了空话。就以“微元法”为例，其在建立积分、微分方程中的作用不言而喻，但要理解它，则需对微分、极限等概念有足够的理解，否则就可能出错甚至完全不能建立相关的表达式。而微分、极限等概念的思想是相当深刻的。简言之，微积分属于那种“不懂就不会用”的学问，要想使学生学会“用微积分”，对一些重要基本概念的理解是绕不过去的，而且，空洞地了解微积分有哪些用途，也是没有用的。
那么是否可以说，不知道微积分有什么用的学生，原因是没有学懂微积分？或者反过来说，学懂微积分，就会用微积分呢？
就此简单得出结论当然不行。问题的核心在于什么叫“学懂微积分”。从使用微积分的角度出发，会做“别人出的题目”，例如求出某个表达式的极限、微分、积分等，即使笔头考试获得不错的成绩，也不足以认为已经学懂了微积分，因为这样的学生未必会“用微积分”，这正是我们改革的一个基本出发点，也是其困难所在。
二、 教育改革成功的关键在于良好的可操作性
许多同仁可能都和笔者有类似的看法，那就是：真正的教育改革其实是很困难的事情。一般来说，发现某个教育弊端是容易的。进一步，克服这些弊端的途径、方法，做一番调查研究，也不难设想。教育改革的根本困难在于，我们常常需要改变一种已经形成规范的事情。例如本文提出的教育改革，需要改变的是现今国内的微积分教育现状。我国大学非数学专业的微积分，即“高等数学”，就是在数十年中，在全国高校范围内，在“樊映川体系”的大旗下，千锤百炼形成的教育规范。想改变这类体系，困难可想而知。就笔者几十年的教学经历而言，所见过的成功（实质性的）的教学改革，可谓是寥若晨星。而且这些“成功”的改革成果，能形成教学规范，长远在教学中存在下去的，又是凤毛麟角。那么核心的问题出在哪里？
对于教育改革来说，一方面，一项改革的创意，是否胜过旧的规范，可能未必有那么明确，另一方面，创意变成完整的教学系统，好比“万里长征只迈开了第一步”，需要艰辛的工作。以笔者多年参与教学改革的经验（以教训居多），从设计改革方案开始，就把“可操作性”作为最重要的因素考虑，并争取做到最好，是教育改革成功的必要条件。
首先，一项改革创意提升为改革的主题，需要反复斟酌：是否反映了时代和相关领域的进步和迫切需求？提法是否明确响亮，有说服力和号召性？等等。一个好的改革主题，有利于得到广泛的支持，也会成为一个好的开端，同时一个好的改革主题不是孤立存在的，支撑这个主题的理由、措施也是必须考虑的因素。
进一步，当改革主题进入实施阶段时，就要通过反复思考、论证等工作，确定实施的措施，每一项都要考虑到在教学中如何具体实现，而且如何形成教学中的、具体而容易执行的规范。可以说，形不成规范的教学改革是没有生命力的，而规范本身的生命力则决定于其可操作性，所以良好的可操作性是一项教育改革成功的前提。 三、课程建设主要内容
基于以上理由，我们在反复锤炼的基础上，提出以“启发应用意识，培养应用能力”为宗旨，包含教材、课堂教学、课程考核、课件制作甚至网上课堂等内容的综合课程建设方案。从教材方面说，首先，微积分理论内容本身有改造的必要。这一改造不是指向现有微积分教材的数学理论内容取舍（从我们近年来所涉猎的国内外非数学专业微积分教材来看，国内教材的理论内容取舍是合理的），而是更多地指向内容的编排系统，例如其理论侧重安排、概念提法、算法强调甚至习题安排和要求。其理由是，微积分之所以有用，主要源于其中包含了众多的“计算技术”，尤其是近似计算技术。例如微分和积分本身就是重要的计算技术。而从计算技术的角度讲解微分和积分，当然需要很大改变。进一步，众所周知，微积分中的众多计算技术，其根源都在于“逼近”思想。例如微分作为线性逼近，无穷级数作为函数逼近等等。事实上，微积分理论的基础——极限概念，就是逼近概念的基础，而把逼近这个更加具体、更加可操作的概念作为微积分应用的基础加以强调，并以此统领微积分中众多的应用算法，并辅以相应的训练，则有希望使这些算法成为具体的应用技术而易于把握。为此，我们在教材编写中一方面改变相关概念的提法，改造相关理论的叙述方式，另一方面，还要改造和添加针对逼近技术的习题和教学要求。
在上述理论改造的基础上，为进一步培养学生的应用意识和能力，我们需要在微积分理论的适当部分，“模块式”地嵌入几部分数学建模内容，为此还需要调整和改造部分数学理论内容。例如，《高等数学》教材中已包含了不少数学应用的例题和习题，但这些“应用题”穿插于数学理论的间隙中，是作为理解数学理论的例证的，学生难以从中学到数学建模的思想方法。数学建模有其不同于数学理论的规律和法则，例如就微积分应用而言，导数对应于某一量的变化率；利用微元法可以建立积分求某些总量，也可以建立微分方程求某些未知函数，但这些应用都有待在教材和实际教学中有足够的强调和训练。我们在编写教材时，将相关内容重新整合到数学建模内容中，不但并不勉强，而且有希望收到双重功效：既保证了数学理论内容的循序渐进和系统性，也有利于从浅入深，而且集中透彻地介绍数学建模的思想和方法，而后者更是课程改革的目标之一，同时还有利于安排从易到难的数学建模实践训练。必须指出，“数学建模”的核心是“建”，其实践是非常重要的，不通过教师引导安排一定量的实践训练，不可能达到需要的教学效果。所以与教材改革相对应的教学实践的改革，必须包含一定量的实践教学活动。
但是，如果教材中硬性嵌入几处数学建模内容，则可能导致失败。其原因是：国内的微积分教材体系，是从数学分析内容中简化而来的，一方面，“推理有余而说理不足”，被删减的艰深理论并未被浅显的说明补足。好在近年来的教学改革已使这方面大大改观了，不少新版教材在这方面有了长足的进步。但我们认为，这方面还有大量的工作要做，因为有关的“说理”需要特别强调微积分的应用，而这会导致说理的指向和重点完全不同。
简言之，我们把传统的微积分课程作两方面的改造：一方面，对微积分的数学理论部分，改变其“纯数学”的样貌，以“逼近”作为理论与应用之间的桥梁，并安排足够的相关训练。另一方面，把相关的数学建模内容整合为模块，“分块”嵌入适当理论部分，以便分别保证数学理论和建模方法的教学目标，并便于安排相关的实践性教学活动。以上的改革内容不仅要体现在教材中，而且伴随着教学重点、教学方式的明显改变。进一步，为了强调新的教学内容和重点，也要改变课程考核内容和方式。目前，我们正以优质课程建设的名义进行上述改革，希望同行老师多提宝贵意见。
参考文献
[1] 贾晓峰，工程高校《微积分与数学建模》课程改革思路与实践，工科数学，1998年第三期，70-72。
[2] 贾晓峰主编，微积分与数学模型（上下册），高等教育出版社，1999年（第一版），2008年（第二版）。
关键词 微积分 课程建设 逼近技术 数学建模
【中图分类号】O172-4
一、 课程建设出发点：非数学专业学生学数学是为了用数学
“学数学就是为了用数学”这个说法，对非数学专业的学生而言，似乎天经地义。然而目前的现状是，许多已经毕业的工科学生，不知道学了微积分有什么用，当然更谈不上怎样用。笔者教学生涯的大部分时间，均为改变此现状而参与微积分课程的教学改革【1，2】，虽勉为其力，而成效不大，其中体会可说是五味杂陈。如今的感觉，一方面是教学改革的困难，另一方面，对非数学专业学生，上述问题的核心在于“用微积分”，即能够以微积分为工具解决实际问题。即使不涉及学数学较深层次上对人的一般理性思维的影响（即数学的所谓“素质教育”作用），“用微积分”的内涵也丰富而深刻。使学生通过微积分学习达到这个目标，其重要性是不言而喻的，然而课题也是系统性的、巨大而困难的。
就微积分强调应用的改革来说，近年来科技进步带来的一些事件，已使环境大大改善了：大学生数学建模竞赛活动和相关课程的开设，影响了许多学生，使他们对数学的兴趣和重视程度大为改观，使他们数学应用能力也得到明显提高。但是，检讨微积分课程本身，我们并不乐观。微积分应用的意识和相关的技术，都没有在现有课程本身得到足够的强调、系统的训练。把问题推给数学建模（通常是小学时的选修课程加小面积的培训），既不能解决面上的问题，在微积分应用本身所达到的深度也很不够。
基于以上看法，我们多年来持续在微积分课程内就以上目标进行改革。改革的入手，笼统地说，就从回答“微积分有什么用？”和“怎样用？”开始。事实上，微积分的产生过程，就是相关应用问题解答的过程，所以，这些问题并不难回答，然而在现有微积分教材中虽然不乏各种应用例题，却找不到针对其主要内容的 “明确答案”。当然，有人认为微积分教材不见得需要给出这些答案，许多数学课程都不提供此类答案，为什么对微积分就要这样要求呢。但基于下列原因，笔者不敢苟同。
其一，微积分不能等同于初等数学。初等数学的应用简单而直接，所以没人认为初等数学无用。其二，微积分不能等同于其它数学课程。工科开设的概率统计类、线性代数类课程（以及其它工程数学类课程），应用指向明确；而数理类专业“较深的”数学课程，大部分应用也较为“专门”。其三，只需稍稍涉猎数学史，就可以知道微积分本身的应用远非直截了当。微积分中关键问题的解决，酝酿了两千年时间，成为人类思维最光辉的成果。作为一个工科专业的学生，当然不可能也无须全盘接受这些成果，然而涉及应用的关键理论如果也搞不明白，应用就成了空话。就以“微元法”为例，其在建立积分、微分方程中的作用不言而喻，但要理解它，则需对微分、极限等概念有足够的理解，否则就可能出错甚至完全不能建立相关的表达式。而微分、极限等概念的思想是相当深刻的。简言之，微积分属于那种“不懂就不会用”的学问，要想使学生学会“用微积分”，对一些重要基本概念的理解是绕不过去的，而且，空洞地了解微积分有哪些用途，也是没有用的。
那么是否可以说，不知道微积分有什么用的学生，原因是没有学懂微积分？或者反过来说，学懂微积分，就会用微积分呢？
就此简单得出结论当然不行。问题的核心在于什么叫“学懂微积分”。从使用微积分的角度出发，会做“别人出的题目”，例如求出某个表达式的极限、微分、积分等，即使笔头考试获得不错的成绩，也不足以认为已经学懂了微积分，因为这样的学生未必会“用微积分”，这正是我们改革的一个基本出发点，也是其困难所在。
二、 教育改革成功的关键在于良好的可操作性
许多同仁可能都和笔者有类似的看法，那就是：真正的教育改革其实是很困难的事情。一般来说，发现某个教育弊端是容易的。进一步，克服这些弊端的途径、方法，做一番调查研究，也不难设想。教育改革的根本困难在于，我们常常需要改变一种已经形成规范的事情。例如本文提出的教育改革，需要改变的是现今国内的微积分教育现状。我国大学非数学专业的微积分，即“高等数学”，就是在数十年中，在全国高校范围内，在“樊映川体系”的大旗下，千锤百炼形成的教育规范。想改变这类体系，困难可想而知。就笔者几十年的教学经历而言，所见过的成功（实质性的）的教学改革，可谓是寥若晨星。而且这些“成功”的改革成果，能形成教学规范，长远在教学中存在下去的，又是凤毛麟角。那么核心的问题出在哪里？
对于教育改革来说，一方面，一项改革的创意，是否胜过旧的规范，可能未必有那么明确，另一方面，创意变成完整的教学系统，好比“万里长征只迈开了第一步”，需要艰辛的工作。以笔者多年参与教学改革的经验（以教训居多），从设计改革方案开始，就把“可操作性”作为最重要的因素考虑，并争取做到最好，是教育改革成功的必要条件。
首先，一项改革创意提升为改革的主题，需要反复斟酌：是否反映了时代和相关领域的进步和迫切需求？提法是否明确响亮，有说服力和号召性？等等。一个好的改革主题，有利于得到广泛的支持，也会成为一个好的开端，同时一个好的改革主题不是孤立存在的，支撑这个主题的理由、措施也是必须考虑的因素。
进一步，当改革主题进入实施阶段时，就要通过反复思考、论证等工作，确定实施的措施，每一项都要考虑到在教学中如何具体实现，而且如何形成教学中的、具体而容易执行的规范。可以说，形不成规范的教学改革是没有生命力的，而规范本身的生命力则决定于其可操作性，所以良好的可操作性是一项教育改革成功的前提。 三、课程建设主要内容
基于以上理由，我们在反复锤炼的基础上，提出以“启发应用意识，培养应用能力”为宗旨，包含教材、课堂教学、课程考核、课件制作甚至网上课堂等内容的综合课程建设方案。从教材方面说，首先，微积分理论内容本身有改造的必要。这一改造不是指向现有微积分教材的数学理论内容取舍（从我们近年来所涉猎的国内外非数学专业微积分教材来看，国内教材的理论内容取舍是合理的），而是更多地指向内容的编排系统，例如其理论侧重安排、概念提法、算法强调甚至习题安排和要求。其理由是，微积分之所以有用，主要源于其中包含了众多的“计算技术”，尤其是近似计算技术。例如微分和积分本身就是重要的计算技术。而从计算技术的角度讲解微分和积分，当然需要很大改变。进一步，众所周知，微积分中的众多计算技术，其根源都在于“逼近”思想。例如微分作为线性逼近，无穷级数作为函数逼近等等。事实上，微积分理论的基础——极限概念，就是逼近概念的基础，而把逼近这个更加具体、更加可操作的概念作为微积分应用的基础加以强调，并以此统领微积分中众多的应用算法，并辅以相应的训练，则有希望使这些算法成为具体的应用技术而易于把握。为此，我们在教材编写中一方面改变相关概念的提法，改造相关理论的叙述方式，另一方面，还要改造和添加针对逼近技术的习题和教学要求。
在上述理论改造的基础上，为进一步培养学生的应用意识和能力，我们需要在微积分理论的适当部分，“模块式”地嵌入几部分数学建模内容，为此还需要调整和改造部分数学理论内容。例如，《高等数学》教材中已包含了不少数学应用的例题和习题，但这些“应用题”穿插于数学理论的间隙中，是作为理解数学理论的例证的，学生难以从中学到数学建模的思想方法。数学建模有其不同于数学理论的规律和法则，例如就微积分应用而言，导数对应于某一量的变化率；利用微元法可以建立积分求某些总量，也可以建立微分方程求某些未知函数，但这些应用都有待在教材和实际教学中有足够的强调和训练。我们在编写教材时，将相关内容重新整合到数学建模内容中，不但并不勉强，而且有希望收到双重功效：既保证了数学理论内容的循序渐进和系统性，也有利于从浅入深，而且集中透彻地介绍数学建模的思想和方法，而后者更是课程改革的目标之一，同时还有利于安排从易到难的数学建模实践训练。必须指出，“数学建模”的核心是“建”，其实践是非常重要的，不通过教师引导安排一定量的实践训练，不可能达到需要的教学效果。所以与教材改革相对应的教学实践的改革，必须包含一定量的实践教学活动。
但是，如果教材中硬性嵌入几处数学建模内容，则可能导致失败。其原因是：国内的微积分教材体系，是从数学分析内容中简化而来的，一方面，“推理有余而说理不足”，被删减的艰深理论并未被浅显的说明补足。好在近年来的教学改革已使这方面大大改观了，不少新版教材在这方面有了长足的进步。但我们认为，这方面还有大量的工作要做，因为有关的“说理”需要特别强调微积分的应用，而这会导致说理的指向和重点完全不同。
简言之，我们把传统的微积分课程作两方面的改造：一方面，对微积分的数学理论部分，改变其“纯数学”的样貌，以“逼近”作为理论与应用之间的桥梁，并安排足够的相关训练。另一方面，把相关的数学建模内容整合为模块，“分块”嵌入适当理论部分，以便分别保证数学理论和建模方法的教学目标，并便于安排相关的实践性教学活动。以上的改革内容不仅要体现在教材中，而且伴随着教学重点、教学方式的明显改变。进一步，为了强调新的教学内容和重点，也要改变课程考核内容和方式。目前，我们正以优质课程建设的名义进行上述改革，希望同行老师多提宝贵意见。
参考文献
[1] 贾晓峰，工程高校《微积分与数学建模》课程改革思路与实践，工科数学，1998年第三期，70-72。
[2] 贾晓峰主编，微积分与数学模型（上下册），高等教育出版社，1999年（第一版），2008年（第二版）。