【文章摘要】
　　本文把高校的科研成果主要归结为两个方面：核心期刊以上的论文发表数和申请专利的获取数，然而这些成果的经费来源除政府资助外，学校或个人也会自发投入一部分。本文就是通过建立数学模型来控制政府和个人经费的投入以使学校在规定时间结束时的科研成果取得最大值。
　　【关键词】
　　经费投入；科研成果；最优控制
　　近年来，得益于政府或国家的资助，我国普通高等教育得到了迅速发展，高等院校除为国家培养了大批专业人才外，其产生的科研成果（本文主要用核心期刊以上的论文发表数和申请的专利获取数加以衡量）也对国家和人民作出了卓越的贡献。虽然相比于国外发达国家，我国的资金投入和科研成果可能会有所欠缺，但从另一方面也反应了资金的投入确实会影响科研成果的产出水平，其中除政府资助外，学校或个人也会自发投入一部分。由此本文通过建立数学模型，探讨对国家政府和学校或个人经费投入的最优控制，使得学校在规定时间结束时能取得最大的科研成果。
　　1 模型的建立
　　本文主要按照控制论极大值原理的要求建立数学模型，然后利用变分法的延伸和推广极小值原理求解该模型。
　　1.1 变量的定义
　　以下定义的变量都是关于时间的函数，并且假设这些函数都是连续可微的。（图1）
　　状态变量用来表示在时间高校科研成果的产出水平，是关于的二维函数，即，其中表示在时间该学校核心期刊以上论文发表数，表示在时间该学校专利申请的获取数，为初始科研成果。
　　控制变量用来表示在时间政府对该学校的经费投入额，是关于的二维函数，即，其中表示在时间投入到论文上的资金额，表示在时间投入到专利上的资金额。
　　状态方程描述了科研成果的变化率，由政府投入资金额和学校或个人资金额确定。
　　控制约束为政府投入经费的上限，即。
　　终点无约束也是符合中国国情。
　　为学校或个人资金投入的效用系数，表示每发表一篇论文或申请一项专利，学校或个人投入的资金额，即。
　　1.2 极小值定理的引入
　　考虑系统，式中且，是维连续可微的矢量函数。
　　设给定，初始状态，终端状态自由。性能泛函为，寻求最优控制，将系统从初始状态转移到终端状态，并使性能泛函取极小值。极小值的求解是建立在方程的基础上，由此构造函数
　　，
　　极值条件为：
　　，只有才能使函数为全局最小，若无控制约束，则有。
　　1.3 模型的求解
　　由以上变量的定义结合极小值定理我们来求解该最优控制模型，由已知条件有：
　　，，这里假设
　　终端时间为，性能指标
　　控制约束为
　　根据条件求出最优控制和最优轨线。
　　由于该模型利用的是极小值定理，而性能指标为求极大，所以指标调整为：
　　则有：
　　由函数
　　得，
　　由于的对称性只要求出即可，可以同理给出。
　　由得，
　　同理可得，，
　　由上面两式子可以看出，所以，
　　把代入状态方程得，。
　　2 结论和展望
　　本文所述的模型把实际问题抽象化、简单化以求得最优解，为高校科研成果产出的来源—国家和学校或个人的经费投入的控制提供一种可以借鉴的方法。然而在实际问题中，由于环境的复杂性和瞬变性，以致该模型的建立有所欠缺，这主要表现在把投入的经费和科研成果的产出水平看成关于时间的连续函数可能与现实不符，并且在实际问题中，效用系数也可能是关于时间的函数，即在不同时间内，经费的投入效用不同，由于本人的能力有限，模型的建立和求解到此结束。
　　【参考文献】
　　[1]吴受章. 最优控制理论与应用[M].机械工业出版社.2008.3.12.