论文部分内容阅读
【摘要】 数形结合是中学数学中重要的数学思想方法之一,是一种极富数学特点的信息转换。利用数形结合可将代数与几何问题相互迁移:借助于数的精确性来阐明形的某些属性;借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系。运用数形结合,可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼具了数的严谨性与形的直观性两方面之长处,是优化解题过程的重要途径。
【关键词】 数形结合;转化;简捷;直观
数和形是数学中最基本的两个概念,也是数学发展进程中的两大支柱。自从笛卡儿把坐标和变量引入数学,就为数与形的转化提供了可能,给数学提供了一个双向工具:几何概念可以用代数表示,几何目标可以通过代数来表达;反之,给代数语言以几何解释,从而直观的掌握这些抽象语言的意义,并得到启发去探索新的结论。因此,可以说“数”和“形”是共存于同一个体中的事物的两个侧面,是相互联系的。这种数与形相互联系的思想就是数形结合的思想。它是一种极其重要的思想。著名数学家华罗庚说得好:“数缺形时少直觉,形少数时难入微”。他还风趣的说:“数形结合百般好,隔离分家万事非”,并亲切的教导我们不要“得意忘形”。
抽象的几何事实只有与直观的几何图形结合起来,才能学得更扎实,记得更清楚,牢固,从而达到看图说话的效果。中学数学知识中,用数轴上的点表示整数或分数,在数轴上表示不等式的解集,利用数轴确定一元一次不等式的解集,数轴上的点与实数一一对应;平面内的点与有序实数对一一对应,把函数用图象来表示,借助图形,直观的分析函数的一些性质和特点;用图形表示数列,用方程表示曲线,用向量来表示等等内容,都体现了数形结合的思想。
一、与函数有关的问题
函数的性质和图象常常是解决问题的突破口。
(一)求函数的最值
求函数的最值是解题中经常遇到的一类问题。有的题目难度较大,用一般方法不易解答,且过程十分繁琐。若能将“数”转化为“形”,则可达到化难为易,化繁为简的效果。
例1 试求函数f(θ)=3-2cosθ-2sinθ+2+2cosθ的最小值。
解:f(θ)=(cosθ-1)2+(sinθ-1)2+(cosθ+1)2+sin2θ=X+Y
则X=(cosθ-1)2+(sinθ-1)2为M(cosθ,sinθ)到点P(1,1)的距离,Y=(cosθ+1)2+sin2θ为点M到点Q(-1,0)的距离,而点M(cosθ,sinθ)是单位圆上的动点,故f(θ)的最小值即为单位圆上的点M到两定点P,Q距离和的最小值。
如图1所示,当M为PQ与单位圆的交点时,MP+MQ有最小值,此时MP+MQ=PQ=1+22=5,即f(θ)的最小值为5。
这是一道典型的求最值的问题,难度较大,用一般方法不易求解,且过程十分繁琐。根据问题条件中的相互关系和几何意义,恰当的构造图形,把抽象的函数关系转化为直观的两点距离,解题思路独特。
(二) 求函数的单调性
例2指出函数f(x)=mx2+4mx+4m+1x2+4x+4(m≠0)的单调区间,并比较f(-π)与f(-22) 的大小。
解:因为f(x)=1(x+2)2+m,所以f(x)的图象的图象向左平移2个单位,再沿y轴平移m个单位(向上,向下视m而定)得到(如图2),根据y=x-2 的性质知,f(x)的图象关于直线x=-2对称且在(-∞,-2) 上递增;在(-2,+∞)上递减,又(-π,0)关于直线x=-2的对称点为(π-4,0),故f(-π)=f(π-4),而-2<π-4<-22,所以f(-π)>f(-22)。
用以形助数法解答此题,把握图形的特征,指出特殊点,使问题简捷,直观。
(三)求函数的值域
例3求函数y=cosx+3sinx-2的值域。
解:可以把y看作过点M(sinx,cosx)和点A(2,-3)的直线的斜率。
设该直线的方程为y=k(x-2)-3 ,而点M在圆x2+y2=1上,当直线与圆相切时, k取得最值(如图3)
由点到直线的距离公式,得:
|2k+3|1+k2=1,所以k=-6±233,从而,y∈[-6-233,-6+233]。
用数形结合法显得直观简捷。若用代数的方法解,则可令 ,y=1-t21+t2+32t1+t2-2
因为是实数,所以判别式△≥0,可求得y的值域。但较为抽象,繁琐。
(四) 构造函数使复杂问题直观化
例4一游泳池长90米,甲,乙二人分别在游泳池相对两边同时朝另一边游泳,甲的速度是3米/秒,乙的速度是2米/秒。若不计转向时间,则从起始到3分钟止,他们相遇的次数(5次)。
思路分析:此题从纯代数式的角度去分析,难度很大,运算复杂,如从数形结合的角度入手,根据题意画出如图4的图象,图中实线与虚线分别表示甲,乙与游泳池一边的距离随游泳时间的变化而变化的图象。容易知道图象的交点个数就是两人相遇的次数。5次。运用数形结合,简单明了,思路快捷。
二、求最值的问题
通过图形架设与数量间的桥梁,常凭借特殊位置,图形的性质等直观优势得到简捷解答。
例5 已知抛物线x2=-4y和点A(2,-3),在抛物线上求一点M,使M到A和抛物线的距离之和最小,并求出这个最小值。
解:如图5,抛物线的焦点为F(0,-1),准线为l:y=1,由抛物线的定义知:|MA|+|MF|=|MA|+|MN|,其中M为抛物线上的点,N为MN⊥l 的垂足。所以,当M,N,A三点共线时,所求的距离最小,最小值为|1-(-3)|=4。
使用定义,化“折”为“直”,运用“线段最短”的概念解题,充分体现了数学概念在数学学科中的重要地位。
三、平面几何直接不易解决的问题
平面几何直接不易解决的问题,借助于坐标系,把图形的几何性质表示为图形中点的坐标之间的关系,特别是代数关系来加以解决。
例6如图6,正方形ABCD的边长为4,P为BC边上的一点,QP⊥AP交DC于Q。P在何位置时△APQ的面积最小,并求出这个三角形的最小面积。
分析:把几何问题变化的量,用函数表示,从而将面积问题转化为求函数最值的代数问题。
解:设PB=x,△APQ的面积为y则由△APB~△PQC,得:
CQ=4x-x24 ,DQ=4-4x-x24,y=12AD•DQ=12(x-2)2+6于是当x=2时,ymin=6,即当P与B的距离为2时,△APQ的面积最小,为6。
运用数形结合的思想解题,不仅能够有效的解决问题,而且能够认识到问题的本质,加深对数学知识的理解,提高解题能力。解题经验告诉我们,当寻找解题思路发生困难的时候,不妨从数形结合的观点去探索;当解题过程的复杂运算使人望而生畏时,不妨从数形结合的观点去开辟新路;当需要检验结论的正确性时,不妨从数形结合的观点去验证。它常常会给我们带来满意的效果。加强这方面的训练,对巩固基础,提高解题能力是重要的一环。
对能与形联系的问题,要从数与形两个侧面对问题进行分析,由形想数,以数助形,利用数来研究形的各种性质;由形构数,充分利用形的直观性来揭示数学问题的本质属性,根据形来探求解题思路找到问题的结论,利用图形探路子,结合图形找式子,充分挖掘题目的特点,找出简解。
参考文献
1 李林,邵玉玲。数学教学通讯。重庆:西南师范大学出版社,2003,(11):20-21
2 温镇辉。中学数学研究。广州:华南师范大学出版社,2003,(3):31-32
3 冯寅。中学数学杂志(高中)。曲埠:中学数学杂志出版社,2003,(5):47-48
4 胡红芳。中学数学。武汉:湖北大学出版社,2003,(2):27-28
5 金良,岳剑兰。中学生数学。北京:中学生数学杂志出版社,2002,(7):12
【关键词】 数形结合;转化;简捷;直观
数和形是数学中最基本的两个概念,也是数学发展进程中的两大支柱。自从笛卡儿把坐标和变量引入数学,就为数与形的转化提供了可能,给数学提供了一个双向工具:几何概念可以用代数表示,几何目标可以通过代数来表达;反之,给代数语言以几何解释,从而直观的掌握这些抽象语言的意义,并得到启发去探索新的结论。因此,可以说“数”和“形”是共存于同一个体中的事物的两个侧面,是相互联系的。这种数与形相互联系的思想就是数形结合的思想。它是一种极其重要的思想。著名数学家华罗庚说得好:“数缺形时少直觉,形少数时难入微”。他还风趣的说:“数形结合百般好,隔离分家万事非”,并亲切的教导我们不要“得意忘形”。
抽象的几何事实只有与直观的几何图形结合起来,才能学得更扎实,记得更清楚,牢固,从而达到看图说话的效果。中学数学知识中,用数轴上的点表示整数或分数,在数轴上表示不等式的解集,利用数轴确定一元一次不等式的解集,数轴上的点与实数一一对应;平面内的点与有序实数对一一对应,把函数用图象来表示,借助图形,直观的分析函数的一些性质和特点;用图形表示数列,用方程表示曲线,用向量来表示等等内容,都体现了数形结合的思想。
一、与函数有关的问题
函数的性质和图象常常是解决问题的突破口。
(一)求函数的最值
求函数的最值是解题中经常遇到的一类问题。有的题目难度较大,用一般方法不易解答,且过程十分繁琐。若能将“数”转化为“形”,则可达到化难为易,化繁为简的效果。
例1 试求函数f(θ)=3-2cosθ-2sinθ+2+2cosθ的最小值。
解:f(θ)=(cosθ-1)2+(sinθ-1)2+(cosθ+1)2+sin2θ=X+Y
则X=(cosθ-1)2+(sinθ-1)2为M(cosθ,sinθ)到点P(1,1)的距离,Y=(cosθ+1)2+sin2θ为点M到点Q(-1,0)的距离,而点M(cosθ,sinθ)是单位圆上的动点,故f(θ)的最小值即为单位圆上的点M到两定点P,Q距离和的最小值。
如图1所示,当M为PQ与单位圆的交点时,MP+MQ有最小值,此时MP+MQ=PQ=1+22=5,即f(θ)的最小值为5。
这是一道典型的求最值的问题,难度较大,用一般方法不易求解,且过程十分繁琐。根据问题条件中的相互关系和几何意义,恰当的构造图形,把抽象的函数关系转化为直观的两点距离,解题思路独特。
(二) 求函数的单调性
例2指出函数f(x)=mx2+4mx+4m+1x2+4x+4(m≠0)的单调区间,并比较f(-π)与f(-22) 的大小。
解:因为f(x)=1(x+2)2+m,所以f(x)的图象的图象向左平移2个单位,再沿y轴平移m个单位(向上,向下视m而定)得到(如图2),根据y=x-2 的性质知,f(x)的图象关于直线x=-2对称且在(-∞,-2) 上递增;在(-2,+∞)上递减,又(-π,0)关于直线x=-2的对称点为(π-4,0),故f(-π)=f(π-4),而-2<π-4<-22,所以f(-π)>f(-22)。
用以形助数法解答此题,把握图形的特征,指出特殊点,使问题简捷,直观。
(三)求函数的值域
例3求函数y=cosx+3sinx-2的值域。
解:可以把y看作过点M(sinx,cosx)和点A(2,-3)的直线的斜率。
设该直线的方程为y=k(x-2)-3 ,而点M在圆x2+y2=1上,当直线与圆相切时, k取得最值(如图3)
由点到直线的距离公式,得:
|2k+3|1+k2=1,所以k=-6±233,从而,y∈[-6-233,-6+233]。
用数形结合法显得直观简捷。若用代数的方法解,则可令 ,y=1-t21+t2+32t1+t2-2
因为是实数,所以判别式△≥0,可求得y的值域。但较为抽象,繁琐。
(四) 构造函数使复杂问题直观化
例4一游泳池长90米,甲,乙二人分别在游泳池相对两边同时朝另一边游泳,甲的速度是3米/秒,乙的速度是2米/秒。若不计转向时间,则从起始到3分钟止,他们相遇的次数(5次)。
思路分析:此题从纯代数式的角度去分析,难度很大,运算复杂,如从数形结合的角度入手,根据题意画出如图4的图象,图中实线与虚线分别表示甲,乙与游泳池一边的距离随游泳时间的变化而变化的图象。容易知道图象的交点个数就是两人相遇的次数。5次。运用数形结合,简单明了,思路快捷。
二、求最值的问题
通过图形架设与数量间的桥梁,常凭借特殊位置,图形的性质等直观优势得到简捷解答。
例5 已知抛物线x2=-4y和点A(2,-3),在抛物线上求一点M,使M到A和抛物线的距离之和最小,并求出这个最小值。
解:如图5,抛物线的焦点为F(0,-1),准线为l:y=1,由抛物线的定义知:|MA|+|MF|=|MA|+|MN|,其中M为抛物线上的点,N为MN⊥l 的垂足。所以,当M,N,A三点共线时,所求的距离最小,最小值为|1-(-3)|=4。
使用定义,化“折”为“直”,运用“线段最短”的概念解题,充分体现了数学概念在数学学科中的重要地位。
三、平面几何直接不易解决的问题
平面几何直接不易解决的问题,借助于坐标系,把图形的几何性质表示为图形中点的坐标之间的关系,特别是代数关系来加以解决。
例6如图6,正方形ABCD的边长为4,P为BC边上的一点,QP⊥AP交DC于Q。P在何位置时△APQ的面积最小,并求出这个三角形的最小面积。
分析:把几何问题变化的量,用函数表示,从而将面积问题转化为求函数最值的代数问题。
解:设PB=x,△APQ的面积为y则由△APB~△PQC,得:
CQ=4x-x24 ,DQ=4-4x-x24,y=12AD•DQ=12(x-2)2+6于是当x=2时,ymin=6,即当P与B的距离为2时,△APQ的面积最小,为6。
运用数形结合的思想解题,不仅能够有效的解决问题,而且能够认识到问题的本质,加深对数学知识的理解,提高解题能力。解题经验告诉我们,当寻找解题思路发生困难的时候,不妨从数形结合的观点去探索;当解题过程的复杂运算使人望而生畏时,不妨从数形结合的观点去开辟新路;当需要检验结论的正确性时,不妨从数形结合的观点去验证。它常常会给我们带来满意的效果。加强这方面的训练,对巩固基础,提高解题能力是重要的一环。
对能与形联系的问题,要从数与形两个侧面对问题进行分析,由形想数,以数助形,利用数来研究形的各种性质;由形构数,充分利用形的直观性来揭示数学问题的本质属性,根据形来探求解题思路找到问题的结论,利用图形探路子,结合图形找式子,充分挖掘题目的特点,找出简解。
参考文献
1 李林,邵玉玲。数学教学通讯。重庆:西南师范大学出版社,2003,(11):20-21
2 温镇辉。中学数学研究。广州:华南师范大学出版社,2003,(3):31-32
3 冯寅。中学数学杂志(高中)。曲埠:中学数学杂志出版社,2003,(5):47-48
4 胡红芳。中学数学。武汉:湖北大学出版社,2003,(2):27-28
5 金良,岳剑兰。中学生数学。北京:中学生数学杂志出版社,2002,(7):12