在高中数列知识的学习中常会用到 这个公式，但许多学生不知道如何推导或者经常记错，希望通过下面几种推导方法，能让学生从各种不同角度理解并得以较快的记忆.
　　方法1：构造n3-(n-1)3=［n-(n-1)］•［n2+n(n-1)+(n-1)2］ =1•(3n2-3n+1)=3n2-3n+1.
　　则：13-03=3•12-3•1+1,23-13=3•22-3•2+1,33-23=3•32-3•3+1，…， n3-(n-1)3=3n2-3n+1，则左边式子相加，右边式子相加，即n3=3(12+22+…+n2)-3(1+2+…+n)+n•1.设Tn=12+22+…n2，则3Tn=n3+3•n(n+1)2-n=n(n+1)(n-1)+3n(n+1)2=12n(n+1)［2(n-1)+3］,所以3Tn=12n(n+1)(2n+1)，即Tn=16n(n+1)(2n+1).
　　也可以构造n3=(n+1-1)3=(n+1)3-3(n+1)2+3(n+1)-13,类似以上方法.
　　方法2:构造an=n2+n=n(n+1)=13［(n+2)(n+1)n-(n+1)n(n-1)］，则：12+1=13(3•2•1-2•1•0），22+2=13（4•3•2-3•2•1),32+3=13(5•4•3-4•3•2)，…，n2+n=［(n+2)(n+1)n-(n+1)n(n-1)］. 左边式子相加,右边式子相加.
　　所以(12+22+…+n2)+(1+2+…+n)=13［(n+2)(n+1)n］,
　　所以Tn=13［(n+2)(n+1)n］-n(n+1)2=16{n(n+1)［2(n+2)-3］}=16n(n+1)(2n+1).
　　数与形的结合，认清几何与代数的基本特征对学好课程会有很大帮助.学好数学，应当将数与形结合起来，使两种思维的优点都能发挥出来.华罗庚先生写过一首词：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞.数缺形时少知觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非.切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离.
　　方法3:假设有个正三角形，第一行1个圈，圈内的数字为1，第二行2个圈，圈内的数字都为2，…，第n行n个圈，圈内的数字都为n，这样这个三角形所有圈内数字的和相加即12+22+32+…+n2就是我们要求的；现在把这个三角形顺时针旋转60°，得到另一个新的三角形，再将新的三角形顺时针旋转60°，得到第三个三角形.如图1.
　　图1这样你会发现这三个三角形内每个圈对应位置的数字和都是2n+1，一共有1+2+3+…+12n(n+1）个圈，所以3(12+22+32+…+n2)=12n(n+1)(2n+1)，即3Tn=12n(n+1)(2n+1)，所以Tn=16n(n+1)(2n+1).（这种方法最容易记忆）
　　图2方法4:由图2，从数底边的点子（*）数和垂直底边的点子（•）数，得到：(12+22+32+…+n2)+［1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n)］=(1++3+…+n)(1+n), 而1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+n),看成an=n(n+1)2=n2+n2前n项的和，所以Tn+Tn+n(n+1)22=n(n+1)2•(1+n),化简得：32Tn=n(n+1)2(1+n)-n(n+1)4=n(n+1)4［2(1+n)-1］=n(n+1)(2n+1)4所以Tn=16n(n+1)(2n+1).
　　图3方法5:这种方法称为物理方法，先让我们构造这样一个点阵：在距原点O长度为1处放置1个单位质量的质点，在长度为n处放置n个单位质量的质点，…在距原点长度为n处置n个单位质量的质点，如图3所示，并且构成一个正三角形点阵，则该点阵相对于原点的重力矩为M=12+22+32+…+n2.又因为该正三角形的重心在距顶点A的高的2/3,所以下图所示的三角形的重心距原点的水平距离为L=1+23(n-1)=2n+13，而点阵的总质量G=1+2+n-n(n+1)2.因为M=G•L=16n(n+1)(2n+1)，即Tn=16n(n+1)(2n+1).
　　【方法六】用数学归纳法证明 ，证明：①当 时，左边 ，右边 ，左边 右边，成立； 假设 时成立，即 ，②那么当 时，即 ，所以当时命题也成立，综上所述， .【方法七】构造三个立体图象，其中小正方体（棱长为1）的个数为 ，如图 所示，组合如图 的立体图形，图 最上面的部分平均切成两部分，如图 所示，再把切成的最上面的部分，组合成如图 所示，则 ，所以 .【方法八】利用组合公式 ，利用公式： ，则左边前 项和：右边前 项和：，所以 ，所以 ，所以 我想通过以上五种方法的推导及证明，学生在这个问题上应该可以很好地领会并加以记忆，并且懂得数形结合的好处，学习一些公式的灵活处理.我想对学生的思维及想象是一种很好的帮助.