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摘要：为了落实培养学生数学学科核心素养的新课标理念，人教A版高中数学新教材注重“大概念”视野下的“大单元”“大主题”设计，以彰显数学的整体性、系统性和联系性。比较新旧教材中三角函数的定义，分析新教材中三角函数定义变更的意图，进而设计与实施新教材中三角函数定义的教學，并且进一步反思“大概念”教学理念的内涵与价值。
关键词：“大概念”教学;高中数学新教材;三角函数定义
2020年秋学期，无锡市作为普通高中新课程新教材实施国家级示范区，开始在高一年级使用依据《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写的人教A版高中数学教材（以下简称“新教材”）。为了落实培养学生数学学科核心素养的新课标理念，新教材注重“大概念”视野下的“大单元”“大主题”设计，以彰显数学的整体性、系统性和联系性，克服当下数学教学中普遍存在的知识碎片化、方法单一化及认识表层化问题。对此，新教材不仅在知识点的顺序和归类上做了比较大的调整，而且在知识点的具体内容上也有一些改动。“三角函数的概念”便是一个典型的例子：新教材不仅将其所属的“三角函数”单元从与“平面向量”单元、“解三角形”单元邻近（在前），变为与“函数的概念与性质”单元、“指数函数与对数函数”单元邻近（在后），而且对其定义也有所变更，从而凸显“函数”“建模”等“大概念”的串联整合（渗透体现）作用。
本文重点比较新旧教材中三角函数的定义，分析新教材中三角函数定义变更的意图，进而设计与实施新教材中三角函数定义的教学，并且进一步反思“大概念”教学理念的内涵与价值。
一、新旧教材中三角函数定义的比较
以往，几乎所有教材都是从锐角三角函数的定义出发，先将直角三角形放置到平面直角坐标系xOy中，从而得到基于坐标化思想的正弦、余弦及正切定义。再将锐角推广到任意角α，从而得到三角函数的定义：若α的终边过点P（x，y），记r=OP=x2+y2，则sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx（x≠0）。得到这一定义后，依据相似三角形的边对应成比例，得出：α的正弦、余弦及正切值只与α的终边有关，而与点P的位置无关。也就是说，只要α确定，它的正弦、余弦及正切值就确定了。于是，它们都是关于α的函数，可以分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数。然后，从一般到特殊，在单位圆中引进三角函数线，为后续学习同角三角函数关系、诱导公式、三角函数的图像与性质、两角和与差的三角函数等内容提供便捷的几何工具。
这样的定义编写注重了数学本身的逻辑性，但是相应地，抽象程度比较高，与学生的认知水平不匹配。教学中，教师倘若照本宣科，学生就会只知其然，而不知其所以然。具体来说，学生可能产生以下困惑：初中锐角三角函数的定义为什么要推广到任意角？推广时又为什么要放置到平面直角坐标系中？推广后的定义是否科学、合理？以前学习的函数只有一个自变量，为什么三角函数有两个自变量？哪个是自变量，哪个是因变量？对此，教师需要挖掘概念发生的背景或现象，通过高水平的问题情境设计及师生互动，才能搭建起学生的认知支架，让学生弄清楚知识的来龙去脉，逐步抽象建构概念。此外，三角函数线的学习必须补充有向线段及数量的概念，显得比较麻烦。
新教材则是从建立刻画周期性变化现象的数学模型（单位圆⊙O上的点P以点A为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况）出发，在前一节用任意角的概念刻画点P的位置变化情况的基础上，进一步建立平面直角坐标系xOy，通过角α的终边与单位圆交点P坐标的求解，得出三角函数的定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y），则y叫作α的正弦函数，即y=sin α;x叫作α的余弦函数，即x=cos α;y与x的比值叫作α的正切函数，即yx=tan α（x≠0）。然后，从特殊到一般，通过例题，将基于单位圆上点的定义推广到一般情形，得到基于终边上任意一点的定义，为后续学习三角函数的实际应用和在其他数学分支中的应用（如摩天轮的旋转、简谐振动、波，复数的三角式、极坐标、二阶矩阵刻画的旋转变换等）做好铺垫。
这样的定义编写关注到数学产生的现实性，显得更为直观和简洁，便于学生记忆和理解：在运动思想（旋转变换）、函数思想（定义及性质）及数学建模（用数学模型刻画圆周运动这一周期现象）三个“大概念”的统摄下，基于任意角的概念，利用单位圆上点的坐标，得出关于单个自变量的函数模型，体现三角函数定义的科学性、合理性和发展性，同时自然地省略了三角函数线的内容。此外，也注意了两种定义的互相转化，保证了学生概念理解的丰满、完善。
综上，从数学的本质上看，两种定义是等价的，但是，从教学的效能上看，新教材的定义更为高效。
二、新教材中三角函数定义的教学
（一）探究建构
师为了学习三角函数，前面学了任意角和弧度制，将角的范围扩大到全体实数。借助这些知识，我们进一步研究上一节开头提出的问题：（出示图1）如图，单位圆⊙O上的点P以点A为起点做逆时针方向旋转，记∠AOP=α，则α与点P的位置有什么关系？
生只要α确定，点P的位置就唯一确定了。
师也就是说，可以借助α的大小变化刻画点P的位置变化。那么，在平面内，点P的位置如何更精确地刻画？
生建立直角坐标系，点P的位置可以用坐标（x，y）表示。
师如何建立直角坐标系？
生以O为原点、OA为x轴的非负半轴。
师好的。（出示图2）那么，给出α，能否说出点P的坐标？
（学生思考。）
师比如，α分别取0、π2、π、3π2、2π。
生点P的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（-1，0）、（0，-1）、（1，0）。
师α分别取π6、2π3呢？
生点P的坐标分别为32、12、-12，32。 师你是怎么得到的？
生解直角三角形。
师不错，也就是利用锐角三角函数的定义。可见，一般地，任意给定一个角α∈R，如果它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y），那么x、y与α有什么关系？
生x、y都是關于α的函数。
师为什么？
生因为只要α确定，点P的位置就唯一确定了，x、y也就唯一确定了。
师很好！若α取任意的锐角，则点P的坐标是什么？
生（cos α，sin α）。
师很好！运用锐角三角函数的定义可以得到。实际上，对于任意角α，我们把点P的坐标都记作（cos α，sin α），即y=sin α，把点P的纵坐标叫作α的正弦函数;x=cos α，把点P的横坐标叫作α的余弦函数;yx=tan α（x≠0），把点P纵、横坐标的比值叫作α的正切函数。因此，sin 0=0，cos 0=1，tan 0=0。你能说出π2、π、3π2、π6、2π3的正弦、余弦和正切值吗？
（学生逐一回答，由此发现：任意角的三角函数值因为是单位圆上点的坐标或其比值，所以自带符号。同时，明确三个三角函数的定义域和值域。）
[设计意图：在前一节用任意角α刻画其终边OP与单位圆⊙O交点P 的位置的变化基础上，继续引导学生用坐标（x，y）刻画点P 的位置变化，从而发现x、y都是关于α的函数。然后，借助初中学习的锐角三角函数概念，引导学生发现y=sin α，x=cos α，yx=tan α（x≠0）。由此，自然地推广到任意角，得到三角函数概念。这里，增加求特殊的点P坐标的活动，让新旧知识的过渡和从特殊到一般的抽象更加自然，更符合学生的认知特点。]
（二）应用巩固
例1求11π6的正弦、余弦和正切值。
变式练习分别求-π6、3π4、4π3的正弦、余弦和正切值。
让学生在平面直角坐标系中，通过作角、画单位圆、解直角三角形、求交点坐标，得到三角函数值，从而巩固三角函数的定义，并为诱导公式的学习积累具体经验（感性认识）。
例2在平面直角坐标系xOy中，若角α的终边过点P（x，y）（异于原点），记r=OP=x2+y2。求证：sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx（x≠0）。
变式练习1已知角θ的终边过点P（-4，3），求角θ的三角函数值。
变式练习2已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s。求2s时点P的坐标。
例2引导学生在基于单位圆上点的三角函数定义（本节课所学的定义）的基础上，利用相似三角形的性质及符号的一致性，得到基于终边上任意一点的三角函数定义（更一般的定义），从而建立概念的多元表征，完善学生的知识结构，培养学生的数学推广能力。变式练习则主要引导学生从正、反两个方面，运用更一般的定义解决问题。
三、对“大概念”教学理念的进一步反思
新一轮课改中，“大概念”教学理念广泛受到关注。而新教材就是基于这一理念编写的。“大概念”是指抽象概括出来的具有广泛联系整合作用并能够广泛迁移应用的概念。而数学“大概念”包括高层次的数学观点、观念，具有核心地位的数学知识（概念和命题）、思想方法，具有本原性和派生性的数学问题和潜藏于数学中的科学及人文精神与价值等。这样的数学“大概念”，首先是精简的，因此是“带得走”（不容易忘记）的“核心”;其次是可以作为线索（单元、主题）联系整合广泛的内容并迁移应用到广泛的情境中的，因此是“活”的“素养”。其实，华罗庚先生的“厚薄读书法”体现的正是这一理念。
这里，特别需要说明的是，新课标中提出的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个数学学科核心素养就是数学“大概念”，但是数学“大概念”还包括更多。首先，数学“大概念”包括作为陈述性知识的数学知识和作为程序性知识的思想方法，因为，它们是“一体两面”的：陈述性知识在运用中会变成程序性知识——对此，张奠宙先生的《数学方法论稿》一书有很好的阐述。其次，数学“大概念”包括上位一点的“思想”和下位一点的“方法”，也就是说，“大”是相对的。而通过不同方面、不同层次的“大概念”来组织（重构）教学内容，体现数学的整体性，才能让学生的学习（理解）真正的有“深度”（也是相对的）。
因此，数学教学，无论短线的起始课、复习课教学，还是长线的新授课教学，都应注意凸显“大概念”，联系多内容。例如，新教材中三角函数定义的教学便体现了运动思想、函数思想及数学建模三个“大概念”，而且，新教材中三角函数的定义也可作为这一单元后续内容教学中的“大概念”。
*本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度重点资助课题“以高中数学为主导的跨学科教学研究”（编号：Ba/2020/02/47）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] 李松林.以大概念为核心的整合性教学[J].课程·教材·教法，2020（10）.
[2] 余文森.核心素养导向的课堂教学[M].上海：上海教育出版社，2017.
关键词：“大概念”教学;高中数学新教材;三角函数定义
2020年秋学期，无锡市作为普通高中新课程新教材实施国家级示范区，开始在高一年级使用依据《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写的人教A版高中数学教材（以下简称“新教材”）。为了落实培养学生数学学科核心素养的新课标理念，新教材注重“大概念”视野下的“大单元”“大主题”设计，以彰显数学的整体性、系统性和联系性，克服当下数学教学中普遍存在的知识碎片化、方法单一化及认识表层化问题。对此，新教材不仅在知识点的顺序和归类上做了比较大的调整，而且在知识点的具体内容上也有一些改动。“三角函数的概念”便是一个典型的例子：新教材不仅将其所属的“三角函数”单元从与“平面向量”单元、“解三角形”单元邻近（在前），变为与“函数的概念与性质”单元、“指数函数与对数函数”单元邻近（在后），而且对其定义也有所变更，从而凸显“函数”“建模”等“大概念”的串联整合（渗透体现）作用。
本文重点比较新旧教材中三角函数的定义，分析新教材中三角函数定义变更的意图，进而设计与实施新教材中三角函数定义的教学，并且进一步反思“大概念”教学理念的内涵与价值。
一、新旧教材中三角函数定义的比较
以往，几乎所有教材都是从锐角三角函数的定义出发，先将直角三角形放置到平面直角坐标系xOy中，从而得到基于坐标化思想的正弦、余弦及正切定义。再将锐角推广到任意角α，从而得到三角函数的定义：若α的终边过点P（x，y），记r=OP=x2+y2，则sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx（x≠0）。得到这一定义后，依据相似三角形的边对应成比例，得出：α的正弦、余弦及正切值只与α的终边有关，而与点P的位置无关。也就是说，只要α确定，它的正弦、余弦及正切值就确定了。于是，它们都是关于α的函数，可以分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数。然后，从一般到特殊，在单位圆中引进三角函数线，为后续学习同角三角函数关系、诱导公式、三角函数的图像与性质、两角和与差的三角函数等内容提供便捷的几何工具。
这样的定义编写注重了数学本身的逻辑性，但是相应地，抽象程度比较高，与学生的认知水平不匹配。教学中，教师倘若照本宣科，学生就会只知其然，而不知其所以然。具体来说，学生可能产生以下困惑：初中锐角三角函数的定义为什么要推广到任意角？推广时又为什么要放置到平面直角坐标系中？推广后的定义是否科学、合理？以前学习的函数只有一个自变量，为什么三角函数有两个自变量？哪个是自变量，哪个是因变量？对此，教师需要挖掘概念发生的背景或现象，通过高水平的问题情境设计及师生互动，才能搭建起学生的认知支架，让学生弄清楚知识的来龙去脉，逐步抽象建构概念。此外，三角函数线的学习必须补充有向线段及数量的概念，显得比较麻烦。
新教材则是从建立刻画周期性变化现象的数学模型（单位圆⊙O上的点P以点A为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况）出发，在前一节用任意角的概念刻画点P的位置变化情况的基础上，进一步建立平面直角坐标系xOy，通过角α的终边与单位圆交点P坐标的求解，得出三角函数的定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y），则y叫作α的正弦函数，即y=sin α;x叫作α的余弦函数，即x=cos α;y与x的比值叫作α的正切函数，即yx=tan α（x≠0）。然后，从特殊到一般，通过例题，将基于单位圆上点的定义推广到一般情形，得到基于终边上任意一点的定义，为后续学习三角函数的实际应用和在其他数学分支中的应用（如摩天轮的旋转、简谐振动、波，复数的三角式、极坐标、二阶矩阵刻画的旋转变换等）做好铺垫。
这样的定义编写关注到数学产生的现实性，显得更为直观和简洁，便于学生记忆和理解：在运动思想（旋转变换）、函数思想（定义及性质）及数学建模（用数学模型刻画圆周运动这一周期现象）三个“大概念”的统摄下，基于任意角的概念，利用单位圆上点的坐标，得出关于单个自变量的函数模型，体现三角函数定义的科学性、合理性和发展性，同时自然地省略了三角函数线的内容。此外，也注意了两种定义的互相转化，保证了学生概念理解的丰满、完善。
综上，从数学的本质上看，两种定义是等价的，但是，从教学的效能上看，新教材的定义更为高效。
二、新教材中三角函数定义的教学
（一）探究建构
师为了学习三角函数，前面学了任意角和弧度制，将角的范围扩大到全体实数。借助这些知识，我们进一步研究上一节开头提出的问题：（出示图1）如图，单位圆⊙O上的点P以点A为起点做逆时针方向旋转，记∠AOP=α，则α与点P的位置有什么关系？
生只要α确定，点P的位置就唯一确定了。
师也就是说，可以借助α的大小变化刻画点P的位置变化。那么，在平面内，点P的位置如何更精确地刻画？
生建立直角坐标系，点P的位置可以用坐标（x，y）表示。
师如何建立直角坐标系？
生以O为原点、OA为x轴的非负半轴。
师好的。（出示图2）那么，给出α，能否说出点P的坐标？
（学生思考。）
师比如，α分别取0、π2、π、3π2、2π。
生点P的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（-1，0）、（0，-1）、（1，0）。
师α分别取π6、2π3呢？
生点P的坐标分别为32、12、-12，32。 师你是怎么得到的？
生解直角三角形。
师不错，也就是利用锐角三角函数的定义。可见，一般地，任意给定一个角α∈R，如果它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y），那么x、y与α有什么关系？
生x、y都是關于α的函数。
师为什么？
生因为只要α确定，点P的位置就唯一确定了，x、y也就唯一确定了。
师很好！若α取任意的锐角，则点P的坐标是什么？
生（cos α，sin α）。
师很好！运用锐角三角函数的定义可以得到。实际上，对于任意角α，我们把点P的坐标都记作（cos α，sin α），即y=sin α，把点P的纵坐标叫作α的正弦函数;x=cos α，把点P的横坐标叫作α的余弦函数;yx=tan α（x≠0），把点P纵、横坐标的比值叫作α的正切函数。因此，sin 0=0，cos 0=1，tan 0=0。你能说出π2、π、3π2、π6、2π3的正弦、余弦和正切值吗？
（学生逐一回答，由此发现：任意角的三角函数值因为是单位圆上点的坐标或其比值，所以自带符号。同时，明确三个三角函数的定义域和值域。）
[设计意图：在前一节用任意角α刻画其终边OP与单位圆⊙O交点P 的位置的变化基础上，继续引导学生用坐标（x，y）刻画点P 的位置变化，从而发现x、y都是关于α的函数。然后，借助初中学习的锐角三角函数概念，引导学生发现y=sin α，x=cos α，yx=tan α（x≠0）。由此，自然地推广到任意角，得到三角函数概念。这里，增加求特殊的点P坐标的活动，让新旧知识的过渡和从特殊到一般的抽象更加自然，更符合学生的认知特点。]
（二）应用巩固
例1求11π6的正弦、余弦和正切值。
变式练习分别求-π6、3π4、4π3的正弦、余弦和正切值。
让学生在平面直角坐标系中，通过作角、画单位圆、解直角三角形、求交点坐标，得到三角函数值，从而巩固三角函数的定义，并为诱导公式的学习积累具体经验（感性认识）。
例2在平面直角坐标系xOy中，若角α的终边过点P（x，y）（异于原点），记r=OP=x2+y2。求证：sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx（x≠0）。
变式练习1已知角θ的终边过点P（-4，3），求角θ的三角函数值。
变式练习2已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s。求2s时点P的坐标。
例2引导学生在基于单位圆上点的三角函数定义（本节课所学的定义）的基础上，利用相似三角形的性质及符号的一致性，得到基于终边上任意一点的三角函数定义（更一般的定义），从而建立概念的多元表征，完善学生的知识结构，培养学生的数学推广能力。变式练习则主要引导学生从正、反两个方面，运用更一般的定义解决问题。
三、对“大概念”教学理念的进一步反思
新一轮课改中，“大概念”教学理念广泛受到关注。而新教材就是基于这一理念编写的。“大概念”是指抽象概括出来的具有广泛联系整合作用并能够广泛迁移应用的概念。而数学“大概念”包括高层次的数学观点、观念，具有核心地位的数学知识（概念和命题）、思想方法，具有本原性和派生性的数学问题和潜藏于数学中的科学及人文精神与价值等。这样的数学“大概念”，首先是精简的，因此是“带得走”（不容易忘记）的“核心”;其次是可以作为线索（单元、主题）联系整合广泛的内容并迁移应用到广泛的情境中的，因此是“活”的“素养”。其实，华罗庚先生的“厚薄读书法”体现的正是这一理念。
这里，特别需要说明的是，新课标中提出的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个数学学科核心素养就是数学“大概念”，但是数学“大概念”还包括更多。首先，数学“大概念”包括作为陈述性知识的数学知识和作为程序性知识的思想方法，因为，它们是“一体两面”的：陈述性知识在运用中会变成程序性知识——对此，张奠宙先生的《数学方法论稿》一书有很好的阐述。其次，数学“大概念”包括上位一点的“思想”和下位一点的“方法”，也就是说，“大”是相对的。而通过不同方面、不同层次的“大概念”来组织（重构）教学内容，体现数学的整体性，才能让学生的学习（理解）真正的有“深度”（也是相对的）。
因此，数学教学，无论短线的起始课、复习课教学，还是长线的新授课教学，都应注意凸显“大概念”，联系多内容。例如，新教材中三角函数定义的教学便体现了运动思想、函数思想及数学建模三个“大概念”，而且，新教材中三角函数的定义也可作为这一单元后续内容教学中的“大概念”。
*本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度重点资助课题“以高中数学为主导的跨学科教学研究”（编号：Ba/2020/02/47）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] 李松林.以大概念为核心的整合性教学[J].课程·教材·教法，2020（10）.
[2] 余文森.核心素养导向的课堂教学[M].上海：上海教育出版社，2017.