1 递推思想
　　例1：设正四面体的四个顶点是A、B、C、D，各棱长均为1米，有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到这条棱的尽头；求：它爬了7米之后恰好位于A点的概率.
　　分析：设Pn为该小虫爬了n米之后恰好位于A点的概率，则有： ，且 （*）
　　 于是有： （**）
　　 所以：由（*）（**）得
　　 因此：
　　小结与反思：应用递推思想解题，会遇到如下两个方面的问题：一是如何找到满足题设条件的递推公式，二是推理计算.它的一般步骤：（1）用Pn表示与n有关的欲计概率，计算一些初始值P1，P2，P3，…；（2）建立Pn与Pn-1,Pn-2,Pn-3,…,Pn-k间的递推关系，并求出递推关系.
　　2 对称思想
　　例2：甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷n+1次，乙掷n次.求“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”这一事件的概率.
　　分析：设 甲正=甲掷出正面的次数
　　 甲反=甲掷出反面的次数
　　 乙正=乙掷出正面的次数
　　 乙反=乙掷出反面的次数
　　于是所求事件的概率为P（甲正>乙正）,另一方面显然有
　　因为硬币是均匀的,由对称性知
　　由此即得
　　在这个例题中,由于巧妙地运用了“对称性”使问题迎刃而解,从而避免了冗长的计算.
　　3 容斥原理
　　例3：某人写了4封信及4个写了相应的收信人的姓名及邮编、地址的信封，现把所有的信一一装到信封中去.
　　求：（1）所有的信都装错信封的概率.（2）若n封信装入n个信封，则所有的信都装错信封的概率是多少？
　　分析：（Ⅰ）对于第（1）问的一般解法是用分类讨论分步计数的思想：设4封信分别为a、b、c、d，4个信封分别为A、B、C、D.第1步：装a，则共有：3种；不妨设a装入B.第2步：装b，分三种情况①若b装入A，则有c装入D、d装入D，共1种，②若b装入C，则有c装入D、d装入A，共1种，③若b装入D，则有c装入A、d装入C，共1种；由①②③共1+1+1=3种。由第1步、第2步得：共有3×3=9种.于是（1）中所求概率为
　　（Ⅱ）显然对于第二问，若仍用第一问的分类讨论分步计数思想，则十分烦琐并且无法实施.
　　下面介绍容斥原理：先做第（2）问：
　　设I为所有的装法构成的集合，则显然card(I)=n!，我们用1，2，3，…，n分别对信和信封进行编号，并记为Ai（i=1，2，3，…，n）为第i封信恰装入第i个信封的所有装法构成的集合，则为第i封信不装入第i个信封的所有装法构成的集合，而所求的全部装错的装法的集合即为 则：
　　因此：所有的信都装错信封的概率为
　　 ；（***）
　　则第（1）问的结果为
　　可见对于装错信封问题（即错位问题）利用（***）式则可提高思维的起点、缩短思维路线、便于记忆与运算。
　　
　　参考文献：
　　[1]刘扬，王虹.由两道概率论习题引发的讨论.数学通报，2004.6，p44—45
　　[2]陈传理，张同君.《竞赛数学教程》.高等教育出版社.