论文部分内容阅读
摘要 介绍在数学物理方程教学中的一种新的教学方法，借助MATLAB来求解偏微分方程，从而得到其数值解。让学生领略将数理方程可视化的乐趣的同时以提高课程的实用性。
关键词 数学物理方程；MATLAB；偏微分方程工具箱
中图分类号 G420 文献标识码C
Simulate teaching in Mathematics physics equation
Geng Liang (Hubei university of Technology, Wuhan 430068)
Abstract Introduc one kind of new teaching method in mathematics physics equation， Come to seek whose numerical value solution drawing support from MATLAB. Let student have a taste of the Visualization delight ，Improve the course pragmatism at the same time.
Keyword Mathematics physics equation MATLAB PDE Toolbox
一、引言
数学物理方程主要就是偏微分方程，它是众多理工科学生的基础课程之一，也是科研人员常用的基本方法。在理工科院校的《数学物理方程》课程的教学过程中，往往是讲授分离变量法，行波法，积分变换法等方法来求解偏微分方程的数值解。教学基本是用公式推导，所得的结果往往是一个复杂的积分或级数，其中还免不了使用特殊函数。尽管数学物理方程通常都有明确的物理意义，可是怎么能够使学生从让人眼花缭乱的数学表达式中看出其中所表达的物理图像，恐怕不仅学生会感觉困惑，教师也难免觉得棘手。由此不难理解，为什么许多学生都觉得数学物理方程太枯燥乏味了。如何让这些公式中的物理图像展现出来，让这些无言的公式“开口说话”，这正是我们所追求的目标。解偏微分方程恰恰是十分困难的，是一门公认的较难的课程。并且大多数偏微分方程都不能求的其解析解。随着计算机的飞速发展，我们可以借助其来求解偏微分方程，从而得到其数值解(近似解)。这离不开数值计算及其可视化。高性能数学软件让这件事变得容易起来，计算机仿真主要是利用数学工具软件(MATLAB，MATHEMATIC，MAPLE，MATHCAD)来实现对数学物理方程的仿真求解。基于MATLAB语言的广泛应用，我们选择MATLAB对数学物理方程的各种题型求解，并将结果用图形甚至动画表现出来，以此来展现问题的物理图像。
无论是高级研究人员还是初学者，在使用PDE Toolbox时都会感到非常方便。只要PDE定解问题的提法正确，那么，启动MATLAB后，在MATLAB工作空间的命令行中键人pdetool，系统立即产生偏微分方程工具箱(PDE TooIbox)的图形用户界面(Graphlcal User Interface．简记为GUl)，即PDE解的图形环境，这时就可以在它上面画出定解区域、设置方程和边界条件、作网格剖分、求解、作图等工作，除了用GUI求解PDE外，也可以用M文件的编程计算更为复杂的问题。
二、仿真教学方法简介
下面我们看一个求解椭圆型方程的例子：
单位圆上的Poisson方程边值问题：
1.选定定解区域：使用画圆快捷工具，大致在(0，0)位置单击鼠标右键同时拖拉鼠标到适当位置松开，绘制圆。为了保证所绘制的圆是标准的单位圆，在所绘图上双击，打开Object Dialog对话框，精确地输入圆心坐标X-center为0、Y-center为0及半径Radius为1，然后单击OK按钮。
2.设置边界条件：使用边界快捷工具，图形边界变红，逐段双击边界，打开Boundary Condition对话框，输入边界条件。对于同一类型的边界，可以按Shift键，将多个边界同时选择，统一设置边界条件。这里选择Dirichlet条件，输入h为1，r为0，然后单击OK按钮。也可以单击Boundary菜单中Specify Boundary Condition选项，打开Boundary对话框输入边界条件。
3.设置方程：单击PDE菜单中PDE Specification选项，选择方程类型。这里单击Elliptic，输入c为1，a为0，f为1，然后单击0K按钮。
4.网格剖分：单击网格快捷工具，或者单击Mesh菜单中Initalize Mesh选顶，可进行初始网格剖分，这时在PDEToolbox窗口下方的状态栏内显示出初始网格的节点数和三角形单元数。如果需要网格加密，再单击网格加密快捷工具，或者单击Mesh菜单中Refine Mesh选项，如此还可继续加密。
5.解方程：单击求解快捷工具，或者单击Solve菜单中Solve PDE选项、可显示方程色彩解。如果单击Plot菜单中Parameters选项，出现Plot Selection对话框．如图。从中可以选择Color，Contour，Arrows，Deformed mesh，Height (3—D plot)，还可以设置等值线的数目等。这里选择Color，Height (3—D plot)和Show mesh三项。在单击Plot，显示三维图形解。若要画等值线图和矢量场图，在Plot Selection对话框中选Contour，Arrows两项。在单击Plot，显示解的等值线图和矢量场图。如图所示。
6.与精确解作比较：单击Plot菜单中Parameters…选项、打开PlotSelectiom对话框，在Height(3—D P1ot)行的Propery下拉框中选user entry，且在该行的User entry输入框中键人u-(1-x.^2-y.^2)/4，单击P1ot按钮就可以看到解的绝对误差图形。
7.输出网格节点的编号、单元编号以及节点坐标：单击Mesh菜单中Show Node Labels选项、再单击工具▽、即可显示节点编号，若要输出节点坐标、只需单击Mesh菜单中Exporn Mesh.选项，这时打开的Export对话框中的默认值为p，e，t，这里p，e，t，分别表示points(点)、edges(边)、triangles(三角形)数据的变量，单击0K按钮。然后在MATLAB命令窗口链入p，按回车键确定，即可显示出节点按编号排列的坐标(二维数组)；键入e，按回车键，则显示边界线段数据矩阵(7维数组)；输入t，按回车键，则显示三角形单元数据矩阵(4维数组)。
8.输出解的数值：单击solve菜单中Exports Solution…选项，在打开的Export对话框中输入u，单击OK按钮确定。再在MATLAB命令窗口中输入u，按回车键确定，即显示按节点编号排列的解的数值。
三、偏微分方程工具箱的功能介绍
偏微分方程工具箱(PDEToolbox)的功能包括：①设置PDE(偏微分方程)定解问题，即设置二维定解区域、边界条件以及方程的形式和系数；②用有限元法(FEM)求解PDE，即网格的生成，方程的离散以及求出数值解；③解的可视化。PDE Toolbox求解的基本方程有：椭圆型方程、抛物型方程、双曲型方程、特征值方程、椭圆型方程组以及非线性椭圆型方程。定解问题的设置最简单的办法是在PDE Tool上直接使用图形用户界面(GUI)设置定解问题。用GUI解PDE问题主要使用两个模式：①Mesh模式：生成网格，自动控制网格参数；②solve模式：对于椭圆型方程还能求非线性和自适应解。对于抛物型和双曲型方程，设置初始边值条件后能求出给定t时刻的解。对于特征值问题，能求出给定区间内的特征值。求解后可以加密网格再求解。从GUI还能够使用Plot模式实现可视化。可以使用Color，Height和Vector等作图。对于抛物型和双曲型方程，还可以生成解的动画。这些操作通过命令行也很容易实现。
四、仿真教学方法效果评价
这种教学方法给人以面貌一新的感觉，它改变了只能用公式符号教学的模式，对教学效果肯定会有提高。这对学生学过的知识能起到复习巩固提高的作用，让学生亲自领略将数理方程可视化的乐趣，让学生不仅能知道结果，而且能学会方法，同时也避免在类似的工作中因从头探索而走一些不必要的弯路。
例如，研究环形电流的磁场。该题可以用三种不同方法计算，所得结果分别用连带勒让德函数的广义傅里叶级数表示，用椭圆函数的积分表示或者直接用数值积分表示，那么这些形式各异的结果是一致的吗？它跟实验的结果相同吗？谁都会对这个问题感到好奇，可是又觉得难以定论。但是，当我们画出它们的电力线以后，就会看到什么叫殊途同归。虽在意料之中，还是不得不惊叹数学的神奇。尤其对初学本课程的学生来说，留给他们的影响是极其深刻的，甚至也许是终生难忘的。
在教学过程中将数值计算与计算机模拟相结合，一举多得，提高了课程的实用性和趣味性，激发了学生的学习兴趣。多媒体课件严格以科学计算为基础，替代了示意性的绘图。可以引导学生开展课题探索，达到师生互教互学，达到教学相长的目的。
目前这种仿真教学模式在各大院校的数学物理方城课程的教学中使用较少，但随着数学软件逐渐进入我们的教学，其实用性越来越为为大家所认识，这种仿真教学模式将来必会为多数院校所采纳。
参考文献
[1]杨华军，编著.数学物理方程与计算机仿真.电子工业出版社，2005.
[2]陆君安，编著.偏微分方程的MATLAB解法.武汉大学出版社，2001.
[3]彭芳麟，编著.数学物理方程的MATLAB解法与可视化(MATLAB编程应用).清华大学出版社，2004
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词 数学物理方程；MATLAB；偏微分方程工具箱
中图分类号 G420 文献标识码C
Simulate teaching in Mathematics physics equation
Geng Liang (Hubei university of Technology, Wuhan 430068)
Abstract Introduc one kind of new teaching method in mathematics physics equation， Come to seek whose numerical value solution drawing support from MATLAB. Let student have a taste of the Visualization delight ，Improve the course pragmatism at the same time.
Keyword Mathematics physics equation MATLAB PDE Toolbox
一、引言
数学物理方程主要就是偏微分方程，它是众多理工科学生的基础课程之一，也是科研人员常用的基本方法。在理工科院校的《数学物理方程》课程的教学过程中，往往是讲授分离变量法，行波法，积分变换法等方法来求解偏微分方程的数值解。教学基本是用公式推导，所得的结果往往是一个复杂的积分或级数，其中还免不了使用特殊函数。尽管数学物理方程通常都有明确的物理意义，可是怎么能够使学生从让人眼花缭乱的数学表达式中看出其中所表达的物理图像，恐怕不仅学生会感觉困惑，教师也难免觉得棘手。由此不难理解，为什么许多学生都觉得数学物理方程太枯燥乏味了。如何让这些公式中的物理图像展现出来，让这些无言的公式“开口说话”，这正是我们所追求的目标。解偏微分方程恰恰是十分困难的，是一门公认的较难的课程。并且大多数偏微分方程都不能求的其解析解。随着计算机的飞速发展，我们可以借助其来求解偏微分方程，从而得到其数值解(近似解)。这离不开数值计算及其可视化。高性能数学软件让这件事变得容易起来，计算机仿真主要是利用数学工具软件(MATLAB，MATHEMATIC，MAPLE，MATHCAD)来实现对数学物理方程的仿真求解。基于MATLAB语言的广泛应用，我们选择MATLAB对数学物理方程的各种题型求解，并将结果用图形甚至动画表现出来，以此来展现问题的物理图像。
无论是高级研究人员还是初学者，在使用PDE Toolbox时都会感到非常方便。只要PDE定解问题的提法正确，那么，启动MATLAB后，在MATLAB工作空间的命令行中键人pdetool，系统立即产生偏微分方程工具箱(PDE TooIbox)的图形用户界面(Graphlcal User Interface．简记为GUl)，即PDE解的图形环境，这时就可以在它上面画出定解区域、设置方程和边界条件、作网格剖分、求解、作图等工作，除了用GUI求解PDE外，也可以用M文件的编程计算更为复杂的问题。
二、仿真教学方法简介
下面我们看一个求解椭圆型方程的例子：
单位圆上的Poisson方程边值问题：
1.选定定解区域：使用画圆快捷工具，大致在(0，0)位置单击鼠标右键同时拖拉鼠标到适当位置松开，绘制圆。为了保证所绘制的圆是标准的单位圆，在所绘图上双击，打开Object Dialog对话框，精确地输入圆心坐标X-center为0、Y-center为0及半径Radius为1，然后单击OK按钮。
2.设置边界条件：使用边界快捷工具，图形边界变红，逐段双击边界，打开Boundary Condition对话框，输入边界条件。对于同一类型的边界，可以按Shift键，将多个边界同时选择，统一设置边界条件。这里选择Dirichlet条件，输入h为1，r为0，然后单击OK按钮。也可以单击Boundary菜单中Specify Boundary Condition选项，打开Boundary对话框输入边界条件。
3.设置方程：单击PDE菜单中PDE Specification选项，选择方程类型。这里单击Elliptic，输入c为1，a为0，f为1，然后单击0K按钮。
4.网格剖分：单击网格快捷工具，或者单击Mesh菜单中Initalize Mesh选顶，可进行初始网格剖分，这时在PDEToolbox窗口下方的状态栏内显示出初始网格的节点数和三角形单元数。如果需要网格加密，再单击网格加密快捷工具，或者单击Mesh菜单中Refine Mesh选项，如此还可继续加密。
5.解方程：单击求解快捷工具，或者单击Solve菜单中Solve PDE选项、可显示方程色彩解。如果单击Plot菜单中Parameters选项，出现Plot Selection对话框．如图。从中可以选择Color，Contour，Arrows，Deformed mesh，Height (3—D plot)，还可以设置等值线的数目等。这里选择Color，Height (3—D plot)和Show mesh三项。在单击Plot，显示三维图形解。若要画等值线图和矢量场图，在Plot Selection对话框中选Contour，Arrows两项。在单击Plot，显示解的等值线图和矢量场图。如图所示。
6.与精确解作比较：单击Plot菜单中Parameters…选项、打开PlotSelectiom对话框，在Height(3—D P1ot)行的Propery下拉框中选user entry，且在该行的User entry输入框中键人u-(1-x.^2-y.^2)/4，单击P1ot按钮就可以看到解的绝对误差图形。
7.输出网格节点的编号、单元编号以及节点坐标：单击Mesh菜单中Show Node Labels选项、再单击工具▽、即可显示节点编号，若要输出节点坐标、只需单击Mesh菜单中Exporn Mesh.选项，这时打开的Export对话框中的默认值为p，e，t，这里p，e，t，分别表示points(点)、edges(边)、triangles(三角形)数据的变量，单击0K按钮。然后在MATLAB命令窗口链入p，按回车键确定，即可显示出节点按编号排列的坐标(二维数组)；键入e，按回车键，则显示边界线段数据矩阵(7维数组)；输入t，按回车键，则显示三角形单元数据矩阵(4维数组)。
8.输出解的数值：单击solve菜单中Exports Solution…选项，在打开的Export对话框中输入u，单击OK按钮确定。再在MATLAB命令窗口中输入u，按回车键确定，即显示按节点编号排列的解的数值。
三、偏微分方程工具箱的功能介绍
偏微分方程工具箱(PDEToolbox)的功能包括：①设置PDE(偏微分方程)定解问题，即设置二维定解区域、边界条件以及方程的形式和系数；②用有限元法(FEM)求解PDE，即网格的生成，方程的离散以及求出数值解；③解的可视化。PDE Toolbox求解的基本方程有：椭圆型方程、抛物型方程、双曲型方程、特征值方程、椭圆型方程组以及非线性椭圆型方程。定解问题的设置最简单的办法是在PDE Tool上直接使用图形用户界面(GUI)设置定解问题。用GUI解PDE问题主要使用两个模式：①Mesh模式：生成网格，自动控制网格参数；②solve模式：对于椭圆型方程还能求非线性和自适应解。对于抛物型和双曲型方程，设置初始边值条件后能求出给定t时刻的解。对于特征值问题，能求出给定区间内的特征值。求解后可以加密网格再求解。从GUI还能够使用Plot模式实现可视化。可以使用Color，Height和Vector等作图。对于抛物型和双曲型方程，还可以生成解的动画。这些操作通过命令行也很容易实现。
四、仿真教学方法效果评价
这种教学方法给人以面貌一新的感觉，它改变了只能用公式符号教学的模式，对教学效果肯定会有提高。这对学生学过的知识能起到复习巩固提高的作用，让学生亲自领略将数理方程可视化的乐趣，让学生不仅能知道结果，而且能学会方法，同时也避免在类似的工作中因从头探索而走一些不必要的弯路。
例如，研究环形电流的磁场。该题可以用三种不同方法计算，所得结果分别用连带勒让德函数的广义傅里叶级数表示，用椭圆函数的积分表示或者直接用数值积分表示，那么这些形式各异的结果是一致的吗？它跟实验的结果相同吗？谁都会对这个问题感到好奇，可是又觉得难以定论。但是，当我们画出它们的电力线以后，就会看到什么叫殊途同归。虽在意料之中，还是不得不惊叹数学的神奇。尤其对初学本课程的学生来说，留给他们的影响是极其深刻的，甚至也许是终生难忘的。
在教学过程中将数值计算与计算机模拟相结合，一举多得，提高了课程的实用性和趣味性，激发了学生的学习兴趣。多媒体课件严格以科学计算为基础，替代了示意性的绘图。可以引导学生开展课题探索，达到师生互教互学，达到教学相长的目的。
目前这种仿真教学模式在各大院校的数学物理方城课程的教学中使用较少，但随着数学软件逐渐进入我们的教学，其实用性越来越为为大家所认识，这种仿真教学模式将来必会为多数院校所采纳。
参考文献
[1]杨华军，编著.数学物理方程与计算机仿真.电子工业出版社，2005.
[2]陆君安，编著.偏微分方程的MATLAB解法.武汉大学出版社，2001.
[3]彭芳麟，编著.数学物理方程的MATLAB解法与可视化(MATLAB编程应用).清华大学出版社，2004
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”