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有下面这样几道有趣的解析几何中关于垂直的题目，若采用常规方法解答，虽思路清晰，但运算繁杂，不易求出最终结果，而采用统一的极坐标的方法将非常简单.
1. 椭圆中的垂直问题
例1 设椭圆[E： x2a2+y2b2=1（a，b>0）]过[M（2，2）] ，[N（6，1）]两点，[O]为坐标原点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆[E]恒有两个交点[A，B]，且[OA⊥OB]？若存在，写出该圆的方程，并求[|AB|]的取值范围，若不存在说明理由.
解析 （1）易求得椭圆[E]的方程为[x28+y24=1].
（2）将椭圆[x28+y24=1]化为极坐标方程：
[ρ2=8cos2θ+2sin2θ]，即[1ρ2=cos2θ+2sin2θ8].
设[A（ρ1，α），B（ρ2，β），]则[ρ1=OA，ρ2=OB，]
故有[1ρ21=cos2α+2sin2α8，1ρ22=cos2β+2sin2β8，]
由[OA?OB=0]，
得[β=α±π2，cos2α=sin2β，cos2β=sin2α].
所以[1OA2+1OB2=1ρ21+1ρ22=38].
由直角三角形面积公式得，
[OP?AB=OA?OB，]
[∴OP2?AB2=OA2?OB2，]
[∴OP2?（OA2+OB2）=OA2?OB2].
[∴OP2=OA2?OB2OA2+OB2=11OA2+1OB2=83]，
即点[P]在以[O]为圆心、[263]为半径的定圆上.
所以，存在圆心在原点的圆[x2+y2=83]，使得该圆的任意一条切线与椭圆[E]恒有两个交点[A，B]，且[OA⊥OB].
点拨 （1）[A，B]是椭圆[x2a2+y2b2=1（a，b>0）]上的两个动点，若满足[OA?OB=0].则[1OA2+1OB2][=1a2+1b2]为定值；（2）动点[P]在线段[AB]上，满足[OP?AB=0]，则点[P]在以[O]为圆心、[aba2+b2]为半径的定圆上.
2. 双曲线中的垂直问题
例2 [A，B]是双曲线[x24-y29=1]上的两个动点，满足[OA?OB=0].
（1）求证：[1OA2+1OB2]为定值；
（2）动点[P]在线段[AB]上，满足[OP?AB=0]，求证点[P]在定圆上.
证明 （1）将双曲线[x24-y29=1]化为极坐标方程：[ρ2=369cos2θ-4sin2θ]，即[1ρ2=9cos2θ-4sin2θ36].
设[A（ρ1，α），B（ρ2，β），]则[ρ1=OA，ρ2=OB，]
故有[1ρ21=9cos2α-4sin2α36，1ρ22=9cos2β-4sin2β36.]
又[OA?OB=0]，
得[β=α±π2，cos2α=sin2β，cos2β=sin2α].
所以[1OA2+1OB2=1ρ21+1ρ22=536].
（2）由直角三角形面积公式得，
[OP?AB=OA?OB，]
[∴OP2?AB2=OA2?OB2]，
[∴OP2?（OA2+OB2）=OA2?OB2].
[∴OP2=OA2?OB2OA2+OB2=11OA2+1OB2=365]，
即点[P]在以[O]为圆心、[655]为半径的定圆上.
点拨 （1）[A，B]是双曲线[x2a2-y2b2=1（b>a>0）]上的两个动点，若满足[OA?OB=0].则[1OA2+1OB2][=1a2-1b2]为定值；（2）动点[P]在线段[AB]上，若满足[OP?AB=0]，则点[P]在以[O]为圆心、[abb2-a2]为半径的定圆上.
3. 抛物线中的垂直问题
例3 如图，设[A]，[B]为抛物线[y2=4pxp>0]上原点以外的两个动点，已知[OA⊥OB]，[OM⊥AB]. 求点[M]的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
解析 （1）将抛物线[y2=4pxp>0]化为极坐标方程：[ρ=4pcosθsin2θ]，不妨设[A（ρ1，α），B（ρ2，β），]
由[OA?OB=0]，
则[β=α-π2，sinβ=-cosα，cosβ=sinα].
设直线[AB]与[x]轴的交点为[C（ρ，0）]，且直线[AB]的方程为[x=my+b]，
化为化为极坐标方程：[ρcosθ=mρsinθ+b.]
由[A，B，C]三点均在此直线上，则有
[ρ1cosα=mρ1sinα+b，ρ2cosβ=mρ2sinβ+b，ρ=b，]
由[ρ1cosα=mρ1sinα+b]得，
[m=ρ1cosα-bρ1sinα=cosαsinα-bsinα4pcosα]，
由[ρ2cosβ=mρ2sinβ+b]得，
[m=ρ2cosβ-bρ2sinβ=cosβsinβ-bsinβ4pcosβ=sinα-cosα+bcosα4psinα.]
则有[cosαsinα-bsinα4pcosα]=[sinα-cosα+bcosα4psinα].
解得[b=4p]，即[ρ=4p]，即[C]为定点[（4p，0）].
由[OM⊥AB]得，[M]点是以[OC]为直径的圆.
因为[A，B]是原点以外的两点，所以[x≠0.]所以[M]的轨迹是以[（2p，0）]为圆心，以[2p]为半径的圆，去掉坐标原点.方程为[x2+y2-4px=0][（x≠0）.]
点拨 设点[A]和[B]为抛物线[y2=2px（p>0）]上原点以外的两个动点，已知[OA⊥OB]，[OM⊥AB].则点[M]的轨迹是以[（p，0）]为圆心，以[2p]为半径的圆，去掉坐标原点.
1. 椭圆中的垂直问题
例1 设椭圆[E： x2a2+y2b2=1（a，b>0）]过[M（2，2）] ，[N（6，1）]两点，[O]为坐标原点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆[E]恒有两个交点[A，B]，且[OA⊥OB]？若存在，写出该圆的方程，并求[|AB|]的取值范围，若不存在说明理由.
解析 （1）易求得椭圆[E]的方程为[x28+y24=1].
（2）将椭圆[x28+y24=1]化为极坐标方程：
[ρ2=8cos2θ+2sin2θ]，即[1ρ2=cos2θ+2sin2θ8].
设[A（ρ1，α），B（ρ2，β），]则[ρ1=OA，ρ2=OB，]
故有[1ρ21=cos2α+2sin2α8，1ρ22=cos2β+2sin2β8，]
由[OA?OB=0]，
得[β=α±π2，cos2α=sin2β，cos2β=sin2α].
所以[1OA2+1OB2=1ρ21+1ρ22=38].
由直角三角形面积公式得，
[OP?AB=OA?OB，]
[∴OP2?AB2=OA2?OB2，]
[∴OP2?（OA2+OB2）=OA2?OB2].
[∴OP2=OA2?OB2OA2+OB2=11OA2+1OB2=83]，
即点[P]在以[O]为圆心、[263]为半径的定圆上.
所以，存在圆心在原点的圆[x2+y2=83]，使得该圆的任意一条切线与椭圆[E]恒有两个交点[A，B]，且[OA⊥OB].
点拨 （1）[A，B]是椭圆[x2a2+y2b2=1（a，b>0）]上的两个动点，若满足[OA?OB=0].则[1OA2+1OB2][=1a2+1b2]为定值；（2）动点[P]在线段[AB]上，满足[OP?AB=0]，则点[P]在以[O]为圆心、[aba2+b2]为半径的定圆上.
2. 双曲线中的垂直问题
例2 [A，B]是双曲线[x24-y29=1]上的两个动点，满足[OA?OB=0].
（1）求证：[1OA2+1OB2]为定值；
（2）动点[P]在线段[AB]上，满足[OP?AB=0]，求证点[P]在定圆上.
证明 （1）将双曲线[x24-y29=1]化为极坐标方程：[ρ2=369cos2θ-4sin2θ]，即[1ρ2=9cos2θ-4sin2θ36].
设[A（ρ1，α），B（ρ2，β），]则[ρ1=OA，ρ2=OB，]
故有[1ρ21=9cos2α-4sin2α36，1ρ22=9cos2β-4sin2β36.]
又[OA?OB=0]，
得[β=α±π2，cos2α=sin2β，cos2β=sin2α].
所以[1OA2+1OB2=1ρ21+1ρ22=536].
（2）由直角三角形面积公式得，
[OP?AB=OA?OB，]
[∴OP2?AB2=OA2?OB2]，
[∴OP2?（OA2+OB2）=OA2?OB2].
[∴OP2=OA2?OB2OA2+OB2=11OA2+1OB2=365]，
即点[P]在以[O]为圆心、[655]为半径的定圆上.
点拨 （1）[A，B]是双曲线[x2a2-y2b2=1（b>a>0）]上的两个动点，若满足[OA?OB=0].则[1OA2+1OB2][=1a2-1b2]为定值；（2）动点[P]在线段[AB]上，若满足[OP?AB=0]，则点[P]在以[O]为圆心、[abb2-a2]为半径的定圆上.
3. 抛物线中的垂直问题
例3 如图，设[A]，[B]为抛物线[y2=4pxp>0]上原点以外的两个动点，已知[OA⊥OB]，[OM⊥AB]. 求点[M]的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
解析 （1）将抛物线[y2=4pxp>0]化为极坐标方程：[ρ=4pcosθsin2θ]，不妨设[A（ρ1，α），B（ρ2，β），]
由[OA?OB=0]，
则[β=α-π2，sinβ=-cosα，cosβ=sinα].
设直线[AB]与[x]轴的交点为[C（ρ，0）]，且直线[AB]的方程为[x=my+b]，
化为化为极坐标方程：[ρcosθ=mρsinθ+b.]
由[A，B，C]三点均在此直线上，则有
[ρ1cosα=mρ1sinα+b，ρ2cosβ=mρ2sinβ+b，ρ=b，]
由[ρ1cosα=mρ1sinα+b]得，
[m=ρ1cosα-bρ1sinα=cosαsinα-bsinα4pcosα]，
由[ρ2cosβ=mρ2sinβ+b]得，
[m=ρ2cosβ-bρ2sinβ=cosβsinβ-bsinβ4pcosβ=sinα-cosα+bcosα4psinα.]
则有[cosαsinα-bsinα4pcosα]=[sinα-cosα+bcosα4psinα].
解得[b=4p]，即[ρ=4p]，即[C]为定点[（4p，0）].
由[OM⊥AB]得，[M]点是以[OC]为直径的圆.
因为[A，B]是原点以外的两点，所以[x≠0.]所以[M]的轨迹是以[（2p，0）]为圆心，以[2p]为半径的圆，去掉坐标原点.方程为[x2+y2-4px=0][（x≠0）.]
点拨 设点[A]和[B]为抛物线[y2=2px（p>0）]上原点以外的两个动点，已知[OA⊥OB]，[OM⊥AB].则点[M]的轨迹是以[（p，0）]为圆心，以[2p]为半径的圆，去掉坐标原点.