【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）06-0142-02
　　 众所周知，三角形的三条中线共点，这点把三角形的每一条中线都分成2:1的两段，且称这点为三角形的重心。通过对重心的研究，我们可以得到一些关于三角形的重要性质，从而更加清楚的认识三角形，但是目前对于一般四边形重心问题的深入研究还是比较少的，文献[1]中给出了一般四边形重心的定义，并给出定理1和定理2。本文对一般四边形重心性质进行深入挖掘，得到一些重要性质，这些性质与三角形中的性质非常相似，或许可以帮助我们更加清楚地认识一般四边形。
　　 定义1 任意四边形A1A2A3A4中, G1，G2，G3，G4分别为△A2A3A4，△A1A3A4，△A1A2A4，△A1A2A3的重心, 称连接Ai，Gi的线段 AiGi（i=1，2，3，4）为四边形A1A2A3A4的中线(共四条)(图1中未画出G3，G4)
　　 在文献[1]中已经证明了下面定理1和定理2：
　　 定理1：四边形的四条中线共点, 且这点把四边形的每条中线都分成3：1 的两段。我们把四边形四条中线的交点称为四边形的重心。
　　 定理2：设四边形A1A2A3A4四顶点的坐标为A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），A4（x4，y4），它的重心坐标为G（x0，y0），则：x0=■■xi，y0=■■yi
　　 在整篇文章中，不妨假设四边形A1A2A3A4的四个顶点坐标为A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），A4（x4，y4），它的重心坐标为G（x0，y0），本文给出四边形重心具有下列性质：
　　 性质1：设四边形A1A2A3A4的重心G，则：■+■+■+■=■
　　 证明：如图2示，由定理2知：x0=■■xi，y0=■■yi
　　 所以■=（x1-■■xi，y1-■■yi），■=（x2-■■xi，y2-■■yi）， ■=（x3-■■xi，y3-■■yi），■=（x4-■■xi，y4-■■yi）
　　 故■+■+■+■=（0，0）=■
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　 推论1：四边形A1A2A3A4重心为G，G1、G2、G3、G4 分别为△A2A3A4，△A1A3A4，△A1A2A4，△A1A2A3的重心，则■+■+■+■=■
　　 证明：如图3示，根据定理1，■=■（i=1，2，3，4），所以■=-■■(i=1，2,3,4,），则：■+■+■+■=-■■+■+■+■==■
　　 性质2：四边形对边中点连线必过重心，即：四边形的重心为四边形对边中点连线的交点.
　　 证明：如图4示，设M，N，P，H分别是边A1A2，A3A4，A2A4，A1A3的中点，G为四边形A1A2A3A4的重心，则：■=■（■+■），■=■（■+■），由性质1知：■+■+■+■==■，所以■+■=■（■+■+■+■）=■，故点G，M，N共线。 同理：点G，P，H共线， 所以G为MN，PH的交点，证明完毕！
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　 性质3：任意四边形A1A2A3A4中, G1，G2，G3，G4分别为△A2A3A4，△A1A3A4，△A1A2A4，△A1A2A3的重心，则中线可以用四个顶点之间的距离来表示，即：
　　 A1G1■=■（A1A2■+A1A3■+A1A4■）-■（A2A3■+A2A4■+A3A4■）
　　 A2G2■=■（A2A1■+A2A3■+A2A4■）-■（A1A3■+A1A4■+A3A4■）
　　 A3G3■=■（A3A1■+A3A2■+A3A4■）-■（A1A2■+A1A4■+A2A4■）
　　 A4G4■=■（A4A1■+A4A2■+A4A3■）-■（A1A2■+A1A3■+A2A3■）
　　 证明：易知G1（■，■）所以，根据两点距离公式：9A1G1■=9（x1-■）■■+9（y1-■）■=[3x1-（x2+x3+x4）]■+[3y1-（y2+y3+y4）]■=3[（x1-x2）■+（y1-y2）■+（x1-x3）■+（y1-y3）■+（x1-x4）■+（y1-y4）■]-[（x2-x3）■+（y2-y3）■+（x2-x4）■+（y2-y4）■+（x3-x4）■+（y3-y4）■]
　　=3（A1A2■+A1A3■+A1A4■）-（A2A3■+A2A4■+A3A4■）
　　 所以，A1G1■=■（A1A2■+A1A3■+A1A4■）-■（A2A3■+A2A4■+A3A4■） 同理可證明：
　　 A2G2■=■（A2A1■+A2A3■+A2A4■）-■（A1A3■+A1A4■+A3A4■）
　　 A3G3■=■（A3A1■+A3A2■+A3A4■）-■（A1A2■+A1A4■+A2A4■）
　　 A4G4■=■（A4A1■+A4A2■+A4A3■）-■（A1A2■+A1A3■+A2A3■）
　　 将上述四式进行求和就能得到下面推论2
　　 推论2：四边形的中线平方和等于■（A1A2■+A1A3■+A1A4■+A2A3■+A2A4■+A3A4■）
　　 性质4：四边形A1A2A3A4重心为G,则G是到四边形四个顶点距离平方和最小的点,这个最小值为：■（A1A2■+A1A3■+A1A4■+A2A3■+A2A4■+A3A4■）
　　 证明：设四边形A1A2A3A4所在平面上一点P（x，y）, 则：P到四个顶点的距离平方和为（PA1■+PA2■+PA3■+PA4■=（x-x1）■+（y-y1）■+（x-x2）■+（y-y2）■+（x-x3）■+（y-y3）■+（x-x4）■+（y-y4）■=4x2-2x（x1+x2+x3+x4）+x12+x22+x32+x42+4y2-2y（y1+y2+y3+y4）+y12+y22+y32+y42=4[x-■（x1+x2+x3+x4）]■+M+4[y-■（y1+y2+y3+y4）]■+N(其中M，N为常数，不含x，y)所以，x=■（x1+x2+x3+x4），y=■（y1+y2+y3+y4）时，上述值最小。此时，点P刚好是四边形的重心，根据定理1知：AiGi=■AiG（i=1，2，3，4）由推论2得：
　　 （■A1G）■+（■A2G）■+（■A3G）■+（■A4G）■=■（A1A2■+A1A3■+A1A4■+A2A3■+A2A4■+A3A4■）
　　 所以，A1G2 +A2G2 +A3G2 +A4G2 =■（A1A2■+A1A3■+A1A4■+A2A3■+A2A4■+A3A4■）
　　 证明完毕！
　　 四边形重心的上述性质和三角形重心性质非常类似，研究四边形的重心可以帮助我们更加清楚地认识四边形。当然，对于多边形重心问题，文献[2]也给出了许多结论。
　　 参考文献：
　　 [1] 胡耀宗. 也谈四边形的重心.数学通报,1995（5）
　　 [2] 徐苏焦. 多边形的中线和重心.舟山师专学报(自然科学版),1995(3)
　　 [3] 钱季伟. 多边形的重心. 长江职工大学学报,1999(3)