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几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，在高考命题中占有重要的位置，要求学生理解并掌握几何概型试验的两个基本特征，即每次试验中基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性，并能求简单的几何概型试验的概率.笔者在授课中发现部分学生对搞清“什么是基本事件，是否等可能，怎样转化为几何度量”有所迷惑，导致理解题意有误.本文以几个典例为载体，予以解析.
图1典例1 如图1，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM 误区警示:此题易把构成事件的区域看作线段AB和AC′,关键是没有搞清每一个结果是在什么区域产生的.题目条件是“在∠ACB内部作一条射线”，射线构成的区域是一个角域，而不是一条线段.
正确解析:由题意知射线CM在∠ACB内是等可能分布的，如图1所示，在线段AB上取AC′=AC，连接CC′，因为在等腰Rt△ABC中，则∠ACC′=67.5°，设事件A={AM 归纳点评: （1）射线CM随机落在∠ACB内部，故∠ACB为所有试验结果构成的区域，当射线CM落在∠ACC′内部时AM 用角度刻画.
典例2国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段内容包含间谍犯罪的信息，后来发现这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？
误区警示:此题文字信息较多，题意较难理解，判断几何概型,尤其是判断等可能性,比古典概型要难于理解.
正确解析:包含两个间谍谈话录音的部分在30 s到40 s之间，当按错键时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s之间时全部被擦掉，即在0到40 s之间（即0到23 min之间）的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30 min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型．记A＝｛按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉｝，A发生就是0到23 min时间段内按错键．所以P(A)=2/330=145．
归纳点评:这个概率是以测度为单位来计算的，本题中的测度是时间长度.规律总结 (1)此题有两个难点:一是等可能性的判断;二是事件A对应的区域是0到23min的时间段,而不是12到23min的时间段.
典例3街道旁边有一游戏:在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板，规则如下:每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次;若掷在正方形内，需再交5角钱可玩一次;若掷在或压在塑料板的顶点上，可获得一元钱，试问:
（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？
（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？
误区警示:有些学生不能充分理解几何概型的等可能性，不能抽象出研究一个小正方形即可，或者把（2）的图形化成（1）的图形，从而错解.
正确解析:小圆板中心用O表示，考察O落在正方形ABCD的哪个范围时，能使圆板与塑料板ABCD的边相交接，及O落在哪个范围时能使圆板与塑料板ABCD的顶点相交接．图2
（1）如图2所示．因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1时，所以O落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交．
因此，区域Ω是边长为9 cm的正方形，图中阴影部分表示事件A:“小圆板压在塑料板的边上”．于是μΩ=9×9=81 cm2，μA=9×9-7×7=32 cm2．故所求概率P(A)=3281．
图3（2）小圆板与正方形的顶点相交接是在中心O与正方形的顶点的距离不超过圆板的半径1时，如图3所示的阴影部分，图中阴影部分表示事件B:“小圆板压在塑料板顶点上”． 于是μΩ=9×9=81 cm2，μB=π cm2．故所求的概率P(B)=π81．
归纳点评:此题关键是准确地转化为几何概型、认定几何度量求解．
通过以上几例，进一步说明在解决几何概型问题时，关键是找准观察角度，判断好基本事件的等可能性，构造出随机事件的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.
图1典例1 如图1，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM
正确解析:由题意知射线CM在∠ACB内是等可能分布的，如图1所示，在线段AB上取AC′=AC，连接CC′，因为在等腰Rt△ABC中，则∠ACC′=67.5°，设事件A={AM
典例2国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段内容包含间谍犯罪的信息，后来发现这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？
误区警示:此题文字信息较多，题意较难理解，判断几何概型,尤其是判断等可能性,比古典概型要难于理解.
正确解析:包含两个间谍谈话录音的部分在30 s到40 s之间，当按错键时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s之间时全部被擦掉，即在0到40 s之间（即0到23 min之间）的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30 min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型．记A＝｛按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉｝，A发生就是0到23 min时间段内按错键．所以P(A)=2/330=145．
归纳点评:这个概率是以测度为单位来计算的，本题中的测度是时间长度.规律总结 (1)此题有两个难点:一是等可能性的判断;二是事件A对应的区域是0到23min的时间段,而不是12到23min的时间段.
典例3街道旁边有一游戏:在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板，规则如下:每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次;若掷在正方形内，需再交5角钱可玩一次;若掷在或压在塑料板的顶点上，可获得一元钱，试问:
（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？
（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？
误区警示:有些学生不能充分理解几何概型的等可能性，不能抽象出研究一个小正方形即可，或者把（2）的图形化成（1）的图形，从而错解.
正确解析:小圆板中心用O表示，考察O落在正方形ABCD的哪个范围时，能使圆板与塑料板ABCD的边相交接，及O落在哪个范围时能使圆板与塑料板ABCD的顶点相交接．图2
（1）如图2所示．因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1时，所以O落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交．
因此，区域Ω是边长为9 cm的正方形，图中阴影部分表示事件A:“小圆板压在塑料板的边上”．于是μΩ=9×9=81 cm2，μA=9×9-7×7=32 cm2．故所求概率P(A)=3281．
图3（2）小圆板与正方形的顶点相交接是在中心O与正方形的顶点的距离不超过圆板的半径1时，如图3所示的阴影部分，图中阴影部分表示事件B:“小圆板压在塑料板顶点上”． 于是μΩ=9×9=81 cm2，μB=π cm2．故所求的概率P(B)=π81．
归纳点评:此题关键是准确地转化为几何概型、认定几何度量求解．
通过以上几例，进一步说明在解决几何概型问题时，关键是找准观察角度，判断好基本事件的等可能性，构造出随机事件的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.