论文部分内容阅读
【摘要】 现代的教学理论研究表明，只有控制课堂教学过程，促使学生思维得到发展，才能深刻理解和巩固所学的知识，才能提高学生的分析问题能力和解决问题能力.而在一定意义上，数学教学实质是解题教学，要求教师在解题教学过程中，不断探究解题的新思路、新方法，迅速、准确地找到解题的突破口，是培养学生解题的思维能力的重要途径.
【关键词】 类比思维 逆向思维 创新性思维
【中图分类号】 B804 【文献标识码】B 【文章编号】 1001-4128（2011） 09-0078-02
美国著名数学家哈尔莫斯（P.R.Halmos）有句至理名言：“问题是数学的心脏，学数学就意味着解题”.在中学数学教学中，一个带有共性的问题是学生解题能力提高慢，那么，在解题教学中怎样才能使学生在思维能力上有一个质的飞跃？本文以此谈谈笔者在多年的教学实践中的几点体会。
1 借石攻玉，培养学生的类比思维能力
教育家G.波利亚曾说过：“类比是伟大的引路人”.由于事物之间具有相同或相似的属性，所以在数学教学中，我们把其中一个或一类问题的已知属性，去推知另一个或另一类问题所具有相同或相似的属性，这种借他山之石用以攻玉的思维方法，称之为类比联想.掌握好这种思维方法，加强对照所学知识进行纵横联系，不但可以培养学生的类比联想思维能力，而且还能找到解决问题的最佳方法.
例1：对。求证：函数为减函数。
分析：本题所给的函数是抽象的，也是教材中所鲜见，粗看无从下手。这时引导学生联系所学过的函数中有哪些是具有相似属性的函数？于是容易联想到当时的对数函数满足题设条件，进而再联想到对数函数为减函数的证明方法，加以类比。
设因为函数为减函数。从而可以看出原问题证明的关键在于能否推出成立，这就为题目的证明指出了明确的方向。其实，事实上由题设可得：再由时，可推出结论。
例2：已知
分析：这是一道三角函数的求值问题，利用三角函数的有关知识与方法去解决，在此不再累赘.让学生运用类比联想的方法去解决，可是从条件看，拿什么知识去类比呢？其实从条件的结构形式人手，易联想到等比数列的性质：“若a、G、b成等比数列的充要条件是G2=ab(ab)”.因为，故，由已知条件，则数列成等比数列.设公比为则有=1，
解得。因为，所以取.故，。
2 正难则反，培养学生的逆向思维能力
对有些数学问题，如果从正面去直接探求，常常一筹莫展。这时，若改变一下思维的角度，避免正面强攻，从问题的反面进行逆向思考。正如波利亚《怎样解题》中写道：“毫无疑问，这种方法有某些人的深思之处，不照直走一条通往目标的道路，而是从目标走开，转过头来倒着干”。这种“倒着干”的思维方法称为逆向思维.那么在思考过程中针对什么而逆？这是解题的关键，一般的思路有：针对题目的条件和结论、针对常规方法、针对公式等等而逆。因此在解题教学过程中，教师能经常调整思维方向，使学生摆脱思维定势，从中找到最简便的解决方法。
例3：若8人排成一列，交换部分人的位置，至少有两人不在原来的位置上的排法有多少种？
分析：若正面考虑，按要求排列需进行分类：①两人不在原来位置的排法有…种；②三人不在原来位置的排法有…种；......③八人不在原来位置的排法有…种。则分类繁多，头绪难以理清，且计算复杂，显然不符合简单原则。这时不妨考虑“正难则反”，原题的反面是都在原来的位置上，而这只有一种情形。故共有排法（种）。
例4：已知椭圆C1：，圆C2：，若C1、C2没有公共点，求r的取值范围。
分析：本题的常规解法是由C1、C2两方程消去x后得到关于y的二次方程5y2-8y+(r2-10)=0(*),其判别式，可知当时，C1与C2无公共点.但，还要解出这个关于y的方程(*)，再代回C1或C2的方程消去y，得关于x的二次方程看看是否没有实数解（即检查是否判别式）,这个方法是相当麻烦的。如果换个角度逆向看这个问题，由（*）式可以解出，从而把r2看成y的函数。又y在它的可取值范围内取值时，即时，求出的值域，这便是C1与C2有公共点时，的取值范围。再取其补集，便可使本题得到解决。
3 出奇制胜，培养学生的创造性思维能力
数学家华罗庚说过：“人的可贵，在于能创造性思维”.创造性思维是各种思维方法的综合运用，因此在解题教学中，教师经常有意识地向学生提出一些新颖的、典型的题目，并引导他们去探索、去求新，多角度审视.对锻炼他们的创造性思维，提高能力是十分有益的。
例5：一圆经过点（8，5），且与直线相切于点（1，-2），试求该圆的方程。
分析：此题如能跳出求圆的方程的一般方法的小圈子，而借助于曲线系方程的一般方法，则解法新颖、简洁。
首先，把切点（1，-2）看成一个半径为0蜕化的点圆，其方程为，点（1，-2）与直线看成是蜕化圆和直线有公共点，然后写出过直线与点圆有公共点的圆系方程，代入点（8，5）的坐标，求得。故所求圆的方程为，即。
例6：若，证明：。
分析：此题一般用数学归纳法证明，但非常烦琐，如采用下面方法处理，解法就简单多了。
设，有，则
。证毕。
数学史上的许多重大发明皆为创新法.根据中学生的心理和思维特点，教学中经常鼓励学生寻找简便、反常规、独特解法，鼓励创优，能培养学生的创新思维的能力。
总之，在整个中学数学教学过程中，坚持引导学生探索，总结解题思路，不仅可以不断提高学生的解题能力，积累丰富的解题途径，还能培养学生的创造性才能。
参考文献
[1] 张巧凤，从平面到空间的类比思维[J]，高中数学教与学，2004，(11)
[2] 夏新桥，联想公式，以形论数[j]，中学数学研究，1996，(05)
[3] 陈斌，蜕化二次曲线的应用[J]，中学数学研究，2005，(01)
[4] 周昌炯，立足“通法”兼顾“巧法”[J]，数学教学，1999，(04)
【关键词】 类比思维 逆向思维 创新性思维
【中图分类号】 B804 【文献标识码】B 【文章编号】 1001-4128（2011） 09-0078-02
美国著名数学家哈尔莫斯（P.R.Halmos）有句至理名言：“问题是数学的心脏，学数学就意味着解题”.在中学数学教学中，一个带有共性的问题是学生解题能力提高慢，那么，在解题教学中怎样才能使学生在思维能力上有一个质的飞跃？本文以此谈谈笔者在多年的教学实践中的几点体会。
1 借石攻玉，培养学生的类比思维能力
教育家G.波利亚曾说过：“类比是伟大的引路人”.由于事物之间具有相同或相似的属性，所以在数学教学中，我们把其中一个或一类问题的已知属性，去推知另一个或另一类问题所具有相同或相似的属性，这种借他山之石用以攻玉的思维方法，称之为类比联想.掌握好这种思维方法，加强对照所学知识进行纵横联系，不但可以培养学生的类比联想思维能力，而且还能找到解决问题的最佳方法.
例1：对。求证：函数为减函数。
分析：本题所给的函数是抽象的，也是教材中所鲜见，粗看无从下手。这时引导学生联系所学过的函数中有哪些是具有相似属性的函数？于是容易联想到当时的对数函数满足题设条件，进而再联想到对数函数为减函数的证明方法，加以类比。
设因为函数为减函数。从而可以看出原问题证明的关键在于能否推出成立，这就为题目的证明指出了明确的方向。其实，事实上由题设可得：再由时，可推出结论。
例2：已知
分析：这是一道三角函数的求值问题，利用三角函数的有关知识与方法去解决，在此不再累赘.让学生运用类比联想的方法去解决，可是从条件看，拿什么知识去类比呢？其实从条件的结构形式人手，易联想到等比数列的性质：“若a、G、b成等比数列的充要条件是G2=ab(ab)”.因为，故，由已知条件，则数列成等比数列.设公比为则有=1，
解得。因为，所以取.故，。
2 正难则反，培养学生的逆向思维能力
对有些数学问题，如果从正面去直接探求，常常一筹莫展。这时，若改变一下思维的角度，避免正面强攻，从问题的反面进行逆向思考。正如波利亚《怎样解题》中写道：“毫无疑问，这种方法有某些人的深思之处，不照直走一条通往目标的道路，而是从目标走开，转过头来倒着干”。这种“倒着干”的思维方法称为逆向思维.那么在思考过程中针对什么而逆？这是解题的关键，一般的思路有：针对题目的条件和结论、针对常规方法、针对公式等等而逆。因此在解题教学过程中，教师能经常调整思维方向，使学生摆脱思维定势，从中找到最简便的解决方法。
例3：若8人排成一列，交换部分人的位置，至少有两人不在原来的位置上的排法有多少种？
分析：若正面考虑，按要求排列需进行分类：①两人不在原来位置的排法有…种；②三人不在原来位置的排法有…种；......③八人不在原来位置的排法有…种。则分类繁多，头绪难以理清，且计算复杂，显然不符合简单原则。这时不妨考虑“正难则反”，原题的反面是都在原来的位置上，而这只有一种情形。故共有排法（种）。
例4：已知椭圆C1：，圆C2：，若C1、C2没有公共点，求r的取值范围。
分析：本题的常规解法是由C1、C2两方程消去x后得到关于y的二次方程5y2-8y+(r2-10)=0(*),其判别式，可知当时，C1与C2无公共点.但，还要解出这个关于y的方程(*)，再代回C1或C2的方程消去y，得关于x的二次方程看看是否没有实数解（即检查是否判别式）,这个方法是相当麻烦的。如果换个角度逆向看这个问题，由（*）式可以解出，从而把r2看成y的函数。又y在它的可取值范围内取值时，即时，求出的值域，这便是C1与C2有公共点时，的取值范围。再取其补集，便可使本题得到解决。
3 出奇制胜，培养学生的创造性思维能力
数学家华罗庚说过：“人的可贵，在于能创造性思维”.创造性思维是各种思维方法的综合运用，因此在解题教学中，教师经常有意识地向学生提出一些新颖的、典型的题目，并引导他们去探索、去求新，多角度审视.对锻炼他们的创造性思维，提高能力是十分有益的。
例5：一圆经过点（8，5），且与直线相切于点（1，-2），试求该圆的方程。
分析：此题如能跳出求圆的方程的一般方法的小圈子，而借助于曲线系方程的一般方法，则解法新颖、简洁。
首先，把切点（1，-2）看成一个半径为0蜕化的点圆，其方程为，点（1，-2）与直线看成是蜕化圆和直线有公共点，然后写出过直线与点圆有公共点的圆系方程，代入点（8，5）的坐标，求得。故所求圆的方程为，即。
例6：若，证明：。
分析：此题一般用数学归纳法证明，但非常烦琐，如采用下面方法处理，解法就简单多了。
设，有，则
。证毕。
数学史上的许多重大发明皆为创新法.根据中学生的心理和思维特点，教学中经常鼓励学生寻找简便、反常规、独特解法，鼓励创优，能培养学生的创新思维的能力。
总之，在整个中学数学教学过程中，坚持引导学生探索，总结解题思路，不仅可以不断提高学生的解题能力，积累丰富的解题途径，还能培养学生的创造性才能。
参考文献
[1] 张巧凤，从平面到空间的类比思维[J]，高中数学教与学，2004，(11)
[2] 夏新桥，联想公式，以形论数[j]，中学数学研究，1996，(05)
[3] 陈斌，蜕化二次曲线的应用[J]，中学数学研究，2005，(01)
[4] 周昌炯，立足“通法”兼顾“巧法”[J]，数学教学，1999，(04)