论文部分内容阅读
很多学业考试题源于教材，又高于教材.本文通过反刍2014年初中毕业生学业考试（衢州卷）数学试题卷23题的命制过程，探讨从不同角度挖掘试题内涵，命题创新试题的方法.
1“源”题分析
该题“源自”浙教版义务教育教科书数学八年级下册127页第4题.题目如下：
如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，AE⊥BF.求证：AE=BF.
试题特征：
①结论：AE=BF.便于等量代换；
②条件：AE⊥BF.连结EF，FA，则S四边形ABEF=
12AE2.
2基本变式
“源”题核心结论是夹在正方形两组对边之间的垂线段相等.在源题基础上最常见变式是：如图2，在正方形ABCD中，E，F，H，G分别是BC，CD，DA，AB上的点，HE⊥GF，AE与BF还相等吗？说明理由.
这是平移变换，问题解决策略可由“源题”直接类比得到.需要添加的辅助线，旨在考查考生知识迁移能力.
3讨论分析
试题还能从哪些方面再变衍和延拓呢？
分析：①“AE⊥BF”的垂足，可从正方形内任意点移至正方形中心、正方形对角线上、正方形边上（包括正方形顶点）；②点E，F，H，G的位置，可在相应边或边的延长线上.辨明这些变化，利于发现试题变衍视角.
变衍一垂足为正方形顶点.如图3，点G是正方形ABCD的边AB所在直线上一点，DE⊥DG交边BC所在的直线于点E，求证：DG=DE.
该变实质是一块直角顶点与点D重合的直角三角板绕着点D旋转，则直角三角板的直角边与正方形的边AB，BC所在直线的交点到顶点D的距离相等.但图3没有图1简洁.
变衍二垂足为一边上的点.如图4，点H是正方形ABCD的边AD上一点，点G在边AB所在的直线上，GH的延长线与边CD所在的直线交于点F，HE⊥GF交边BC所在的直线交于点E，求证：GF=HE.
变衍三垂足在正方形外.如图5，点O是正方形ABCD外一点，过点O的直线与边AB，CD所在直线交于点G，F，过点O作OE⊥GF，交AD，BC所在的直线于点H，E，除正方形ABCD各边相等外，图中还有那些线段一定相等（不添加字母，也不连线），说明理由.
变衍四垂足为正方形中心.如图6，显然GF=HE，四边形EFHG是正方形，正方形ABCD被分成四个全等的四边形.
这样，试题又回到了浙教版义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册第158页第11题.
根据上述变衍可知，夹在正方形两组对边之间的垂线段相等.编制利用这一结论解答的数学试题，可以实现试题的再次延拓.
延拓一针对变衍二.
连结FE.设AB=12，HD=3，BE=x，四边形BEFG的面积是y，当0≤x≤12时，求y关于x的函数解析式.
解法一如图7，连结GE，作EI⊥AD，垂足为I，可证△EIH∽△HAG，所以，IHAG=IEAH，代入化简得，AG=274-34x，即BG=754-34x.由勾股定理得，HE2=IE2+HI2=（9-x）2+122=x2-18x+225，由题意得y=12BE.EG+12HE2，所以，y=18x2+38x+2252.
解法二作EI⊥AD，垂足为I，利用△EIH∽△HAG表示AG，利用△EIH∽△HDF表示DF，则y=S梯形BCFG-S△ECF=18x2+38x+2252，完成解答.
学以致用是关键.两种方法，不过于狭隘，又能与结论接合.
延拓二针对变衍三.
如图8，设GF与AD交于点M，若AB=12，OA=AG=23，∠OAD=30°，求DF，BE的长.
解答中需运用等边三角形性质、含30°角的直角三角形的性质、全等三角形性质等核心知识，这些延拓旨在培养学生独立、开拓、创新的自我数学思考力.
延拓三针对衍生图.
如下图所示，设EH⊥GF的垂足O在正方形ABCD内，且E，F，H，G分别在边BC，CD，DA，AB上.
思考一如图9，是否有结论S四边形OHAG+S四边形OECF=S四边形OGBE+S四边形OFDH成立呢？若成立，请证明；若不成立，请举一个反例.
图1就是最好的反例.
思考二如图10，连结GH，EF，若阴影部分恰好是“蝴蝶”图案（△OGH≌△OEF），点O必在BD上，请证明.
思考三如图11，若GH∥EF，阴影部分是“幸运瓶”图案.当AB=a，HO∶EO=m时，阴影部分面积之和与a之间有怎样的数量关系呢？请用含a、m的代数式表示.
这些思考，都围绕着“当EH⊥GF时，EH=GF”展开，提升了试题的创新力.
延拓四针对变衍四.
如图12，正方形ABCD的边长为a，点G，E，F，H分别在AB，BC，CD，DA上，且DF=2AH，CE=3AH，BG=4DH.问AH长为多少时，四边形GEFH面积有最小值？求出这个最小值.
依据该题，可作如下思考：
思考一：满足上述关系的EH，FG能相等吗？说明理由.
思考二：若把“DF=2AH，CE=3AH，BG=4DH”改为“DF=2AH，CE=4AH，BG=3DH”，EH，FG能相等吗？说明理由.
思考三：在“思考二”中，EH，FG能垂直吗？说明理由.
思考三需逆向思维，考查学生化归思想.
4建议选择
基于上述分析的选题方向.
4.1针对图3，没有图1简洁.
意见接近旋转变换，新点不够，从教材出发的立足点也看不见. 4.2针对图4，看不出图1的影子，有新点.
尝试编题：图13如图13，已知点P是边长为4的正方形ABCD的边CD的中点，点T是边AB上由A向B运动的动点.设AT=x（0≤x≤4），过P作EF⊥PT，交AD（或AD的延长线）于E，交BC（或BC的延长线）于F.连结TE，TF.
（1）求证：△TEF是等腰三角形；
（2）当x为的值时，TB=BF？
（3）当点T在边AB上由A向B的方向运动时，设顺次连结点A，T，F，E围成的多边形的的面积为S，求S关于x的函数解析式，并求出S的最小值.
意见（1）问巧用中点搭桥，证明“△EFG是等腰三角形”起点偏高，入口偏窄；（2）问借用（1）问中的“腰”列方程；（3）问考查割补法表示面积关系，与教材对应结论“OE=GF”联系不紧密，价值不突出.
4.3源题图形简洁，暗藏平移变换和类比思想
尝试编题：如图14，在边长为12的正方形ABCD中，H、E、G、F分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且AF⊥BE.
（1）求证：AF=BE；
（2）如图15，在正方形ABCD中，H、E、G、F分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且EF⊥HG.EF与HG是否相等？并说明理由.
（3）若E为BC的中点，F为边AD上一动点，设AF=t，顺次连接E、G、F、H，四边形EGFH的面积为S，求出S关于t的函数关系式，并求S的最小值.
意见题干与设问不配套，数学思想和方法体现不够，陈题味重，没有亮点.（1）、（2）问面向全体学生，重基础，保07，突出终结性考试功能，但图形和字母顺序不统一；（3）问要突出学业考试的选拔功能，而这里仅用S=12EF2，难度、区分度不够.建议把（3）问变新颖、活泼，要能考查核心知识和核心思想，要更有思维量.
4.4（3）问选择
研讨后选定图11“幸运瓶”为（3）问背景图，编题如下：
如图16，在正方形ABCD中，点G，E，F，H分别在AB，BC，CD，DA上.已知EH⊥GF，EF∥GH，CE=BE=2，OHOE=12，求阴影部分的面积.
意见：能凸显“HE=GF”这一结论的作用和价值，以“幸运瓶”为背景的设问使试题呈现活泼的一面.考查了正方形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等内容，需要在（2）问的引导下添加适当的辅助线，要求考生要有较强的综合能力，考查了该学段的核心知识和核心思想，符合全卷23题第三问的位置特征和难度要求.
4.5试题定稿
多次研讨、修改后，定稿.试题如下：
提出问题：
（1）如图17，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上.若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH.
类比探究：
（2）如图18，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上.若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由.
综合运用：
（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图19所示.已知BE=EC=2，OE=2OF，求图中阴影部分的面积.
意见试题源于教材，起点低，难度循序渐进，前问为后问的解答铺垫.（3）问需要用到两次相似，才能求得AF长并证得OFOE=OHOG=12，进而证得△FOH和△EOG是等腰直角三角形，在求得EF长的前提下，利用（2）中的结论，求得阴影部分面积.该问思维量大，有挑战性.
5反思
《义务教育数学课程标准（2011版）》既强调“使数学教育面向全体，人人都能获得必需的数学”的基础观、普及观，也强调“不同的人在数学上得到不同的发展”的差异性和发展观.后者要求试题不仅应“源于教材”，最终要高于教材.由此想到：
5.1有价值的教材素材，应具有可开拓性、可创新性，有新的生长点，还要有活跃度
学业考试强调“以本为本”，后面这个“本”就指教材.选用教材，旨在引导教学回归本源，以教材为本作试题的改造整编，移植借鉴工作，实现数学方法和数学思想的升华.
当然，素材可改编，意味着素材具有可操作性，可开拓性，可创新性，有新的生长点，还要有较强的活跃度.本题中垂足的位置、图形的变换都呈现了这些属性.
说到活跃度，有一小插曲.早晨，我躺在床上记录前一天心得与反思时，胡老师突然说“昨晚没蚊子吧.我开了空调，温度低，蚊子就不活跃了”.我突然悟明，对于有价值的教材素材，还要有“活跃度”.
5.2推“陈”还要出“新”
好的教材素材，往往有“陈”的一面.这“陈”的一面，显示问题低起点，符合学业考试难度系数07的要求.作为23题的（3）问，还要体现其选拔功能.这就要求该处的设问推“陈”还要出“新”.
本卷23题（3）问从“幸运瓶”的平行线与相似形切入，巧用“EF⊥GH”和“EF=GH”这对关系和等腰直角三角形的性质，依次求出AF，EF，OF，OE的长，直至求得阴影部分的面积.（3）问一洗陈旧，给人全新感受，实现了试题“源于教材，高于教材”的目标.
1“源”题分析
该题“源自”浙教版义务教育教科书数学八年级下册127页第4题.题目如下：
如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，AE⊥BF.求证：AE=BF.
试题特征：
①结论：AE=BF.便于等量代换；
②条件：AE⊥BF.连结EF，FA，则S四边形ABEF=
12AE2.
2基本变式
“源”题核心结论是夹在正方形两组对边之间的垂线段相等.在源题基础上最常见变式是：如图2，在正方形ABCD中，E，F，H，G分别是BC，CD，DA，AB上的点，HE⊥GF，AE与BF还相等吗？说明理由.
这是平移变换，问题解决策略可由“源题”直接类比得到.需要添加的辅助线，旨在考查考生知识迁移能力.
3讨论分析
试题还能从哪些方面再变衍和延拓呢？
分析：①“AE⊥BF”的垂足，可从正方形内任意点移至正方形中心、正方形对角线上、正方形边上（包括正方形顶点）；②点E，F，H，G的位置，可在相应边或边的延长线上.辨明这些变化，利于发现试题变衍视角.
变衍一垂足为正方形顶点.如图3，点G是正方形ABCD的边AB所在直线上一点，DE⊥DG交边BC所在的直线于点E，求证：DG=DE.
该变实质是一块直角顶点与点D重合的直角三角板绕着点D旋转，则直角三角板的直角边与正方形的边AB，BC所在直线的交点到顶点D的距离相等.但图3没有图1简洁.
变衍二垂足为一边上的点.如图4，点H是正方形ABCD的边AD上一点，点G在边AB所在的直线上，GH的延长线与边CD所在的直线交于点F，HE⊥GF交边BC所在的直线交于点E，求证：GF=HE.
变衍三垂足在正方形外.如图5，点O是正方形ABCD外一点，过点O的直线与边AB，CD所在直线交于点G，F，过点O作OE⊥GF，交AD，BC所在的直线于点H，E，除正方形ABCD各边相等外，图中还有那些线段一定相等（不添加字母，也不连线），说明理由.
变衍四垂足为正方形中心.如图6，显然GF=HE，四边形EFHG是正方形，正方形ABCD被分成四个全等的四边形.
这样，试题又回到了浙教版义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册第158页第11题.
根据上述变衍可知，夹在正方形两组对边之间的垂线段相等.编制利用这一结论解答的数学试题，可以实现试题的再次延拓.
延拓一针对变衍二.
连结FE.设AB=12，HD=3，BE=x，四边形BEFG的面积是y，当0≤x≤12时，求y关于x的函数解析式.
解法一如图7，连结GE，作EI⊥AD，垂足为I，可证△EIH∽△HAG，所以，IHAG=IEAH，代入化简得，AG=274-34x，即BG=754-34x.由勾股定理得，HE2=IE2+HI2=（9-x）2+122=x2-18x+225，由题意得y=12BE.EG+12HE2，所以，y=18x2+38x+2252.
解法二作EI⊥AD，垂足为I，利用△EIH∽△HAG表示AG，利用△EIH∽△HDF表示DF，则y=S梯形BCFG-S△ECF=18x2+38x+2252，完成解答.
学以致用是关键.两种方法，不过于狭隘，又能与结论接合.
延拓二针对变衍三.
如图8，设GF与AD交于点M，若AB=12，OA=AG=23，∠OAD=30°，求DF，BE的长.
解答中需运用等边三角形性质、含30°角的直角三角形的性质、全等三角形性质等核心知识，这些延拓旨在培养学生独立、开拓、创新的自我数学思考力.
延拓三针对衍生图.
如下图所示，设EH⊥GF的垂足O在正方形ABCD内，且E，F，H，G分别在边BC，CD，DA，AB上.
思考一如图9，是否有结论S四边形OHAG+S四边形OECF=S四边形OGBE+S四边形OFDH成立呢？若成立，请证明；若不成立，请举一个反例.
图1就是最好的反例.
思考二如图10，连结GH，EF，若阴影部分恰好是“蝴蝶”图案（△OGH≌△OEF），点O必在BD上，请证明.
思考三如图11，若GH∥EF，阴影部分是“幸运瓶”图案.当AB=a，HO∶EO=m时，阴影部分面积之和与a之间有怎样的数量关系呢？请用含a、m的代数式表示.
这些思考，都围绕着“当EH⊥GF时，EH=GF”展开，提升了试题的创新力.
延拓四针对变衍四.
如图12，正方形ABCD的边长为a，点G，E，F，H分别在AB，BC，CD，DA上，且DF=2AH，CE=3AH，BG=4DH.问AH长为多少时，四边形GEFH面积有最小值？求出这个最小值.
依据该题，可作如下思考：
思考一：满足上述关系的EH，FG能相等吗？说明理由.
思考二：若把“DF=2AH，CE=3AH，BG=4DH”改为“DF=2AH，CE=4AH，BG=3DH”，EH，FG能相等吗？说明理由.
思考三：在“思考二”中，EH，FG能垂直吗？说明理由.
思考三需逆向思维，考查学生化归思想.
4建议选择
基于上述分析的选题方向.
4.1针对图3，没有图1简洁.
意见接近旋转变换，新点不够，从教材出发的立足点也看不见. 4.2针对图4，看不出图1的影子，有新点.
尝试编题：图13如图13，已知点P是边长为4的正方形ABCD的边CD的中点，点T是边AB上由A向B运动的动点.设AT=x（0≤x≤4），过P作EF⊥PT，交AD（或AD的延长线）于E，交BC（或BC的延长线）于F.连结TE，TF.
（1）求证：△TEF是等腰三角形；
（2）当x为的值时，TB=BF？
（3）当点T在边AB上由A向B的方向运动时，设顺次连结点A，T，F，E围成的多边形的的面积为S，求S关于x的函数解析式，并求出S的最小值.
意见（1）问巧用中点搭桥，证明“△EFG是等腰三角形”起点偏高，入口偏窄；（2）问借用（1）问中的“腰”列方程；（3）问考查割补法表示面积关系，与教材对应结论“OE=GF”联系不紧密，价值不突出.
4.3源题图形简洁，暗藏平移变换和类比思想
尝试编题：如图14，在边长为12的正方形ABCD中，H、E、G、F分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且AF⊥BE.
（1）求证：AF=BE；
（2）如图15，在正方形ABCD中，H、E、G、F分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且EF⊥HG.EF与HG是否相等？并说明理由.
（3）若E为BC的中点，F为边AD上一动点，设AF=t，顺次连接E、G、F、H，四边形EGFH的面积为S，求出S关于t的函数关系式，并求S的最小值.
意见题干与设问不配套，数学思想和方法体现不够，陈题味重，没有亮点.（1）、（2）问面向全体学生，重基础，保07，突出终结性考试功能，但图形和字母顺序不统一；（3）问要突出学业考试的选拔功能，而这里仅用S=12EF2，难度、区分度不够.建议把（3）问变新颖、活泼，要能考查核心知识和核心思想，要更有思维量.
4.4（3）问选择
研讨后选定图11“幸运瓶”为（3）问背景图，编题如下：
如图16，在正方形ABCD中，点G，E，F，H分别在AB，BC，CD，DA上.已知EH⊥GF，EF∥GH，CE=BE=2，OHOE=12，求阴影部分的面积.
意见：能凸显“HE=GF”这一结论的作用和价值，以“幸运瓶”为背景的设问使试题呈现活泼的一面.考查了正方形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等内容，需要在（2）问的引导下添加适当的辅助线，要求考生要有较强的综合能力，考查了该学段的核心知识和核心思想，符合全卷23题第三问的位置特征和难度要求.
4.5试题定稿
多次研讨、修改后，定稿.试题如下：
提出问题：
（1）如图17，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上.若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH.
类比探究：
（2）如图18，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上.若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由.
综合运用：
（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图19所示.已知BE=EC=2，OE=2OF，求图中阴影部分的面积.
意见试题源于教材，起点低，难度循序渐进，前问为后问的解答铺垫.（3）问需要用到两次相似，才能求得AF长并证得OFOE=OHOG=12，进而证得△FOH和△EOG是等腰直角三角形，在求得EF长的前提下，利用（2）中的结论，求得阴影部分面积.该问思维量大，有挑战性.
5反思
《义务教育数学课程标准（2011版）》既强调“使数学教育面向全体，人人都能获得必需的数学”的基础观、普及观，也强调“不同的人在数学上得到不同的发展”的差异性和发展观.后者要求试题不仅应“源于教材”，最终要高于教材.由此想到：
5.1有价值的教材素材，应具有可开拓性、可创新性，有新的生长点，还要有活跃度
学业考试强调“以本为本”，后面这个“本”就指教材.选用教材，旨在引导教学回归本源，以教材为本作试题的改造整编，移植借鉴工作，实现数学方法和数学思想的升华.
当然，素材可改编，意味着素材具有可操作性，可开拓性，可创新性，有新的生长点，还要有较强的活跃度.本题中垂足的位置、图形的变换都呈现了这些属性.
说到活跃度，有一小插曲.早晨，我躺在床上记录前一天心得与反思时，胡老师突然说“昨晚没蚊子吧.我开了空调，温度低，蚊子就不活跃了”.我突然悟明，对于有价值的教材素材，还要有“活跃度”.
5.2推“陈”还要出“新”
好的教材素材，往往有“陈”的一面.这“陈”的一面，显示问题低起点，符合学业考试难度系数07的要求.作为23题的（3）问，还要体现其选拔功能.这就要求该处的设问推“陈”还要出“新”.
本卷23题（3）问从“幸运瓶”的平行线与相似形切入，巧用“EF⊥GH”和“EF=GH”这对关系和等腰直角三角形的性质，依次求出AF，EF，OF，OE的长，直至求得阴影部分的面积.（3）问一洗陈旧，给人全新感受，实现了试题“源于教材，高于教材”的目标.