依托几何直观 理解意义本质

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  【摘要】本文以“一个数除以分数”的教学为例,论述借助几何直观帮助学生理解算理和掌握算法的方法,建议教师在深刻解读教材的基础上,设置课堂前测环节,基于学生学情,在具体的教学题境中借助几何直观帮助学生更好理解算理、掌握算法,从而优化教学效果。
  【关键词】小学数学 几何直观 意义本质
  【中图分类号】G 【文献标识码】A
  【文章编号】0450-9889(2021)13-0142-04
  人教版小学数学六年级上册第三单元《分数除法》第三课时“一个数除以分数”的计算教学是小学数学教学的重点与难点。如何让学生形象理解“除以一个分数,等于乘这个分数的倒数”的算理呢?笔者在实践中发现,学生掌握和运用计算方法相对而言比较容易,然而在理解算理方面遇到了比较大的困难。那么,学生学习“一个数除以分数”的知识储备和认知起点是怎样的?它的教学目标应该如何定位?它的计算教学到底关注点在哪里?笔者认为,有必要对学生关于“一个数除以分数”的认知水平做一次前测,以便更好地进行教学。下面,笔者结合多教材的对比沟通,基于学生基础,试图在具体的教学题境中借助几何直观帮助学生更好地理解算理、掌握算法,优化教学效果。
  一、教材解读
  以生为本,关注学生生活经验和认知基础是教学本课需要贯彻的原则。学生在学习“一个数除以分数”之前,到底有怎样的逻辑起点和现实起点?这正是教师首先要考虑的问题。笔者拜读了省数学特级教师袁晓萍、吕立峰的相关文章,发现针对不同的学生需要不同的学习过程,有些策略即使很好,也可能不适合本班学生,不能全部照搬。针对该教学内容,笔者研读了几套不同版本的教材,发现编委的意图均有所侧重,各不相同。
  北师大版教材将这部分内容安排在五年级下册第五单元,它通过平均分4个同样大的饼的问题情境,让学生直觀感受“一个数除以分数”的意义理解。浙教版教材同样将此内容安排在五年级下册,让学生在学习分数乘法的基础上紧接着学习分数除法,教材借助一条绸带,让学生直观理解同分母分数除法的意义,同时教材突出了算法的重要性,有刻意回避“一个数除以分数”的算理之嫌。苏教版教材以3个不同的平均分的问题情境,借助格子图和彩带图,利用数形结合思想帮助学生理解“一个数除以分数”的算理。人教版教材则呈现了学生熟知的行程问题。
  针对不同教材同一内容的呈现,结合人教版教材,笔者设计了如下前测对学生的学情基础进行调查。
  调查问卷(前测)
   班级:       姓名:
   亲爱的同学,老师想了解你在分数除法学习过程中的情况,请你按要求认真回答以下问题。记住,独立完成哦!
  问题1:3÷[12]=
  (1)你会算吗?(  )A.会  B.不会
  (2)如果你会算,那么请你用自己想到的方法进行计算。写一写、画一画,你是怎么想的?
  问题2:小明[310]小时行了[910]千米,他每小时行了多少千米?
  (1)你能列出算式来解决这个问题吗?(  )
  (2)上面的算式你会计算吗?请你用自己想到的方法进行计算。写一写、画一画,你是怎么想的?
  前测的两个问题分别指向“整数除以分数”和“同分母分数除法”的教学内容。教学前一天,笔者随机调查了本年级两个班共82名学生。通过调查发现,两个问题的计算正确率均达到了90%以上。
  通过调查,笔者还发现,学生在解决这类题目时所用的计算方法多样,从图形的描述中也能基本看出学生对算理的理解是比较清晰的。基于这样的学生基础,初步敲定了本节课的教学流程,并制订了课时目标。笔者简单通过前测巩固理解“整数除以分数”和“同分母分数除法”两种计算题的意义,把异分母分数除法作为本节课的重点进行教学。通过环环相扣、层层推进的流程,基于同分母分数除法,打通异分母分数除法,从而帮助学生更好地理解分数除法的算理,使学习最优化。
  教学流程
  基于前测3÷[12],理解“整数除以分数”的算法和算理
  题境互译[910]÷[310],掌握“同分母分数除法”的计算意义
  类比迁移[95]÷[310],巩固“异分母分数除法”的法理相通
  归纳“一个数除以分数”的算法
  二、教学实践
  基于学生的现实起点和逻辑起点,重组“一个数除以分数”的教学设计,以此优化学生对此计算的意义理解,促进算法和算理的真正沟通,达到深度学习的目的。
  (一)基于前测,理解“整数除以分数”的算法和算理
  【片段一】
  1.出示题目,自主探索
  前测题目1:3÷[12]
  师:同学们,课前我们进行了两道题目的练习,这是第一个题目(出示问题1),答案是几?猜一猜咱们班的正确率是多少?(39÷41≈95.12%)
  师:正确率这么高,那你们再猜一下,解决这道计算题,我们班一共有多少种做法?我们一起看看吧。
  2.作品展示,互动交流
  方法一:乘倒数
  师:第一种方法是同学们用得最多的,请×××同学说说想法。
  生:我们知道,除以一个数就等于乘这个数的倒数,所以3÷[12]=3×2=6。
  师:评价一下他的方法怎么样?
  (板书方法)
  方法二:商不变性质
  师:我们来看这种方法,你看懂了吗?
  出示:3÷[12]=(3×2)÷([12]×2)=6÷1=6
  生:我们把被除数和除数同时乘2,利用以前学过的商不变性质,这样就变成了6÷1=6,所以3÷[12]=6。   师:大家都听明白了吗?这是把分数除法转化成  ?
  生:把分数除法转化成整数除法来计算。
  师:你评价一下他的方法怎么样?同学们利用商不变性质方法可以吗?
  (板书方法)
  方法三:分数与除法的关系
  师:再来看第三种,请×××同学来说。
  出示:3÷[12]=3÷(1÷2)=3÷1×2=6
  生:我们以前学过分数与除法的关系,[12]=1÷2,所以3÷[12]=3÷(1÷2)=3÷1×2=6。
  师:利用分数与除法的关系,我们把这样的分数除法转化成整数除法来计算,确实是一种好办法。
  (板书方法)
  方法四:分数化小数
  师:再来看第四种,请×××同学来说。
  生:我们可以把[12]化成小数0.5,然后3÷[12]=3÷0.5=6。
  师:把分数除法转化成小数除法来计算,很不错哦。
  (板书方法)
  方法五:画图形
  师:再来看第五种,画图来解释计算,请×××同学来说。
  生:我先画3个圆代表3,画半个圆代表二分之一,再把3个圆都平均分成两份,一共就有这样的6个半圆,6个半圆刚好是1个半圆的6倍。
  师:你是把分数除法转化成   ?
  生:我是把分数除法转化成画图来计算的。
  师:利用画图的方法也是可行的。
  (板书方法)
  方法六:线段图
  师:再来看第六种,画线段图来解释计算,请×××同学来说。
  生1:我先画3条线段代表3,再画半条线段代表二分之一,把3条线段都平均分成2份,一共就有这样的6个半条线段,所以是6倍。
  师:谁听明白了?
  生2:他是把分数除法转化成线段图来计算的。
  师:听明白了吗?这里单位1是什么?为什么要平均分成2份?最后这个计算就是在求什么?
  数的转化
  形的转化
  3.对比沟通,适当概括
  师:同学们,原来可以有这么多方法,你想到了吗?我们不但可以从数的角度,也可以从图形的角度来考虑解决这个问题,都是将新的知识转化成已经学过的知识。看来,集体的智慧就是强大,给聪明的自己鼓鼓掌吧。
  (二)题境互译,掌握“同分母分数除法”的计算意义
  【片段二】
  1.出示题目,进行探索
  前测题目2:小明[310]小时行了[910]千米,他每小时行了多少千米?
  师:我们来看一下,这道题你当时是怎么列式解决的?
  生:[910]÷[310]。
  师:是的,我们也来看一下,这道计算题,我们班的同学是怎么解决的?
  2.作品展示,互动交流
  (依次出示学生的计算方法,简单交流)
  方法一:[910]÷[310]=[910][×103]=3(千米/时)
  方法二:[910]÷[310]=([910]×10)÷([310]×10)=9÷3=3(千米/时)
  方法三:[910]÷[310]=0.9÷0.3=3(千米/时)
  方法四:
  师:有的同学用了这样一个线段图来解释计算,你看懂了吗?
  生:这里的一条线段就表示1小时,把它平均分成10份,每一份就是[110]小时,这样的3份就是[310]小时。根据题目意思,[310]小时行了[910]千米,从线段图上我们可以很清楚地看到,1份也就是[110]小时行了[910]千米÷3,也就是[310]千米。然后1小时有这样的10个[110]小时,也就是[310]千米×10=3千米。所以说,小明[310]小时行了[910]千米,他每小時行了3千米。
  师:同学们,你们听明白了吗?
  (教师此时再请一名学生说一遍,并根据学生说的及时形成板书)
  板书:[910]÷[310]=[910]÷3×10=[910]×[13]×10=[910×103]=3(千米/时)
  3.对比沟通,内在求联
  师:同学们,我们不但用了这么多的方法来计算[910]÷[310],更可贵的是我们还发现了它们之间的内在联系,大家真的很厉害。
  (三)类比迁移,巩固“异分母分数除法”的法理相通
  【片段三】
  1.出示题目,有效探索
  题目:小丁[310]小时行了[95]千米,他每小时行了多少千米?
  师:同学们,这个问题又该怎么解决呢?它和刚才的算式不一样在哪里?你会计算吗?
  出示合作要求:在作业纸上画一画、写一写,做完后四人小组说一说做法。
  2.操作交流,内化算法
  方法一:[95]÷[310]=[95×103]=6(千米/时)
  方法二:
  3.对比沟通,自然求联
  师:[95]×[13]是什么意思?你能用粉笔表示求的这一部分吗?再乘10是什么意思?同学们请看这一步。
  生:就是乘倒数。
  师:是啊,所以线段图其实就是在帮助解释“为什么除以一个数等于乘这个数的倒数”。
  板书:[95]÷[310]=[95]÷3×10=[95]×[13]×10=[95×][103]=6(千米/时)
  师(小结):同学们,乘倒数这么受大家喜欢是因为它简单实用,它就是分数除法的计算方法。线段图是对算法的一种解释,是算法背后的算理,为我们解释了分数除法的原理。   三、课后思考
  本节课的教学,充分借助几何直观,降低思维难度,让学生在形象感知的基础上理解“一个数除以分数”的抽象意义,进一步掌握算法、理法通融。
  (一)依托几何直观,意义理解应景而生
  《义务教育数学课程标准》(2011年版)(以下简称“课标”)指出:几何直观主要是指利用图形描述和分析问题,借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。课标通过阐述几何直观的本质,非常清楚地揭示了几何直观的重要性和必要性。几何直观是数学计算教学中必不可少的有效工具。
  通过本节课的前测,笔者发现学生基本掌握了“整数除以分数”和“同分母分数除法”类的计算题的算法。学生想到了用6种方法解决3÷[12]和[910]÷[310]。基于这样的学生基础,笔者在课始就出示学生的学前情况,通过题境“小明[310]小时行了[910]千米,他每小时行了多少千米”让学生充分理解[910]÷[310]=[910]÷3×10=[910]×[13]×10=[910]×[103]=3的计算过程,然后在此基础上通过“小丁[310]小时行了[95]千米,他每小时行了多少千米”这个题境慢慢推进“异分母分数除法”的意义理解,层次清楚,有效突破了“除以一个数等于乘这个数的倒数”的教学难点,从而促进学生对知识的深度学习。
  (二)依托几何直观,知识体系自然求联
  从教材体系中,我们不难发现,整数除以分数会用到分数除以整数算法的经验,如教学3÷[12]时,学生想到的种种方法都是可以用包含除的意义去解决的,即3÷[12]就是表示3里面有几个[12]。以此类推,同分母分数除法、异分母分数除法如果用这个方法去解决,表面上看似没有问题,实质上却和题目的意义(速度时间路程)有了矛盾。
  那么,究竟应该怎样缓解这对矛盾,沟通新旧知识的联系,在新旧知识的连接点上发展新知,打通知识关联的体系?本节课在探索“一个数除以分数”的计算方法中,教师充分借助线段图,帮助学生进行自主探索,学生在具体可见的线段图中对“除以一个数等于乘这个数的倒数”的计算法则有了直观的理解。通过不断地表达、质疑,让学生在充分理解“除以一个数等于乘这个数的倒数”的算理的基础上,掌握法則,驱动学生从“算法”走向“算理”,进而打通了三类分数除法计算题之间的内在联系。
  (三)依托几何直观,数形之间有机结合
  数形结合思想是一种重要的数学思想方法。著名数学家华罗庚非常重视“数形结合”,他认为:数无形是少直觉,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休。借助直观形象模型理解抽象的数学概念,体会数学计算的意义,显然是小学生学习数学的重要方法。
  在本节课[95]÷[310]的教学中,笔者借助线段图,让学生在自主探索中发现,这里的一条线段就表示1小时,把它平均分成10份,每一份就是[110]小时,这样的3份就是[310]小时。根据题目意思,[310]小时行了[95]千米,从线段图上可以很清楚地看到,1份也就是[110]小时行了[95]千米÷3,也就是[35]千米。然后1小时有这样的10个[110]小时,也就是[35]千米×10=6千米。所以说,小明[310]小时行了[95]千米,他每小时行了6千米。借助线段图来理解算法,让学生知其然,更知其所以然,让学生的思维在整个几何直观的理解中走向深度,从而促进学生对分数除法意义的深入理解,同时巩固算法。
  【参考文献】
  [1]葛敏辉.分数除法计算教学研究[M].杭州:浙江教育出版社,2018.
  [2]吕立峰,郭春.读懂学生,读透教材,让学生真实发生——“分数除法”单元整合课的研究历程[J].小学数学教育,2020(1-2).
  [3]袁晓萍.“分数乘、除法”单元重组的思路与课时划分[J].小学数学教育,2020(1-2).
  [4]刘颖.几何直观在小学数学计算教学中的应用策略[J].小学数学教育,2020(5).
  [5]顾晓东.数形结合思想的内涵意蕴及培养策略[J].教学月刊,2020(6).
  【作者简介】袁春胭,浙江省杭州市滨江实验小学数学教师,大学本科学历,一级教师,杭州市教坛新秀、区优秀人民教师、区名师名校长培养对象,主要从事教师队伍建设、学科教学与教育研究。
  (责编 杨 春)
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