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初中、高中的知识衔接是学生从初中升入高中后一个必经的学习过程，它赋予学生初中所学知识以全新的视角，以此实现学生知识层面的螺旋上升.因此，初中、高中的知识衔接课也可以归为新知课的一种.围绕二次函数这个初中、高中共同的学习重点实施初中、高中知识衔接补充教学，具有重要的现实意义.下面我们以二次函数补充教学为例，谈谈在“教学环”理念下初中、高中知识衔接新知课的课堂操作策略.
一、学情分析与学习目标的确定
二次函数是初中数学的重点学习内容.经过初中阶段的学习，学生已经掌握了二次函数的顶点坐标、最值、自变量[y]随着因变量[x]的变化而变化的规律等知识，并能够运用以上二次函数知识分析和解决一些相关的基本问题.进入高中阶段以后，学习要求发生了质的变化，学生对二次函数的静态认识须尽快上升到动态理解层面，因为动态理解层面的二次函数知识将成为学生接下来学习其他函数和导数内容的重要基础，先由初中的二次函数过渡到高中的“三个二次”（二次函数、二次方程和二次不等式），体验数形结合的思想，培养数学抽象能力，再进一步解决相应的含参问题和恒成立问题.为了帮助学生顺利过渡到高中以二次函数为基础的相关知识学习，在学生学习了集合和函数的概念以及函数的单调性、奇偶性之后，我们给学生安排了这节二次函数知识衔接课，并为这节课确定了如下学习目标：1.从集合映射的角度重新理解二次函数；2.利用高中函数知识重新认识二次函数的单调性和奇偶性；3.延伸对称轴的性质，并利用二次函数的对称性分析解决相关问题.
二、“教学环”理念下的新知课教学
在“教学环”理念下，教学从聚焦课堂转向课前、课后延伸，学生主体将在教师指导下经历一个个“课前预习→课堂学习→课后练习”的循环往复的过程.我们倡导教师为主导、学生为主体，为了发展学生的自主学习能力，教师要在学生课前预习、课堂学习和课后练习的每一个重要学习环节，都给予学生相应的学习策略指导.
（一）导读提纲指引下的学生课前预习
在“教学环”理念下，课前预习是每一课新知教学的起始阶段.为了避免出现学生课前预习的盲目性和随意性，教师须精心设计导读提纲，为学生安排预习任务，激发学生的求知欲和探索欲，引导学生有目的地展开新知的自主学习过程.新知课的课前预习，导读的起点可以低一些，但落脚点一定要深，要刚好可以切中学生本课学习最急需掌握的主体知识和思维层次.比如本课导读提纲，我们根据学生初中所学内容和高中已有知识，为学生安排了下面4项导读任務（见图1）.
上述4项任务，引导学生一步一步从初中知识语言过渡到高中知识语言，并包含了对学生思维上的延伸、拓展.任务3的设计担负起本课“起点低、落脚深”的教学重任，将在之后的课堂教学环节被一题多用、反复挖掘.从思维发展特征看，初中生正处于形象思维为主、逐步向经验型抽象思维过渡的阶段，高中生则处于经验型为主的抽象思维向理论型抽象思维过渡且辩证思维初步形成阶段，上述任务对学生思维的拓展包括：从[y]的取值范围拓展到函数的值域，从具体函数的值域拓展到含参函数分类讨论求值域，从二次函数对称性拓展到一般函数的对称性.
（二）遵循新知课课堂教学基本模式，以问导学，带领学生用高中新知顺应初中旧知，形成新的认知系统，实现思维层次的螺旋上升
新知课通常包括“情境引入→提问讨论→重点讲解→应用探究→反思总结→布置作业”6个基本教学环节.因为有了学生的课前预习做铺垫，学生对本课的学习内容已有初步感知，课堂中，教师只需用三五分钟时间经历“情境引入”，检查反馈学生的课前预习情况，之后便可以进入“提问讨论”环节了.教师在该环节采用以问导学策略，重点引导学生从集合映射角度重新理解二次函数的定义.
[提问讨论]
师：谁能用自己的语言描述一下什么样的函数是二次函数，并给出具体的例子？
生1：含有二次项的式子就是二次函数.
师：[x2+2x-1=0]，[y2=x+1]都含有二次项，是不是二次函数呢？
生2：不是.[x2+2x-1=0]是方程，不是函数；而在[y2=x+][1]中，因为一个[x]对应着两个[y]，所以它也不是二次函数.
生3：形如[y=ax2+bx+c][（a≠0）]的函数叫二次函数，比如[y=x2]就是一个最基本的二次函数.从函数的定义来看，在二次函数中，定义域内每一个[x]都有唯一的一个[y]与之对应.
师：生3从函数的定义出发，解释了为什么二次函数是一个函数，并给出了正确的举例，非常好！初中阶段我们通过观察图象了解了二次函数的自变量[x]和因变量[y]的变化规律，但是这些观察、了解是相对感性、粗糙的，表述也比较口语化；到了高中，我们学习了函数的单调性、奇偶性，就可以进一步研究如何严谨地判定和证明二次函数图象的性质了.
以上教学环节，教师给出的两个二次项式子是以问导学的关键，便于学生同化和顺应高中新知，尝试用高中所学新知重新认识二次函数的意义，辨析函数与方程的细微差异，进而学会使用高中语言来表达二次函数的定义，提升思维层次.教师在生3之后进行教学小结，顺势引出了下面的“重点讲解”内容，过渡非常自然.
[重点讲解]
学生在初中阶段对具体函数的研究方法虽有一定基础，但这个基础是肤浅的。为了加深学生对二次函数的认识，引导学生从初中静态理解二次函数的顶点、对称轴和最值，逐渐过渡到高中动态、局部地研究二次函数的变化并从中捕捉变化规律，我们设计了例1、例2两道例题（如图2），让学生在做题的过程中学会运用高中知识探求二次函数图象的性质，提高认知水平.
从设问来看，例1与导读提纲中的任务3一脉相承，但任务级别有所提升，重点是让学生学会运用高中知识去描述现象，用高中的思维方式去证明现象、解决问题.事实上，学生独立完成此题基本不存在多大困难.为了强化初中到高中的知识过渡，教师特别提问了学生例1中“值域”的概念与初中的“求取值范围”之间的过渡关系，强化了高中用词的严谨和其中所蕴含的数学思想方法. 例2重点考查学生能否用相关定义来判定和证明二次函数的奇偶性。学生解题非常顺利，并从中体悟到一般的二次函数可能不是偶函数，即对称轴不一定是[y]轴.二次函数对称轴两边函数值与变量的关系究竟是怎样的呢？这是我们接下来要重点研究的内容.教师要重点引导学生从初中阶段对对称轴的理解扩大到高中阶段对二次函数对称性的理解，知道对称性表达的常用形式，即知道对称轴左右两边的函数值及其变化规律.研究二次函数的对称性，可以为研究三角函数及其他函数的对称性积累知识基础.
师：在完成导读提纲任务3的过程中我们知道，[y=][2x2-4x+1]的对称轴方程为[x=1].那么，在函数[f（x）=][2x2-4x+1]中，[f（-1）]和[f（3）]有何关系呢？
生5：[f（-1）=f（3）].
师：当[f（x1）=f（x2）]时，同学们能否发现[x1]，[x2]与对称轴的关系？
生5：[x1+x2=2].
师：那么对于任意一个二次函数呢？
生5：[x1，x2]的和都是对称轴横坐标的两倍.
师：若函数关于[x=a]对称，则[x1+x2=2a]，即[x2=][2a-x1]或[a+x0=a-x0]，由刚才归纳的对称性我们可以得到[f（x0）=f（2a-x0）]或[f（a+x0）=f（a-x0）].
在初中阶段，利用抛物线的对称轴知识可以解决求二次函数的最大值或最小值问题，学生对对称轴的理解仅限于记住[x=-b2a]即可.为了延伸学生对对称轴性质的理解，从二次函数的对称性出发，我们再次使用了导读提纲任务3中的函数，设计了上面的导学环节，将起点浅、落脚深的课前导读意图贯穿在了课前、课中的整个教学活动当中.
[应用探究]
当学生从高中知识角度进一步理解了二次函数的对称性质，再应用该性质来解决问题便是水到渠成了.为此我们设计了例题3（如图3）.
给例3求解，可以直接应用刚才探究得出的结论，于是学生很快给出了答案：由刚才我们学习的知识可以知道，[x1+x2=a]，于是[f（x1+x2）=f（a）=2018].
從高中视角理解对称轴，二次函数不仅可以在对称轴上取得最值，而且能体现两个对称点横坐标之间的关系.在对称轴不确定的情况下，如何求解最值是初中没有办法解决的问题，而这种动态变化是高中阶段的“家常便饭”.为了提升学生的思维层次，便于学生形成一个循序渐进的知识网络，教师出示了上述例题3这个含参的二次函数，将具体的二次函数问题上升为含参二次函数问题，这对学生来说是一次思维的飞跃.
师：经过导读提纲和上面例1的学习，我们己经会求二次函数[f（x）=2x2-4x+1]在[-3≤x≤2]区间内函数的值域了.那我们来看看例4（如图4）该怎样解？
生7：函数的开口向上，对称轴方程为[x=a4]，但[x=][a4]不一定在定义域内.
师：当一个量不确定时，你该怎么办？
生7：分类讨论呗，将每一类都分成确定的情形.
师：你觉得该怎么分类？
生7：因为二次函数总是在对称轴处取得最小值，所以我的第一类是[x=a4]在定义域[-1，1]内.若[x=a4]不在定义域[-1，1]内又可以分为两种情况，每一种情况再结合我们上节课学过的单调性规律求出函数的最小值，进而得到关于[a]的方程，把[a]解出来.
师：你分析得非常好.由于对称轴不确定，你己经开始从动态角度分析和解决问题，这是高中数学很重要的一种思维方法.下面同学们就把结果计算出来吧！
例4的问题源于初中内容，但限定条件增加，求解过程高于初中内容，学生必须运用高中二次函数的新知识去解决这个初中的老问题.经过前面的学习，学生已经认识到：同样的二次函数问题，到了高中阶段必须从更深的层次、更广的角度，以更严密的推理、更灵活的方法去分析和解决.
[反思总结]
该教学环节重点是引导学生按照一定的顺序归纳知识，形成能力.首先要认识到同样的知识在初中、高中有了深浅不同的表现方式，其次要认识到高中阶段对抽象思维能力、辩证思维能力的训练程度在不断加深.如初中描述函数图象的变化或函数的性质常用这样的感性表达：[y]随[x]的增大（减小）而增大（减小），或者函数从左到右上升（下降），等等.到了高中阶段，学生的认知和思维水平都有了很大的提高，已经能够利用在某个区间单调递增或单调递减这类严谨的数学语言描述二次函数图象的变化规律，能够初步运用分类讨论思想对二次函数的奇偶性进行讨论，能够从初中关注的对称轴求最值的简单应用深化到利用对称轴两边的变量关系解决问题，能够直接运用分类讨论思想动态地解决二次函数的对称性问题，等等.该环节教学过程略.
该环节包括本课的作业和下一节课的课前任务导读两个内容，有承前启后的作用.在本课中，我们安排了如下课后作业（如图5）.
上面的第1题、第2题是对本课所学新知的回顾和总结，第3题、第4题则是为下节课学习二次函数根的分布做铺垫.（题图为胡凯林老师）
（责编 白聪敏）
一、学情分析与学习目标的确定
二次函数是初中数学的重点学习内容.经过初中阶段的学习，学生已经掌握了二次函数的顶点坐标、最值、自变量[y]随着因变量[x]的变化而变化的规律等知识，并能够运用以上二次函数知识分析和解决一些相关的基本问题.进入高中阶段以后，学习要求发生了质的变化，学生对二次函数的静态认识须尽快上升到动态理解层面，因为动态理解层面的二次函数知识将成为学生接下来学习其他函数和导数内容的重要基础，先由初中的二次函数过渡到高中的“三个二次”（二次函数、二次方程和二次不等式），体验数形结合的思想，培养数学抽象能力，再进一步解决相应的含参问题和恒成立问题.为了帮助学生顺利过渡到高中以二次函数为基础的相关知识学习，在学生学习了集合和函数的概念以及函数的单调性、奇偶性之后，我们给学生安排了这节二次函数知识衔接课，并为这节课确定了如下学习目标：1.从集合映射的角度重新理解二次函数；2.利用高中函数知识重新认识二次函数的单调性和奇偶性；3.延伸对称轴的性质，并利用二次函数的对称性分析解决相关问题.
二、“教学环”理念下的新知课教学
在“教学环”理念下，教学从聚焦课堂转向课前、课后延伸，学生主体将在教师指导下经历一个个“课前预习→课堂学习→课后练习”的循环往复的过程.我们倡导教师为主导、学生为主体，为了发展学生的自主学习能力，教师要在学生课前预习、课堂学习和课后练习的每一个重要学习环节，都给予学生相应的学习策略指导.
（一）导读提纲指引下的学生课前预习
在“教学环”理念下，课前预习是每一课新知教学的起始阶段.为了避免出现学生课前预习的盲目性和随意性，教师须精心设计导读提纲，为学生安排预习任务，激发学生的求知欲和探索欲，引导学生有目的地展开新知的自主学习过程.新知课的课前预习，导读的起点可以低一些，但落脚点一定要深，要刚好可以切中学生本课学习最急需掌握的主体知识和思维层次.比如本课导读提纲，我们根据学生初中所学内容和高中已有知识，为学生安排了下面4项导读任務（见图1）.
上述4项任务，引导学生一步一步从初中知识语言过渡到高中知识语言，并包含了对学生思维上的延伸、拓展.任务3的设计担负起本课“起点低、落脚深”的教学重任，将在之后的课堂教学环节被一题多用、反复挖掘.从思维发展特征看，初中生正处于形象思维为主、逐步向经验型抽象思维过渡的阶段，高中生则处于经验型为主的抽象思维向理论型抽象思维过渡且辩证思维初步形成阶段，上述任务对学生思维的拓展包括：从[y]的取值范围拓展到函数的值域，从具体函数的值域拓展到含参函数分类讨论求值域，从二次函数对称性拓展到一般函数的对称性.
（二）遵循新知课课堂教学基本模式，以问导学，带领学生用高中新知顺应初中旧知，形成新的认知系统，实现思维层次的螺旋上升
新知课通常包括“情境引入→提问讨论→重点讲解→应用探究→反思总结→布置作业”6个基本教学环节.因为有了学生的课前预习做铺垫，学生对本课的学习内容已有初步感知，课堂中，教师只需用三五分钟时间经历“情境引入”，检查反馈学生的课前预习情况，之后便可以进入“提问讨论”环节了.教师在该环节采用以问导学策略，重点引导学生从集合映射角度重新理解二次函数的定义.
[提问讨论]
师：谁能用自己的语言描述一下什么样的函数是二次函数，并给出具体的例子？
生1：含有二次项的式子就是二次函数.
师：[x2+2x-1=0]，[y2=x+1]都含有二次项，是不是二次函数呢？
生2：不是.[x2+2x-1=0]是方程，不是函数；而在[y2=x+][1]中，因为一个[x]对应着两个[y]，所以它也不是二次函数.
生3：形如[y=ax2+bx+c][（a≠0）]的函数叫二次函数，比如[y=x2]就是一个最基本的二次函数.从函数的定义来看，在二次函数中，定义域内每一个[x]都有唯一的一个[y]与之对应.
师：生3从函数的定义出发，解释了为什么二次函数是一个函数，并给出了正确的举例，非常好！初中阶段我们通过观察图象了解了二次函数的自变量[x]和因变量[y]的变化规律，但是这些观察、了解是相对感性、粗糙的，表述也比较口语化；到了高中，我们学习了函数的单调性、奇偶性，就可以进一步研究如何严谨地判定和证明二次函数图象的性质了.
以上教学环节，教师给出的两个二次项式子是以问导学的关键，便于学生同化和顺应高中新知，尝试用高中所学新知重新认识二次函数的意义，辨析函数与方程的细微差异，进而学会使用高中语言来表达二次函数的定义，提升思维层次.教师在生3之后进行教学小结，顺势引出了下面的“重点讲解”内容，过渡非常自然.
[重点讲解]
学生在初中阶段对具体函数的研究方法虽有一定基础，但这个基础是肤浅的。为了加深学生对二次函数的认识，引导学生从初中静态理解二次函数的顶点、对称轴和最值，逐渐过渡到高中动态、局部地研究二次函数的变化并从中捕捉变化规律，我们设计了例1、例2两道例题（如图2），让学生在做题的过程中学会运用高中知识探求二次函数图象的性质，提高认知水平.
从设问来看，例1与导读提纲中的任务3一脉相承，但任务级别有所提升，重点是让学生学会运用高中知识去描述现象，用高中的思维方式去证明现象、解决问题.事实上，学生独立完成此题基本不存在多大困难.为了强化初中到高中的知识过渡，教师特别提问了学生例1中“值域”的概念与初中的“求取值范围”之间的过渡关系，强化了高中用词的严谨和其中所蕴含的数学思想方法. 例2重点考查学生能否用相关定义来判定和证明二次函数的奇偶性。学生解题非常顺利，并从中体悟到一般的二次函数可能不是偶函数，即对称轴不一定是[y]轴.二次函数对称轴两边函数值与变量的关系究竟是怎样的呢？这是我们接下来要重点研究的内容.教师要重点引导学生从初中阶段对对称轴的理解扩大到高中阶段对二次函数对称性的理解，知道对称性表达的常用形式，即知道对称轴左右两边的函数值及其变化规律.研究二次函数的对称性，可以为研究三角函数及其他函数的对称性积累知识基础.
师：在完成导读提纲任务3的过程中我们知道，[y=][2x2-4x+1]的对称轴方程为[x=1].那么，在函数[f（x）=][2x2-4x+1]中，[f（-1）]和[f（3）]有何关系呢？
生5：[f（-1）=f（3）].
师：当[f（x1）=f（x2）]时，同学们能否发现[x1]，[x2]与对称轴的关系？
生5：[x1+x2=2].
师：那么对于任意一个二次函数呢？
生5：[x1，x2]的和都是对称轴横坐标的两倍.
师：若函数关于[x=a]对称，则[x1+x2=2a]，即[x2=][2a-x1]或[a+x0=a-x0]，由刚才归纳的对称性我们可以得到[f（x0）=f（2a-x0）]或[f（a+x0）=f（a-x0）].
在初中阶段，利用抛物线的对称轴知识可以解决求二次函数的最大值或最小值问题，学生对对称轴的理解仅限于记住[x=-b2a]即可.为了延伸学生对对称轴性质的理解，从二次函数的对称性出发，我们再次使用了导读提纲任务3中的函数，设计了上面的导学环节，将起点浅、落脚深的课前导读意图贯穿在了课前、课中的整个教学活动当中.
[应用探究]
当学生从高中知识角度进一步理解了二次函数的对称性质，再应用该性质来解决问题便是水到渠成了.为此我们设计了例题3（如图3）.
给例3求解，可以直接应用刚才探究得出的结论，于是学生很快给出了答案：由刚才我们学习的知识可以知道，[x1+x2=a]，于是[f（x1+x2）=f（a）=2018].
從高中视角理解对称轴，二次函数不仅可以在对称轴上取得最值，而且能体现两个对称点横坐标之间的关系.在对称轴不确定的情况下，如何求解最值是初中没有办法解决的问题，而这种动态变化是高中阶段的“家常便饭”.为了提升学生的思维层次，便于学生形成一个循序渐进的知识网络，教师出示了上述例题3这个含参的二次函数，将具体的二次函数问题上升为含参二次函数问题，这对学生来说是一次思维的飞跃.
师：经过导读提纲和上面例1的学习，我们己经会求二次函数[f（x）=2x2-4x+1]在[-3≤x≤2]区间内函数的值域了.那我们来看看例4（如图4）该怎样解？
生7：函数的开口向上，对称轴方程为[x=a4]，但[x=][a4]不一定在定义域内.
师：当一个量不确定时，你该怎么办？
生7：分类讨论呗，将每一类都分成确定的情形.
师：你觉得该怎么分类？
生7：因为二次函数总是在对称轴处取得最小值，所以我的第一类是[x=a4]在定义域[-1，1]内.若[x=a4]不在定义域[-1，1]内又可以分为两种情况，每一种情况再结合我们上节课学过的单调性规律求出函数的最小值，进而得到关于[a]的方程，把[a]解出来.
师：你分析得非常好.由于对称轴不确定，你己经开始从动态角度分析和解决问题，这是高中数学很重要的一种思维方法.下面同学们就把结果计算出来吧！
例4的问题源于初中内容，但限定条件增加，求解过程高于初中内容，学生必须运用高中二次函数的新知识去解决这个初中的老问题.经过前面的学习，学生已经认识到：同样的二次函数问题，到了高中阶段必须从更深的层次、更广的角度，以更严密的推理、更灵活的方法去分析和解决.
[反思总结]
该教学环节重点是引导学生按照一定的顺序归纳知识，形成能力.首先要认识到同样的知识在初中、高中有了深浅不同的表现方式，其次要认识到高中阶段对抽象思维能力、辩证思维能力的训练程度在不断加深.如初中描述函数图象的变化或函数的性质常用这样的感性表达：[y]随[x]的增大（减小）而增大（减小），或者函数从左到右上升（下降），等等.到了高中阶段，学生的认知和思维水平都有了很大的提高，已经能够利用在某个区间单调递增或单调递减这类严谨的数学语言描述二次函数图象的变化规律，能够初步运用分类讨论思想对二次函数的奇偶性进行讨论，能够从初中关注的对称轴求最值的简单应用深化到利用对称轴两边的变量关系解决问题，能够直接运用分类讨论思想动态地解决二次函数的对称性问题，等等.该环节教学过程略.
该环节包括本课的作业和下一节课的课前任务导读两个内容，有承前启后的作用.在本课中，我们安排了如下课后作业（如图5）.
上面的第1题、第2题是对本课所学新知的回顾和总结，第3题、第4题则是为下节课学习二次函数根的分布做铺垫.（题图为胡凯林老师）
（责编 白聪敏）