【摘要】导数给高中数学增添了新的活力，也是高考的热点内容.由于有些同学对导数的几何意义或本质理解不深，因而常常出现这样和那样的错误，现列举其中的几种供参考.
　　【关键词】自变量增量；“过”与“在”；极、最值；单调性；恒成立
　　
　　导数是高中数学限定选修课中的重要内容，为函数、不等式、解析几何问题的学习和研究提供了新的视角和方法.运用导数的有关知识研究函数的性质(如单调性、极值、最值)，解决与切线有关的问题，成为历年高考的热点之一.
　　1.忽视对定义中Δx与Δy的一致性理解
　　例1 已知函数f(x)=14x4-23x3+6，则limΔx→0f(1+Δx)-f(Δ
　　错解 ∵f′(x)=x3-2x2，∴原式=f′(1)=-1，选A.或理解x=0，选B.
　　剖析 导数定义中，分子分母中的自变量增量Δx必须保持对应一致.
　　正解 limΔx→0f(1+Δx)-f(Δx)2Δx=limΔx→012•f(1+Δx)-f(1)(1+Δx)-1=12f′(1)=-12，选C.
　　2.忽视“过”与“在”，切线易求错
　　例2 曲线y=x2，过点52，6作曲线的切线方程，求曲线的切线方程.
　　错解 f′(x)=2x，k=f′52=5，故所求切线方程为10x-2y-13=0.
　　剖析 52，6不在曲线上，故应先设切点，求出斜率，得到切线，代值求切点.
　　正解 设切点(x0，x20)，则切线斜率k=f′(x0)=2x0，切线方程为2x0x-y-x20=0，代入点52，6，有x0=2或x0=3，得切线方程为4x-y-4=0或6x-y-9=0.
　　3.忽视“拐点”，误把“零点”等同“极值点”
　　例3 函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a，b的值.
　　错解 ∵f′(x)=3x2+2ax+b，由题意知f′(1)=0，且f(1)=10，解得a=4，b=-11或a=-3，b=3.
　　剖析 f(x0)为极值的充要条件是f′(x0)=0且x0处两侧的导数符号相反.当a=-3，b=3时，在x=1两侧，f′(x0)同号，此时x=1不为极值点，故取舍有a=4，b=-11.
　　4.忽视不可导点，混淆极、最值
　　例4 求函数f(x)=3(x2-2x)2在［-1，3］上的最值.
　　错解 f′(x)=43•x-13x2-2x，令f′(x)=0，得x=1.且f(-1)=39，f(1)=1，f(3)=39，∴x=-1或x=3时，函数的最大值为39.当x=1时，函数的最小值为1.
　　剖析 因为函数的最值可以在导数为0的点或不可导点或区间的端点处取得，而定义域中不可导的点为x1=0，x2=2.∵f(-1)=39，f(1)=1，f(3)=39，f(0)=0，f(2)=0，当x=-1或3时，函数的最大值是39；当x=0或2时，函数的最小值是0.
　　5.忽视定义域和连续点，单调区间不完善
　　例5 求函数y=xlnx的单调递减区间.
　　错解 ∵y′=x′•lnx+x•1x=lnx+1，y′<0lnx<-1x<1e，∴y=xlnx的单调递减区间为-∞，1e.
　　剖析 忽视原函数的定义域，因为函数的单调区间为定义域的子集，所以必先求定义域{x|x>0}，故单调递减区间应为0，1e.
　　6.利用单调性解恒成立问题出错
　　例6 已知f(x)=ax3-ax+1在［1，+∞)内单调递增，求实数a的取值范围.
　　错解 当x≥1时，f′(x)=3ax2-a≥0恒成立，而3x2-1≥0在［1，+∞)内恒成立，因此a≥0.
　　剖析 由函数f(x)在定义域上单调递增（或递减）的充要条件是f′(x)≥0（或f′(x)≤0）且f′(x)在定义域的任一子区间上不恒为零.a=0时，f′(x)=0在［1，+∞)恒成立，此时y=f(x)不具备单调性，舍去.
　　
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