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摘 要：矢量是贯穿高中物理学习的一个非常重要的概念，本文从什么是矢量，为什么要引入矢量入手，并从教学实际中选取的具体案例出发，突破对矢量的合、矢量的“差”、点乘、叉乘运算规则的理解，使学生学会用矢量观念去分析具体的物理问题。
关键词：核心素养 矢量 矢量的合 矢量的“差” 矢量的点乘 矢量的叉乘
一、什么是矢量
物理学科核心素养是学科育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力。物理学科核心素养主要包括“物理观念”“科学思维”“科学探究”“科学态度与责任”四个方面[1]。矢量是最能代表“物理观念”的概念之一，矢量是既有大小和方向，又能够按照平行四边形进行求合的物理量，是学生由初中到高中必须跨越的第一个障碍。
二、矢量的合
为了更形象的体验矢量运算规则，可以利用教具或课件让学生更直观看到矢量动态变化的过程中，合矢量是如何随着两分矢量的变化而变化的，并在具体题目中理解这一动态变化过程。
例1（共点力的动态平衡，2017年全国Ⅰ卷第21题）：如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α>π/2）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变，在OM由竖直被拉到水平的过程中
A.MN上的張力逐渐增大B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大D.OM上的张力先增大后减小
此题所用矢量三角形的解法，不同于我们所熟知的动态三角形和相似三角形解法，它最大的特点是在变化的过程中保持了重力不变和另两个力的夹角不变，对物体受力分析如图甲所示，平移后得到如图乙的所示的矢量三角形。
此处给出两种解法：1、构图法，如图丙，构造出乙图矢量三角形的外接圆，将重力大小等效为圆上的弦，此弦不变，对应的圆周角保持不变，在OM拉至水平的过程中，可以明显看出MN上绳子拉力一直在变大，OM上绳子拉力先变大后变小。2、正弦定理法，如图所示，mg/sin（π-α）=TMN/sinβ=TOM/sinγ
当α保持不变，OM拉至水平的过程中，β角一直增大到π/2，γ角度从大于π/2一直减小到小于π/2，根据正弦函数的变化，可以判断MN上绳子拉力TMN一直在变大，OM上绳子拉力TOM先变大后变小。由此可以看出动态平衡最能反映力这一物理量的矢量特征，在动态变化中体会力的大小和方向变化对平衡产生非常重要的影响。
三、矢量的“差”
在研究曲线运动中，通常采用化曲为直的思想，将曲线运动分解为两个相互垂直方向的直线运动，例如平抛运动，用到运动的合成与分解的方法，以小船渡河问题为例，当小船
垂直河岸渡河，船的航行方向和船对地移动的方向是不同的，小船对地的速度计算如下
V船对地=V船对水+V水对地，将角标文字换成具有普遍意义的符号，有VAC=VAB+VBC，再数学变换，得VAB=VAC-VBC，此即矢量的“差”，其本质是矢量合的逆运算。从而得到一个通用的求相对速度的公式。
四、矢量的点乘
功等于力和力方向上位移的乘积，是力在空间上的积累，就是力这一矢量和位移这一矢量的点乘，当力与位移的方向垂直时，这种空间累计效果为零；当力与位移方向夹角为锐角时，力对物体做正功，表示能量从外界向物体转移或者转化；当力与物体方向夹角为钝角时，力对物体做负功，表示能量从物体向外界转移或者转化。不妨通过一道例题来体会矢量的点乘的物理意义。
例2（2018河北石家庄检测）：如图所示，质量为m=1.0kg的物体从半径为R=2.0m的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端（圆弧AB在竖直平面内）。拉力F大小不变始终为10N，方向始终与物体在该点的切线成37°角。圆弧所对应的圆心角为60°，BO边为竖直方向。（π取3.14，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）则这一过程中（ ）
A.拉力F做的功为16.75J
B.重力G做的功为10J
C.圆弧面对物体的支持力FN做的功为零
D.物体克服圆弧面的摩擦力Ff做功6.75J
解析：该题由于力F的方向总是与切线方向成37°角，此力方向时刻都在变化，是变力，不可以直接用功的定义式W=F·scosα，在计算过程中引导学生一定要扣准功是力与力的方向上位移的乘积，此种情况我们应该采用微元法，将圆弧分成无限多个小短弧，每一段都可以认为是F的切向分力Fcos37°在做功，F的径向分力与速度做功为零，F做的功WF=（Fcosα）·π/3·R=10×4/5×π/3×2J=16.75J，故A选项正确，由于重力做负功，B选项错误，支持力与位移方向时刻垂直，所以不做功，C选项正确，由于物体缓慢移动，动能一直为零，合力的功为零，0=WF+WG+Wf，得到WF=-6.75J，D选项正确。
五、矢量的叉乘
矢量的叉乘可以用来理解角速度的方向。
例如，在研究圆周运动的时候，引入了线速度和角速度这两个概念，讲解时特别强调速度时刻都在变化，因此匀速周运动是匀速率，不是匀速度。其实匀速圆周中速可以理解为匀角速度，即匀速圆周运动的角速度大小和方向都不随时间变化，对于角速度是矢量这一观点大部分同学对此不懂，为了让学生更好的理解角速度是矢量，可以画出如下图形，将半径认为是从圆心指向圆周的矢量R，利用角速度和线速度的关系v=w×R，根据矢量叉乘的规则，可知角速度这一矢量方向垂直于圆周运动的平面，故匀速圆周运动的角速大小和方向均不变化。
六、结语
核心素养下“物理观念”是整个物理知识体系重要的基础框架，矢量贯穿了高中物理的力学和电学，是最能代表“物理观念”的概念之一，教学上应结合不同物理情景，逐层加深对矢量的理解和运用。
参考文献：
[1]廖伯琴前言普通高中物理课程标准解读[M]2017年版北京：高等教育出版社
关键词：核心素养 矢量 矢量的合 矢量的“差” 矢量的点乘 矢量的叉乘
一、什么是矢量
物理学科核心素养是学科育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力。物理学科核心素养主要包括“物理观念”“科学思维”“科学探究”“科学态度与责任”四个方面[1]。矢量是最能代表“物理观念”的概念之一，矢量是既有大小和方向，又能够按照平行四边形进行求合的物理量，是学生由初中到高中必须跨越的第一个障碍。
二、矢量的合
为了更形象的体验矢量运算规则，可以利用教具或课件让学生更直观看到矢量动态变化的过程中，合矢量是如何随着两分矢量的变化而变化的，并在具体题目中理解这一动态变化过程。
例1（共点力的动态平衡，2017年全国Ⅰ卷第21题）：如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α>π/2）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变，在OM由竖直被拉到水平的过程中
A.MN上的張力逐渐增大B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大D.OM上的张力先增大后减小
此题所用矢量三角形的解法，不同于我们所熟知的动态三角形和相似三角形解法，它最大的特点是在变化的过程中保持了重力不变和另两个力的夹角不变，对物体受力分析如图甲所示，平移后得到如图乙的所示的矢量三角形。
此处给出两种解法：1、构图法，如图丙，构造出乙图矢量三角形的外接圆，将重力大小等效为圆上的弦，此弦不变，对应的圆周角保持不变，在OM拉至水平的过程中，可以明显看出MN上绳子拉力一直在变大，OM上绳子拉力先变大后变小。2、正弦定理法，如图所示，mg/sin（π-α）=TMN/sinβ=TOM/sinγ
当α保持不变，OM拉至水平的过程中，β角一直增大到π/2，γ角度从大于π/2一直减小到小于π/2，根据正弦函数的变化，可以判断MN上绳子拉力TMN一直在变大，OM上绳子拉力TOM先变大后变小。由此可以看出动态平衡最能反映力这一物理量的矢量特征，在动态变化中体会力的大小和方向变化对平衡产生非常重要的影响。
三、矢量的“差”
在研究曲线运动中，通常采用化曲为直的思想，将曲线运动分解为两个相互垂直方向的直线运动，例如平抛运动，用到运动的合成与分解的方法，以小船渡河问题为例，当小船
垂直河岸渡河，船的航行方向和船对地移动的方向是不同的，小船对地的速度计算如下
V船对地=V船对水+V水对地，将角标文字换成具有普遍意义的符号，有VAC=VAB+VBC，再数学变换，得VAB=VAC-VBC，此即矢量的“差”，其本质是矢量合的逆运算。从而得到一个通用的求相对速度的公式。
四、矢量的点乘
功等于力和力方向上位移的乘积，是力在空间上的积累，就是力这一矢量和位移这一矢量的点乘，当力与位移的方向垂直时，这种空间累计效果为零；当力与位移方向夹角为锐角时，力对物体做正功，表示能量从外界向物体转移或者转化；当力与物体方向夹角为钝角时，力对物体做负功，表示能量从物体向外界转移或者转化。不妨通过一道例题来体会矢量的点乘的物理意义。
例2（2018河北石家庄检测）：如图所示，质量为m=1.0kg的物体从半径为R=2.0m的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端（圆弧AB在竖直平面内）。拉力F大小不变始终为10N，方向始终与物体在该点的切线成37°角。圆弧所对应的圆心角为60°，BO边为竖直方向。（π取3.14，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）则这一过程中（ ）
A.拉力F做的功为16.75J
B.重力G做的功为10J
C.圆弧面对物体的支持力FN做的功为零
D.物体克服圆弧面的摩擦力Ff做功6.75J
解析：该题由于力F的方向总是与切线方向成37°角，此力方向时刻都在变化，是变力，不可以直接用功的定义式W=F·scosα，在计算过程中引导学生一定要扣准功是力与力的方向上位移的乘积，此种情况我们应该采用微元法，将圆弧分成无限多个小短弧，每一段都可以认为是F的切向分力Fcos37°在做功，F的径向分力与速度做功为零，F做的功WF=（Fcosα）·π/3·R=10×4/5×π/3×2J=16.75J，故A选项正确，由于重力做负功，B选项错误，支持力与位移方向时刻垂直，所以不做功，C选项正确，由于物体缓慢移动，动能一直为零，合力的功为零，0=WF+WG+Wf，得到WF=-6.75J，D选项正确。
五、矢量的叉乘
矢量的叉乘可以用来理解角速度的方向。
例如，在研究圆周运动的时候，引入了线速度和角速度这两个概念，讲解时特别强调速度时刻都在变化，因此匀速周运动是匀速率，不是匀速度。其实匀速圆周中速可以理解为匀角速度，即匀速圆周运动的角速度大小和方向都不随时间变化，对于角速度是矢量这一观点大部分同学对此不懂，为了让学生更好的理解角速度是矢量，可以画出如下图形，将半径认为是从圆心指向圆周的矢量R，利用角速度和线速度的关系v=w×R，根据矢量叉乘的规则，可知角速度这一矢量方向垂直于圆周运动的平面，故匀速圆周运动的角速大小和方向均不变化。
六、结语
核心素养下“物理观念”是整个物理知识体系重要的基础框架，矢量贯穿了高中物理的力学和电学，是最能代表“物理观念”的概念之一，教学上应结合不同物理情景，逐层加深对矢量的理解和运用。
参考文献：
[1]廖伯琴前言普通高中物理课程标准解读[M]2017年版北京：高等教育出版社