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【摘 要】复合函数是由两个或两个以上简单函数组成的，它使函数更加综合化，是函数相互结合的纽带，所以学生容易对复合函数的结构模糊，对一些判断法则的来源不清楚。本篇就复合函数单调性的判断法则，采用图像与表格法相结合的方式加强学生对“复合”的理解，并解释“同增异减”的判断法则和实际可行的操作。
【关键词】复合函数;单调性;数形结合;基本函数
1 引言
形如的函数一般称为复合函数，若令，则可称为内层函数，为外层函数。在高中阶段复合函数的内层和外层一般为初等函数[1]。
高中阶段复合函数既是重点又是难点，由于复合函数具有综合性、抽象性、灵活性等特点，借助复合函数可以灵活地考查学生函数部分四基的掌握和运用情况，所以复合函数对学生来说理解较为不易，得分率较低，是学生的易失分点[2]。造成如此现状的原因有许多，笔者认为主要是对“复合”二字理解不到位，处理“复合”的方法不当，单纯讲“同增异减”过于抽象，在解决复杂问题时难以入手，没有教给学生处理复合问题的基本方法，很难做到处理复合函数问题时举一反三。课标虽未对复合函数作过高要求，但在日常考试中，对复合函数性质两域三性质等问题的考查依然十分深入，尤其是复合函数的单调性。今天，就跟随笔者的脚步，一同探析复合函数的“庐山真面目”吧！
2 复合函数单调性表格法及其原理
正如引言所说，复合函数重要的是对“复合”的理解，那么我们如何处理“复合”函数的单调性问题呢？比如，函数的单调性的判断，我们知道，用复合函数单调性的判断法则“同增异减”判断，很容易得出在单调递增，在单调递减。不容置疑，这种方法对于一些内外层函数均为单调性特征比较强的初等函数的复合函数，判断其单调性是非常有实用价值的，但这种方法如何判断函数的图像变化情况呢？
笔者认为，我们可以从数和形两个角度相结合加以理解。从代数角度分析看有，既是的“因变量”，又是的“自变量”，也就是中间变量为搭了一座“桥”，而这座“桥”就是联系和是解决问题的关键，许多简单的问题直接分析即可。
我们再从图形角度来看，结合内外层函数的图像，得出的联系，随之通过表格法加以呈现，更有利于学生从更为直观地理解复合函数的单调性，让复合函数的变换情况“现出原形”。以下通过具体例题详细分析，详细说明表格法的应用步骤。
3 例题精讲
例1（2018全国理科三卷7）的图像大致为（ ）
分析：
第一步分解：将复合函数适当地分解为两个基本的内层函数和外层函数，并求出内外层函数的定义域，即求出和的范围。不难看出，函数，内层初等函数记为，。外层函数记为。
第二步作图：分别作出内外层函数的图像，如下图内外层函数图像所示（注：作出相应定义域内的图像即可）。
第三步找分界点：分别找出可能影响函数单调性的点，即内外层函数图像中引起单调性突变的点以及“间断点”，并求出外层函数的分界点所对应的内层函数的值[3]。
第四步分段列表：按第三步得到的3个分界点将数轴分为4段，由于每一段上均单调，则可列表格进行分析。
内层 外层
我们根据以上分析列出变化趋势表格：
第五步分析表格得出结论：分析在不断增大几个变化过程中，的变化趋势即可得出函数单调性结论，必要时可以根据单调性和特殊点做出函数的草图。由上表可以得到当自变量不断增大时，的变化趋势，也就是函数单调性，即函数在区间和单调递增，在区间和单调递增。即可做出函数图像为：
评注：上述解法看似小题大做，实则不然！在做两个基本函数图像以及列表格的过程中，涉及到的处理方法看似繁琐，实则体现了理解与思考复合函数单调性最为基本的思维方式，此处理一些复杂的复合函数题时，思路更清晰有条理。如果能较好地理解和掌握上诉方法，在做高考题时将是“降维打击”，请看例2。
例2（2017全国文二卷8）函数的单调递增区间是 （ ）
解：可以看作由内层，或和外层复合而来。由内外层函数图像可列出变化趋势表格表示如下：
判断单调性的关键在于增大时增大还是减小，由于第一行从左往右都是不断增大的，的变化趋势只用看第三排即可，若增大则对应的区间为增区间，反之则为减区间。
显然，单增区间为
例3 求函数的单调递增区间。
解：内层函数为，外层函数为，由内外层函数图像可列出变化趋势表格：
我们看从的变化过程中，所对应的值却是从大到小，而我们上述所采取的内外函数图像表格法讨论的前提是的值从小到大递增的，所以可以论证当时，如果直接从递增区间上讨论的话，是错误的。
根据以上分析，我们具体来应用这个方法，深度体会该方法的合理性与逻辑性。
其实求解三角型函数的单调区间时，站在复合函数的角度可更好的解释其原理，时，函数单增区间的求法是令，解出范围即可;求单调递减区间，则令，解出范围即为单调递减区间。当时，与之相反。
例4 已知函数，则函数的单调增区间是
根据外层函数图像得，是外层函数的分界点，则时，内层函数的分界点是，解得，，由內层函数图像知内层函数自身分界点是
列出复合表格为：
总结：我们从以上分析可以知道，这种复合函数单调性表格法实质上是通过数形结合的思想，将内外层函数的变化情况通过图像或表格的形式直观表现出来，对每一段的变化情况条理清晰地步步分析，有条不紊地得出我们想要的结果。
这种数形结合的思想方法，同样对于处理复合函数不等式以及复合函数零点等题型时依旧适用。
例5（复合函数不等式问题）：已知函数，则函数大于时，的取值范围是 . 解：由题意分别做出内外层函数图像：由内层函得，所以外层函数，的取值范围是。因为是外层函数，所以，我们求得（舍），时与外层函数自变量的取值范围相矛盾，所以舍去，所以只需考虑的情况。此时的是内层函数的因变量，我们在内层函数中求得的取值范围，解得
例6（复合函数零点个数问题）关于的方程的不同实数根的个数有多少？
分析：由题中绝对值符号我们自然能想到拆绝对值，根据绝对值里的正负性分情况来分类讨论，但那样做的话比较繁琐，且因为自身的值也有正负情况，所以拆绝对值的方法可行，但并不提倡这种做法。很明显，这个方程中的可以视为，将视为一个整体。
求解得到或，在内层函数图像中，我们可以看到、与内层函数共有5个不同的交点，所以的不同实数根共有5个。
4 总结
复合函数是函数学习中的一大难点，复杂抽象，所以教学中应注重培养学生的抽象思维能力和分析转化能力。但任何抽象都是建立在具体之上，由具体背景逐级抽象而来。在函数学习前期，应尽可能为学生创造形象的数学背景，让学生的抽象能力建立在几何直观的基础上，这样发展而来的抽象能力更具有生命力。
复合函数表格法的关键在于通过对内外层函数图像的分析找出函数单调性的分界点，列表法更容易接受，借助表格培养学生处理数学问题时的条理性，并且可以为将来学习导数法列表格做出铺垫，前后照应、遥相呼应。学好复合函数，掌握复合函数的简化方法，对认知复杂函数以及今后学习复合函数求导等问题大有益处。
参考文献：
[1]宗丽华.用内外层函数图象解初等复合函数[J].数理化學习（高三版），2015（07）：8-9.
[2]王宇，张洪刚.关于复合函数单调性的研究[J].数学学习与研究，2016（23）：126.
[3]邹少伟.复合函数的单调性[J].数学学习与研究，2016（03）：106.
作者简介：
张茜，女，1997年2月，汉族，河南周口，硕士研究生，首都师范大学学科教学（数学）研究生，主要研究中学数学教学方法，教材分析等。
魏榜，男，1998年11月，汉族，四川泸州，首都师范大学硕士研究生。
（作者单位：首都师范大学学科教学（数学）研究生）
【关键词】复合函数;单调性;数形结合;基本函数
1 引言
形如的函数一般称为复合函数，若令，则可称为内层函数，为外层函数。在高中阶段复合函数的内层和外层一般为初等函数[1]。
高中阶段复合函数既是重点又是难点，由于复合函数具有综合性、抽象性、灵活性等特点，借助复合函数可以灵活地考查学生函数部分四基的掌握和运用情况，所以复合函数对学生来说理解较为不易，得分率较低，是学生的易失分点[2]。造成如此现状的原因有许多，笔者认为主要是对“复合”二字理解不到位，处理“复合”的方法不当，单纯讲“同增异减”过于抽象，在解决复杂问题时难以入手，没有教给学生处理复合问题的基本方法，很难做到处理复合函数问题时举一反三。课标虽未对复合函数作过高要求，但在日常考试中，对复合函数性质两域三性质等问题的考查依然十分深入，尤其是复合函数的单调性。今天，就跟随笔者的脚步，一同探析复合函数的“庐山真面目”吧！
2 复合函数单调性表格法及其原理
正如引言所说，复合函数重要的是对“复合”的理解，那么我们如何处理“复合”函数的单调性问题呢？比如，函数的单调性的判断，我们知道，用复合函数单调性的判断法则“同增异减”判断，很容易得出在单调递增，在单调递减。不容置疑，这种方法对于一些内外层函数均为单调性特征比较强的初等函数的复合函数，判断其单调性是非常有实用价值的，但这种方法如何判断函数的图像变化情况呢？
笔者认为，我们可以从数和形两个角度相结合加以理解。从代数角度分析看有，既是的“因变量”，又是的“自变量”，也就是中间变量为搭了一座“桥”，而这座“桥”就是联系和是解决问题的关键，许多简单的问题直接分析即可。
我们再从图形角度来看，结合内外层函数的图像，得出的联系，随之通过表格法加以呈现，更有利于学生从更为直观地理解复合函数的单调性，让复合函数的变换情况“现出原形”。以下通过具体例题详细分析，详细说明表格法的应用步骤。
3 例题精讲
例1（2018全国理科三卷7）的图像大致为（ ）
分析：
第一步分解：将复合函数适当地分解为两个基本的内层函数和外层函数，并求出内外层函数的定义域，即求出和的范围。不难看出，函数，内层初等函数记为，。外层函数记为。
第二步作图：分别作出内外层函数的图像，如下图内外层函数图像所示（注：作出相应定义域内的图像即可）。
第三步找分界点：分别找出可能影响函数单调性的点，即内外层函数图像中引起单调性突变的点以及“间断点”，并求出外层函数的分界点所对应的内层函数的值[3]。
第四步分段列表：按第三步得到的3个分界点将数轴分为4段，由于每一段上均单调，则可列表格进行分析。
内层 外层
我们根据以上分析列出变化趋势表格：
第五步分析表格得出结论：分析在不断增大几个变化过程中，的变化趋势即可得出函数单调性结论，必要时可以根据单调性和特殊点做出函数的草图。由上表可以得到当自变量不断增大时，的变化趋势，也就是函数单调性，即函数在区间和单调递增，在区间和单调递增。即可做出函数图像为：
评注：上述解法看似小题大做，实则不然！在做两个基本函数图像以及列表格的过程中，涉及到的处理方法看似繁琐，实则体现了理解与思考复合函数单调性最为基本的思维方式，此处理一些复杂的复合函数题时，思路更清晰有条理。如果能较好地理解和掌握上诉方法，在做高考题时将是“降维打击”，请看例2。
例2（2017全国文二卷8）函数的单调递增区间是 （ ）
解：可以看作由内层，或和外层复合而来。由内外层函数图像可列出变化趋势表格表示如下：
判断单调性的关键在于增大时增大还是减小，由于第一行从左往右都是不断增大的，的变化趋势只用看第三排即可，若增大则对应的区间为增区间，反之则为减区间。
显然，单增区间为
例3 求函数的单调递增区间。
解：内层函数为，外层函数为，由内外层函数图像可列出变化趋势表格：
我们看从的变化过程中，所对应的值却是从大到小，而我们上述所采取的内外函数图像表格法讨论的前提是的值从小到大递增的，所以可以论证当时，如果直接从递增区间上讨论的话，是错误的。
根据以上分析，我们具体来应用这个方法，深度体会该方法的合理性与逻辑性。
其实求解三角型函数的单调区间时，站在复合函数的角度可更好的解释其原理，时，函数单增区间的求法是令，解出范围即可;求单调递减区间，则令，解出范围即为单调递减区间。当时，与之相反。
例4 已知函数，则函数的单调增区间是
根据外层函数图像得，是外层函数的分界点，则时，内层函数的分界点是，解得，，由內层函数图像知内层函数自身分界点是
列出复合表格为：
总结：我们从以上分析可以知道，这种复合函数单调性表格法实质上是通过数形结合的思想，将内外层函数的变化情况通过图像或表格的形式直观表现出来，对每一段的变化情况条理清晰地步步分析，有条不紊地得出我们想要的结果。
这种数形结合的思想方法，同样对于处理复合函数不等式以及复合函数零点等题型时依旧适用。
例5（复合函数不等式问题）：已知函数，则函数大于时，的取值范围是 . 解：由题意分别做出内外层函数图像：由内层函得，所以外层函数，的取值范围是。因为是外层函数，所以，我们求得（舍），时与外层函数自变量的取值范围相矛盾，所以舍去，所以只需考虑的情况。此时的是内层函数的因变量，我们在内层函数中求得的取值范围，解得
例6（复合函数零点个数问题）关于的方程的不同实数根的个数有多少？
分析：由题中绝对值符号我们自然能想到拆绝对值，根据绝对值里的正负性分情况来分类讨论，但那样做的话比较繁琐，且因为自身的值也有正负情况，所以拆绝对值的方法可行，但并不提倡这种做法。很明显，这个方程中的可以视为，将视为一个整体。
求解得到或，在内层函数图像中，我们可以看到、与内层函数共有5个不同的交点，所以的不同实数根共有5个。
4 总结
复合函数是函数学习中的一大难点，复杂抽象，所以教学中应注重培养学生的抽象思维能力和分析转化能力。但任何抽象都是建立在具体之上，由具体背景逐级抽象而来。在函数学习前期，应尽可能为学生创造形象的数学背景，让学生的抽象能力建立在几何直观的基础上，这样发展而来的抽象能力更具有生命力。
复合函数表格法的关键在于通过对内外层函数图像的分析找出函数单调性的分界点，列表法更容易接受，借助表格培养学生处理数学问题时的条理性，并且可以为将来学习导数法列表格做出铺垫，前后照应、遥相呼应。学好复合函数，掌握复合函数的简化方法，对认知复杂函数以及今后学习复合函数求导等问题大有益处。
参考文献：
[1]宗丽华.用内外层函数图象解初等复合函数[J].数理化學习（高三版），2015（07）：8-9.
[2]王宇，张洪刚.关于复合函数单调性的研究[J].数学学习与研究，2016（23）：126.
[3]邹少伟.复合函数的单调性[J].数学学习与研究，2016（03）：106.
作者简介：
张茜，女，1997年2月，汉族，河南周口，硕士研究生，首都师范大学学科教学（数学）研究生，主要研究中学数学教学方法，教材分析等。
魏榜，男，1998年11月，汉族，四川泸州，首都师范大学硕士研究生。
（作者单位：首都师范大学学科教学（数学）研究生）