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统计与概率是中考必考的知识，它主要是以实际应用问题为载体展现. 同学们常会感到初学并不困难，可一旦遇到具体问题，却时常出错. 本文就以统计与概率解题中几个易混淆的问题为例予以剖析，以期对同学们的学习有所帮助.
一、 对频率、概率的理解有误
例1 如果事件A发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列叙述中，正确的是（ ）.
A. 说明做100次这种试验，事件A必发生1次
B. 说明事件A发生的频率是
C. 说明做100次这种试验中，前99次事件A没发生，后1次事件A才发生
D. 说明做100次这种试验，事件A可能发生1次
【错误解答】B.
【错解成因】在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数m称为事件A发生的频数，比值称为事件A发生的频率. 由此可见，频率跟试验的次数有着直接的关系，试验的次数不同，得到的频率也可能是不同的. 故B错误.
【正确解答】只有选项D是正确的，符合频率与概率的意义.
【方法规律】审题时一定要分清频率、概率的意义. 概率是等可能条件下事件发生的可能性大小，它是由该随机事件的本质所决定的，与试验条件及次数无关. 而在相同条件下，如果试验次数足够多，那么试验的频率得到相对稳定的值，可利用这个值来估计该事件发生的概率.
二、 对推断、决策的选择有误
例2 某商场连续7个月统计了A、B两种品牌冰箱的销售情况，并将获得的数据绘制成折线统计图.
（1） 分别求这7个月中，A、B两种品牌冰箱销售量的平均数、中位数和方差；
（2） 对该商场今后的进货情况提出你的建议.
【错误解答】（1） 由计算可知：=14，A种品牌冰箱销售量中位数为14，S2 A=4.3；=14，B种品牌冰箱销售量中位数为15，S2 B=18.6.
（2） 由于=，S2 A 【错解成因】由于=，无法通过平均数作出推断，接下来最容易想到的就是方差，发现S2 A 【正确解答】建议（2）解答如下：从折线图来看，B型冰箱的月销售量呈上升趋势，若考虑增长势头，进货时可多进B型冰箱.
【方法规律】处理数据时除了要学会分析平均数、中位数、众数外，还要全面观察、分析图形，从而作出正确的推断，特别是折线统计图不但能反映数量的多少，而且能清楚看出数量增减的变化情况.
三、 对等可能性的理解有误
例3 将一枚骰子先后掷两次，求所得的点数之和为6的概率.
【错误解答】抛掷两枚骰子，所能得到的基本事件（即所得的点数之和）有：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，共11种情形，而点数之和为6的情况只有1个，所以P（点数之和为6）= .
【错解成因】虽然出现的点数之和确实是只有11种情形，但这些情况不是等可能的，且有些点数之和的情况也不是1个，故上述解法错误.
【正确解答】用列表法如下：
∴共有36种等可能的情况，其中所得的点数之和为6的有5种，∴P（点数之和为6）=.
【方法规律】本题考查的是概率的求法. 如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=. 特别注意，只有在所有等可能事件中才能使用概率计算公式P（A）=进行计算. 而借助树状图、列表法可以不重复不遗漏地列举出所有等可能的情况，可避免犯类似的错误.
四、 有无放回问题的理解有误
例4 已知红色和蓝色在一起可配成紫色，现有三种颜色红、白、蓝，从中任意取出两种颜色来配紫色，问： 能配出紫色的概率是多大？
【错误解答】用列表法如下：
∴共有9种等可能的情况，能配出紫色的有2种，∴P（配出紫色）=.
【错解成因】没有考虑到：在红、白、蓝三种颜色中，任意取出两种颜色时，不能取出两个相同的颜色，这等同于“无放回问题”，这样导致列举出的等可能事件总数产生错误.
【正确解答】用列表法如下：
∴共有6种等可能的情况，能配出紫色的有2种，∴P（配出紫色）= .
【方法规律】本题需要注意在阅读题目时，要正确获取题中的信息. 在以后解决类似的问题时，需要分清题型是属于“有放回”还是“无放回”问题，在这两种不同的情况下，得到的所有等可能情况是完全不同的.
五、 有序与无序的理解有误
例5 袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球. 先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球. 求第一次摸到绿球、第二次摸到红球的概率.
【错误解答1】画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，第一次摸到绿球有2种情况，由于放回，第二次摸到红球也有2种情况，
∴P（第一次摸到绿球）==，P（第二次摸到红球）==.
【错解成因】审题不清，题目中的“第一次摸到绿球、第二次摸到红球”是指一个事件，不能把它当成两个事件来求.
【错误解答2】画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，摸到一绿球一红球的有8种情况，
∴P（第一次摸到绿球、第二次摸到红球）==.
【错解成因】摸球模型中分有序与无序，不可混淆. 由题目的摸球过程知：摸球的过程是有序的，故第一次摸到绿球、第二次摸到红球与第一次摸到红球、第二次摸到绿球是两种不同的情形，上述解答忽视了摸球的有序性.
【正确解答】画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，第一次摸到绿球、第二次摸到红球的情况有4种，
∴P（第一次摸到绿球、第二次摸到红球）==.
【方法规律】分析题目时要仔细观察，有序关心的是摸的过程，先A后B和先B后A 是两个不一样的过程；而无序只关心摸的结果，不必关注先A后B还是先B后A，最终得到的结果都是A和B，不分先后.
小试身手
1. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（ ）.
A. B.
C. D. 无法确定
2. 掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上的概率为0.5. 小刚将一枚均匀的硬币掷了100次，可是出现正面朝上的次数却不是50次，他很纳闷，请你帮他解释一下为什么.
3. 一个家庭有3个孩子，求这个家庭中有2个女孩和1个男孩的概率.
4. 为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加今年六月份的全县中学生数学竞赛，每个月对他们的学习水平进行一次测验，如图是两人赛前5次测验成绩的折线统计图.
（1） 分别求出甲、乙两名学生5次测验成绩的平均数及方差；
（2） 如果你是他们的辅导教师，应选派哪一名学生参加这次数学竞赛. 请结合所学统计知识说明理由.
5. 王强与李刚两位同学在学习“概率”时，做抛骰子（均匀正方体形状）实验，他们共抛了54次，出现向上点数的次数如下表：
王强说：“根据实验，一次试验中出现向上点数为5的概率最大. ”
李刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次. ”
请判断王强和李刚说法的对错.
一、 对频率、概率的理解有误
例1 如果事件A发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列叙述中，正确的是（ ）.
A. 说明做100次这种试验，事件A必发生1次
B. 说明事件A发生的频率是
C. 说明做100次这种试验中，前99次事件A没发生，后1次事件A才发生
D. 说明做100次这种试验，事件A可能发生1次
【错误解答】B.
【错解成因】在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数m称为事件A发生的频数，比值称为事件A发生的频率. 由此可见，频率跟试验的次数有着直接的关系，试验的次数不同，得到的频率也可能是不同的. 故B错误.
【正确解答】只有选项D是正确的，符合频率与概率的意义.
【方法规律】审题时一定要分清频率、概率的意义. 概率是等可能条件下事件发生的可能性大小，它是由该随机事件的本质所决定的，与试验条件及次数无关. 而在相同条件下，如果试验次数足够多，那么试验的频率得到相对稳定的值，可利用这个值来估计该事件发生的概率.
二、 对推断、决策的选择有误
例2 某商场连续7个月统计了A、B两种品牌冰箱的销售情况，并将获得的数据绘制成折线统计图.
（1） 分别求这7个月中，A、B两种品牌冰箱销售量的平均数、中位数和方差；
（2） 对该商场今后的进货情况提出你的建议.
【错误解答】（1） 由计算可知：=14，A种品牌冰箱销售量中位数为14，S2 A=4.3；=14，B种品牌冰箱销售量中位数为15，S2 B=18.6.
（2） 由于=，S2 A
【方法规律】处理数据时除了要学会分析平均数、中位数、众数外，还要全面观察、分析图形，从而作出正确的推断，特别是折线统计图不但能反映数量的多少，而且能清楚看出数量增减的变化情况.
三、 对等可能性的理解有误
例3 将一枚骰子先后掷两次，求所得的点数之和为6的概率.
【错误解答】抛掷两枚骰子，所能得到的基本事件（即所得的点数之和）有：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，共11种情形，而点数之和为6的情况只有1个，所以P（点数之和为6）= .
【错解成因】虽然出现的点数之和确实是只有11种情形，但这些情况不是等可能的，且有些点数之和的情况也不是1个，故上述解法错误.
【正确解答】用列表法如下：
∴共有36种等可能的情况，其中所得的点数之和为6的有5种，∴P（点数之和为6）=.
【方法规律】本题考查的是概率的求法. 如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=. 特别注意，只有在所有等可能事件中才能使用概率计算公式P（A）=进行计算. 而借助树状图、列表法可以不重复不遗漏地列举出所有等可能的情况，可避免犯类似的错误.
四、 有无放回问题的理解有误
例4 已知红色和蓝色在一起可配成紫色，现有三种颜色红、白、蓝，从中任意取出两种颜色来配紫色，问： 能配出紫色的概率是多大？
【错误解答】用列表法如下：
∴共有9种等可能的情况，能配出紫色的有2种，∴P（配出紫色）=.
【错解成因】没有考虑到：在红、白、蓝三种颜色中，任意取出两种颜色时，不能取出两个相同的颜色，这等同于“无放回问题”，这样导致列举出的等可能事件总数产生错误.
【正确解答】用列表法如下：
∴共有6种等可能的情况，能配出紫色的有2种，∴P（配出紫色）= .
【方法规律】本题需要注意在阅读题目时，要正确获取题中的信息. 在以后解决类似的问题时，需要分清题型是属于“有放回”还是“无放回”问题，在这两种不同的情况下，得到的所有等可能情况是完全不同的.
五、 有序与无序的理解有误
例5 袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球. 先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球. 求第一次摸到绿球、第二次摸到红球的概率.
【错误解答1】画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，第一次摸到绿球有2种情况，由于放回，第二次摸到红球也有2种情况，
∴P（第一次摸到绿球）==，P（第二次摸到红球）==.
【错解成因】审题不清，题目中的“第一次摸到绿球、第二次摸到红球”是指一个事件，不能把它当成两个事件来求.
【错误解答2】画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，摸到一绿球一红球的有8种情况，
∴P（第一次摸到绿球、第二次摸到红球）==.
【错解成因】摸球模型中分有序与无序，不可混淆. 由题目的摸球过程知：摸球的过程是有序的，故第一次摸到绿球、第二次摸到红球与第一次摸到红球、第二次摸到绿球是两种不同的情形，上述解答忽视了摸球的有序性.
【正确解答】画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，第一次摸到绿球、第二次摸到红球的情况有4种，
∴P（第一次摸到绿球、第二次摸到红球）==.
【方法规律】分析题目时要仔细观察，有序关心的是摸的过程，先A后B和先B后A 是两个不一样的过程；而无序只关心摸的结果，不必关注先A后B还是先B后A，最终得到的结果都是A和B，不分先后.
小试身手
1. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（ ）.
A. B.
C. D. 无法确定
2. 掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上的概率为0.5. 小刚将一枚均匀的硬币掷了100次，可是出现正面朝上的次数却不是50次，他很纳闷，请你帮他解释一下为什么.
3. 一个家庭有3个孩子，求这个家庭中有2个女孩和1个男孩的概率.
4. 为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加今年六月份的全县中学生数学竞赛，每个月对他们的学习水平进行一次测验，如图是两人赛前5次测验成绩的折线统计图.
（1） 分别求出甲、乙两名学生5次测验成绩的平均数及方差；
（2） 如果你是他们的辅导教师，应选派哪一名学生参加这次数学竞赛. 请结合所学统计知识说明理由.
5. 王强与李刚两位同学在学习“概率”时，做抛骰子（均匀正方体形状）实验，他们共抛了54次，出现向上点数的次数如下表：
王强说：“根据实验，一次试验中出现向上点数为5的概率最大. ”
李刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次. ”
请判断王强和李刚说法的对错.