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摘 要：数学核心素养指的是适应学生自身发展以及社会发展的品质与能力，而高中数学例题中便具有着丰富的知识背景和思想方法，不单单是解题方法的教授，也是数学思想的传授。同时高中数学例题教学也是能够帮助学生夯实知识基础、掌握知识规律、培养学习习惯的有效路径。
关键词：高中数学;核心素养;例题教学
引言：目前新高考制度改革已经在我国多个省市推行，而高考制度的改革对于高中教学来说影响颇深，对于高中教学的方法和策略都带来了影响。教育的主旨目标在于立德树人，而这也是新课程改革的核心要素，党和国家近年来的政策也在不断强调对于学生学科核心素养的培养，但以往高中阶段的教育教学仍会在备战高考的“应试”教育和核心素养之间摇摆，新高考制度的改革则进一步突破了这一桎梏，加速了素质教育的全面落实，这对于高中数学教学来说也带来了积极的作用。数学核心素养是学科思想及本质的一种体现，数学教学中例题是不可或缺的一项内容，不管是教授学生知识方法，还是渗透核心素养培养都是有效的途径，将数学知识和思想方法结合在一起，既能实现知识基础的提升，又能通过灵活的内容和形式变换实现能力的培养。
一、一题多解，培养学生的创造能力
对于高中数学教学来说，新课程改革要求教学需要鼓励学生自主学习和自主探索，培养学生的数学应用能力与创新能力，但高中阶段的学生却在自主学习和自主探究方面存在很多困难，不仅表现在自主性不足，同时也面临着思维过于僵化，时常陷入例题谜团中的问题。很多学生在解题时往往只会利用固定的解题方法不断尝试，而很多高考中的题目考查的就是学生的自主能力和创新能力，用很刁钻的角度提出问题，而学生面对这些问题时则完全丧失了“斗志”。对此教师不仅要教授学生解题的方法，还要通过一题多解和多题一解的思想让学生具备灵活的数学思维和创造能力，在面对例题时能够灵活应用解法，没有解法也能创造解法。
（一）一题多解
高中数学例题常涉及到一题多想、一题多解、一题多讲的例题，能够有效培养学生的数学思维，让学生以多个角度和层面去思考问题，开阔解题的思路，在面临许多看上去困难且麻烦的数学例题时能够轻松“抄捷径”找到正确答案，这也是对学生数学潜在能力的一种挖掘。如例题：
已知正数x和y满足x+y=1的要求，求的最小值。
学生刚看到这一题时可能会被它的表象欺骗，看上去不管是已给条件还是所求问题都十分简单，但在解题时四处碰壁后才了解到这一题的不同之处，而针对该题，解法也有好几种。
1.让x+2=a，y+1=b，二者能够满足a+b=4（a>2，b>1）的条件，在只有时，取等号;
2.也可以利用幂平均不等式进行解答，设a=x+2，b=y+1，那么根据条件能够得出
;
3.通过常数代换的方法求解，设a=x+2，b=y+1，则，在a=2b时取等号。
经过该题的一题多解，能够提高学生的数学思维能力，而且实现了以往知识点以及解题方法的巩固，因此一题多解下的高中数学例题教学是一种灵活延伸不断拓展的教学方法，不仅方法多种多样，而且内容也相互贯通，让学生在面对其他题型时也能延伸出多种不同的解法。
（二）多题一解
与一题多解在形式上相反，多题一解则是利用一种知识或方法去解决更多的数学题，一题多解是一道例题延伸出多种方法，而多题一解则是一种方法所延伸的多个问题。多题一解能够帮助学生进一步掌握和应用知识点，并且掌握知识的分析方法和类比方法，在面对例题时可以选择更加简单有效的解题方法，实现解题中的创新，如例题：
设函数
1.如果针对所有实数x有f（x）<0且恒成立，那么求m的取值范围是多少？
2.如果针对有恒成立，那么求m的取值范围是多少？
变式题：
3.如果不等式对任意实数x恒成立，那么实数x的取值范围是多少？
4.在时，不等式恒成立，那么x的取值范围是多少？
面对这类习题，其解题方法大体上类似，而解题思路基本相通，随着题目的灵活变化，解题思维也会产生变动，只要学生能够在解题过程中掌握解题方法和解题规律，便可以针对一类的题型实现融汇贯通，不管题目再怎么变化，只要学生的思维变化能够跟上题目变化，那么同类的所有题型都会变得十分简单，这也有助于学生创新思维能力的培养。
二、借助生活实例，培养学生数据分析能力
数学离不开数据的获取和分析，在高中数学教学中更是如此，学生需要具备利用统计方法来整理数据、分析数据、推断数据的能力，包括信息的收集、整合、提取、建模、推理、总结等。而为了能够培养学生的数据分析能力，教师则可以选择贴近学生生活的事物，在帮助学生理解例题的基础上让学生产生兴趣，也体会到数学知识在生活中的实用价值，在培养数据分析能力的同时让学生的应用意识得到提高。如例题：
共享单车能够在学校、公交站点、商业区、公共服务区等处为人们提供单车共享服务，这是共享经济的全新形态，也为我们的生活带来了便利。但作为一种共享经济，共享单车的资金投入问题成为了企业重点关注的问题，于是某共享单车企业在某城市一天中共享单车的平均成本和租车数量关系进行分析，调查结果如表1所示。
共享单车租用数量（x）/千辆 2 3 4 5 8
每辆单车平均成本（y）/元 3.2 2.4 2 1.8 1.7
表1共享单车租用数量与平均成本的关系
（一）按照表1中的数据进行分析，调查人员根据甲乙两种不同的回归模型得到了两个回归方程（1）;（2）。为了对這两个模型进行评价，需要完成以下两个任务：
1.补充下表，结果精确小数点后一位，称为相应于点（）的残差。
2.分析并计算两个模型的残差平方和，以及Q1、Q2，根据Q1、Q2的大小比对，判断哪个模型拟合效果更好一些？ （二）该公司在城市投放共享单车之后，许多市民都表示非常欢迎，并且都十分愿意骑乘共享单车绿色出行，所以该公司近些天打算再投放一些共享单车。按照市场调查结果显示，在共享单车投放数量为8000辆时，每天的收入能够达到10元，6元的几率分别为0.6与0.4。那么在投放数量在1万辆时，公司平均每辆单车可以收入10元，6元的概率为0.4和0.6。请问，公司应该投放8000辆还是1万辆？
分析（一）：可以利用回归返程的计算得到两个模型的估计值，将其代入到=yi-中便可以得出残差;再根据这一结果，也就是拟合效果更好的模型可以计算每天每辆单车的平均成本，利润=收入-成本。因此计算可以得出Q1、Q2，对比Q1、Q2的大小能够得出两种模型的效果，模型乙效果更佳;上表的补充结果如下。
分析（二）：
在共享單车投放8000辆时，该公司每天每辆车的收入期望值为10×0.6+6×0.6+6×0.4=8.4，因此每日平均总利润为53600（元）;
在共享单车投放量为1万辆时，计算时还需要额外计算每辆单车的投放成本，也就是（元），让每天每辆共享单车的收入期望值都能够达到10×0.4+6×0.6=7.6元，因此每天的总利润经计算为59360（元），对比之下投放1万辆时每日的盈利效果更好，故选择1万辆的方案。
三、灵活的过程指导，培养学生数学思维能力
（一）例题的提出
如图1所示，共有3根针，并且有3个金属片套在针1上，现需要将金属片转移到其他两根上，保证三根针都有一个金属片，但移动金属片需要遵守以下规则：1.每次只能支持移动1个金属片;2.最大的金属片不能放在最小的金属片上面。由此，请计算，若将n各金属片从针1移动到针3，需要几个步骤？
（二）问题简化
在面对该题时，很多学生都表现得摸不到头绪，实际上这类逻辑推理题最难的部分便是理解原理，但理解其中的原理之后，后续的解题过程便变得非常简单，所以学生的逻辑推理便成为了解题的关键。对此需要引导学生从已给条件中进行分析，当n=1时对应什么问题、n=2时对应什么问题、n=3时对应什么问题……。先通过简单的问题作为切入点尝试着利用逻辑推理能力找出其中的规律和原理，再将原理“代入”到问题条件中是解答问题的主要方法，一开始很多学生都能够积极参与讨论，并且难度的不断提高也激发了学生的探究欲，n越大，问题就越复杂。
（三）问题总结
之后教师便可以将简单情形下的解题过程展示出来，并让学生探究以下解决的过程和方法，找到解题的实际规律。对于n较小的情况来说，对应的问题非常简单，但n较大时则更加复杂，所以教师需要帮助学生归纳一下，在n的数值比较大时会遇到哪些问题阻碍着寻找答案，并尝试着利用解决n为小数值时的方法代入到n为大数值的情形，看看能否化解问题，并且在小组之间讨论解题的方法。
（四）抽象提升
让学生根据n为不同数的不同情况的特点和方法，将解题的一般方案抽象出来，利用数学符号的方式进行表达，更有助于情形的代入和演算，将需要操作的步骤次数设为f（n）次，由上至下的金属片依此为k1、k2、k3、kn…，那么在n取不同值时f（n）的值分别如以下所示：
n=1时，f（1）=1;
n=2时，f（2）=3=22-1
n=3时，f（3）=2f（2）+1=2×3+1=7=23-1
n=4时，f（4）=2f（3）+1=2×7+1=15=24-1
……
由此可知“f（n）=2f（n-1）+1”便是结果，将n为较大数值的情况抽象为一般数学例题。
（五）论证
经过抽象提升后，将得出的结果f（n）=2f（n-1）+1进行逻辑论证，进行变形处理，可以变换为“f（n）+1=2[f（n-1）+1]”，能够得知f（n）+1为等比数列，同时首项为f（1）+1=2，那么利用等比数列理论可以得知f（n）=2n-1（n为正整数）。这一步骤对于学生的数学能力具有一定要求，包括数学运算、逻辑推理以及直观想象等数学核心素养，根据先前对于等比数列的知识进行移项和转换，并按照上一步骤列举的数据引导学生分析，在n取不同数值时f（n）的值，之后进行演算便可以得出正确答案。
结束语
新高考的改革对于高中数学教学来说也带来了深远的影响，对此高中数学教师需要在教学内容、教学方法、教学理念等方面顺应新高考改革的转变而转变，进一步探索素质教育的落实路径，培养学生的数学学科素养，提高数学课堂教学质量的同时也推动学生的全面发展。
参考文献
[1]王虹.基于核心素养的高中数学例题教学的探究[J].高考，2018（09）：161.
[2]毋晓迪.核心素养视角下的高考数学试题分析研究[D].广西民族大学，2019.
关键词：高中数学;核心素养;例题教学
引言：目前新高考制度改革已经在我国多个省市推行，而高考制度的改革对于高中教学来说影响颇深，对于高中教学的方法和策略都带来了影响。教育的主旨目标在于立德树人，而这也是新课程改革的核心要素，党和国家近年来的政策也在不断强调对于学生学科核心素养的培养，但以往高中阶段的教育教学仍会在备战高考的“应试”教育和核心素养之间摇摆，新高考制度的改革则进一步突破了这一桎梏，加速了素质教育的全面落实，这对于高中数学教学来说也带来了积极的作用。数学核心素养是学科思想及本质的一种体现，数学教学中例题是不可或缺的一项内容，不管是教授学生知识方法，还是渗透核心素养培养都是有效的途径，将数学知识和思想方法结合在一起，既能实现知识基础的提升，又能通过灵活的内容和形式变换实现能力的培养。
一、一题多解，培养学生的创造能力
对于高中数学教学来说，新课程改革要求教学需要鼓励学生自主学习和自主探索，培养学生的数学应用能力与创新能力，但高中阶段的学生却在自主学习和自主探究方面存在很多困难，不仅表现在自主性不足，同时也面临着思维过于僵化，时常陷入例题谜团中的问题。很多学生在解题时往往只会利用固定的解题方法不断尝试，而很多高考中的题目考查的就是学生的自主能力和创新能力，用很刁钻的角度提出问题，而学生面对这些问题时则完全丧失了“斗志”。对此教师不仅要教授学生解题的方法，还要通过一题多解和多题一解的思想让学生具备灵活的数学思维和创造能力，在面对例题时能够灵活应用解法，没有解法也能创造解法。
（一）一题多解
高中数学例题常涉及到一题多想、一题多解、一题多讲的例题，能够有效培养学生的数学思维，让学生以多个角度和层面去思考问题，开阔解题的思路，在面临许多看上去困难且麻烦的数学例题时能够轻松“抄捷径”找到正确答案，这也是对学生数学潜在能力的一种挖掘。如例题：
已知正数x和y满足x+y=1的要求，求的最小值。
学生刚看到这一题时可能会被它的表象欺骗，看上去不管是已给条件还是所求问题都十分简单，但在解题时四处碰壁后才了解到这一题的不同之处，而针对该题，解法也有好几种。
1.让x+2=a，y+1=b，二者能够满足a+b=4（a>2，b>1）的条件，在只有时，取等号;
2.也可以利用幂平均不等式进行解答，设a=x+2，b=y+1，那么根据条件能够得出
;
3.通过常数代换的方法求解，设a=x+2，b=y+1，则，在a=2b时取等号。
经过该题的一题多解，能够提高学生的数学思维能力，而且实现了以往知识点以及解题方法的巩固，因此一题多解下的高中数学例题教学是一种灵活延伸不断拓展的教学方法，不仅方法多种多样，而且内容也相互贯通，让学生在面对其他题型时也能延伸出多种不同的解法。
（二）多题一解
与一题多解在形式上相反，多题一解则是利用一种知识或方法去解决更多的数学题，一题多解是一道例题延伸出多种方法，而多题一解则是一种方法所延伸的多个问题。多题一解能够帮助学生进一步掌握和应用知识点，并且掌握知识的分析方法和类比方法，在面对例题时可以选择更加简单有效的解题方法，实现解题中的创新，如例题：
设函数
1.如果针对所有实数x有f（x）<0且恒成立，那么求m的取值范围是多少？
2.如果针对有恒成立，那么求m的取值范围是多少？
变式题：
3.如果不等式对任意实数x恒成立，那么实数x的取值范围是多少？
4.在时，不等式恒成立，那么x的取值范围是多少？
面对这类习题，其解题方法大体上类似，而解题思路基本相通，随着题目的灵活变化，解题思维也会产生变动，只要学生能够在解题过程中掌握解题方法和解题规律，便可以针对一类的题型实现融汇贯通，不管题目再怎么变化，只要学生的思维变化能够跟上题目变化，那么同类的所有题型都会变得十分简单，这也有助于学生创新思维能力的培养。
二、借助生活实例，培养学生数据分析能力
数学离不开数据的获取和分析，在高中数学教学中更是如此，学生需要具备利用统计方法来整理数据、分析数据、推断数据的能力，包括信息的收集、整合、提取、建模、推理、总结等。而为了能够培养学生的数据分析能力，教师则可以选择贴近学生生活的事物，在帮助学生理解例题的基础上让学生产生兴趣，也体会到数学知识在生活中的实用价值，在培养数据分析能力的同时让学生的应用意识得到提高。如例题：
共享单车能够在学校、公交站点、商业区、公共服务区等处为人们提供单车共享服务，这是共享经济的全新形态，也为我们的生活带来了便利。但作为一种共享经济，共享单车的资金投入问题成为了企业重点关注的问题，于是某共享单车企业在某城市一天中共享单车的平均成本和租车数量关系进行分析，调查结果如表1所示。
共享单车租用数量（x）/千辆 2 3 4 5 8
每辆单车平均成本（y）/元 3.2 2.4 2 1.8 1.7
表1共享单车租用数量与平均成本的关系
（一）按照表1中的数据进行分析，调查人员根据甲乙两种不同的回归模型得到了两个回归方程（1）;（2）。为了对這两个模型进行评价，需要完成以下两个任务：
1.补充下表，结果精确小数点后一位，称为相应于点（）的残差。
2.分析并计算两个模型的残差平方和，以及Q1、Q2，根据Q1、Q2的大小比对，判断哪个模型拟合效果更好一些？ （二）该公司在城市投放共享单车之后，许多市民都表示非常欢迎，并且都十分愿意骑乘共享单车绿色出行，所以该公司近些天打算再投放一些共享单车。按照市场调查结果显示，在共享单车投放数量为8000辆时，每天的收入能够达到10元，6元的几率分别为0.6与0.4。那么在投放数量在1万辆时，公司平均每辆单车可以收入10元，6元的概率为0.4和0.6。请问，公司应该投放8000辆还是1万辆？
分析（一）：可以利用回归返程的计算得到两个模型的估计值，将其代入到=yi-中便可以得出残差;再根据这一结果，也就是拟合效果更好的模型可以计算每天每辆单车的平均成本，利润=收入-成本。因此计算可以得出Q1、Q2，对比Q1、Q2的大小能够得出两种模型的效果，模型乙效果更佳;上表的补充结果如下。
分析（二）：
在共享單车投放8000辆时，该公司每天每辆车的收入期望值为10×0.6+6×0.6+6×0.4=8.4，因此每日平均总利润为53600（元）;
在共享单车投放量为1万辆时，计算时还需要额外计算每辆单车的投放成本，也就是（元），让每天每辆共享单车的收入期望值都能够达到10×0.4+6×0.6=7.6元，因此每天的总利润经计算为59360（元），对比之下投放1万辆时每日的盈利效果更好，故选择1万辆的方案。
三、灵活的过程指导，培养学生数学思维能力
（一）例题的提出
如图1所示，共有3根针，并且有3个金属片套在针1上，现需要将金属片转移到其他两根上，保证三根针都有一个金属片，但移动金属片需要遵守以下规则：1.每次只能支持移动1个金属片;2.最大的金属片不能放在最小的金属片上面。由此，请计算，若将n各金属片从针1移动到针3，需要几个步骤？
（二）问题简化
在面对该题时，很多学生都表现得摸不到头绪，实际上这类逻辑推理题最难的部分便是理解原理，但理解其中的原理之后，后续的解题过程便变得非常简单，所以学生的逻辑推理便成为了解题的关键。对此需要引导学生从已给条件中进行分析，当n=1时对应什么问题、n=2时对应什么问题、n=3时对应什么问题……。先通过简单的问题作为切入点尝试着利用逻辑推理能力找出其中的规律和原理，再将原理“代入”到问题条件中是解答问题的主要方法，一开始很多学生都能够积极参与讨论，并且难度的不断提高也激发了学生的探究欲，n越大，问题就越复杂。
（三）问题总结
之后教师便可以将简单情形下的解题过程展示出来，并让学生探究以下解决的过程和方法，找到解题的实际规律。对于n较小的情况来说，对应的问题非常简单，但n较大时则更加复杂，所以教师需要帮助学生归纳一下，在n的数值比较大时会遇到哪些问题阻碍着寻找答案，并尝试着利用解决n为小数值时的方法代入到n为大数值的情形，看看能否化解问题，并且在小组之间讨论解题的方法。
（四）抽象提升
让学生根据n为不同数的不同情况的特点和方法，将解题的一般方案抽象出来，利用数学符号的方式进行表达，更有助于情形的代入和演算，将需要操作的步骤次数设为f（n）次，由上至下的金属片依此为k1、k2、k3、kn…，那么在n取不同值时f（n）的值分别如以下所示：
n=1时，f（1）=1;
n=2时，f（2）=3=22-1
n=3时，f（3）=2f（2）+1=2×3+1=7=23-1
n=4时，f（4）=2f（3）+1=2×7+1=15=24-1
……
由此可知“f（n）=2f（n-1）+1”便是结果，将n为较大数值的情况抽象为一般数学例题。
（五）论证
经过抽象提升后，将得出的结果f（n）=2f（n-1）+1进行逻辑论证，进行变形处理，可以变换为“f（n）+1=2[f（n-1）+1]”，能够得知f（n）+1为等比数列，同时首项为f（1）+1=2，那么利用等比数列理论可以得知f（n）=2n-1（n为正整数）。这一步骤对于学生的数学能力具有一定要求，包括数学运算、逻辑推理以及直观想象等数学核心素养，根据先前对于等比数列的知识进行移项和转换，并按照上一步骤列举的数据引导学生分析，在n取不同数值时f（n）的值，之后进行演算便可以得出正确答案。
结束语
新高考的改革对于高中数学教学来说也带来了深远的影响，对此高中数学教师需要在教学内容、教学方法、教学理念等方面顺应新高考改革的转变而转变，进一步探索素质教育的落实路径，培养学生的数学学科素养，提高数学课堂教学质量的同时也推动学生的全面发展。
参考文献
[1]王虹.基于核心素养的高中数学例题教学的探究[J].高考，2018（09）：161.
[2]毋晓迪.核心素养视角下的高考数学试题分析研究[D].广西民族大学，2019.