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数列是高中数学的重点内容，在高考中亦是考查的热点内容，常以解答题在后三题出现．而求解数列的通项公式，作为既能考查考生对数列概念与性质的掌握程度，又能考查考生对数列特征的抽象概括能力，便当仁不让在数列考查中占据相当重要的位置．翻看历年广东高考试题，几乎均能看到对数列通项公式求解的考查．下面通过分析2011年和2012年广东高考对数列通项公式的考查特点以及解决方法，归纳出两种求解数列通项公式的通性通法：作差法和构造法，旨在说明只要我们掌握通性通法，便能以不变应万变的坦然心态面对高考数列题．
1．（2011年高考广东理科20题节选）设b>0，数列{an}满足a1=b，an=■(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
分析：观察数列{an}递推关系式的形式特征可知，数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列，因此应对关系式进行适当的移项和变形．通过对等式的两边取倒数，分离出常数■，继而寻找an与an-1的关系，使之能构造出一个新的等差数列或等比数列.另外考虑到参数b的值不确定，应对b进行分类讨论．
由an=■可得■=■，化简得■=■·■+■.
①当b=2时，■=■+■，即■-■+■(n≥2)，所以新数列■是以■=■为首项，公差为■的等差数列．
根据等差数列的通项公式可得■=■+■（n-1），即an=2，n∈N*．
②当b≠2时，利用■+?姿=■（■+?姿），即■=■·■+■?姿与■=■·■+■进行比较得?姿=■，所以■+■=■（■+■）.
所以新数列{■+■}是以■+■=■为首项，公比为■的等比数列．
根据等比数列的通项公式可得■+■=■·(■)n-1，化简得an=■，n∈N*．
综上①②可得数列{an}的通项公式an=2, b=2■,b>0,b≠2．
2．（2012年高考广东文科19题节选）设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn=2Sn-n2，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式．
分析：观察到已知关系式有前n项和Sn和Tn，因此可对关系式中的n用n-1代替，衍生出另一条关系式，继而对两条等式作差，从而借助Sn=T1,n=1Tn-Tn-1,n≥2和an=S1,n=1Sn-Sn-1,n≥2消去Sn和Tn，得到数列{an}的递推关系式．
（1）当n=1时，a1=2a1-12，解得a1=1．
（2）由 Tn=2Sn-n2(n∈N*)，①
得Tn-1=2Sn-1-(n-1)2(n≥2,n∈N*).②
由①-②可得：Sn=2an-2n+1(n≥2,n∈N*).
注意到当n=1时，S1=a1=1，2a1-2×1+1=1，所以Sn=2an-2n+1对任意n∈N*都成立.
由Sn=2an-2n+1(n∈N*)，③
得Sn-1=2an-1-2(n-1)+1(n≥2,n∈N*). ④
由③-④可得：an=2an-2an-1-2，即an=2an-1+2(n≥2,n∈N*).
由an+?姿=2(an-1+?姿)得an=2an-1+?姿，与an=2an-1+2进行比较得：?姿=2，所以an+2=2(an-1+2)(n≥2,n∈N*)．
所以构造新数列{an+2}是以a1+2=3为首项，公比为2的等比数列．
根据等比数列的通项公式可得an+2=3·2n-1，即an=3·2n-1-2为所求．
3．（2012年高考广东理科19题节选）设数列{an}的前项n和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式．
分析：观察到已知条件有an与Sn的关系式，因此可以利用an=S1,n=1Sn-Sn-1,n≥2消去Sn，得到数列{an}的递推关系式．
（1）由2Sn=an+1-2n+1+1，可知：
当n=1时，2S1=a2-22+1，即a2=2a1+3；①
当n=2时，2S2=a3-23+1，即a3=6a1+13.②
又由已知可得2(a2+5)=a1+a3，③
联立①②③解得a1=1.
（2）由2Sn=an+1-2n+1+1，(n∈N*)④
得2Sn-1=an-2n+1，(n≥2,n∈N*) ⑤
由④-⑤可得：2an=an+1-an-2n，化简得an+1=3an+2n（n≥2,n∈N*）.
注意到当n=1，a2=2a1+3=5，3a1+21=5.
所以an+1=3an+2n对任意n∈N*都成立．
等式两边同除以2n，得■=■·■+1.
由■+?姿=■(■+?姿)得■=■·■+■，与■=■·■+1进行比较得■=1，即?姿=2，
所以■+2=■(■+2)(n∈N*).
所以新数列{■+2}是以■+2=3为首项，公比为■的等比数列．
根据等比数列的通项公式可得■+2=3·(■)n-1，即an=3n-2n，(n∈N*)为所求．
通过对以上三道高考题的分析和求解，我们可以发现广东高考对数列通项公式的考查较多是倾向于对通性通法也就是作差法和构造法的考查.因此我们就很有必要对这两种方法进行深入的研究，以求达到熟练掌握和灵活运用的目的.
通法一：作差法
顾名思义，作差法就是对两条等式或式子作差.在数列问题中，大家经常会碰到已知数列前n项Sn与数列第n项an的关系式，求数列{an}通项公式的问题.对于这一类问题我们可以通过n-1代替n，从而衍生出另一条关系式，继而进行作差，从而借助an=S1,n=1Sn-Sn-1，n≥2的关系消去Sn，得到an与相邻项之间的递推关系式，从而借助等差或等比数列的通项公式求解数列{an}的通项公式． 例1． 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且对于任意的n∈N*，有an+1=2Sn+1， 求数列{an}的通项公式．
分析：因为 an+1=2Sn+1(n∈N*)，①
所以 an=2Sn-1+1(n≥2,n∈N*).②
由①-②可得：an+1-an=2an.
化简得：■=3(n≥2,n∈N*).
注意到n取最小值2时，得到■=3，没有包含■=3这一情况．因此应通过已知条件求出a2的值，进而检验■是否亦等于3．
把n=1代入①式，得到a2=2S1+1=2a1+1=2+1=3．满足■=3．
所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列．因此an=3n-1，n∈N*为所求数列的通项公式．
通通法二：构造法
对于一个既不是等差数列也不是等比数列的数列，我们可以借助数列的递推关系式，通过构造一个新的数列使之成为等差数列或等比数列．
（1）构造等比数列
例2． 已知数列{an}满足：a1=1，an+1=2an+1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
分析：观察到数列{an}如果满足an+1=2an(n∈N*)，则可以得出数列{an}是等比数列．因此对于等式右边的常数1可以进行分解，构造出形如an+1+?姿=2(an+?姿)的形式．
由an+1+?姿=2(an+?姿)可得an+1=2an+?姿，与条件an+1=2an+1进行比较，得到?姿=1.
所以新数列{an+1}是以a1+1=2为首项，公比为2的等比数列．
根据等比数列的通项公式可得an+1=2·2n-1，即an=2n-1，n∈N*为所求．
（2）构造等差数列
例3． 已知数列{an}满足：a1=1，an+1=2an+2n+1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
分析：对等式an+1=2an+2n+1两边同除以2n+1可得：■=■+1，化简得到■-■=1，所以新数列{■}是以■=■为首项，公差为1的等差数列．
根据等差数列的通项公式可得■=■+(n-1)×1，即an=(2n-1)·2n-1，n∈N*为所求．
例4． 已知数列{an}满足：a1=1，an+1=■(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
分析：对等式两边取倒数，得到■=■=2+■，化简得到■-■=2.
所以新数列{■}是以■=1为首项，2为公差的等差数列．
根据等差数列的通项公式可得■=1+2(n-1)，即an=■，n∈N*为所求．
巩固练习：
1．（2010广州二模理科节选）已知数列{an}和{bn}满足a1=b1，且对任意n∈N*都有an+bn=1, ■=■，求数列{an}和{bn}的通项公式．
2．（2012广州二模文科节选）已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，都有an>0且Sn=■，求数列{an}的通项公式．
3．（2009全国卷II改编）已知数列{an}满足：a1=2，an+1=4an+2n+1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
答案：1． an=■，bn=■，n∈N*． 2． an=n+1，n∈N*． 3． an=22n-2n，n∈N*．
小结：通过对2011年和2012年广东高考道有关数列通项公式求解问题的研究，大家应感受到高考命题逐步强化对通性通法的考查，淡化解题的特殊技巧．因此对于大家倍感棘手的数列解答题，只要大家能够熟练掌握求解数列问题的通性通法也就是作差法和构造法，再通过适量的练习进行针对性的训练，相信大家一定能够消除解决数列解答题的畏惧心理，最终实现熟练求解数列通项公式的目的．
（作者单位：江门市新会第一中学）
责任编校 徐国坚
1．（2011年高考广东理科20题节选）设b>0，数列{an}满足a1=b，an=■(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
分析：观察数列{an}递推关系式的形式特征可知，数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列，因此应对关系式进行适当的移项和变形．通过对等式的两边取倒数，分离出常数■，继而寻找an与an-1的关系，使之能构造出一个新的等差数列或等比数列.另外考虑到参数b的值不确定，应对b进行分类讨论．
由an=■可得■=■，化简得■=■·■+■.
①当b=2时，■=■+■，即■-■+■(n≥2)，所以新数列■是以■=■为首项，公差为■的等差数列．
根据等差数列的通项公式可得■=■+■（n-1），即an=2，n∈N*．
②当b≠2时，利用■+?姿=■（■+?姿），即■=■·■+■?姿与■=■·■+■进行比较得?姿=■，所以■+■=■（■+■）.
所以新数列{■+■}是以■+■=■为首项，公比为■的等比数列．
根据等比数列的通项公式可得■+■=■·(■)n-1，化简得an=■，n∈N*．
综上①②可得数列{an}的通项公式an=2, b=2■,b>0,b≠2．
2．（2012年高考广东文科19题节选）设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn=2Sn-n2，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式．
分析：观察到已知关系式有前n项和Sn和Tn，因此可对关系式中的n用n-1代替，衍生出另一条关系式，继而对两条等式作差，从而借助Sn=T1,n=1Tn-Tn-1,n≥2和an=S1,n=1Sn-Sn-1,n≥2消去Sn和Tn，得到数列{an}的递推关系式．
（1）当n=1时，a1=2a1-12，解得a1=1．
（2）由 Tn=2Sn-n2(n∈N*)，①
得Tn-1=2Sn-1-(n-1)2(n≥2,n∈N*).②
由①-②可得：Sn=2an-2n+1(n≥2,n∈N*).
注意到当n=1时，S1=a1=1，2a1-2×1+1=1，所以Sn=2an-2n+1对任意n∈N*都成立.
由Sn=2an-2n+1(n∈N*)，③
得Sn-1=2an-1-2(n-1)+1(n≥2,n∈N*). ④
由③-④可得：an=2an-2an-1-2，即an=2an-1+2(n≥2,n∈N*).
由an+?姿=2(an-1+?姿)得an=2an-1+?姿，与an=2an-1+2进行比较得：?姿=2，所以an+2=2(an-1+2)(n≥2,n∈N*)．
所以构造新数列{an+2}是以a1+2=3为首项，公比为2的等比数列．
根据等比数列的通项公式可得an+2=3·2n-1，即an=3·2n-1-2为所求．
3．（2012年高考广东理科19题节选）设数列{an}的前项n和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式．
分析：观察到已知条件有an与Sn的关系式，因此可以利用an=S1,n=1Sn-Sn-1,n≥2消去Sn，得到数列{an}的递推关系式．
（1）由2Sn=an+1-2n+1+1，可知：
当n=1时，2S1=a2-22+1，即a2=2a1+3；①
当n=2时，2S2=a3-23+1，即a3=6a1+13.②
又由已知可得2(a2+5)=a1+a3，③
联立①②③解得a1=1.
（2）由2Sn=an+1-2n+1+1，(n∈N*)④
得2Sn-1=an-2n+1，(n≥2,n∈N*) ⑤
由④-⑤可得：2an=an+1-an-2n，化简得an+1=3an+2n（n≥2,n∈N*）.
注意到当n=1，a2=2a1+3=5，3a1+21=5.
所以an+1=3an+2n对任意n∈N*都成立．
等式两边同除以2n，得■=■·■+1.
由■+?姿=■(■+?姿)得■=■·■+■，与■=■·■+1进行比较得■=1，即?姿=2，
所以■+2=■(■+2)(n∈N*).
所以新数列{■+2}是以■+2=3为首项，公比为■的等比数列．
根据等比数列的通项公式可得■+2=3·(■)n-1，即an=3n-2n，(n∈N*)为所求．
通过对以上三道高考题的分析和求解，我们可以发现广东高考对数列通项公式的考查较多是倾向于对通性通法也就是作差法和构造法的考查.因此我们就很有必要对这两种方法进行深入的研究，以求达到熟练掌握和灵活运用的目的.
通法一：作差法
顾名思义，作差法就是对两条等式或式子作差.在数列问题中，大家经常会碰到已知数列前n项Sn与数列第n项an的关系式，求数列{an}通项公式的问题.对于这一类问题我们可以通过n-1代替n，从而衍生出另一条关系式，继而进行作差，从而借助an=S1,n=1Sn-Sn-1，n≥2的关系消去Sn，得到an与相邻项之间的递推关系式，从而借助等差或等比数列的通项公式求解数列{an}的通项公式． 例1． 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且对于任意的n∈N*，有an+1=2Sn+1， 求数列{an}的通项公式．
分析：因为 an+1=2Sn+1(n∈N*)，①
所以 an=2Sn-1+1(n≥2,n∈N*).②
由①-②可得：an+1-an=2an.
化简得：■=3(n≥2,n∈N*).
注意到n取最小值2时，得到■=3，没有包含■=3这一情况．因此应通过已知条件求出a2的值，进而检验■是否亦等于3．
把n=1代入①式，得到a2=2S1+1=2a1+1=2+1=3．满足■=3．
所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列．因此an=3n-1，n∈N*为所求数列的通项公式．
通通法二：构造法
对于一个既不是等差数列也不是等比数列的数列，我们可以借助数列的递推关系式，通过构造一个新的数列使之成为等差数列或等比数列．
（1）构造等比数列
例2． 已知数列{an}满足：a1=1，an+1=2an+1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
分析：观察到数列{an}如果满足an+1=2an(n∈N*)，则可以得出数列{an}是等比数列．因此对于等式右边的常数1可以进行分解，构造出形如an+1+?姿=2(an+?姿)的形式．
由an+1+?姿=2(an+?姿)可得an+1=2an+?姿，与条件an+1=2an+1进行比较，得到?姿=1.
所以新数列{an+1}是以a1+1=2为首项，公比为2的等比数列．
根据等比数列的通项公式可得an+1=2·2n-1，即an=2n-1，n∈N*为所求．
（2）构造等差数列
例3． 已知数列{an}满足：a1=1，an+1=2an+2n+1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
分析：对等式an+1=2an+2n+1两边同除以2n+1可得：■=■+1，化简得到■-■=1，所以新数列{■}是以■=■为首项，公差为1的等差数列．
根据等差数列的通项公式可得■=■+(n-1)×1，即an=(2n-1)·2n-1，n∈N*为所求．
例4． 已知数列{an}满足：a1=1，an+1=■(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
分析：对等式两边取倒数，得到■=■=2+■，化简得到■-■=2.
所以新数列{■}是以■=1为首项，2为公差的等差数列．
根据等差数列的通项公式可得■=1+2(n-1)，即an=■，n∈N*为所求．
巩固练习：
1．（2010广州二模理科节选）已知数列{an}和{bn}满足a1=b1，且对任意n∈N*都有an+bn=1, ■=■，求数列{an}和{bn}的通项公式．
2．（2012广州二模文科节选）已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，都有an>0且Sn=■，求数列{an}的通项公式．
3．（2009全国卷II改编）已知数列{an}满足：a1=2，an+1=4an+2n+1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
答案：1． an=■，bn=■，n∈N*． 2． an=n+1，n∈N*． 3． an=22n-2n，n∈N*．
小结：通过对2011年和2012年广东高考道有关数列通项公式求解问题的研究，大家应感受到高考命题逐步强化对通性通法的考查，淡化解题的特殊技巧．因此对于大家倍感棘手的数列解答题，只要大家能够熟练掌握求解数列问题的通性通法也就是作差法和构造法，再通过适量的练习进行针对性的训练，相信大家一定能够消除解决数列解答题的畏惧心理，最终实现熟练求解数列通项公式的目的．
（作者单位：江门市新会第一中学）
责任编校 徐国坚