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高考中对于运用圆锥曲线的统一定义解题的例子近几年屡见不鲜. 本文结合高考中的一些典型试题，旨在归纳一下统一定义的灵活应用，帮助同学们领略一下运用统一定义解题所发挥的巨大功能.
一、求解参变量
和圆锥曲线统一定义有关的问题,往往表现在它的几何特征上,如椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦等，
题目中若有这些图形的出现,则暗示着可以用定义思考.
例1 （2010全国Ⅱ理12）已知椭圆[C:x2a2+y2b2]=1[(a>b>0)]的离心率为[32]，过右焦点[F]且斜率为[k(k>0)]的直线与[C]相交于[A、B]两点．若[AF=3FB]，则[k=]（ ）
A．1 B.[2] C.[3] D. 2
解析 设直线[l]为椭圆的右准线，[e]为离心率，过[A、B]分别作[AA1、BB1]垂直于右准线[l]，[A1、B1]为垂
[∴k=22-01-(-2)=223], 故选D.
点拨 以上两例求直线斜率问题的背景，涉及直线与圆锥曲线相交. 若将直线与圆锥曲线方程联立求解，得出交点坐标，再结合题目几何关系，实施代数运算，即使思路清楚，但往往因为求解过程复杂、运算量大，最后也不一定能正确求出结果. 但在图形中适当作一些垂线等，结合统一定义，深刻研究一下图形蕴含的的几何性质，往往能挖掘出简捷的解题思路.
二、求解离心率
圆锥曲线统一定义表明，离心率为曲线上任意一点到焦点的距离与到对应准线的距离之比. 这一重要线索暗示我们，涉及离心率问题，若合理利用圆锥曲线的统一定义求解,常常使我们的估计成为现实.
例3 （2008福建理11）双曲线[x2a2-y2b2=1][(a＞0,b＞0)]的两个焦点为[F1、F2],若[P]为其上一点，且[|PF1|=2|PF2|],则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A. (1,3) B. [1,3]
C. (3,+[∞]) D. [3,+∞]
解析 不妨设[F1、F2]分别为双曲线的左、右焦点，如图，则点[P]在右支上.
由统一定义，[PF1=ePN，PF2=ePM]([e]为离心率).
[∵PF1=2PF2, ∴PN=2PM].
设[P(x0,y0)]，则有
[x0+a2c=2(x0-a2c)],即[x0=3a2c].
又[P]在右支上，即[x0≥a]，
[∴3a2c≥a]，解得[e≤3],
又[e>1∴e∈1,3]，故选B.
例4 （2010四川理9）椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]的右焦点[F]，其右准线与[x]轴的交点为[A]，在椭圆上存在点[P]满足线段[AP]的垂直平分线过点[F]，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. [0,22] B. [0,12]
C. [2-1,1] D.[12,1]
解析 设[P(x0,y0)]，[e]为离心率，点[P]在右准线上的射影为[B]，如图.由统一定义，
[PF=ePB=e(a2c-x0)=a-ex0]，
[∵]点[F]在[AP]的垂直平分线上，
[∴PF=AF, 即a-ex0=a2c-c,]
[∴x0=a(ac-a2+c2)c2.]
又[-a≤x0≤a,∴-a≤a(ac-a2+c2)c2≤a,]
即[-1≤e2+e-1e2≤1.]
又[e∈(0，1), ∴12≤e<1]，故选D.
点拨 以上两例涉及椭圆、双曲线离心率的范围求解问题，均是构建关于[a、b、c]的齐次不等式后变形为离心率[e]的不等式求解. 其思维突破口是先利用统一定义将焦半径[PF]转化为圆锥曲线点[P]到对应准线距离的[e]倍. 然后将条件、图形中的几何等量关系 “翻译”成代数式，解方程得到点[P]的横坐标[xP]（用基本量[a、b、c]表示），再借助于点[P]的范围建立起不等式，从而获解. 这种求双曲线、椭圆离心率范围的思路较为常见，是一种通性通法.
三、求解特定距离或距离之比
根据圆锥曲线的统一定义，焦半径是特定的距离，只要题目求解目标涉及一条焦半径或两条焦半径之比求解，也可以大胆运用定义进行尝试计算.
例5 （2008全国Ⅱ理15）已知[F]为抛物线[C]：[y2=4x]的焦点，过[F]且斜率为1的直线交[C]于[A]、[B]两点.设[FA>FB]，则[FA]与[FB]的比值等于 .
解析 由已知,[F(1,0)].设[A、B]在准线上的射影分别为[M]、[N]，过[B]作[BC]垂直于[AM]交[AM]于[M].由统一定义，
有[FA=AM=xA+1,FB=BN=xB+1,]
[∴AB=AF+FB=xA+xB+2.]
[∵]直线[AB]的斜率为1，
[∴∠CAB=∠AFx=45°,∴AB=2AC,]
即[xA+xB+2=2(xA-xB),]
[解得 xA=(3+22)xB+22+2,]
[∴FAFB=xA+1xB+1=(3+22)xB+22+2+1xB+1=3+22.]
例6 （2009全国Ⅰ理12）已知椭圆[C:x22+y2=1]的右焦点为[F],右准线为[l]，点[A∈l]，线段[AF]交[C]于点[B]，若[FA=3FB],则[|FA|]=（ ）
A．[2] B. 2 C. [3] D. 3
解析 过点[B]作[BM⊥l]于[M],并设右准线[l]与[X]轴的交点为[N]，
易知离心率[e=22]，[FN=1].
由题意[FA=3FB],
利用相似三角形的性质，[|BM|=23].
又由统一定义，[BF=eBM=22⋅23=23]，
[∴|AF|=2],故选A.
点拨 以上两例，如果根据题目已知条件可以求出相关点的坐标，再借助两点间的距离公式能够解决问题. 但适当添一点辅助线，综合利用统一定义与平面几何的知识，深入分析一下图形中的几何数量关系，解起来更简捷.
四、求解最小值
由圆锥曲线的统一定义知道，圆锥曲线某点的焦半径与该点到相应准线的距离有必然的特定的数量关系，因而圆锥曲线上一动点到圆锥曲线内部一定点的距离与该点到焦点的距离的特定常数（离心率的倒数）倍的和的最小值问题，借助圆锥曲线的统一定义处理，往往能立竿见影.
例7 （2008海南、宁夏理11）已知点[P]在抛物线[y2=4x]上，那么点[P]到点[Q(2,-1)]的距离与点[P]到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点[P]的坐标为（ ）
A. （[14]，－1） B. （[14]，1）
C. （1，2） D. （1，－2）
解 显然，点[A]在抛物线的焦点所在一侧区域内.由统一定义，抛物线上的点[P]到[F]的距离等于点[P]到准线的距离.过[Q]作准线[x=-1]的垂线[QH]交抛物线于点[K].结合图形，此时线段[QH]最短,点[K]为取得最小值时的所求点. 直线[QH]：[y=-1]，与抛物线[y2=4x]联立得，满足条件的点[P]的坐标为[(14,-1)].故选A.
点拨 此题若按一般思路:设[P(x,y)],建立目标函数[f(x,y)=（x-2）2+(y+1)2+(x-1)2+y2],对于这个复杂的关系式, 要求出其最小值很困难.而运用抛物线的定义，将抛物线的点到准线的距离与该点到焦点的距离进行互换，求[PQ+PF]的最小值问题化归为求[PQ+PP]（其中[P]为[P]在准线上的射影）的最小值问题，从而构造出“点到直线的距离，垂线段最短”. 如此通过数形结合，不仅能抓住问题的本质，还能避开复杂的运算，使问题巧妙获解.
通过以上几例我们可以看到，数学定义是我们解决数学问题的一种有力武器，灵活应用圆锥曲线的统一定义,可以大大优化解题思路. 椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线正因为它们有统一的统一定义，在题目的处理上有很多共性的地方. 在平时解答涉及离心率、焦点弦、准线等问题时，我们要重视圆锥曲线统一定义的合理应用. 在运用定义解题的过程中只要我们善于思考、善于总结，就一定可以达到由解一题会解一类题的目的.
一、求解参变量
和圆锥曲线统一定义有关的问题,往往表现在它的几何特征上,如椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦等，
题目中若有这些图形的出现,则暗示着可以用定义思考.
例1 （2010全国Ⅱ理12）已知椭圆[C:x2a2+y2b2]=1[(a>b>0)]的离心率为[32]，过右焦点[F]且斜率为[k(k>0)]的直线与[C]相交于[A、B]两点．若[AF=3FB]，则[k=]（ ）
A．1 B.[2] C.[3] D. 2
解析 设直线[l]为椭圆的右准线，[e]为离心率，过[A、B]分别作[AA1、BB1]垂直于右准线[l]，[A1、B1]为垂
[∴k=22-01-(-2)=223], 故选D.
点拨 以上两例求直线斜率问题的背景，涉及直线与圆锥曲线相交. 若将直线与圆锥曲线方程联立求解，得出交点坐标，再结合题目几何关系，实施代数运算，即使思路清楚，但往往因为求解过程复杂、运算量大，最后也不一定能正确求出结果. 但在图形中适当作一些垂线等，结合统一定义，深刻研究一下图形蕴含的的几何性质，往往能挖掘出简捷的解题思路.
二、求解离心率
圆锥曲线统一定义表明，离心率为曲线上任意一点到焦点的距离与到对应准线的距离之比. 这一重要线索暗示我们，涉及离心率问题，若合理利用圆锥曲线的统一定义求解,常常使我们的估计成为现实.
例3 （2008福建理11）双曲线[x2a2-y2b2=1][(a＞0,b＞0)]的两个焦点为[F1、F2],若[P]为其上一点，且[|PF1|=2|PF2|],则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A. (1,3) B. [1,3]
C. (3,+[∞]) D. [3,+∞]
解析 不妨设[F1、F2]分别为双曲线的左、右焦点，如图，则点[P]在右支上.
由统一定义，[PF1=ePN，PF2=ePM]([e]为离心率).
[∵PF1=2PF2, ∴PN=2PM].
设[P(x0,y0)]，则有
[x0+a2c=2(x0-a2c)],即[x0=3a2c].
又[P]在右支上，即[x0≥a]，
[∴3a2c≥a]，解得[e≤3],
又[e>1∴e∈1,3]，故选B.
例4 （2010四川理9）椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]的右焦点[F]，其右准线与[x]轴的交点为[A]，在椭圆上存在点[P]满足线段[AP]的垂直平分线过点[F]，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. [0,22] B. [0,12]
C. [2-1,1] D.[12,1]
解析 设[P(x0,y0)]，[e]为离心率，点[P]在右准线上的射影为[B]，如图.由统一定义，
[PF=ePB=e(a2c-x0)=a-ex0]，
[∵]点[F]在[AP]的垂直平分线上，
[∴PF=AF, 即a-ex0=a2c-c,]
[∴x0=a(ac-a2+c2)c2.]
又[-a≤x0≤a,∴-a≤a(ac-a2+c2)c2≤a,]
即[-1≤e2+e-1e2≤1.]
又[e∈(0，1), ∴12≤e<1]，故选D.
点拨 以上两例涉及椭圆、双曲线离心率的范围求解问题，均是构建关于[a、b、c]的齐次不等式后变形为离心率[e]的不等式求解. 其思维突破口是先利用统一定义将焦半径[PF]转化为圆锥曲线点[P]到对应准线距离的[e]倍. 然后将条件、图形中的几何等量关系 “翻译”成代数式，解方程得到点[P]的横坐标[xP]（用基本量[a、b、c]表示），再借助于点[P]的范围建立起不等式，从而获解. 这种求双曲线、椭圆离心率范围的思路较为常见，是一种通性通法.
三、求解特定距离或距离之比
根据圆锥曲线的统一定义，焦半径是特定的距离，只要题目求解目标涉及一条焦半径或两条焦半径之比求解，也可以大胆运用定义进行尝试计算.
例5 （2008全国Ⅱ理15）已知[F]为抛物线[C]：[y2=4x]的焦点，过[F]且斜率为1的直线交[C]于[A]、[B]两点.设[FA>FB]，则[FA]与[FB]的比值等于 .
解析 由已知,[F(1,0)].设[A、B]在准线上的射影分别为[M]、[N]，过[B]作[BC]垂直于[AM]交[AM]于[M].由统一定义，
有[FA=AM=xA+1,FB=BN=xB+1,]
[∴AB=AF+FB=xA+xB+2.]
[∵]直线[AB]的斜率为1，
[∴∠CAB=∠AFx=45°,∴AB=2AC,]
即[xA+xB+2=2(xA-xB),]
[解得 xA=(3+22)xB+22+2,]
[∴FAFB=xA+1xB+1=(3+22)xB+22+2+1xB+1=3+22.]
例6 （2009全国Ⅰ理12）已知椭圆[C:x22+y2=1]的右焦点为[F],右准线为[l]，点[A∈l]，线段[AF]交[C]于点[B]，若[FA=3FB],则[|FA|]=（ ）
A．[2] B. 2 C. [3] D. 3
解析 过点[B]作[BM⊥l]于[M],并设右准线[l]与[X]轴的交点为[N]，
易知离心率[e=22]，[FN=1].
由题意[FA=3FB],
利用相似三角形的性质，[|BM|=23].
又由统一定义，[BF=eBM=22⋅23=23]，
[∴|AF|=2],故选A.
点拨 以上两例，如果根据题目已知条件可以求出相关点的坐标，再借助两点间的距离公式能够解决问题. 但适当添一点辅助线，综合利用统一定义与平面几何的知识，深入分析一下图形中的几何数量关系，解起来更简捷.
四、求解最小值
由圆锥曲线的统一定义知道，圆锥曲线某点的焦半径与该点到相应准线的距离有必然的特定的数量关系，因而圆锥曲线上一动点到圆锥曲线内部一定点的距离与该点到焦点的距离的特定常数（离心率的倒数）倍的和的最小值问题，借助圆锥曲线的统一定义处理，往往能立竿见影.
例7 （2008海南、宁夏理11）已知点[P]在抛物线[y2=4x]上，那么点[P]到点[Q(2,-1)]的距离与点[P]到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点[P]的坐标为（ ）
A. （[14]，－1） B. （[14]，1）
C. （1，2） D. （1，－2）
解 显然，点[A]在抛物线的焦点所在一侧区域内.由统一定义，抛物线上的点[P]到[F]的距离等于点[P]到准线的距离.过[Q]作准线[x=-1]的垂线[QH]交抛物线于点[K].结合图形，此时线段[QH]最短,点[K]为取得最小值时的所求点. 直线[QH]：[y=-1]，与抛物线[y2=4x]联立得，满足条件的点[P]的坐标为[(14,-1)].故选A.
点拨 此题若按一般思路:设[P(x,y)],建立目标函数[f(x,y)=（x-2）2+(y+1)2+(x-1)2+y2],对于这个复杂的关系式, 要求出其最小值很困难.而运用抛物线的定义，将抛物线的点到准线的距离与该点到焦点的距离进行互换，求[PQ+PF]的最小值问题化归为求[PQ+PP]（其中[P]为[P]在准线上的射影）的最小值问题，从而构造出“点到直线的距离，垂线段最短”. 如此通过数形结合，不仅能抓住问题的本质，还能避开复杂的运算，使问题巧妙获解.
通过以上几例我们可以看到，数学定义是我们解决数学问题的一种有力武器，灵活应用圆锥曲线的统一定义,可以大大优化解题思路. 椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线正因为它们有统一的统一定义，在题目的处理上有很多共性的地方. 在平时解答涉及离心率、焦点弦、准线等问题时，我们要重视圆锥曲线统一定义的合理应用. 在运用定义解题的过程中只要我们善于思考、善于总结，就一定可以达到由解一题会解一类题的目的.