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“正比例函数”是人教版八年级《数学》上册内容,笔者有幸观摩了南昌市名师徐建国老师执教的“正比例函数”一课,徐老师的教学由复习引入、问题展示、共同思考、共同参与、例题讲解、共同探究六部分构成,呈现出精细、精彩、精准、精诚、精妙、精心六大特点。
一、复习引入——精细的设问
师:请同学们回忆有关函数的概念。
生:函数的概念是:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是变量,y是x的函数。
师:你的回答像教科书一样,但大家怎么理解这个概念?比方说何为“变化过程”,何为“唯一确定的值”?
生(齐):不太清楚。
师:事物是变化的,不同事物的变化规律是不同的,对于一些问题而言,不同的变化就产生了不同的函数。我们初中阶段研究的变化规律是简单的,所以学习的函数也是简单的,而“唯一确定的值”是函数概念的关键,即给定一个确定的x的值,得到的y值只有一个,同学们可以通过图像来理解(画图示意)。
【赏析】初学函数对于八年级的学生而言比较抽象,难以理解,徐老师通过精细的设问,让学生发现了理解函数概念的要点(变化过程)和切入点(唯一确定的值),进一步理解了徐老师复习函数概念的用意,轻松地掌握了“变化过程”“唯一确定的值”以及完整的函数定义,为新课学习作了有益的铺垫。
二、问题展示——精彩的联系
(用多媒体展示)1996年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环。4个月零1周后,人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它(一个月按30天计算)。
(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米?
(2)这只燕鸥的行程y(单位:千米)与飞行时间x(单位:天)之间有什么关系?
(3)这只燕鸥飞行一个半月的行程大约是多少千米?
(4)对这个问题你还能提出什么结论。
师:请大家仔细观察屏幕上的问题,燕鸥是一种候鸟,栖于海岸和内陆水域,几乎遍布全球,但大部分见于太平洋。许多燕鸥作长距离迁飞,最有名的是北极燕鸥。北极燕鸥在南极区越冬,在北极区繁殖,因此为所有鸟类中每年迁飞距离最远者。
【赏析】看似简单枯燥而又与学生理解有一定距离的数学问题,通过徐老师对燕鸥的介绍,学生们对教材中这一问题有了更感性的认识、更深层次的理解。这种富有趣味性、知识性的精彩联系,非常切合此学段学生的求知心理,有利于激发学习兴趣、吸引注意力。燕鸥的行程问题,涉及的数学知识有路程、速度和时间,而这三者之间的关系是学生较为熟悉的,展示了授课教师不拘一格的教学特色。
三、共同思考——精准的语言
(用多媒体展示)
下列问题中变量对应规律可用怎样的函数表示?这些函数有什么共同点?
(1)圆的周长l随半径r的大小变化而变化。
(2)铁的密度为7.8 g/cm2,铁块的质量m(单位:g)随它的体积V(单位:cm3)的大小变化而变化。
(3)每个练习本的厚度为0.5 cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随这些练习本的本数n的变化而变化。
师:这是一组既有区别又有联系的实际问题,大家围绕这些问题一方面找出每个问题中的数学量,另一方面挖掘问题中的等式关系。最后归纳出这些函数有什么共同点。
生1:(1)中的数学量有圆的周长L,半径r及圆周率,它们的等式关系是:L=2πr。这也是所求的函数表达式。
生2:(2)中的数学量有铁的密度,铁块的质量m及体积V,它们的等式关系是:m=pV,所求的函数表达式为:m=7.8V。
生3:(3)中的数学量有每个练习本的厚度a,总厚度h及练习本的本数n,它们的等式关系是:h=an,所求的函数表达式为:h=0.5n。
师:大家回答每一个问题都十分准确,现在我们一起来归纳这些函数有什么共同点(板书三个函数表达式)。
【赏析】这是教材中的三个例题,徐老师以精准的语言和对教材的娴熟驾驭,正确引导学生把圆的周长、铁的质量、书本厚度等变化规律用函数表达式表达出来。学生的每一个准确回答正是教学效果的具体表现,学生轻松地掌握了正比例函数的概念,使用数学语言的能力也得到了提高。
四、共同参与——精诚的互动
师:请同学们举出一些实际问题,使问题中的变化规律是正比例函数的形式。
生1:开学时我交了38元书费,全班有x人,老师共收了y元书费。
师:嗯,非常不错,这个例子我们每位同学都有切身体会,和实际联系密切。
生2:在高速公路上,我爸爸开车的速度是100公里/小时,行驶x小时,共行驶了y公里。
师:这位同学的课余生活很丰富,经常和老爸上高速,下基层体验生活,也很好。
(众生开心笑)
生3:我外婆家办了个养鸡场,共有x只鸡,每只鸡平均每月产26个蛋,这个月共产y个蛋。
师:也不错,这是下基层体验生活的一大收获,祝你外婆家的养鸡场越办越红火。
(众生开心大笑)
【赏析】学生交书费、爸爸开汽车和外婆家的养鸡场都是同学们身边的例子,学生通过模仿,正确地找到了函数关系式,学生共同参与、精诚互动使得数学知识能及时地得到应用。徐老师对每次学生的发言都给予了充分的肯定,让学生产生一定的快乐感、自豪感、成就感,从而激发起学习数学、探索问题、追求真知的兴趣,为培养其科学品质作出了正确的引导,充分体现了精诚互动的特点。
五、例题讲解——精妙的呈现
例1 画出下列正比例函数的图像:
(1)y=2x,(2)y=-2x。
师:你们知道,画函数图像的一般步骤是什么?
生:列表、描点和连线。
(师一边讲解一边利用多媒体课件呈现解题过程)
师:通过观察例1中两图像可以发现:
两图像都是经过 点的直线,函数y=2x的图像从左向右 ,经过第 象限;函数y=-2x的图像从左向右 ,经过第 象限。
【赏析】在讲解例题时,徐老师应用现代化教学手段,把函数图像的作法以动态的投影精妙地呈现出来,让学生对列表、描点和连线的基本作法有了更形象的认识。接着,通过“趁热打铁”式地模仿完成,让学生在体验学习过程中达到:耳听——听老师讲解,眼看——看图像的变化,手动——动手画图练习,脑想——归纳正比例函数图像的规律。通过观察、对比,发现两个函数的图像变化规律,将抽象的函数知识用学生容易理解的形式表现出来。
六、共同探究——精心的准备
探究1 两个不同的正比例函数y=k1x(k1≠0),y=k2x(k2≠0),且k1≠k2,在同一直角坐标系中是否有交点?为什么?
探究2 汽车以60千米/小时的速度匀速行驶,行驶里程为s千米,行驶时间为t小时,则s关于t的函数为s=60t,请画出此函数的图像。
【赏析】徐老师通过对学情的了解,在授课的最后一个环节抛出这两个探究案例,可谓是精心至极。这两个探究案例是教材中没有的内容,但这两个探究案例的关系却是紧密相连的,都是研究函数图像,体现了学习函数从具体到抽象,再由抽象到具体的认知过程。通过这两个案例,让学生由感性学习上升为理性认识,紧扣了函数的概念本质,对学生理解函数的概念有很大作用。
综观整堂课,徐老师特别强调师生共同研究、共同思考、共同归纳,充分体现了以学生为主体、教师为主导的教学理念;教学细节像珍珠串一样连贯,不但关注课堂每个环节,也不放过课堂的每个细节,让学生充分感悟学习新知识的过程,教师充分享受传授知识的快乐;学生在学习正比例函数知识的同时,也学会了思考问题、分析过程、归纳知识的方法。(作者单位:江西省南昌市实验中学)■
□责任编辑 周瑜芽
E-mail:jxjyzyy@163.com
一、复习引入——精细的设问
师:请同学们回忆有关函数的概念。
生:函数的概念是:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是变量,y是x的函数。
师:你的回答像教科书一样,但大家怎么理解这个概念?比方说何为“变化过程”,何为“唯一确定的值”?
生(齐):不太清楚。
师:事物是变化的,不同事物的变化规律是不同的,对于一些问题而言,不同的变化就产生了不同的函数。我们初中阶段研究的变化规律是简单的,所以学习的函数也是简单的,而“唯一确定的值”是函数概念的关键,即给定一个确定的x的值,得到的y值只有一个,同学们可以通过图像来理解(画图示意)。
【赏析】初学函数对于八年级的学生而言比较抽象,难以理解,徐老师通过精细的设问,让学生发现了理解函数概念的要点(变化过程)和切入点(唯一确定的值),进一步理解了徐老师复习函数概念的用意,轻松地掌握了“变化过程”“唯一确定的值”以及完整的函数定义,为新课学习作了有益的铺垫。
二、问题展示——精彩的联系
(用多媒体展示)1996年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环。4个月零1周后,人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它(一个月按30天计算)。
(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米?
(2)这只燕鸥的行程y(单位:千米)与飞行时间x(单位:天)之间有什么关系?
(3)这只燕鸥飞行一个半月的行程大约是多少千米?
(4)对这个问题你还能提出什么结论。
师:请大家仔细观察屏幕上的问题,燕鸥是一种候鸟,栖于海岸和内陆水域,几乎遍布全球,但大部分见于太平洋。许多燕鸥作长距离迁飞,最有名的是北极燕鸥。北极燕鸥在南极区越冬,在北极区繁殖,因此为所有鸟类中每年迁飞距离最远者。
【赏析】看似简单枯燥而又与学生理解有一定距离的数学问题,通过徐老师对燕鸥的介绍,学生们对教材中这一问题有了更感性的认识、更深层次的理解。这种富有趣味性、知识性的精彩联系,非常切合此学段学生的求知心理,有利于激发学习兴趣、吸引注意力。燕鸥的行程问题,涉及的数学知识有路程、速度和时间,而这三者之间的关系是学生较为熟悉的,展示了授课教师不拘一格的教学特色。
三、共同思考——精准的语言
(用多媒体展示)
下列问题中变量对应规律可用怎样的函数表示?这些函数有什么共同点?
(1)圆的周长l随半径r的大小变化而变化。
(2)铁的密度为7.8 g/cm2,铁块的质量m(单位:g)随它的体积V(单位:cm3)的大小变化而变化。
(3)每个练习本的厚度为0.5 cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随这些练习本的本数n的变化而变化。
师:这是一组既有区别又有联系的实际问题,大家围绕这些问题一方面找出每个问题中的数学量,另一方面挖掘问题中的等式关系。最后归纳出这些函数有什么共同点。
生1:(1)中的数学量有圆的周长L,半径r及圆周率,它们的等式关系是:L=2πr。这也是所求的函数表达式。
生2:(2)中的数学量有铁的密度,铁块的质量m及体积V,它们的等式关系是:m=pV,所求的函数表达式为:m=7.8V。
生3:(3)中的数学量有每个练习本的厚度a,总厚度h及练习本的本数n,它们的等式关系是:h=an,所求的函数表达式为:h=0.5n。
师:大家回答每一个问题都十分准确,现在我们一起来归纳这些函数有什么共同点(板书三个函数表达式)。
【赏析】这是教材中的三个例题,徐老师以精准的语言和对教材的娴熟驾驭,正确引导学生把圆的周长、铁的质量、书本厚度等变化规律用函数表达式表达出来。学生的每一个准确回答正是教学效果的具体表现,学生轻松地掌握了正比例函数的概念,使用数学语言的能力也得到了提高。
四、共同参与——精诚的互动
师:请同学们举出一些实际问题,使问题中的变化规律是正比例函数的形式。
生1:开学时我交了38元书费,全班有x人,老师共收了y元书费。
师:嗯,非常不错,这个例子我们每位同学都有切身体会,和实际联系密切。
生2:在高速公路上,我爸爸开车的速度是100公里/小时,行驶x小时,共行驶了y公里。
师:这位同学的课余生活很丰富,经常和老爸上高速,下基层体验生活,也很好。
(众生开心笑)
生3:我外婆家办了个养鸡场,共有x只鸡,每只鸡平均每月产26个蛋,这个月共产y个蛋。
师:也不错,这是下基层体验生活的一大收获,祝你外婆家的养鸡场越办越红火。
(众生开心大笑)
【赏析】学生交书费、爸爸开汽车和外婆家的养鸡场都是同学们身边的例子,学生通过模仿,正确地找到了函数关系式,学生共同参与、精诚互动使得数学知识能及时地得到应用。徐老师对每次学生的发言都给予了充分的肯定,让学生产生一定的快乐感、自豪感、成就感,从而激发起学习数学、探索问题、追求真知的兴趣,为培养其科学品质作出了正确的引导,充分体现了精诚互动的特点。
五、例题讲解——精妙的呈现
例1 画出下列正比例函数的图像:
(1)y=2x,(2)y=-2x。
师:你们知道,画函数图像的一般步骤是什么?
生:列表、描点和连线。
(师一边讲解一边利用多媒体课件呈现解题过程)
师:通过观察例1中两图像可以发现:
两图像都是经过 点的直线,函数y=2x的图像从左向右 ,经过第 象限;函数y=-2x的图像从左向右 ,经过第 象限。
【赏析】在讲解例题时,徐老师应用现代化教学手段,把函数图像的作法以动态的投影精妙地呈现出来,让学生对列表、描点和连线的基本作法有了更形象的认识。接着,通过“趁热打铁”式地模仿完成,让学生在体验学习过程中达到:耳听——听老师讲解,眼看——看图像的变化,手动——动手画图练习,脑想——归纳正比例函数图像的规律。通过观察、对比,发现两个函数的图像变化规律,将抽象的函数知识用学生容易理解的形式表现出来。
六、共同探究——精心的准备
探究1 两个不同的正比例函数y=k1x(k1≠0),y=k2x(k2≠0),且k1≠k2,在同一直角坐标系中是否有交点?为什么?
探究2 汽车以60千米/小时的速度匀速行驶,行驶里程为s千米,行驶时间为t小时,则s关于t的函数为s=60t,请画出此函数的图像。
【赏析】徐老师通过对学情的了解,在授课的最后一个环节抛出这两个探究案例,可谓是精心至极。这两个探究案例是教材中没有的内容,但这两个探究案例的关系却是紧密相连的,都是研究函数图像,体现了学习函数从具体到抽象,再由抽象到具体的认知过程。通过这两个案例,让学生由感性学习上升为理性认识,紧扣了函数的概念本质,对学生理解函数的概念有很大作用。
综观整堂课,徐老师特别强调师生共同研究、共同思考、共同归纳,充分体现了以学生为主体、教师为主导的教学理念;教学细节像珍珠串一样连贯,不但关注课堂每个环节,也不放过课堂的每个细节,让学生充分感悟学习新知识的过程,教师充分享受传授知识的快乐;学生在学习正比例函数知识的同时,也学会了思考问题、分析过程、归纳知识的方法。(作者单位:江西省南昌市实验中学)■
□责任编辑 周瑜芽
E-mail:jxjyzyy@163.com