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如何整理自己的错题集呢?事实上,就题论题的整理只能解决知识点上的易错问题,而我们更需要关注的是知识面或是知识块上的核心问题,从而既能达到纠错的功能,又能实现同学们学习能力的再提高.下面就数列问题的易错题型作一分析,并希望对其他知识单元易错题的整理方式有所启示.
1.理清数列知识内部关联,避免表层性错误
数列知识体系的形成无非就是源自通项与求和,以及两者关系,这里面经常产生错误的原因就是对数列的生成不够重视,关注了运算,但不关注一些细节问题,缺少了细致与缜密的学习态度.
例1 已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+2Sn•Sn-1=0(n≥2),a1=12.
(1)求an的表达式;(2)若Tn=∑2ni=1ai,求T4-T2的值.
【正确解析】(1)∵2Sn•Sn-1=-an,∴2Sn•Sn-1=-Sn+Sn-1(n≥2),Sn≠0,
∴1Sn-1Sn-1=2,又1S1=1a1=2.∴1Sn=2+2(n-1)=2n,∴Sn=12n.
∴an=12,n=1,-12n(n-1),n≥2.
(2)T4-T2=a5+a6+a7+a8=-12(14-18)=-116.
【错因剖析】(1)解题过程中同学们利用an=Sn-Sn-1这一关系时,往往会忽略n≥2这一条件,事实上对n限制条件的产生源自数列的生成(即下标是用来确定项的位置或所需求和的项数,当然要求是一个正整数).(2)对于项数的确定也是较易忽略的一个问题,认真审题、读懂题意方能确保无误.(3)在数列知识内部还有一些易错点,如使用等比数列求和公式时要求q≠1;等比中项的两解性问题;对数列an求和时的合理分类问题等等,所有这些都是一些表层性的易错点,在此不再一一展开,只要稍加关注,在考试中完全可以避免无谓的失分.
【自测练习】(1)已知数列an的前n项和Sn=2n,则an= .
(2)若等差数列an的首项a1=21,公差d=-4,则an的前n项和Sn= .
(3)已知数列an满足,当n=2k-1(k∈N*)时,an=n;当n=2k(k∈N*)时,an=ak.
①求a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16;
②设Sn=a1+a2+a3+…+a2n,求证:Sn=Sn-1+4n-1.
2.把握数列知识纵向延伸,避免理解性错误
数列知识的纵向拓展主要包括有关数阵问题及数列重构问题,这些问题出错的主要原因是解题过程中对题意的理解经常会发生偏差.这些问题仅是知识的延伸、结构的调整和形式的改变,对数列的特性、思维的方式和解题方法是一脉相承的.
例2 右表给出一个“等差数阵”,其中每行、
47( )( )…a1j…
712( )( )…a2j…
( )( )( )( )…a3j…
( )( )( )( )…a4j…
………………
ai1ai2ai3ai4…aij…
………………
每列都是等差数列,aij表示位于第i行第j列的数.
(1)写出a45的值;
(2)写出aij的计算公式,并确定2008在该数阵中的一个位置.
【正确解析】(1)a45=49.
(2)a1j=4+3(j-1)=3j+1,
a2j=7+5(j-1)=5j+2,
所以,第j列是以3j+1为首项,以2j+1为公差的等差数列,
故,aij=3j+1+(i-1)(2j+1)=2ij+i+j.
若2ij+i+j=2008,则j=2008-i2i+1=40172(2i+1)-12=3×13×1032(2i+1)-12.
当i=1时,j=669,所以,2008在该数阵中的一个位置是第1行第669列.
【错因剖析】(1)数阵的本质是将基本数列进行有机组合,解题中同学们因不善于理解题意,分解难度,回归本质而造成解题障碍.就该题而言,如果意识到横向与纵向等差数列间的联系,就能很快找到突破口,顺利求出通项aij.做好解题前的分析、准备工作是正确解题的前提.(2)不能读出试题的明确要求是错解该题的另一个原因,题中要求“确定2008在该数阵中的一个位置”,也就是说可能不唯一,找出一个即可,那么找到4017的一个约数可能就会解决该题,而同学们往往就会忽略这一点.事实上,根据解答中的分析以及数阵的对称性可以知道,2008可以是第1行第669列,还可以是第1列第669行、第6行第154列、第6列第154行、第19行第51列、第19列第51行.
例3 已知数列an满足条件an=2an-1+2n-1(n≥2),且a4=81.是否存在一个实数λ,使
得数列an+λ2n为等差数列,若存在试求出数列an的前n项和Sn;若不存在,请说明理由.
【正确解析】若存在实数λ,则an+λ2n-an-1+λ2n-1=an-2an-1-λ2n=2n-1-λ2n=1-1+λ2n必为一个与n无关的常数,所以,λ=-1.此时数列an+λ2n为等差数列且公差为1.
又a4-124=5,故an-12n=5+(n-4)×1=n+1,从而,an=(n+1)•2n+1.
利用错位相减法可得:Sn=n(2n+1+1).
【错因剖析】本题常见的两个错误原因是,(1)忽视数列的定义,抛开基本方法,把数列重构这样一种题型看的过于神秘.(2)在利用错位相减法求和时方法不当或计算出错.数列重构是十分常见的题型,一般而言,立足定义是解题的关键,虽然知识延伸了、结构改变了,但思维方式、解题途径仍是常规的.就本题而言,如果能计算出三个特殊项,进而求得实数λ的值,再用定义进行验证也不失为一个好的解题策略.
【自测练习】(1)将数列{an}中所有的项按每一行比上一行多一项的规则排成如图数表:记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1,Sn为数列{bn}的前n项和,且满足2bnbnSn-S2n=1(n≥2).
①证明数列{1Sn}成等差数列,并求数列{bn}的通项公式;
②上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个
正数.当a81=-491时,求上表中第k(k≥3)行所有项的和.
(2)在数列{an}中,a1=1,2an+1=(1+1n)2an.
①求{an}的通项公式;②令bn=an+1-12an,求数列{bn}的前n项和Sn;
③求数列{an}的前n项和Tn.
3.重视数列知识横向交汇,避免实质性错误
同学们在解决数列与函数、不等式、解析几何等知识相融合的试题时常会感到困难,特别是与
函数、不等式结合时.事实上,数列的通项公式、求和公式本身就是一种函数,只不过是不连续的“点函数”.如果能够抓住数列的函数特性,就能顺利的解决一些数列单调性、最值问题.
例4 设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合:
①an+an+22≤an+1;②an≤M.其中n∈N*,M是与n无关的常数.
(1)若{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,a3=4,S3=18,证明:{Sn}∈W;
(2)设数列{bn}的通项为bn=5n-2n,且{bn}∈W,求M的取值范围;
【正确解析】(1)设等差数列{an}的公差是d,由a1+2d=4,3a1+3d=18得a1=8,d=-2,
所以Sn=na1+n(n-1)2d=-n2+9n
由Sn+Sn+22-Sn+1=12[(-n2+9n)-(n+2)2+9(n+2)+2(n+1)2-18(n+1)]=-1
得Sn+Sn+22 所以当n=4或5时,Sn取得最大值20,即Sn≤20,适合条件②,综上,{Sn}∈W.
(2)因为bn+1-bn=5(n+1)-2n+1-5n+2n=5-2n,
所以,b1 因此数列{bn}中的最大项是b3=7,所以M≥7.
(3)假设存在正整数k,使得ck>ck+1成立,
由数列{cn}的各项均为正整数,可得ck≥ck+1+1,即ck+1≤ck-1,
因为ck+ck+22≤ck+1,所以ck+2≤2ck+1-ck≤2(ck-1)-ck=ck-2,
由ck+2≤2ck+1-ck及ck>ck+1,得ck+2<2ck+2-ck+1=ck+1,故ck+2≤ck+1-1,
ck+1+ck+32≤ck+2ck+3≤2ck+2-ck+1≤2(ck+1-1)-ck+1=ck+1-2≤ck-3……,
依次类推,可得ck+m≤ck-m(m∈N*).
设ck=p(p∈N*),则当m=p时,有ck+p≤ck-p=0这显然与数列{cn}的各项均为正整数矛盾!所以假设不成立,即对于任意n∈N*,都有cn≤cn+1成立.
【错因剖析】本题在解决过程中的主要问题有:(1)忽略数列为“非连续”函数,且定义域为正整数这一特征,从而出现Sn=-n2+9n=-(n-92)2+814的最值为814的错误,同时也要注意Sn取得最大值时的n的值可能会有两解(这一点要区别于一般二次函数);(2)由于忽视数列的单调性而导致解题障碍,数列单调性的研究与常见的函数单调性的研究从本质来讲是一致的,由于把数列视作函数时,其定义域为正整数,两个自变量间的最小变化单位为1,因此,我们主要是通过任意相邻两项的大小关系来判别数列的单调性;
同学们如果真正理解了数列的函数本质,要解决一些单调性、最值、恒成立问题还是有章可循的,如果还能结合一些图像的应用,将抽象问题直观化,解题就更加得心应手了.
【自测练习】(1)已知数列{an}是递增数列,且对任意n∈N*都有an=2n2+kn恒成立,则实数k的取值范围为 .
(2)已知数列{an}的通向公式为an=5×252n-2-4×25n-1(n∈N*),{an}的最大值为第p项,最小值为第q项,则p+q= .
(3)已知数列{an}中,a1=1,且点P(an,an+1)(n∈N*)在直线x-y+1=0上.
①求数列{an}的通项公式;
②若bn=1n+a1+2n+a2+3n+a3+…+nn+an(n∈N*,n≥2),求数列{bn}中的最小项;
③设cn=1an,Sn表示数列{cn}的前n项和,问是否存在关于n的整式g(n),使得S1+S2+S3+…+Sn-1=(Sn-1)•g(n)对一切不小于2得正整数n恒成立?
1.理清数列知识内部关联,避免表层性错误
数列知识体系的形成无非就是源自通项与求和,以及两者关系,这里面经常产生错误的原因就是对数列的生成不够重视,关注了运算,但不关注一些细节问题,缺少了细致与缜密的学习态度.
例1 已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+2Sn•Sn-1=0(n≥2),a1=12.
(1)求an的表达式;(2)若Tn=∑2ni=1ai,求T4-T2的值.
【正确解析】(1)∵2Sn•Sn-1=-an,∴2Sn•Sn-1=-Sn+Sn-1(n≥2),Sn≠0,
∴1Sn-1Sn-1=2,又1S1=1a1=2.∴1Sn=2+2(n-1)=2n,∴Sn=12n.
∴an=12,n=1,-12n(n-1),n≥2.
(2)T4-T2=a5+a6+a7+a8=-12(14-18)=-116.
【错因剖析】(1)解题过程中同学们利用an=Sn-Sn-1这一关系时,往往会忽略n≥2这一条件,事实上对n限制条件的产生源自数列的生成(即下标是用来确定项的位置或所需求和的项数,当然要求是一个正整数).(2)对于项数的确定也是较易忽略的一个问题,认真审题、读懂题意方能确保无误.(3)在数列知识内部还有一些易错点,如使用等比数列求和公式时要求q≠1;等比中项的两解性问题;对数列an求和时的合理分类问题等等,所有这些都是一些表层性的易错点,在此不再一一展开,只要稍加关注,在考试中完全可以避免无谓的失分.
【自测练习】(1)已知数列an的前n项和Sn=2n,则an= .
(2)若等差数列an的首项a1=21,公差d=-4,则an的前n项和Sn= .
(3)已知数列an满足,当n=2k-1(k∈N*)时,an=n;当n=2k(k∈N*)时,an=ak.
①求a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16;
②设Sn=a1+a2+a3+…+a2n,求证:Sn=Sn-1+4n-1.
2.把握数列知识纵向延伸,避免理解性错误
数列知识的纵向拓展主要包括有关数阵问题及数列重构问题,这些问题出错的主要原因是解题过程中对题意的理解经常会发生偏差.这些问题仅是知识的延伸、结构的调整和形式的改变,对数列的特性、思维的方式和解题方法是一脉相承的.
例2 右表给出一个“等差数阵”,其中每行、
47( )( )…a1j…
712( )( )…a2j…
( )( )( )( )…a3j…
( )( )( )( )…a4j…
………………
ai1ai2ai3ai4…aij…
………………
每列都是等差数列,aij表示位于第i行第j列的数.
(1)写出a45的值;
(2)写出aij的计算公式,并确定2008在该数阵中的一个位置.
【正确解析】(1)a45=49.
(2)a1j=4+3(j-1)=3j+1,
a2j=7+5(j-1)=5j+2,
所以,第j列是以3j+1为首项,以2j+1为公差的等差数列,
故,aij=3j+1+(i-1)(2j+1)=2ij+i+j.
若2ij+i+j=2008,则j=2008-i2i+1=40172(2i+1)-12=3×13×1032(2i+1)-12.
当i=1时,j=669,所以,2008在该数阵中的一个位置是第1行第669列.
【错因剖析】(1)数阵的本质是将基本数列进行有机组合,解题中同学们因不善于理解题意,分解难度,回归本质而造成解题障碍.就该题而言,如果意识到横向与纵向等差数列间的联系,就能很快找到突破口,顺利求出通项aij.做好解题前的分析、准备工作是正确解题的前提.(2)不能读出试题的明确要求是错解该题的另一个原因,题中要求“确定2008在该数阵中的一个位置”,也就是说可能不唯一,找出一个即可,那么找到4017的一个约数可能就会解决该题,而同学们往往就会忽略这一点.事实上,根据解答中的分析以及数阵的对称性可以知道,2008可以是第1行第669列,还可以是第1列第669行、第6行第154列、第6列第154行、第19行第51列、第19列第51行.
例3 已知数列an满足条件an=2an-1+2n-1(n≥2),且a4=81.是否存在一个实数λ,使
得数列an+λ2n为等差数列,若存在试求出数列an的前n项和Sn;若不存在,请说明理由.
【正确解析】若存在实数λ,则an+λ2n-an-1+λ2n-1=an-2an-1-λ2n=2n-1-λ2n=1-1+λ2n必为一个与n无关的常数,所以,λ=-1.此时数列an+λ2n为等差数列且公差为1.
又a4-124=5,故an-12n=5+(n-4)×1=n+1,从而,an=(n+1)•2n+1.
利用错位相减法可得:Sn=n(2n+1+1).
【错因剖析】本题常见的两个错误原因是,(1)忽视数列的定义,抛开基本方法,把数列重构这样一种题型看的过于神秘.(2)在利用错位相减法求和时方法不当或计算出错.数列重构是十分常见的题型,一般而言,立足定义是解题的关键,虽然知识延伸了、结构改变了,但思维方式、解题途径仍是常规的.就本题而言,如果能计算出三个特殊项,进而求得实数λ的值,再用定义进行验证也不失为一个好的解题策略.
【自测练习】(1)将数列{an}中所有的项按每一行比上一行多一项的规则排成如图数表:记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1,Sn为数列{bn}的前n项和,且满足2bnbnSn-S2n=1(n≥2).
①证明数列{1Sn}成等差数列,并求数列{bn}的通项公式;
②上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个
正数.当a81=-491时,求上表中第k(k≥3)行所有项的和.
(2)在数列{an}中,a1=1,2an+1=(1+1n)2an.
①求{an}的通项公式;②令bn=an+1-12an,求数列{bn}的前n项和Sn;
③求数列{an}的前n项和Tn.
3.重视数列知识横向交汇,避免实质性错误
同学们在解决数列与函数、不等式、解析几何等知识相融合的试题时常会感到困难,特别是与
函数、不等式结合时.事实上,数列的通项公式、求和公式本身就是一种函数,只不过是不连续的“点函数”.如果能够抓住数列的函数特性,就能顺利的解决一些数列单调性、最值问题.
例4 设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合:
①an+an+22≤an+1;②an≤M.其中n∈N*,M是与n无关的常数.
(1)若{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,a3=4,S3=18,证明:{Sn}∈W;
(2)设数列{bn}的通项为bn=5n-2n,且{bn}∈W,求M的取值范围;
【正确解析】(1)设等差数列{an}的公差是d,由a1+2d=4,3a1+3d=18得a1=8,d=-2,
所以Sn=na1+n(n-1)2d=-n2+9n
由Sn+Sn+22-Sn+1=12[(-n2+9n)-(n+2)2+9(n+2)+2(n+1)2-18(n+1)]=-1
得Sn+Sn+22
(2)因为bn+1-bn=5(n+1)-2n+1-5n+2n=5-2n,
所以,b1
(3)假设存在正整数k,使得ck>ck+1成立,
由数列{cn}的各项均为正整数,可得ck≥ck+1+1,即ck+1≤ck-1,
因为ck+ck+22≤ck+1,所以ck+2≤2ck+1-ck≤2(ck-1)-ck=ck-2,
由ck+2≤2ck+1-ck及ck>ck+1,得ck+2<2ck+2-ck+1=ck+1,故ck+2≤ck+1-1,
ck+1+ck+32≤ck+2ck+3≤2ck+2-ck+1≤2(ck+1-1)-ck+1=ck+1-2≤ck-3……,
依次类推,可得ck+m≤ck-m(m∈N*).
设ck=p(p∈N*),则当m=p时,有ck+p≤ck-p=0这显然与数列{cn}的各项均为正整数矛盾!所以假设不成立,即对于任意n∈N*,都有cn≤cn+1成立.
【错因剖析】本题在解决过程中的主要问题有:(1)忽略数列为“非连续”函数,且定义域为正整数这一特征,从而出现Sn=-n2+9n=-(n-92)2+814的最值为814的错误,同时也要注意Sn取得最大值时的n的值可能会有两解(这一点要区别于一般二次函数);(2)由于忽视数列的单调性而导致解题障碍,数列单调性的研究与常见的函数单调性的研究从本质来讲是一致的,由于把数列视作函数时,其定义域为正整数,两个自变量间的最小变化单位为1,因此,我们主要是通过任意相邻两项的大小关系来判别数列的单调性;
同学们如果真正理解了数列的函数本质,要解决一些单调性、最值、恒成立问题还是有章可循的,如果还能结合一些图像的应用,将抽象问题直观化,解题就更加得心应手了.
【自测练习】(1)已知数列{an}是递增数列,且对任意n∈N*都有an=2n2+kn恒成立,则实数k的取值范围为 .
(2)已知数列{an}的通向公式为an=5×252n-2-4×25n-1(n∈N*),{an}的最大值为第p项,最小值为第q项,则p+q= .
(3)已知数列{an}中,a1=1,且点P(an,an+1)(n∈N*)在直线x-y+1=0上.
①求数列{an}的通项公式;
②若bn=1n+a1+2n+a2+3n+a3+…+nn+an(n∈N*,n≥2),求数列{bn}中的最小项;
③设cn=1an,Sn表示数列{cn}的前n项和,问是否存在关于n的整式g(n),使得S1+S2+S3+…+Sn-1=(Sn-1)•g(n)对一切不小于2得正整数n恒成立?