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【摘要】本文从优化传统教学的角度探讨数学创课设计，首先概述Hawgent皓骏动态数学软件的基本功能和APOS理论的基本观点，然后以“指数函数及其性质”的教学设计为例，探讨基于APOS理论应用Hawgent皓骏动态数学软件设计数学创课的基本环节。
【关键词】数学创课；APOS理论；Hawgent皓骏动态数学软件
一、Hawgent皓骏动态数学软件的基本功能
当前，动态数学软件已经成为信息技术融入数学课堂教学、改善传统数学教学的利器。动态数学软件不仅界面简洁、操作便捷，还具有數学化、视觉化和动态化呈现数学对象与思维的功能。Hawgent皓骏动态数学软件（以下简称“Hawgent皓骏”）的设计理念包括让数学变得更直观、形象、有趣、好玩，它能够处理几何、代数、三角、概率、统计、算法、微积分等数学知识，具有动态曲线绘制、动态数据处理、智能公式文本、动态参数控制、对象轨迹跟踪等核心功能，能够做到参数与方程表达式、曲线图象的同步变化，活灵活现地展示数学对象动态生成的全过程。Hawgent皓骏设计数学创课的恰当应用，将有效实现“授人以鱼”的同时“授人以渔与欲”[1-2]。
二、APOS理论的基本观点
美国数学教育研究者杜宾斯基（Dubinsky）基于“学生是如何学习数学的”和“什么样的教学设计可以促进这种学习”这两个问题的理解，开展了大量的研究，提出了数学概念教学的APOS理论。该理论认为，学习者难以直接学到数学概念，而是通过心智结构使新学的概念产生意义，教学的目的是帮助学习者建立适当的心智结构。获得数学概念一般需要经历活动（actions）、过程（processes）、对象（objects）和图式（schemas）四个过程[3-5]。
（一）活动（actions）阶段
“活动”阶段是指学习者通过一系列活动对数学对象进行初步认识。这里的活动主要指学习数学的基本活动，包括外在的行为活动（如动手操作、实验操作、观察、倾听等活动）和内在的思维活动（如类比、比较、归纳等活动）。该阶段主要是感知数学概念原型的环节。在此阶段，教师有必要呈现有意义的学习材料，促进学习者发生观察、操作、实验、想象、归纳等数学活动，让学习者“看见数学”（seeing mathematics）的同时经历“做数学”（doing mathematics），全面感受数学对象的直观背景，积累丰富的数学基本活动经验，发展数学抽象、直观感知等素养。
（二）过程（processes）阶段
“过程”阶段是指学习者对前面活动的内化与压缩。这需要学习者对学习材料的本质、具体的数学活动及主要环节进行归纳、总结与反思，形成有序的操作过程。该阶段主要是归纳形成数学概念的过程环节。在此阶段，教师有必要引导学习者尽量用恰当的语言归纳学习材料的共同特征，总结学习活动的主要环节，形成“做数学”的基本程序或过程，进一步积累数学活动经验，发展数学抽象、直观想象等素养。
（三）对象（objects）阶段
“对象”阶段是指学习者进一步理解前面的活动和过程，归纳和概括共同的本质属性，并用相对严谨的语言描述这一本质属性，形成可以进行心理操作的数学对象。该阶段主要是形成数学定义的环节。在此阶段，教师有必要引导学习者通过自主学习、同伴交流、思辨分析等活动进行学习，运用精练的文字、形象的图形、恰当的符号理解和描述数学共同的本质，形成可想象的或可用的数学对象。学习者在经历数学“再创造”过程的同时“建构数学”（making mathematics），进一步积淀数学抽象、直观想象、数学建模等素养。
（四）图式（schemas）阶段
“图式”阶段是指学习者对前面的活动、过程、对象及形成概念的相关知识生成的认知框架或心理图式。该阶段主要是运用和巩固、迁移和拓展数学概念的环节。在此阶段，教师有必要运用例题讲解、变式练习、小结反思等方法，让学习者在经历学以致用、变式训练的同时，注重知识的内在和外在联系，促进学习者对数学概念学习的纵向迁移和横向拓展，学会“使用自己的心智结构来做数学”（using what you have made to do mathematics），形成数学知识网络图，进一步生成概念系。
上述四个阶段及其关系如图1所示。
三、基于APOS理论应用Hawgent皓骏的数学创课案例
（一）数学课例的基本背景
“指数函数及其性质”是人教版A版数学必修1基本初等函数（Ⅰ）的重点内容，是函数新定义、性质和幂指数的后续内容，是高中学习的第一个函数模型，一般分为两个课时，第一课时是指数函数的概念、图象与性质，第二课时是指数函数图象及其性质的应用。这里重点设计第一课时，重点探讨作为数学模型意义的指数函数的概念与性质，其蕴含的数学抽象、数学推理、数学模型、数学审美等数学思想，以及分类讨论、数形结合、归纳类比等数学方法。教学重点是指数函数的图象与性质，难点是底数对指数函数的图象与性质的影响。本节课的函数概念与性质、幂指数等知识生长点，也是进一步理解函数概念与性质的良好载体，同时也是研究其他具体函数的基础。
（二）数学创课的设计过程
基于APOS理论和本节课的分析，本节创课的设计过程如下：感知情境，提出模型；数形结合，理解模型；学以致用，巩固模型；迁移创新，拓展模型；小结反思，完善模型。其中，Hawgent皓骏的应用主要体现在“数形结合，理解模型”环节。
1.感知情境，提出模型
首先，教师呈现“快速比较以下各题中两个值的大小”的问题情境：
教师指出，若想快速解决问题③和问题④，就需要学习今天的课——指数函数的图象及性质。指数函数是高中学习的第一个函数，它是如何定义的？图象是怎样的？具有哪些与众不同的性质？今天的课主要探讨这些内容。 接着，教师要求学生将一张A4纸对折，观察对折的次数与所得纸的层数、面积之间的关系（记折前纸张面积为1），并提问：“若A4纸的厚度约为0.001m，如果可能，经过多少次对折，其高度可超过珠穆朗玛峰？”
然后，教师引导学生同桌对学，归纳得出两个指数函数的具体模型： ，并通过计算机验证猜想：若一张A4纸的厚度约为0.001m，只要将纸对折24次，其高度可超过珠穆朗玛峰。
最后，教师提问“与一次、二次函数比较，这两个函数有什么不同？”，引导学生发现并归纳共同特征：解析式结构都是幂的形式，幂的指数是自变量x，幂的底数是常数，定义域为N+。教师通过追问“如果用a表示常数，可以抽象出一个统一的函数式y=ax，这样的函数是什么函数？”，从而提出新课题——指数函数。
【设计依据与意图】根据APOS理论，此环节实现“活动”和“过程”阶段的问题和活动。此环节主要通过问题情境产生认知冲突，驱动学生产生解题欲望；动手操作情境便于学生感知指数函数模型源自生活、高于生活、用于生活的特点，有利于学生发现和归纳共同特征，激发学生的学习兴趣与求知欲望，发展直观想象、数学建模的素养。
2.数形结合，理解模型
（1）从解析式的角度，理解函数模型
首先，教师提问“指数函数有什么特征？”，引导学生精读教材，比较自己的思考，并追问“在定义中要注意哪些关键信息？”，师生共同归纳出如下的关键信息（见表1）。
接着，教师提问“指数函数的定义域是实数R的意义是什么？值域是怎样的？”，并根据学生回答情况适度点拨：定义域为R说明指数函数的普适性，模型简单，实用性强。
然后，教师追问：“为什么定义中规定a>0且a≠1？还有哪些疑惑？”若学生不能解决该问题，教师可给予提示让学生思考，再强调分类思想与反证法的应用：若a≤0，因为指数概念已经扩充到整个实数范围，由前面指数一节可知根式成立的条件为必须满足a>0，故a≤0不成立；若a=1，那么y=1恒成立，研究价值不大。
最后，教师用PPT呈现“概念辨析题：判断函数y=a2x，y=2ax，y=ax+1是否是指数函数”，让个别学生进行辨析并说出理由，强调只要能化归为y=1·a1×x（a是常数）结构特征的函数都是指数函数，即底数与指数的系数均为1，并强调模型的简洁性，具有数学美与魅力特征。
【设计依据与意图】根据APOS理论，此环节实现“对象”阶段的问题和活动。此环节主要引导学生从解析式的角度理解函数的结构特征及关键信息，渗透分类讨论、化归、反证法、由特殊到一般、数学审美等数学思想与方法，发展数学抽象、数学建模的素养。
（2）从图象的角度理解函数模型
首先，教师提问：“研究了指数函数的结构，那么指数函数的图象具有什么特征？底数a与图象之间存在什么联系？”
接着，教师呈现问题“请快速画出指数函数 的图象”，并要求学生先独立思考再合作交流后小组代表展示：分两组并让同桌之间各画一组函数图象，并请小组代表展示和分析所画的函数图象。
然后，教师用Hawgent皓骏现场画出如图2的函数图象，引导学生用形象和习惯的语言描述图象特征：类似汉字“一撇一捺”笔画，以及递增、递减。
最后，教师追问“导致图象产生如此大差异的原因是什么？”，引导学生猜想底数a是产生这种差异的根源：当底数a>1时，图象是“一撇”；当底数0 【设计依据与意图】根据APOS理论，此环节实现“对象”阶段的问题和活动。此环节主要引导学生从图象的角度理解函数的图象特征，动态演示图象生成过程，用形象语言描绘，用数学语言概括，突出重点，破解难点，同时渗透分类讨论、归纳类比等数学思想方法，为探究函数的性质做铺垫。授人以“鱼”的同时，授人以“渔”“愉”和“欲”，发展学生的数据分析、数学抽象与数学建模的素养。
（3）数形结合，理解函数模型
首先，教师提问“研究了指数函数的结构与图象，接下来探究什么？”，追问“指数函数具有哪些特殊的性质？如何探究？”，接着引导学生类比初中学习函数的方法，并强调数形结合的意义，然后再次用Hawgent皓骏动态演示底数a引起图象的变化，突破难点或突显关键信息，对底数a分类归纳性质（如表2）。
最后，根据学生分享的情况，教师引导学生巧用口诀记忆：一撇一捺冲上天，恒与x轴不沾边，底大1增、小1减，图象恒过（0，1）点。
【设计依据与意图】根据APOS理论，此环节进一步实现“对象”阶段的问题和活动。此环节主要引导学生列表和数形结合深入理解，渗透分类讨论、数形结合等数学思想方法，扎实学法指导，培育良好习惯，提高学习效率。
3.学以致用，巩固模型
首先，教师呈现教材例题6让学生解答。接着，教师提问“如何应用指数函数模型解决前面的大小比较问题”：
③0.8-0.7，0.8-0.9；④1.72.3，1.73.3。
学生先自主探究比较，教师再板书应用指数函数模型比较大小的过程，然后归纳小结各种方法的优越性与不足，最后让小组交流和随机抽代表展示如何比较1.72.3与0.93.3的大小（此题为例题的变式），再强调和小结应用模型比较大小的方法——画图，或解析，或数形结合。
【设计依据与意图】根据APOS理论，此环节实现“图式”阶段的问题和活动。此环节主要通过变式训练，引导学生通过学以致用，突出数学知识内部的联系，进一步理解和巩固模型，感受模型对解决数学内部问题的价值与作用。
4.迁移创新，拓展模型
必做题：课本第59页习题2.1第8题。
选做题：①比较32x2+3与3x2+2的大小；②比较a2x2+3与ax2+2的大小。
挑战题：探究签合同问题
A先生从今天开始每天给你10万元，而你承担如下任务：第一天給A先生1元，第二天给A先生2元，第三天给A先生4元，第四天给A先生8元，如此下去。A先生要和你签订15天的合同，你同意吗？若A先生要和你签订30天的合同，你还签这个合同吗？
【设计依据与意图】根据APOS理论，此环节进一步实现“图式”阶段的问题和活动。此环节主要通过加强变式训练，达到学以致用、迁移创新的目的，不仅突出了数学知识内部的联系，而且提升了数学的应用价值。
5.小结反思，完善模型
首先，教师呈现如下PPT内容，并强调先回顾与思考，让学生自主梳理。
这堂课我学到了什么？我是怎样学到的？
这堂课给我留下印象最深的是什么，为什么？
这堂课我还有哪些想法或发现？
接着，教师请学生或小组代表展示成果，然后强调并指出注意点，最后根据小组的展示画龙点睛地评价或呈现有创意的知识结构图。
【设计意图与依据】根据APOS理论，此环节进一步实现“图式”阶段的问题和活动。此环节主要让学生进一步经历回顾与反思的学习过程，梳理与提炼学习收获，提出收获与困惑，学会评价与分享，努力达到“鱼渔欲”三位一体的作用[1]5-10。
参考文献：
[1]唐剑岚.“鱼渔欲”三位一体优化数学教学的理念与策略：以“三角形的内角”课例片段分析为例[J].基础教育研究，2015（9）：5-10.
[2]唐剑岚，周元.“授人以鱼”的同时“授人以渔与欲”：以《等差数列的前n项和》公式推导片段为例[J].数学通报，2016（9）：41-46.
[3]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
[4]乔连全.APOS：一种建构主义的数学学习理论[J].全球教育展望，2001（3）：16-l8.
[5]吴华，周鸣.GeoGebra环境下基于APOS理论的数学概念教学研究：以导数概念为例[J].数学教育学报，2013（2）：87-90.
【关键词】数学创课；APOS理论；Hawgent皓骏动态数学软件
一、Hawgent皓骏动态数学软件的基本功能
当前，动态数学软件已经成为信息技术融入数学课堂教学、改善传统数学教学的利器。动态数学软件不仅界面简洁、操作便捷，还具有數学化、视觉化和动态化呈现数学对象与思维的功能。Hawgent皓骏动态数学软件（以下简称“Hawgent皓骏”）的设计理念包括让数学变得更直观、形象、有趣、好玩，它能够处理几何、代数、三角、概率、统计、算法、微积分等数学知识，具有动态曲线绘制、动态数据处理、智能公式文本、动态参数控制、对象轨迹跟踪等核心功能，能够做到参数与方程表达式、曲线图象的同步变化，活灵活现地展示数学对象动态生成的全过程。Hawgent皓骏设计数学创课的恰当应用，将有效实现“授人以鱼”的同时“授人以渔与欲”[1-2]。
二、APOS理论的基本观点
美国数学教育研究者杜宾斯基（Dubinsky）基于“学生是如何学习数学的”和“什么样的教学设计可以促进这种学习”这两个问题的理解，开展了大量的研究，提出了数学概念教学的APOS理论。该理论认为，学习者难以直接学到数学概念，而是通过心智结构使新学的概念产生意义，教学的目的是帮助学习者建立适当的心智结构。获得数学概念一般需要经历活动（actions）、过程（processes）、对象（objects）和图式（schemas）四个过程[3-5]。
（一）活动（actions）阶段
“活动”阶段是指学习者通过一系列活动对数学对象进行初步认识。这里的活动主要指学习数学的基本活动，包括外在的行为活动（如动手操作、实验操作、观察、倾听等活动）和内在的思维活动（如类比、比较、归纳等活动）。该阶段主要是感知数学概念原型的环节。在此阶段，教师有必要呈现有意义的学习材料，促进学习者发生观察、操作、实验、想象、归纳等数学活动，让学习者“看见数学”（seeing mathematics）的同时经历“做数学”（doing mathematics），全面感受数学对象的直观背景，积累丰富的数学基本活动经验，发展数学抽象、直观感知等素养。
（二）过程（processes）阶段
“过程”阶段是指学习者对前面活动的内化与压缩。这需要学习者对学习材料的本质、具体的数学活动及主要环节进行归纳、总结与反思，形成有序的操作过程。该阶段主要是归纳形成数学概念的过程环节。在此阶段，教师有必要引导学习者尽量用恰当的语言归纳学习材料的共同特征，总结学习活动的主要环节，形成“做数学”的基本程序或过程，进一步积累数学活动经验，发展数学抽象、直观想象等素养。
（三）对象（objects）阶段
“对象”阶段是指学习者进一步理解前面的活动和过程，归纳和概括共同的本质属性，并用相对严谨的语言描述这一本质属性，形成可以进行心理操作的数学对象。该阶段主要是形成数学定义的环节。在此阶段，教师有必要引导学习者通过自主学习、同伴交流、思辨分析等活动进行学习，运用精练的文字、形象的图形、恰当的符号理解和描述数学共同的本质，形成可想象的或可用的数学对象。学习者在经历数学“再创造”过程的同时“建构数学”（making mathematics），进一步积淀数学抽象、直观想象、数学建模等素养。
（四）图式（schemas）阶段
“图式”阶段是指学习者对前面的活动、过程、对象及形成概念的相关知识生成的认知框架或心理图式。该阶段主要是运用和巩固、迁移和拓展数学概念的环节。在此阶段，教师有必要运用例题讲解、变式练习、小结反思等方法，让学习者在经历学以致用、变式训练的同时，注重知识的内在和外在联系，促进学习者对数学概念学习的纵向迁移和横向拓展，学会“使用自己的心智结构来做数学”（using what you have made to do mathematics），形成数学知识网络图，进一步生成概念系。
上述四个阶段及其关系如图1所示。
三、基于APOS理论应用Hawgent皓骏的数学创课案例
（一）数学课例的基本背景
“指数函数及其性质”是人教版A版数学必修1基本初等函数（Ⅰ）的重点内容，是函数新定义、性质和幂指数的后续内容，是高中学习的第一个函数模型，一般分为两个课时，第一课时是指数函数的概念、图象与性质，第二课时是指数函数图象及其性质的应用。这里重点设计第一课时，重点探讨作为数学模型意义的指数函数的概念与性质，其蕴含的数学抽象、数学推理、数学模型、数学审美等数学思想，以及分类讨论、数形结合、归纳类比等数学方法。教学重点是指数函数的图象与性质，难点是底数对指数函数的图象与性质的影响。本节课的函数概念与性质、幂指数等知识生长点，也是进一步理解函数概念与性质的良好载体，同时也是研究其他具体函数的基础。
（二）数学创课的设计过程
基于APOS理论和本节课的分析，本节创课的设计过程如下：感知情境，提出模型；数形结合，理解模型；学以致用，巩固模型；迁移创新，拓展模型；小结反思，完善模型。其中，Hawgent皓骏的应用主要体现在“数形结合，理解模型”环节。
1.感知情境，提出模型
首先，教师呈现“快速比较以下各题中两个值的大小”的问题情境：
教师指出，若想快速解决问题③和问题④，就需要学习今天的课——指数函数的图象及性质。指数函数是高中学习的第一个函数，它是如何定义的？图象是怎样的？具有哪些与众不同的性质？今天的课主要探讨这些内容。 接着，教师要求学生将一张A4纸对折，观察对折的次数与所得纸的层数、面积之间的关系（记折前纸张面积为1），并提问：“若A4纸的厚度约为0.001m，如果可能，经过多少次对折，其高度可超过珠穆朗玛峰？”
然后，教师引导学生同桌对学，归纳得出两个指数函数的具体模型： ，并通过计算机验证猜想：若一张A4纸的厚度约为0.001m，只要将纸对折24次，其高度可超过珠穆朗玛峰。
最后，教师提问“与一次、二次函数比较，这两个函数有什么不同？”，引导学生发现并归纳共同特征：解析式结构都是幂的形式，幂的指数是自变量x，幂的底数是常数，定义域为N+。教师通过追问“如果用a表示常数，可以抽象出一个统一的函数式y=ax，这样的函数是什么函数？”，从而提出新课题——指数函数。
【设计依据与意图】根据APOS理论，此环节实现“活动”和“过程”阶段的问题和活动。此环节主要通过问题情境产生认知冲突，驱动学生产生解题欲望；动手操作情境便于学生感知指数函数模型源自生活、高于生活、用于生活的特点，有利于学生发现和归纳共同特征，激发学生的学习兴趣与求知欲望，发展直观想象、数学建模的素养。
2.数形结合，理解模型
（1）从解析式的角度，理解函数模型
首先，教师提问“指数函数有什么特征？”，引导学生精读教材，比较自己的思考，并追问“在定义中要注意哪些关键信息？”，师生共同归纳出如下的关键信息（见表1）。
接着，教师提问“指数函数的定义域是实数R的意义是什么？值域是怎样的？”，并根据学生回答情况适度点拨：定义域为R说明指数函数的普适性，模型简单，实用性强。
然后，教师追问：“为什么定义中规定a>0且a≠1？还有哪些疑惑？”若学生不能解决该问题，教师可给予提示让学生思考，再强调分类思想与反证法的应用：若a≤0，因为指数概念已经扩充到整个实数范围，由前面指数一节可知根式成立的条件为必须满足a>0，故a≤0不成立；若a=1，那么y=1恒成立，研究价值不大。
最后，教师用PPT呈现“概念辨析题：判断函数y=a2x，y=2ax，y=ax+1是否是指数函数”，让个别学生进行辨析并说出理由，强调只要能化归为y=1·a1×x（a是常数）结构特征的函数都是指数函数，即底数与指数的系数均为1，并强调模型的简洁性，具有数学美与魅力特征。
【设计依据与意图】根据APOS理论，此环节实现“对象”阶段的问题和活动。此环节主要引导学生从解析式的角度理解函数的结构特征及关键信息，渗透分类讨论、化归、反证法、由特殊到一般、数学审美等数学思想与方法，发展数学抽象、数学建模的素养。
（2）从图象的角度理解函数模型
首先，教师提问：“研究了指数函数的结构，那么指数函数的图象具有什么特征？底数a与图象之间存在什么联系？”
接着，教师呈现问题“请快速画出指数函数 的图象”，并要求学生先独立思考再合作交流后小组代表展示：分两组并让同桌之间各画一组函数图象，并请小组代表展示和分析所画的函数图象。
然后，教师用Hawgent皓骏现场画出如图2的函数图象，引导学生用形象和习惯的语言描述图象特征：类似汉字“一撇一捺”笔画，以及递增、递减。
最后，教师追问“导致图象产生如此大差异的原因是什么？”，引导学生猜想底数a是产生这种差异的根源：当底数a>1时，图象是“一撇”；当底数0
（3）数形结合，理解函数模型
首先，教师提问“研究了指数函数的结构与图象，接下来探究什么？”，追问“指数函数具有哪些特殊的性质？如何探究？”，接着引导学生类比初中学习函数的方法，并强调数形结合的意义，然后再次用Hawgent皓骏动态演示底数a引起图象的变化，突破难点或突显关键信息，对底数a分类归纳性质（如表2）。
最后，根据学生分享的情况，教师引导学生巧用口诀记忆：一撇一捺冲上天，恒与x轴不沾边，底大1增、小1减，图象恒过（0，1）点。
【设计依据与意图】根据APOS理论，此环节进一步实现“对象”阶段的问题和活动。此环节主要引导学生列表和数形结合深入理解，渗透分类讨论、数形结合等数学思想方法，扎实学法指导，培育良好习惯，提高学习效率。
3.学以致用，巩固模型
首先，教师呈现教材例题6让学生解答。接着，教师提问“如何应用指数函数模型解决前面的大小比较问题”：
③0.8-0.7，0.8-0.9；④1.72.3，1.73.3。
学生先自主探究比较，教师再板书应用指数函数模型比较大小的过程，然后归纳小结各种方法的优越性与不足，最后让小组交流和随机抽代表展示如何比较1.72.3与0.93.3的大小（此题为例题的变式），再强调和小结应用模型比较大小的方法——画图，或解析，或数形结合。
【设计依据与意图】根据APOS理论，此环节实现“图式”阶段的问题和活动。此环节主要通过变式训练，引导学生通过学以致用，突出数学知识内部的联系，进一步理解和巩固模型，感受模型对解决数学内部问题的价值与作用。
4.迁移创新，拓展模型
必做题：课本第59页习题2.1第8题。
选做题：①比较32x2+3与3x2+2的大小；②比较a2x2+3与ax2+2的大小。
挑战题：探究签合同问题
A先生从今天开始每天给你10万元，而你承担如下任务：第一天給A先生1元，第二天给A先生2元，第三天给A先生4元，第四天给A先生8元，如此下去。A先生要和你签订15天的合同，你同意吗？若A先生要和你签订30天的合同，你还签这个合同吗？
【设计依据与意图】根据APOS理论，此环节进一步实现“图式”阶段的问题和活动。此环节主要通过加强变式训练，达到学以致用、迁移创新的目的，不仅突出了数学知识内部的联系，而且提升了数学的应用价值。
5.小结反思，完善模型
首先，教师呈现如下PPT内容，并强调先回顾与思考，让学生自主梳理。
这堂课我学到了什么？我是怎样学到的？
这堂课给我留下印象最深的是什么，为什么？
这堂课我还有哪些想法或发现？
接着，教师请学生或小组代表展示成果，然后强调并指出注意点，最后根据小组的展示画龙点睛地评价或呈现有创意的知识结构图。
【设计意图与依据】根据APOS理论，此环节进一步实现“图式”阶段的问题和活动。此环节主要让学生进一步经历回顾与反思的学习过程，梳理与提炼学习收获，提出收获与困惑，学会评价与分享，努力达到“鱼渔欲”三位一体的作用[1]5-10。
参考文献：
[1]唐剑岚.“鱼渔欲”三位一体优化数学教学的理念与策略：以“三角形的内角”课例片段分析为例[J].基础教育研究，2015（9）：5-10.
[2]唐剑岚，周元.“授人以鱼”的同时“授人以渔与欲”：以《等差数列的前n项和》公式推导片段为例[J].数学通报，2016（9）：41-46.
[3]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
[4]乔连全.APOS：一种建构主义的数学学习理论[J].全球教育展望，2001（3）：16-l8.
[5]吴华，周鸣.GeoGebra环境下基于APOS理论的数学概念教学研究：以导数概念为例[J].数学教育学报，2013（2）：87-90.