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引理1：椭圆b2x2+a2y2=a2b2 (a＞b＞0)上A、B两点的切线交于P（x0,y0)，则AB的直线方程为 b2x0x+a2y0y=a2b2
证明： 设A（x1,y1), B(x2,y2)，则过A，B的切线方程分别为b2x1y+a2y1y=a2b2，b2x2y+a2y1y=a2b2，因P点是两切线的公共点，故（x0,y0)同时满足上述两方程，应有b2x0x1+a2y0y1=a2b2, b2x0x2+a2y0y2=a2b2，上两式表明（x1,y1)和（x2,y2)都是方程
b2x0x+a2y0y=a2b2 (1)
的解，即直线（1）过A、B两点，所以AB的直线方程就是（1），称为切点弦方程．
引理2：抛物线y2=2px (p＞0)，（双曲线b2x2-a2y2=a2b2,a,b＞0)上两点A、B的切线交于Q（x0,y0)，则抛物线（双曲线）的切点弦方程为y0y=p(x+x0) (b2x0x-a2y0y=a2b2)
定理1与椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a＞b＞0)相离的定直线l上一点M，若OM与l的直线斜率之积等于（- b2 a2 )，过l上任意两点A、B，分别作椭圆的切线AA1，AA2，BB1，BB2，A1，B1，A2，B2为切点，则A1A2，B1B2和OM三直线共点．
图1证明： 如图1，设A（x1,y1),B(x2,y2)，则由引理1得A1A2，B1B2的直线方程分别为 b2x1x+a2y1y=a2b2和b2x2x+a2y2y=a2b2
两式相减得
b2x(x1-x2)+a2y(y1-y2)=0 (2)
设直线l的方程为y=kx+m，则有 y1=kx1+m, y2=kx2+m，所以 y1-y2=k(x1-x2)代入（2）得 b2x(x1-x2)+a2yk(x1-x2)=0,
因为 x1≠x2，所以 y x =- b a2k
上式说明A1A2与B1B2的公共点N与原点O的连线斜率k= x y 为定值 - b a2k ． 又 kOM·k=- b2 a2 ， 则 kOM=- b a2k ，这就是说kOM=kON，则ON与OM重合，即OM过A1A2和B1B2的公共点N，所以A1A2，B1B2与OM三线共点．
推论1： 与椭圆b2x2+a2y2=a2b2 (a＞b＞0)相离的定直线l上一点M，若OM与l两直线的斜率之积为（- b2 a2 )，过l上任意一点作椭圆的切线，则两切点的连线必过定点，且过这定点又与l平行的弦以此点为中点．
证明： 推论的前一部分的证明，只须根据定理1便可得到，设定点为N，图1中弦CD过N且CD∥l，则kCD·kON=(- b2 a2 )
设C（x3,y3)，D(x4,y4)，则 b2x23+a2y23=a2b2, b2x24+a2y24=a2b2，两式相减得 b2(x23-x24)+a2(y23-y24)=0. 若CD中点N′(x0,y0),则
x0= 1 2 (x3+x4), y0= 1 2 (y3+y4), 由前式得(y1+y2)(y1-y2) (x1+x2)(x1-x2) =- b2 a2即y0 x0 · y1-y2 x1-x2 =- b2 a2 ，所以 kON′kCD=- b2 a2 ，于是 kON′=kON，则 ON′与ON必重合，那么N与N′重合，所以N是CD中点．
推论3：椭圆b2x2+a2y2=a2b2 (a＞b＞0)的定弦AB，过A、B点的切线交点M，过M作直线l∥AB，则l上任意一点作椭圆的两切线，两切点的连线必过AB的中点N．
图2证明： 如图2，设A（x1,y1)B(x2,y2)，则A、B的切线方程分别为
b2x1x+a2y1y=a2b2
b2x2x+a2y2y=a2b2
两式相减得 b2x(x1-x2)+a2y(y1-y2)=0，则
y x =- b2(x1-x2) a2(y1-y2) =- b2 a2kAB .
上式表明两切线交点M与原点O的连线的斜率为（- b2 a2kAB )，若N（x0,y0),
因a2x21+b2y21=a2b2
a2x22+b2y22=a2b2 相减得
(y1+y2)(y1-y2) (x1+x2)(x1-x2) =- b2 a2 . 即y0 x0 = -b2 a2kAB .
这就是说N点与O点连线的斜率也为（- b2 a2kAB )，故ON、OM的斜率相等，故OM，ON重合，由此可知l与OM两直线斜率之积等于（- b2 a2 )，由定理1知，若l上一点C作切线CC1，CC2，则AB、C1C2和OM共点，因OM∩AB=N，故CC1必过N，由C点的任意性知，l上任意一点作椭圆两切线，两切点的连线都经过AB的中点N（x0,y0) (x20+y20≠0)．根据推论3，还可列出它的逆命题
逆定理1 椭圆b2x2+a2y2=a2b2 (a＞b＞0)的定弦AB的中点N，则过N点的椭圆的任意弦的两端的切线交点轨迹是直线，其直线方程为 b2x0x+a2y0y=a2b2
证明： 设A（x1,y1)B(x2,y2)，则A、B两点切线方程分别为
a2x1x+b2y1y=a2b2
a2x2x+b2y2y=a2b2 两式相加得
a2x(x1+x2)+b2y(y1+y2)=2a2b2
所以 a2x x1+x2 2 +b2y y1+y2 2 =a2b2
即 a2x0x+b2y0y=a2b2，这就是过A，B两点的切线交点M的直线方程．
过N任意作一条弦C1C2，设M（x3,y3)，过C1，C2两点的切线交点C（x4,y4)，则AB，C1C2的方程分别为 b2x3x+a2y3y=a2b2和b2x4x+a2y4y=a2b2,
因AB，C1C2均过N点，所以 b2x0x3+a2y0y3=a2b2， b2x0x4+a2y0y4=0，这两方程说明（x3，y3),(x4，y4)都是方程b2x0x+b2y0y=a2b2的解，故此直线过M和C点，与上述过M点的直线重合．这就证得凡过M点的弦两端的切线交点都在直线 b2x0x+a2y0y=a2b2上，即过定点N的椭圆弦的两端切线交点的轨迹方程为b2x0x+a2y0y=a2b2.
对于双曲线、抛物线有类似的结论.
定理2与双曲线b2x2-a2y2=a2b2 (a,b＞0)不相交的直线l上一点M，OM与l的直线斜率之积等于（ b2 a2 )，l上任意两点A，B作双曲线的切线AA1，AA2，BB1，BB2，A1，A2，B1，B2为切点，则A1A2，B1B2与OM三线共点．
逆定理2 双曲线b2x2-a2y2=a2b2(a,b＞0)过定点N（x0,y0)弦两端切线交点的轨迹为直线，其方程为b2x0x-a2y0y=a2b2.
定理3 与抛物线y2=2px (p＞0)相离的直线l∥弦AB，AB中点N与顶点O的连线与l交于M点，l上任意两点C、D，过C、D两点分别作抛物线的切线DD1，DD2，EE1，EE2，D1，D2，E1，E2为切点，则E1E2，D1D2与OM三线共点．
逆定理3 抛物线y2=2px (p＞0)过定点N（x0,y0)的弦两端的切线交点轨迹为直线，其方程为y0y=p(x+x0)．有兴趣的读者可自证.
如果将三种曲线统一起来考虑，则有下列结论.
定理 与圆锥曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0相离的直线l∥定弦AB，AB的中点N，中心（或抛物线顶点）为O1，O1N与l交于M，l上任意两点P、Q，过P、Q分别作曲线的切线PP1，PP2，QQ1，QQ2，则P1P2、Q1Q2与O1M共线．
逆定理 圆锥曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0过定点N（x0,y0)的弦两端切线交点的轨迹为一条直线，其方程为
Ax0x+B· x0y+y0x 2 +Cy0y+D· x+x0 2 +
E· y+y0 2 +F=0.
参考文献
1 张家瑞．伸缩变换的一个应用．初等数学论丛9．上海教育出版社，1986
2 BOBERT WILLIAM GRIFFIN．黄泰译．正中书局，1937.3
3 张家瑞．圆锥曲线切割线定理及应用．教学研究（吉林师专），1987
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
证明： 设A（x1,y1), B(x2,y2)，则过A，B的切线方程分别为b2x1y+a2y1y=a2b2，b2x2y+a2y1y=a2b2，因P点是两切线的公共点，故（x0,y0)同时满足上述两方程，应有b2x0x1+a2y0y1=a2b2, b2x0x2+a2y0y2=a2b2，上两式表明（x1,y1)和（x2,y2)都是方程
b2x0x+a2y0y=a2b2 (1)
的解，即直线（1）过A、B两点，所以AB的直线方程就是（1），称为切点弦方程．
引理2：抛物线y2=2px (p＞0)，（双曲线b2x2-a2y2=a2b2,a,b＞0)上两点A、B的切线交于Q（x0,y0)，则抛物线（双曲线）的切点弦方程为y0y=p(x+x0) (b2x0x-a2y0y=a2b2)
定理1与椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a＞b＞0)相离的定直线l上一点M，若OM与l的直线斜率之积等于（- b2 a2 )，过l上任意两点A、B，分别作椭圆的切线AA1，AA2，BB1，BB2，A1，B1，A2，B2为切点，则A1A2，B1B2和OM三直线共点．
图1证明： 如图1，设A（x1,y1),B(x2,y2)，则由引理1得A1A2，B1B2的直线方程分别为 b2x1x+a2y1y=a2b2和b2x2x+a2y2y=a2b2
两式相减得
b2x(x1-x2)+a2y(y1-y2)=0 (2)
设直线l的方程为y=kx+m，则有 y1=kx1+m, y2=kx2+m，所以 y1-y2=k(x1-x2)代入（2）得 b2x(x1-x2)+a2yk(x1-x2)=0,
因为 x1≠x2，所以 y x =- b a2k
上式说明A1A2与B1B2的公共点N与原点O的连线斜率k= x y 为定值 - b a2k ． 又 kOM·k=- b2 a2 ， 则 kOM=- b a2k ，这就是说kOM=kON，则ON与OM重合，即OM过A1A2和B1B2的公共点N，所以A1A2，B1B2与OM三线共点．
推论1： 与椭圆b2x2+a2y2=a2b2 (a＞b＞0)相离的定直线l上一点M，若OM与l两直线的斜率之积为（- b2 a2 )，过l上任意一点作椭圆的切线，则两切点的连线必过定点，且过这定点又与l平行的弦以此点为中点．
证明： 推论的前一部分的证明，只须根据定理1便可得到，设定点为N，图1中弦CD过N且CD∥l，则kCD·kON=(- b2 a2 )
设C（x3,y3)，D(x4,y4)，则 b2x23+a2y23=a2b2, b2x24+a2y24=a2b2，两式相减得 b2(x23-x24)+a2(y23-y24)=0. 若CD中点N′(x0,y0),则
x0= 1 2 (x3+x4), y0= 1 2 (y3+y4), 由前式得(y1+y2)(y1-y2) (x1+x2)(x1-x2) =- b2 a2即y0 x0 · y1-y2 x1-x2 =- b2 a2 ，所以 kON′kCD=- b2 a2 ，于是 kON′=kON，则 ON′与ON必重合，那么N与N′重合，所以N是CD中点．
推论3：椭圆b2x2+a2y2=a2b2 (a＞b＞0)的定弦AB，过A、B点的切线交点M，过M作直线l∥AB，则l上任意一点作椭圆的两切线，两切点的连线必过AB的中点N．
图2证明： 如图2，设A（x1,y1)B(x2,y2)，则A、B的切线方程分别为
b2x1x+a2y1y=a2b2
b2x2x+a2y2y=a2b2
两式相减得 b2x(x1-x2)+a2y(y1-y2)=0，则
y x =- b2(x1-x2) a2(y1-y2) =- b2 a2kAB .
上式表明两切线交点M与原点O的连线的斜率为（- b2 a2kAB )，若N（x0,y0),
因a2x21+b2y21=a2b2
a2x22+b2y22=a2b2 相减得
(y1+y2)(y1-y2) (x1+x2)(x1-x2) =- b2 a2 . 即y0 x0 = -b2 a2kAB .
这就是说N点与O点连线的斜率也为（- b2 a2kAB )，故ON、OM的斜率相等，故OM，ON重合，由此可知l与OM两直线斜率之积等于（- b2 a2 )，由定理1知，若l上一点C作切线CC1，CC2，则AB、C1C2和OM共点，因OM∩AB=N，故CC1必过N，由C点的任意性知，l上任意一点作椭圆两切线，两切点的连线都经过AB的中点N（x0,y0) (x20+y20≠0)．根据推论3，还可列出它的逆命题
逆定理1 椭圆b2x2+a2y2=a2b2 (a＞b＞0)的定弦AB的中点N，则过N点的椭圆的任意弦的两端的切线交点轨迹是直线，其直线方程为 b2x0x+a2y0y=a2b2
证明： 设A（x1,y1)B(x2,y2)，则A、B两点切线方程分别为
a2x1x+b2y1y=a2b2
a2x2x+b2y2y=a2b2 两式相加得
a2x(x1+x2)+b2y(y1+y2)=2a2b2
所以 a2x x1+x2 2 +b2y y1+y2 2 =a2b2
即 a2x0x+b2y0y=a2b2，这就是过A，B两点的切线交点M的直线方程．
过N任意作一条弦C1C2，设M（x3,y3)，过C1，C2两点的切线交点C（x4,y4)，则AB，C1C2的方程分别为 b2x3x+a2y3y=a2b2和b2x4x+a2y4y=a2b2,
因AB，C1C2均过N点，所以 b2x0x3+a2y0y3=a2b2， b2x0x4+a2y0y4=0，这两方程说明（x3，y3),(x4，y4)都是方程b2x0x+b2y0y=a2b2的解，故此直线过M和C点，与上述过M点的直线重合．这就证得凡过M点的弦两端的切线交点都在直线 b2x0x+a2y0y=a2b2上，即过定点N的椭圆弦的两端切线交点的轨迹方程为b2x0x+a2y0y=a2b2.
对于双曲线、抛物线有类似的结论.
定理2与双曲线b2x2-a2y2=a2b2 (a,b＞0)不相交的直线l上一点M，OM与l的直线斜率之积等于（ b2 a2 )，l上任意两点A，B作双曲线的切线AA1，AA2，BB1，BB2，A1，A2，B1，B2为切点，则A1A2，B1B2与OM三线共点．
逆定理2 双曲线b2x2-a2y2=a2b2(a,b＞0)过定点N（x0,y0)弦两端切线交点的轨迹为直线，其方程为b2x0x-a2y0y=a2b2.
定理3 与抛物线y2=2px (p＞0)相离的直线l∥弦AB，AB中点N与顶点O的连线与l交于M点，l上任意两点C、D，过C、D两点分别作抛物线的切线DD1，DD2，EE1，EE2，D1，D2，E1，E2为切点，则E1E2，D1D2与OM三线共点．
逆定理3 抛物线y2=2px (p＞0)过定点N（x0,y0)的弦两端的切线交点轨迹为直线，其方程为y0y=p(x+x0)．有兴趣的读者可自证.
如果将三种曲线统一起来考虑，则有下列结论.
定理 与圆锥曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0相离的直线l∥定弦AB，AB的中点N，中心（或抛物线顶点）为O1，O1N与l交于M，l上任意两点P、Q，过P、Q分别作曲线的切线PP1，PP2，QQ1，QQ2，则P1P2、Q1Q2与O1M共线．
逆定理 圆锥曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0过定点N（x0,y0)的弦两端切线交点的轨迹为一条直线，其方程为
Ax0x+B· x0y+y0x 2 +Cy0y+D· x+x0 2 +
E· y+y0 2 +F=0.
参考文献
1 张家瑞．伸缩变换的一个应用．初等数学论丛9．上海教育出版社，1986
2 BOBERT WILLIAM GRIFFIN．黄泰译．正中书局，1937.3
3 张家瑞．圆锥曲线切割线定理及应用．教学研究（吉林师专），1987
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文