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摘要 学习数学概念是提高数学教学质量的根本。教师应该认真研究概念，建构教学的模式，使学生形成准确的概念。
关键词 数学概念 引入 建立 巩固
数学是研究数量关系和空间形式的科学。概念在数学学习中无处不在。所谓数学概念就是指客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映，是数学基础知识的重要组成部分。历史上很早就产生了数学概念，在《九章算术》中就出现了分数、负数等概念。《数学课程标准》指出：“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。” 据不完全统计，小学数学教材中的数学概念有五百多个，几乎每堂课都涉及有关概念。学习数学概念有利于促进思维，提高小学生的认知能力；有利于简化知识，使小学生的知识更加条理化；有利于丰富知识，为学生的知识创新储备能量。教给学生正确、清晰、完整的数学概念，是提高数学教学质量的根本。教师应该认真研究概念建构教学的模式，使学生形成准确的概念。
一、数学概念的引入阶段
1.数学概念引入的前提。⑴教师要认真研究教材。概念的掌握是一种特殊的认知活动，需要各种复杂的心理过程，特别是一些较难的数学概念，教学时需要一个深入细致的工作过程。教材是学生学习的重要资源、教师教学的重要依据。它不仅决定课堂教学内容，而且提供了教学活动的基本线索和方法。因此，钻研和理解教材，是组织概念教学的重要前提。
在《认识面积》课堂上，一位教师只讲了四句话总结面积概念：第一句话：物体都有面。板书：物体的面，接着课件展示：荷叶、乒乓球桌、湖面……这些都是学生熟悉的物体，都能够接受，又比黑板、课本、课桌视野更开阔些。这些物体，有的面很小，有的面很大很大。接着，老师说第二句话：它们有的面大，有的面小（看着画面，学生感知后，能够懂得）。接着说第三句话：每个面都有自己确定的大小。第四句话：物体的面的大小叫做面积（板书：面积）。对于这四句话的提炼，可见教师在教学之前研究教材之认真。
⑵教师要准确理解概念。要让学生准确理解概念，教师首先要准确理解概念，做好让学生准确理解的设计。在教学面积的概念时，每个老师都知道，物体表面的大小叫做面积。平面图形表面的大小叫做它的面积，这些以前教科书上都有。但这“大小”两个字的意思到底是什么？有大有小？还是有其他的意思？其实，当一个封闭的图形形成后，就确定了它的形状和大小，这确定的意思就是可以度量、可以描述。那么“大小”的第一层意思就是：每一个面都有它自己的大小。因为大小不同，所以物体有的大，有的小。那么“大小”既有确定面的大小，也有大小比较的意思。概念本身应抓住每个物体的面都有确定的大小，这确定的大小就是它的面积。所以教师正确、准确地理解概念，再通过有效的教学，可以为学生形成正确的概念打下坚实的基础。
2.数学概念引入的方法。数学概念包括数与代数方面的，还有空间与图形方面的。我们可以根据概念的不同采取不同的方法引入。
⑴重视感知，从实际引入概念。小学生对事物的认识是从具体到抽象，从感性到理性，从特殊到一般的逐步发展过程。小学数学中的许多概念，都是从小学生比较熟悉的事物中抽象出来的。它的讲授方法坚持直观的原则。运用直观的教学活动，让学生感知有关的对象，获得感性的认识，建立反应事物本质属性的表象，是概念建立的基础。在学生丰富直观的体验中领悟概念的关键特征，由此强化对概念的理解。
在《认识面积》教学中，教师让学生先摸一摸课本封面，且提出摸的方法指导：张开手，慢慢地摸，要摸到面的全部。这样孩子可以放松，在自然状态下摸。要求一边摸，一边感受封面的大小，接着看黑板的表面。把它与课本封面比一比，用完整的语言描述黑板的表面比课本封面大，并用课件将这句话呈现，接着让学生摸摸桌面，再看看地面，有什么想说的。互相说说。通过这几个活动，让孩子感知面的表象，引入概念。
⑵重视感悟，从情境中引入。数学情境是沟通现实生活与数学学习、具体问题与抽象概念之间的桥梁。创设直观生动、学生易于接受的学习情境，有利于丰富学生的感性认识，激发学生的求知欲，促进直观形象向抽象概括的转化。
教学《体积和体积单位》时，随着“乌鸦喝水”故事情境的引入，学生兴趣盎然地投入到观察实验之中，由放进水中的石子引起杯里水面高度的变化而认识到“物体占有一定的空间”，再经过两次（一次放书包，一次放文具盒）摸抽屉来感受“物体所占的空间有大有小”。在此基础上，老师顺势引导学生概括出体积的概念。再将趣味性的故事情境和现实性的生活情境结合起来，通过观察和实践，就把一个抽象的数学概念，变为学生看得见、摸得着的数学事实，降低了学生理解和形成概念的难度。
⑶重视已知，从旧知中引入。当新概念与原有概念联系密切时，不需从新概念的本义讲起，只需从已学过的与其有关的概念中加以引导，便可引出新的概念。
学习“素数和合数”这一概念，是在约数和倍数以及能被2、5、3整除的数的特征基础上进行教学的，是一节较抽象的概念课，没有生活的模型为依托且容易与奇、偶数等概念相混淆。因此，我在教学的时候打破常规，师生问好后，没有让学生坐下。而是利用学生的座号数说：“老师先请座号数是奇数的同学坐下，再请座号数是偶数的同学坐下。”学生都坐下后再问：“×××（偶数号），第一次，你为什么不坐下？”学生回答：“因为我是12号，能被2整除，是偶数。”我说：“很好，按照能否被2整除，我们已经认识了奇数和偶数这两位老朋友，今天呀！我们又迎来了两位新朋友——素数和合数。（出示课题）”这样的导入，很好地将旧知与新知联系起来，让学生学得自然省力。
二、数学概念的建立
1.通过预习建立概念。某些概念，在数学教学中，是无法探究也无需探究的，它没有“为什么”可言，更多的是某种科学上的约定。这样的知识在课一开始，即宣布学习内容，直奔主题，让学生有所准备。接着让学生预习，从书本中了解与本课学习相关的内容。结合学生自学的细致程度，组织学生交流学习感受实为必要。让学生在交流中，举例证明自己的观点，补充他人的观点。如，在学关于分数、整数、小数这样的概念时，可以让学生先通过预习，教师设计一些判断题让学生互相交流。不要将时间花在理解为什么叫整数、为什么叫小数、为什么叫分数这样的问题上。
2.通过抽象概括建立概念。抽象概括是形成概念的一种思维过程和方法。从思想中把某些具有一些相同属性的事物抽取出来的本质属性，推广到具有这些属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。许多名师在课堂中都喜欢说半句话。师说上半句，生接下半句。利用这种方式，帮助学生抽象出概念。
3.通过对比建立概念。数学中的一些概念是相互联系的，既有相同点，又有不同之处。注意比较有联系的概念的异同，划清了异同界线，才能建立明确的概念。而对这类概念，应用对比的方法找出它们之间的联系、区别，这样会更有利于学生对数学概念的建立。如:长方形、正方形都是特殊的平行四边形，相同处是都有四条边、对边平行且相等，四个角都是直角。不同处是长方形对边相等，正方形四条边都相等。
4.通过理解建立概念。概念的掌握，需要说出概念所反映的一类事物的共同本质属性；理解概念定义中的关键词，明确概念的内涵和外延，从而建立概念。
教学《认识面积》时，我在让学生感知概念后，注意发展概念的外延，设计从一个长方形的六个面说说哪个面比哪个面大，将一个面画到黑板上，映出平面图形也有它的大小，在此基础上得出平面图形的大小就是平面图形的面积，板书：平面图形的大小叫做平面图形的面积。再要求学生用涂颜色的办法涂出平面图形的面，感受黑板上平面图形的大小就是平面图形的面积。再画一个比黑板上小一些的面积。涂涂它的大小，感受它的面积，进一步体会平面图形的面积。这一活动使学生准确地理解了“面积”这一概念的内涵和外延，建立了面积这一概念。
三、数学概念的巩固
概念的巩固和概念的建立同样重要，我们要加强对教学概念的巩固，促进概念的深化。
1.对概念进行“深加工”，促进概念深化。小学生对概念的掌握不是一次就能完成的，需要从具体到抽象，再由抽象到具体多次反复巩固。在巩固中，由于小学生的认知还不是很成熟，学生在学习数学概念的过程中难免会产生一些概念错误，例如概念外延的缩小或扩大、内涵扩大或缩小以及概念与概念之间的交叉等等。比如，面积和周长是一组容易混淆的概念。认识面积之前学生已经认识了周长，学了面积后，学生会不会将面积和周长的意义混淆呢？这就需要我们教师要对概念进行“深加工”。
教学《认识面积》时，在学生自主探索、合作交流得出了比较面积常用的基本方法后，我又提出，用毛线围两个图形的边，通过比较毛线的长短来比较图形的大小。对于这种做法，你有什么想说的？引导学生说出其不妥的地方。接着又设计了：学生先闭着眼睛想一想周长和面积的样子，随后教师随意地说几件事情，让学生用动作来回答，如果是跟“周长”有关，就做画线一圈的动作，如果是跟“面积”有关，就做涂、摸动作。教师说了这样几个例子：⑴沿着操场跑一圈；⑵工人师傅铺草坪；⑶放学后，值日生扫地；⑷黑板镶上铝合金边等等。学生分别做了相应的动作。在学生对这两个容易混淆的概念比较后，我又设计了几个有效的练习：用看的方法比较几个省的面积大小；用数方格的方法说图形的面积；出示学校平面图的方法，比较各场所的大小；根据课件里的自我介绍猜是什么物体。通过一系列对概念的“深加工”，促进了概念的深化。
2.建立“关系树”，促进概念深化。学生存入記忆的概念组织得越好，提取越容易，让学生自己按概念间的关系对概念加以整理，并在脑中记住这种组织，更有利于提取。帮助学生贯通概念间的联系，建立有关的“关系树”。
教学“方程”时，学生对方程的理解不是很清晰，教师可在学习后，让学生将所学的式子分分类，其目的是为了在学生头脑中建立“关系树”，这样，学生对于方程概念的认识也就比较深刻和清晰了，从而也深化了方程这一概念。
概念的引入是概念学习的前提，概念的建立是概念学习的核心，概念的巩固是概念学习的补充。在概念教学中我们应该把握好这个三阶段，缺一不可。
关键词 数学概念 引入 建立 巩固
数学是研究数量关系和空间形式的科学。概念在数学学习中无处不在。所谓数学概念就是指客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映，是数学基础知识的重要组成部分。历史上很早就产生了数学概念，在《九章算术》中就出现了分数、负数等概念。《数学课程标准》指出：“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。” 据不完全统计，小学数学教材中的数学概念有五百多个，几乎每堂课都涉及有关概念。学习数学概念有利于促进思维，提高小学生的认知能力；有利于简化知识，使小学生的知识更加条理化；有利于丰富知识，为学生的知识创新储备能量。教给学生正确、清晰、完整的数学概念，是提高数学教学质量的根本。教师应该认真研究概念建构教学的模式，使学生形成准确的概念。
一、数学概念的引入阶段
1.数学概念引入的前提。⑴教师要认真研究教材。概念的掌握是一种特殊的认知活动，需要各种复杂的心理过程，特别是一些较难的数学概念，教学时需要一个深入细致的工作过程。教材是学生学习的重要资源、教师教学的重要依据。它不仅决定课堂教学内容，而且提供了教学活动的基本线索和方法。因此，钻研和理解教材，是组织概念教学的重要前提。
在《认识面积》课堂上，一位教师只讲了四句话总结面积概念：第一句话：物体都有面。板书：物体的面，接着课件展示：荷叶、乒乓球桌、湖面……这些都是学生熟悉的物体，都能够接受，又比黑板、课本、课桌视野更开阔些。这些物体，有的面很小，有的面很大很大。接着，老师说第二句话：它们有的面大，有的面小（看着画面，学生感知后，能够懂得）。接着说第三句话：每个面都有自己确定的大小。第四句话：物体的面的大小叫做面积（板书：面积）。对于这四句话的提炼，可见教师在教学之前研究教材之认真。
⑵教师要准确理解概念。要让学生准确理解概念，教师首先要准确理解概念，做好让学生准确理解的设计。在教学面积的概念时，每个老师都知道，物体表面的大小叫做面积。平面图形表面的大小叫做它的面积，这些以前教科书上都有。但这“大小”两个字的意思到底是什么？有大有小？还是有其他的意思？其实，当一个封闭的图形形成后，就确定了它的形状和大小，这确定的意思就是可以度量、可以描述。那么“大小”的第一层意思就是：每一个面都有它自己的大小。因为大小不同，所以物体有的大，有的小。那么“大小”既有确定面的大小，也有大小比较的意思。概念本身应抓住每个物体的面都有确定的大小，这确定的大小就是它的面积。所以教师正确、准确地理解概念，再通过有效的教学，可以为学生形成正确的概念打下坚实的基础。
2.数学概念引入的方法。数学概念包括数与代数方面的，还有空间与图形方面的。我们可以根据概念的不同采取不同的方法引入。
⑴重视感知，从实际引入概念。小学生对事物的认识是从具体到抽象，从感性到理性，从特殊到一般的逐步发展过程。小学数学中的许多概念，都是从小学生比较熟悉的事物中抽象出来的。它的讲授方法坚持直观的原则。运用直观的教学活动，让学生感知有关的对象，获得感性的认识，建立反应事物本质属性的表象，是概念建立的基础。在学生丰富直观的体验中领悟概念的关键特征，由此强化对概念的理解。
在《认识面积》教学中，教师让学生先摸一摸课本封面，且提出摸的方法指导：张开手，慢慢地摸，要摸到面的全部。这样孩子可以放松，在自然状态下摸。要求一边摸，一边感受封面的大小，接着看黑板的表面。把它与课本封面比一比，用完整的语言描述黑板的表面比课本封面大，并用课件将这句话呈现，接着让学生摸摸桌面，再看看地面，有什么想说的。互相说说。通过这几个活动，让孩子感知面的表象，引入概念。
⑵重视感悟，从情境中引入。数学情境是沟通现实生活与数学学习、具体问题与抽象概念之间的桥梁。创设直观生动、学生易于接受的学习情境，有利于丰富学生的感性认识，激发学生的求知欲，促进直观形象向抽象概括的转化。
教学《体积和体积单位》时，随着“乌鸦喝水”故事情境的引入，学生兴趣盎然地投入到观察实验之中，由放进水中的石子引起杯里水面高度的变化而认识到“物体占有一定的空间”，再经过两次（一次放书包，一次放文具盒）摸抽屉来感受“物体所占的空间有大有小”。在此基础上，老师顺势引导学生概括出体积的概念。再将趣味性的故事情境和现实性的生活情境结合起来，通过观察和实践，就把一个抽象的数学概念，变为学生看得见、摸得着的数学事实，降低了学生理解和形成概念的难度。
⑶重视已知，从旧知中引入。当新概念与原有概念联系密切时，不需从新概念的本义讲起，只需从已学过的与其有关的概念中加以引导，便可引出新的概念。
学习“素数和合数”这一概念，是在约数和倍数以及能被2、5、3整除的数的特征基础上进行教学的，是一节较抽象的概念课，没有生活的模型为依托且容易与奇、偶数等概念相混淆。因此，我在教学的时候打破常规，师生问好后，没有让学生坐下。而是利用学生的座号数说：“老师先请座号数是奇数的同学坐下，再请座号数是偶数的同学坐下。”学生都坐下后再问：“×××（偶数号），第一次，你为什么不坐下？”学生回答：“因为我是12号，能被2整除，是偶数。”我说：“很好，按照能否被2整除，我们已经认识了奇数和偶数这两位老朋友，今天呀！我们又迎来了两位新朋友——素数和合数。（出示课题）”这样的导入，很好地将旧知与新知联系起来，让学生学得自然省力。
二、数学概念的建立
1.通过预习建立概念。某些概念，在数学教学中，是无法探究也无需探究的，它没有“为什么”可言，更多的是某种科学上的约定。这样的知识在课一开始，即宣布学习内容，直奔主题，让学生有所准备。接着让学生预习，从书本中了解与本课学习相关的内容。结合学生自学的细致程度，组织学生交流学习感受实为必要。让学生在交流中，举例证明自己的观点，补充他人的观点。如，在学关于分数、整数、小数这样的概念时，可以让学生先通过预习，教师设计一些判断题让学生互相交流。不要将时间花在理解为什么叫整数、为什么叫小数、为什么叫分数这样的问题上。
2.通过抽象概括建立概念。抽象概括是形成概念的一种思维过程和方法。从思想中把某些具有一些相同属性的事物抽取出来的本质属性，推广到具有这些属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。许多名师在课堂中都喜欢说半句话。师说上半句，生接下半句。利用这种方式，帮助学生抽象出概念。
3.通过对比建立概念。数学中的一些概念是相互联系的，既有相同点，又有不同之处。注意比较有联系的概念的异同，划清了异同界线，才能建立明确的概念。而对这类概念，应用对比的方法找出它们之间的联系、区别，这样会更有利于学生对数学概念的建立。如:长方形、正方形都是特殊的平行四边形，相同处是都有四条边、对边平行且相等，四个角都是直角。不同处是长方形对边相等，正方形四条边都相等。
4.通过理解建立概念。概念的掌握，需要说出概念所反映的一类事物的共同本质属性；理解概念定义中的关键词，明确概念的内涵和外延，从而建立概念。
教学《认识面积》时，我在让学生感知概念后，注意发展概念的外延，设计从一个长方形的六个面说说哪个面比哪个面大，将一个面画到黑板上，映出平面图形也有它的大小，在此基础上得出平面图形的大小就是平面图形的面积，板书：平面图形的大小叫做平面图形的面积。再要求学生用涂颜色的办法涂出平面图形的面，感受黑板上平面图形的大小就是平面图形的面积。再画一个比黑板上小一些的面积。涂涂它的大小，感受它的面积，进一步体会平面图形的面积。这一活动使学生准确地理解了“面积”这一概念的内涵和外延，建立了面积这一概念。
三、数学概念的巩固
概念的巩固和概念的建立同样重要，我们要加强对教学概念的巩固，促进概念的深化。
1.对概念进行“深加工”，促进概念深化。小学生对概念的掌握不是一次就能完成的，需要从具体到抽象，再由抽象到具体多次反复巩固。在巩固中，由于小学生的认知还不是很成熟，学生在学习数学概念的过程中难免会产生一些概念错误，例如概念外延的缩小或扩大、内涵扩大或缩小以及概念与概念之间的交叉等等。比如，面积和周长是一组容易混淆的概念。认识面积之前学生已经认识了周长，学了面积后，学生会不会将面积和周长的意义混淆呢？这就需要我们教师要对概念进行“深加工”。
教学《认识面积》时，在学生自主探索、合作交流得出了比较面积常用的基本方法后，我又提出，用毛线围两个图形的边，通过比较毛线的长短来比较图形的大小。对于这种做法，你有什么想说的？引导学生说出其不妥的地方。接着又设计了：学生先闭着眼睛想一想周长和面积的样子，随后教师随意地说几件事情，让学生用动作来回答，如果是跟“周长”有关，就做画线一圈的动作，如果是跟“面积”有关，就做涂、摸动作。教师说了这样几个例子：⑴沿着操场跑一圈；⑵工人师傅铺草坪；⑶放学后，值日生扫地；⑷黑板镶上铝合金边等等。学生分别做了相应的动作。在学生对这两个容易混淆的概念比较后，我又设计了几个有效的练习：用看的方法比较几个省的面积大小；用数方格的方法说图形的面积；出示学校平面图的方法，比较各场所的大小；根据课件里的自我介绍猜是什么物体。通过一系列对概念的“深加工”，促进了概念的深化。
2.建立“关系树”，促进概念深化。学生存入記忆的概念组织得越好，提取越容易，让学生自己按概念间的关系对概念加以整理，并在脑中记住这种组织，更有利于提取。帮助学生贯通概念间的联系，建立有关的“关系树”。
教学“方程”时，学生对方程的理解不是很清晰，教师可在学习后，让学生将所学的式子分分类，其目的是为了在学生头脑中建立“关系树”，这样，学生对于方程概念的认识也就比较深刻和清晰了，从而也深化了方程这一概念。
概念的引入是概念学习的前提，概念的建立是概念学习的核心，概念的巩固是概念学习的补充。在概念教学中我们应该把握好这个三阶段，缺一不可。