论文部分内容阅读
每年高考都离不开对立体几何的考查，立体几何在高考中分值约占20分，长期以来学生在立体几何方面的得分都比较低，现在随立体几何中空间向量的引入，给立体几何的解题提供了新的思路和方法，借助它来解决立体几何问题，可以避免复杂的作图、证明和对空间想象力的较高要求而转化为简单的代数运算，改变了学生过去难学和高考中得分难的局面.本文主要介绍直线的方向向量和平面法向量的求法以及直线的方向向量和平面法向量在高中数学中的应用.只要学生熟练掌握其应用，那么将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么学生在每年高考中要得到那道12分的立体几何题将会变得更加轻松；同时另辟蹊径研究解析几何，让学生找到一条学习解析几何的捷径.
一、 直线的方向向量与平面的法向量的定义
1 直线的方向向量
我们把直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量.
2 平面的法向量
如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，如果n⊥α，那么向量n叫做平面α的法向量.
二、 直线的方向向量与平面的法向量的求法
1. 直线的方向向量的求法
方法一：设直线方程y=kx+b，则其方向向量为m=(1,k).
方法二：设直线方程Ax+By+C=0，则其方向向量为m=(-B,A).
方法三：设A(x1,y1)、B(x2,y2)、（x1≠x2）在直线L上,则其方向向量为m=1,y2-y1x2-x1.注：(1) 当直线L与x轴垂直时，设A(x1,y1)、B(x1,y2)在直线L上，则m=0,y2-y1x2-x1为直线L的一个方向向量；（2） 设A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)在直线L上,则其方向向量为m=1,y2-y1x2-x1,z2-z1x2-x1( x2≠x1)为直线L的一个方向向量.
2. 平面的法向量的求法
方法一（定义法）：在适当坐标系下，设法向量为n=(x,y,z)，求出平面内任意三个不共线向量的坐标，a=(a1,b1,c1)，b=(a2,b2,c2)，c=(a3,b3,c3)，由定义建立方程组：a•n=0且b•n=0且c•n=0，解方程组可得法向量为n=（x,y,z）.
一、 直线的方向向量与平面的法向量的定义
1 直线的方向向量
我们把直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量.
2 平面的法向量
如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，如果n⊥α，那么向量n叫做平面α的法向量.
二、 直线的方向向量与平面的法向量的求法
1. 直线的方向向量的求法
方法一：设直线方程y=kx+b，则其方向向量为m=(1,k).
方法二：设直线方程Ax+By+C=0，则其方向向量为m=(-B,A).
方法三：设A(x1,y1)、B(x2,y2)、（x1≠x2）在直线L上,则其方向向量为m=1,y2-y1x2-x1.注：(1) 当直线L与x轴垂直时，设A(x1,y1)、B(x1,y2)在直线L上，则m=0,y2-y1x2-x1为直线L的一个方向向量；（2） 设A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)在直线L上,则其方向向量为m=1,y2-y1x2-x1,z2-z1x2-x1( x2≠x1)为直线L的一个方向向量.
2. 平面的法向量的求法
方法一（定义法）：在适当坐标系下，设法向量为n=(x,y,z)，求出平面内任意三个不共线向量的坐标，a=(a1,b1,c1)，b=(a2,b2,c2)，c=(a3,b3,c3)，由定义建立方程组：a•n=0且b•n=0且c•n=0，解方程组可得法向量为n=（x,y,z）.