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数学中一种很重要的思想和很有效的方法就是“转化你的问题”。数学大师波利亚曾一再指出：“当原问题看来不可解时，人类的高明之处就在于迂回绕过不能直接克服的障碍，就在于能想出某个适当的辅助问题”，这就是说，当我们碰到困难的问题时，要善于巧妙转化，化难为易，化未知为已知，达到灵活求解的目的；当我们碰到困难的问题时，要不断地变换问题，重新叙述问题，直到最后成功地找到某些有用的东西为止。
一、集合问题向排列组合问题转化
二、不等式问题向二次函数的实根分布问题转化
例：已知，若A∪B=A求a的取值范围
分析：当学生拿到这个问题的时候都马上会用常规的解不等式x2-2ax+a+20的思路去解决它，但他们马上就碰到了问题，第二个不等式 是没有办法因式分解的，于是有的同学就用求根公式去做，十分麻烦，而且还会碰到他们很不熟悉的根式不等式，所以很少有同学能很完整地做出答案.还有不少同学甚至认为题目是有问题的，于是就放弃了.其实这倒题目如果能转化为二次函数的实根的分布问题那就容易多了。
三、二次函数问题向最值问题或恒成立问题转化
例：设函数f(x)=ax2-2x+2
（1）若对于满足1＜x＜4的一切x值，都有f(x)＞0，求实数a的取值范围.
（2）若不等式f(x)＞0在1＜x＜4内有解，求实数a的取值范围.
分析：这个题目其实是非常优秀的，学生在处理的时候往往会比较发愁，有点摸不着头脑，明明知道是要分类讨论，就是讨论不全，丢三落四。其实这道题目如果我们在动笔之前能先来考虑一下怎么转化的话，那将有事半功倍的效果。
转化方式一： 问题一转化f(x)=ax2-2x+2在1＜x＜4上的最小值大于0.问题二转化为f(x)=ax2-2x+2在1＜x＜4上的最大值大于0.
转化方式二： 问题一转化为a＞2x-2[]x2在1＜x＜4恒成立，求a的范围.
问题二转化为a＞2x-2[]x2在1＜x＜4有解，求a的范围.
问题二还可以转化为a2x-2[]x2在1＜x＜4恒成立，求a的范围.
转化方式一仍有一定的计算量，仍需按对称轴的位置进行分类讨论，需要很细心才能做对做好.与之比较起来，转化方式二更为优秀，而且计算量很小。
四、函数问题向实根分布问题转化
我们先判断出当a＞1时，f-1(x)在(1,+∞)上是增函数，这时做不到f-1(x)在［m,n］上的值域是［g(n),g(m)］，所以我们只要考虑0＜a＜1的情况求可以了.当0＜a＜1时，f-1(x)在(1,+∞)上是减函数，我们有，由，可得x-1[]x+1=ax，于是上题就转化为求方程ax2+(a-1)x+1=0有两个均大于1的根时求a的取值范围问题.即.经过巧妙的转化，一道难题就迎刃而解了.
五、导数问题向恒成立问题转化
例：已知f(x)=x2+c，且f(f(x))=f(x2+1) （1）设g(x)=f(f(x))，求g(x)的解析式.
（2）设φ(x)=g(x)-λf(x)，试问：是否存在实数λ，使φ(x)在(-∞,-1)内为减函数，且在(-1,0)内是增函数.
分析：导数中经常碰到的一类问题是告诉我们单调区间，求参数的范围问题，遇到这一类问题我们应该把它转化为恒成立问题，我们就以这个题目为例。
经过求解，我们可以得到g(x)=x4+2x2+2，即φ(x)=x4(2-λ)x2+2-λ.我们可以求得φ′(x)=4x3+2(2-λ)x.①φ(x)在(-∞,-1)内为减函数，可以转化为φ′(x)0在(-∞,-1)上恒成立，还可以转化成2(2-λ)-4x2在(-∞,-1)上恒成立，再转化成求-4x2在(-∞,-1)上的最大值就做出来了，得到λ4。②φ(x)在(-1,0)内是增函数，也可以通过类似的转化得到。此时λ4.所以最后答案是λ=4。
通过上面的几个例子我们深刻体会到数学中转化的重要性.我们在平时的解题教学中，要培养“转化”意识，对于一些较复杂的问题，不要在“抽象”的迷宫里兜圈子，若改变方向，从新的角度、新的观点出发重新提出新的问题，亦即对原来的问题进行转化，使问题轻而易举地获解。
（作者单位：浙江绍兴鲁迅中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
一、集合问题向排列组合问题转化
二、不等式问题向二次函数的实根分布问题转化
例：已知，若A∪B=A求a的取值范围
分析：当学生拿到这个问题的时候都马上会用常规的解不等式x2-2ax+a+20的思路去解决它，但他们马上就碰到了问题，第二个不等式 是没有办法因式分解的，于是有的同学就用求根公式去做，十分麻烦，而且还会碰到他们很不熟悉的根式不等式，所以很少有同学能很完整地做出答案.还有不少同学甚至认为题目是有问题的，于是就放弃了.其实这倒题目如果能转化为二次函数的实根的分布问题那就容易多了。
三、二次函数问题向最值问题或恒成立问题转化
例：设函数f(x)=ax2-2x+2
（1）若对于满足1＜x＜4的一切x值，都有f(x)＞0，求实数a的取值范围.
（2）若不等式f(x)＞0在1＜x＜4内有解，求实数a的取值范围.
分析：这个题目其实是非常优秀的，学生在处理的时候往往会比较发愁，有点摸不着头脑，明明知道是要分类讨论，就是讨论不全，丢三落四。其实这道题目如果我们在动笔之前能先来考虑一下怎么转化的话，那将有事半功倍的效果。
转化方式一： 问题一转化f(x)=ax2-2x+2在1＜x＜4上的最小值大于0.问题二转化为f(x)=ax2-2x+2在1＜x＜4上的最大值大于0.
转化方式二： 问题一转化为a＞2x-2[]x2在1＜x＜4恒成立，求a的范围.
问题二转化为a＞2x-2[]x2在1＜x＜4有解，求a的范围.
问题二还可以转化为a2x-2[]x2在1＜x＜4恒成立，求a的范围.
转化方式一仍有一定的计算量，仍需按对称轴的位置进行分类讨论，需要很细心才能做对做好.与之比较起来，转化方式二更为优秀，而且计算量很小。
四、函数问题向实根分布问题转化
我们先判断出当a＞1时，f-1(x)在(1,+∞)上是增函数，这时做不到f-1(x)在［m,n］上的值域是［g(n),g(m)］，所以我们只要考虑0＜a＜1的情况求可以了.当0＜a＜1时，f-1(x)在(1,+∞)上是减函数，我们有，由，可得x-1[]x+1=ax，于是上题就转化为求方程ax2+(a-1)x+1=0有两个均大于1的根时求a的取值范围问题.即.经过巧妙的转化，一道难题就迎刃而解了.
五、导数问题向恒成立问题转化
例：已知f(x)=x2+c，且f(f(x))=f(x2+1) （1）设g(x)=f(f(x))，求g(x)的解析式.
（2）设φ(x)=g(x)-λf(x)，试问：是否存在实数λ，使φ(x)在(-∞,-1)内为减函数，且在(-1,0)内是增函数.
分析：导数中经常碰到的一类问题是告诉我们单调区间，求参数的范围问题，遇到这一类问题我们应该把它转化为恒成立问题，我们就以这个题目为例。
经过求解，我们可以得到g(x)=x4+2x2+2，即φ(x)=x4(2-λ)x2+2-λ.我们可以求得φ′(x)=4x3+2(2-λ)x.①φ(x)在(-∞,-1)内为减函数，可以转化为φ′(x)0在(-∞,-1)上恒成立，还可以转化成2(2-λ)-4x2在(-∞,-1)上恒成立，再转化成求-4x2在(-∞,-1)上的最大值就做出来了，得到λ4。②φ(x)在(-1,0)内是增函数，也可以通过类似的转化得到。此时λ4.所以最后答案是λ=4。
通过上面的几个例子我们深刻体会到数学中转化的重要性.我们在平时的解题教学中，要培养“转化”意识，对于一些较复杂的问题，不要在“抽象”的迷宫里兜圈子，若改变方向，从新的角度、新的观点出发重新提出新的问题，亦即对原来的问题进行转化，使问题轻而易举地获解。
（作者单位：浙江绍兴鲁迅中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。