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摘要：文章使用半参数随机波动率模型（SPM），对2003年1月1日至2017年8月10日期间世界黄金价格波动特征进行了实证分析。模型拟合检验结论表明，SPM模型能够很好地拟合世界黄金价格波动过程当中存在的尖峰厚尾性、波动聚集性和非对称性等金融数据特征。采用基于贝叶斯的MCMC方法对模型进行参数估计，通过进一步与SV-N和SV-T模型对比分析，结果显示SPM对于世界黄金价格波动特征刻画要明显优于SV-N和SV-T模型。
关键词：黄金期货；半参数随机波动率模型；MCMC
黄金是同时具有商品、货币以及投资属性的一种特殊商品，可用于资产储备和投资增值。自2002年上海黄金交易所成立以来，我国黄金市场逐步市场化，与世界接轨，为投资者与投资机构提供了良好的平台。目前黄金期货市场交易量和交易额持续增多，起到了很好的风险发散作用。黄金不仅具有商品属性，还具有金融属性，其波动性不仅影响人民生活稳定还影响金融稳定，其市场健康发展对于国家金融系统稳定非常重要，所以对黄金期货市场的科学研究是刻不容缓的。
目前，对黄金期货收益率波动特征的研究并不多见。陈杨林等（2008）应用GARCH与SV-T模型对世界黄金价格的走势与波动性进行分析，实证结果表明SV-T模型对世界黄金价格走势的拟合与预测均优于GARCH模型；Jonathan 等人（2010）选取美国黄金期货1999～ 2005年高频样本作为分析数据，采用 GARCH 模型和 Garman Klass 统计值相结合的方式，探讨了该市场日内波动结构；王兆才（2012）研究表明两状态MRS-GARCH（1，1）模型的拟合和预测效果均优于单状态的GARCH模型；孙赵晖（2015）利用SV类模型，以2009年以来的上海黄金交易市场的收益率数据为代表，分析结果认为我国黄金市场波动持续性强且具有尖峰厚尾性，其中Leverage-SV模型拟合效果相对较优；苏理云等（2017）针对黄金市场呈现的波动持续性等特征，建立SV-POT的组合模型，较为精确地预测了该金融市场的动态Var。
在SV模型中，贝叶斯非参数化方法是一个全新的研究领域，Eleni-Ioanna Delatola等提出了一种基于贝叶斯分析方法的半参数SV模型（SPM），并通过数值模拟验证了该模型较传统SV类模型的优越性，该类完全放弃对观测方程的随机误差项的参数假设，考虑一个半参数的SV模型，在这种模型中，收益的分布是非参数化的，相比于参数分布能够更好地描述金融资产收益特性，并能够提高收益和风险价值的预测精度。
本文的主要贡献是首次尝试在半参数随机波动（Semiparametric Stochastic Volatility，SPM）模型框架内来考察世界黄金价格波动过程的动态特征。选取2003年1月1日至2017年8月10日期间世界黄金期货市场收盘价为原始数据，利用SPM、SV-N、SV-T模型进行实证研究，使用MCMC方法进行参数估计，以期能够较为精确地掌握世界黄金期货市场的波动特征。
（一）SV-N模型
Taylor等提出了SV模型，SV类模型在波动过程中引入了一个新的随机过程，相较于GARCH族模型，其对收益率的拟合能力更强，且对波动率具有更好的拟合效果和预测能力。
标准的SV模型如下：
yt=exp（ht/2）εt，εt～i，i，dN（0，1），t= 1，2，…，n（1）
其中，ht表示第t日的收益率的对数波动率，而yt则代表第t日的收益率，误差项εt和ηt相互独立，ηt为波动的扰动水平，独立同分布于正态分布，εt独立同分布N（0，1）。φ为持续性参数，反映的是当前波动对未来波动的持续影响，当|？覬|<1，SV是协方差平稳的。
（二）SV-T模型
因为多数金融时间序列的无条件分布与标准正态分布相比，会呈现出尖峰厚尾的特征，这就导致SV-N模型对于描述金融时间序列有一定的局限性。许多学者尝试对SV模型进行改进，Chib等对标准SV模型中观测方程的随机误差项设定为具有厚尾特征的分布如t分布、GED 分布等，Liesenfeld R and Jung RC提出了SV-T模型，并发现该模型可以更好的刻画金融数据尖峰厚尾分布特征。
SV-T模型如下：
yt=exp（ht/2）εt，εt～i，i，dt（0，1，v），t= 1，2，…，n（2）
ht+1=u+φ（ht-u）+ηt，ηt～i，i，dN（0，δη），t= 1，2，…，n
f（εt）=[（v-2）]■■1+■■
與标准SV模型最主要的区别在于SV-T中令误差项，并以此来刻画厚尾特征。（2）中第三个式子是用来描述金融数据“尖峰厚尾”特征的，当4
（三）SPM模型
Kim等提出线性标准SV模型，定义rt=logy■■和εt=logv■■，结果如下：
rt=ht+εt，εt～F，
ht+1=μ+？覬（ht-μ）+σηt，ηt～N（0，1）（3）
如果vt服从正态分布，可以看到εt服从logχ■■分布，Kim等提出通过仔细调整的有限正态混合分布去近似logχ■■的分布，Delatola等提出对于不知εt～F的分布，利用Dirichlet过程先验这一非参数分布对εt进行统计建模，使用一个无限正态混合分布去近似εt的分布。即 εt|μ■～N（μ■，βσ■■）μ■～G，G～DP（α，G■）G■≡N（μ■，（1-β）σ■■）
其中，DP表示Dirichlet过程；α和G0分别表示精度参数和基分布；β为光滑参数。用非参数混合Dirichlet过程表示εt的条件分布为无限个均值不同，方差相同的正态分布混合分布，条件均值μt服从精度参数为α的Dirichlet过程，且基分布的均值为μ0，方差为（1-β）σ■■的正态分布。
另外，由于Kim等对数据转换为线性模型的时候发现了一个问题，即当收益率的值很接近于零或等于零时，这就使得收益率数据变换后的值是极小的负值甚至为负无穷，因此，Kim等参照Fuller的做法，引入一个比较小的补偿参数c，于是rt=log（y■■+c），相应地这里也要对εt的分布进行修改，即
p（εt）=WN（logc，σc）+（1-W）■ωjN（μj，βσ■■）
其中W表示为收益率为零的概率。如果模型不做这样的修改，那么由于零收益率的存在，这使得模型的MCMC抽样不容易收敛。此外，如果εt服从一个参数分布，则其均值是固定的，因此在波动率方程中均值μ是可识别的。但是此模型中εt有一个非参数先验分布，于是εt的均值是随机的，参照Bush等的做法将μ加入到εt中，因此模型（3）重新表示成如下形式（SPM）：
rt=h■■+ε■■，ε■■～F，
h■■=？覬h■■+σηt，ηt～N（0，1）
其中ε■■=εt+μ，h■■=ht-μ，以此将μ与εt区分开来。在SPM模型中，收益的分布是非参数化的，相比于参数分布能够更好地描述金融资产收益特性，并能够提高收益和风险价值的预测精度。
（四）MCMC估计方法
由于模型中包含不可观测的变量——波动率，所以模型的参数估计比较困难。这里简单介绍SPM模型的MCMC估计参数方法，具体参照Delatola等设计的MCMC抽样方法。令y*=（y■■，y■■，…，y■■），h=（h1，h2，…，hn）andμ′=（μ1′，μ2′，…，μn′），指示变量S=（S1，S2，…，Sn）用来判断Dirichlet过程特殊值属于哪种混合分布。MCMC算法更新参数步骤如下：
1. 設定？覬，σ■■，σ■■，μ0，μ′，M，S和W的初值；
2. 从后验分布h|y*，？覬，σ■■，σ■■，μ0，μ′，M，W，S中更新h；
3. 从后验分布S|y*，？覬，σ■■，σ■■，μ0，μ′，M，W，H中更新s；
4. 从后验分布σ■■，μ0，μ′，M，W|y*，？覬，σ■■，S，h中更新σ■■；
5. 从后验分布？覬，σ■■|y*，σ■■，μ0，μ′，M，W，S，h中更新？覬。
（一）数据说明与统计描述
本文选取2003年1月1日至2017年8月10日共3723组世界黄金期货市场收盘价为样本数据（如图1所示），数据来源于 Investing.com。在实证分析中将日收盘价转换为日收益率来使用，收益率采用JP摩根集团的对数收益率的概念，即Rt=lnpt-lnpt-1（其中Rt是收益率，pt是第t日的黄金期货收盘价，pt-1是前一日的黄金期货收盘价）。
（a）给出了黄金期货日度收盘价格的变化轨迹，可以看出在2012年以前黄金价格一度走高，说明在黄金期货市场开放以来，越来越多的投资者与机构意识到了黄金期货增值、规避风险等特性；而从（b）可以看到黄金期货收益率具有金融数据所特有的波动聚集性，暴涨暴跌这种极端情况比比皆是；从（c）、（d）两图我们可以看到无论是经验收益率密度还是QQ图，均与正态分布偏离较大，说明黄金期货收益率序列并不服从正态分布。
从表1中可以看到黄金期货对数收益率序列偏度为-0.3748936（左偏），峰度为 8.043399（高峰），说明该序列具有金融数据所特有的“尖峰厚尾”性。JB 检验P 值<0.01，即JB 检验值位于拒绝域内，ADF=-15.273，小于ADF检验1%～10%的各种显著水平ADF临界值，又p=0.01，所以拒绝原假设（原假设为非平稳），即认为黄金期货日收益率序列是平稳的。综上描述，可以应用SV-N、SV-T及SPM模型对黄金期货日收益率序列进行实证研究。
（二）参数估计与黄金期货实证研究
根据SPM模型模拟产生样本长度的观测序列，其中？覬0=0.97，σ2=0.15，εt服从7个正态分布的混合分布。运用MCMC抽样方法进行参数估计，得到模型参数估计结果。
表2给出了数值模拟的实验结果，参数估计结果和相应的95%的置信区间，参数估计的结果接近于相应的真实值，且真实值均处于置信区间中，表明此估计方法比较准确，可以获得合理并有效的参数估计结果。本文以黄金期货日度收益率数据，运用MCMC抽样方法估计参数，运行100000次抽样，前5000次作为预热舍弃，后95000次抽样值用于模型分析，得到模型参数估计结果如表4所示。
表3给出了SPM模型、SV-N模型和SV-T模型的参数估计结果。从表中可以看出，波动率持续性参数 的估计值均接近于1，这意味着黄金期货收益的波动过程明显具有很强的持续性，其中SPM模型的值最大，证明了SPM模型能够更好地刻画序列的波动持续性。参数估计值大于4，说明分布具有厚尾特征。
（三）模型比较 本文采用对数预测得分对模型预测效果进行比较研究，向前一步预测的平均定义为：
LPS=■■logp（r■|r■）
其中rt=（r1，r2，…，rt）。一般LPS值越小说明模型预测能力越好，但研究发现，通常不同模型LPS值比较接近，另外在金融风险管理领域中，人们更关注于极端事件，因此对极端事件的预测能力更重要，于是本文采用对数预测尾部得分（LPTSβ）对模型极端风险预测效果进行比较研究LPTSβ定义分别为：
LPTSβ=■∑■■I（ri>zβ）logp（r■|r■）
其中zβ表示收益数据经验分布的上100β%分位数。具体评价准则为LPTSβ值越小，说明模型对于极端事件预测能力越好。
表3给出黄金期货日度收益率数据在不同模型中预测结果，从表4可以看出不同模型的LPS得分值非常接近，说明模型预测能力均较好，但是在LPTS得分，SPM模型得分值最小，说明在极端风险预测方面上，SPM模型预测效果最好。因此，SPM模型不但能够较好刻画黄金期货日度收益率数据，而且对极端事件预测方面均有较好的效果。
本文使用SV-N、SV-T、SPM模型和MCMC估计方法对世界黄金价格波动过程的动态特征进行了实证分析，采用对数预测得分对模型预测效果进行比较研究。结果表明，从LPTS得分看，SPM得分最低，预测效果最好。相较于SV-N、SV-T模型，SPM在刻画金融数据尾部特征以及波动特征方面能力更强、拟合效果更好。
参考文献：
[1]陈杨林，向东进.基于波动率模型的世界黄金价格实证分析[J].决策与信息：财经观察，2008（09）.
[2]Batten J A， Lucey B M. Volatility in the Gold Futures Market[C].IIIS，2007.
[3]王兆才.上海黄金期货收益率波动状态转换行为研究——基于MCMC参数估计的MRS-GARCH（1，1）模型[J].世界经济情况，2012（01）.
[4]孙赵晖.中国黄金市场波动性特征分析[J].长沙理工大学学报（社会科学版）， 2015（02）.
[5]刘雪洁.中国黄金期货市场波动特征和风险度量研究[D].首都经济贸易大学，2016.
[6]苏理云，王杰.基于SV-POT模型的黄金市场的动态VaR预测[J].重庆理工大学学报，2017（05）.
[7]Delatola E I， Griffin J E. Bayesian Nonparametric Modelling of the Return Distribution with Stochastic Volatility[J]. Social Science Electronic Publishing， 2011（04）.
[8]Mark J. Jensen and John M. Maheu. Bayesian Semiparametric Stochastic Volatility Modeling[J]. Journal of Econometrics，20
10（02）.
[9]Taylor S J. Financial returns modelled by the product of two stochastic processes | a study of daily sugar prices 1961-79[J]. Time，2005（01）.
[10]Chib S， Shephard N， Nardari F. Markov Chain Monte Carlo Methods for Generalized Stochastic Volatility Models[J]. Economics，1998（08）.
[11]Liesenfeld R， Jung R C. Stochastic volatility models： conditional normality versus heavy-tailed distributions[J]. Journal of Applied Econometrics，2000（02）.
[12]Bush C A， Maceachern S N. A Semiparametric Bayesian Model for Randomised Block Designs[J]. Biometrika，1996（02）.
[13]Durham G B. SV mixture models with application to S&P 500 index returns[J]. Journal of Financial Economics，2007（03）.
[14]Jacquier E，Polson N G，Rossi P E， Bayesian analysis of stochastic volatility models[J]. Journal of Business &Economic Statistics，2002（01）.
[15]Broto， C. and Ruiz， E. Estimation methods for stochastic volatility models： a survey[J]. Journal of Economic Surveys， 2004（18）.
[16]江良，林鴻熙.随机波动率Hull-White模型参数估计方法[J].系统工程学报，2016（05）.
[17]Chib S， Shephard N， Nardari F. Markov Chain Monte Carlo Methods for Generalized Stochastic Volatility Models[J]. Economics，1998（08）.
[18]Durham G B. SV mixture models with application to S&P 500 index returns[J]. Journal of Financial Economics， 2007 （03）.
[19]Mark J. Jensen and John M. Maheu. Bayesian Semiparametric Stochastic Volatility Modeling[J]. Journal of Econometrics，2010（02）.
[20]Christie A A.The stochastic behavior of common stock variances[J]. Journal of Financial Economics，1982（10）.
[21]Kim S， Shephard N， Chib S. Stochastic volatility： likelihood inference and comparison with ARCH models[J]. The review of economic studies，1998（03）.
（作者单位：贵州大学数学与统计学院）
关键词：黄金期货；半参数随机波动率模型；MCMC
一、引言
黄金是同时具有商品、货币以及投资属性的一种特殊商品，可用于资产储备和投资增值。自2002年上海黄金交易所成立以来，我国黄金市场逐步市场化，与世界接轨，为投资者与投资机构提供了良好的平台。目前黄金期货市场交易量和交易额持续增多，起到了很好的风险发散作用。黄金不仅具有商品属性，还具有金融属性，其波动性不仅影响人民生活稳定还影响金融稳定，其市场健康发展对于国家金融系统稳定非常重要，所以对黄金期货市场的科学研究是刻不容缓的。
目前，对黄金期货收益率波动特征的研究并不多见。陈杨林等（2008）应用GARCH与SV-T模型对世界黄金价格的走势与波动性进行分析，实证结果表明SV-T模型对世界黄金价格走势的拟合与预测均优于GARCH模型；Jonathan 等人（2010）选取美国黄金期货1999～ 2005年高频样本作为分析数据，采用 GARCH 模型和 Garman Klass 统计值相结合的方式，探讨了该市场日内波动结构；王兆才（2012）研究表明两状态MRS-GARCH（1，1）模型的拟合和预测效果均优于单状态的GARCH模型；孙赵晖（2015）利用SV类模型，以2009年以来的上海黄金交易市场的收益率数据为代表，分析结果认为我国黄金市场波动持续性强且具有尖峰厚尾性，其中Leverage-SV模型拟合效果相对较优；苏理云等（2017）针对黄金市场呈现的波动持续性等特征，建立SV-POT的组合模型，较为精确地预测了该金融市场的动态Var。
在SV模型中，贝叶斯非参数化方法是一个全新的研究领域，Eleni-Ioanna Delatola等提出了一种基于贝叶斯分析方法的半参数SV模型（SPM），并通过数值模拟验证了该模型较传统SV类模型的优越性，该类完全放弃对观测方程的随机误差项的参数假设，考虑一个半参数的SV模型，在这种模型中，收益的分布是非参数化的，相比于参数分布能够更好地描述金融资产收益特性，并能够提高收益和风险价值的预测精度。
本文的主要贡献是首次尝试在半参数随机波动（Semiparametric Stochastic Volatility，SPM）模型框架内来考察世界黄金价格波动过程的动态特征。选取2003年1月1日至2017年8月10日期间世界黄金期货市场收盘价为原始数据，利用SPM、SV-N、SV-T模型进行实证研究，使用MCMC方法进行参数估计，以期能够较为精确地掌握世界黄金期货市场的波动特征。
二、模型及MCMC估计方法
（一）SV-N模型
Taylor等提出了SV模型，SV类模型在波动过程中引入了一个新的随机过程，相较于GARCH族模型，其对收益率的拟合能力更强，且对波动率具有更好的拟合效果和预测能力。
标准的SV模型如下：
yt=exp（ht/2）εt，εt～i，i，dN（0，1），t= 1，2，…，n（1）
其中，ht表示第t日的收益率的对数波动率，而yt则代表第t日的收益率，误差项εt和ηt相互独立，ηt为波动的扰动水平，独立同分布于正态分布，εt独立同分布N（0，1）。φ为持续性参数，反映的是当前波动对未来波动的持续影响，当|？覬|<1，SV是协方差平稳的。
（二）SV-T模型
因为多数金融时间序列的无条件分布与标准正态分布相比，会呈现出尖峰厚尾的特征，这就导致SV-N模型对于描述金融时间序列有一定的局限性。许多学者尝试对SV模型进行改进，Chib等对标准SV模型中观测方程的随机误差项设定为具有厚尾特征的分布如t分布、GED 分布等，Liesenfeld R and Jung RC提出了SV-T模型，并发现该模型可以更好的刻画金融数据尖峰厚尾分布特征。
SV-T模型如下：
yt=exp（ht/2）εt，εt～i，i，dt（0，1，v），t= 1，2，…，n（2）
ht+1=u+φ（ht-u）+ηt，ηt～i，i，dN（0，δη），t= 1，2，…，n
f（εt）=[（v-2）]■■1+■■
與标准SV模型最主要的区别在于SV-T中令误差项，并以此来刻画厚尾特征。（2）中第三个式子是用来描述金融数据“尖峰厚尾”特征的，当4
（三）SPM模型
Kim等提出线性标准SV模型，定义rt=logy■■和εt=logv■■，结果如下：
rt=ht+εt，εt～F，
ht+1=μ+？覬（ht-μ）+σηt，ηt～N（0，1）（3）
如果vt服从正态分布，可以看到εt服从logχ■■分布，Kim等提出通过仔细调整的有限正态混合分布去近似logχ■■的分布，Delatola等提出对于不知εt～F的分布，利用Dirichlet过程先验这一非参数分布对εt进行统计建模，使用一个无限正态混合分布去近似εt的分布。即 εt|μ■～N（μ■，βσ■■）μ■～G，G～DP（α，G■）G■≡N（μ■，（1-β）σ■■）
其中，DP表示Dirichlet过程；α和G0分别表示精度参数和基分布；β为光滑参数。用非参数混合Dirichlet过程表示εt的条件分布为无限个均值不同，方差相同的正态分布混合分布，条件均值μt服从精度参数为α的Dirichlet过程，且基分布的均值为μ0，方差为（1-β）σ■■的正态分布。
另外，由于Kim等对数据转换为线性模型的时候发现了一个问题，即当收益率的值很接近于零或等于零时，这就使得收益率数据变换后的值是极小的负值甚至为负无穷，因此，Kim等参照Fuller的做法，引入一个比较小的补偿参数c，于是rt=log（y■■+c），相应地这里也要对εt的分布进行修改，即
p（εt）=WN（logc，σc）+（1-W）■ωjN（μj，βσ■■）
其中W表示为收益率为零的概率。如果模型不做这样的修改，那么由于零收益率的存在，这使得模型的MCMC抽样不容易收敛。此外，如果εt服从一个参数分布，则其均值是固定的，因此在波动率方程中均值μ是可识别的。但是此模型中εt有一个非参数先验分布，于是εt的均值是随机的，参照Bush等的做法将μ加入到εt中，因此模型（3）重新表示成如下形式（SPM）：
rt=h■■+ε■■，ε■■～F，
h■■=？覬h■■+σηt，ηt～N（0，1）
其中ε■■=εt+μ，h■■=ht-μ，以此将μ与εt区分开来。在SPM模型中，收益的分布是非参数化的，相比于参数分布能够更好地描述金融资产收益特性，并能够提高收益和风险价值的预测精度。
（四）MCMC估计方法
由于模型中包含不可观测的变量——波动率，所以模型的参数估计比较困难。这里简单介绍SPM模型的MCMC估计参数方法，具体参照Delatola等设计的MCMC抽样方法。令y*=（y■■，y■■，…，y■■），h=（h1，h2，…，hn）andμ′=（μ1′，μ2′，…，μn′），指示变量S=（S1，S2，…，Sn）用来判断Dirichlet过程特殊值属于哪种混合分布。MCMC算法更新参数步骤如下：
1. 設定？覬，σ■■，σ■■，μ0，μ′，M，S和W的初值；
2. 从后验分布h|y*，？覬，σ■■，σ■■，μ0，μ′，M，W，S中更新h；
3. 从后验分布S|y*，？覬，σ■■，σ■■，μ0，μ′，M，W，H中更新s；
4. 从后验分布σ■■，μ0，μ′，M，W|y*，？覬，σ■■，S，h中更新σ■■；
5. 从后验分布？覬，σ■■|y*，σ■■，μ0，μ′，M，W，S，h中更新？覬。
三、黄金市场的实证分析
（一）数据说明与统计描述
本文选取2003年1月1日至2017年8月10日共3723组世界黄金期货市场收盘价为样本数据（如图1所示），数据来源于 Investing.com。在实证分析中将日收盘价转换为日收益率来使用，收益率采用JP摩根集团的对数收益率的概念，即Rt=lnpt-lnpt-1（其中Rt是收益率，pt是第t日的黄金期货收盘价，pt-1是前一日的黄金期货收盘价）。
（a）给出了黄金期货日度收盘价格的变化轨迹，可以看出在2012年以前黄金价格一度走高，说明在黄金期货市场开放以来，越来越多的投资者与机构意识到了黄金期货增值、规避风险等特性；而从（b）可以看到黄金期货收益率具有金融数据所特有的波动聚集性，暴涨暴跌这种极端情况比比皆是；从（c）、（d）两图我们可以看到无论是经验收益率密度还是QQ图，均与正态分布偏离较大，说明黄金期货收益率序列并不服从正态分布。
从表1中可以看到黄金期货对数收益率序列偏度为-0.3748936（左偏），峰度为 8.043399（高峰），说明该序列具有金融数据所特有的“尖峰厚尾”性。JB 检验P 值<0.01，即JB 检验值位于拒绝域内，ADF=-15.273，小于ADF检验1%～10%的各种显著水平ADF临界值，又p=0.01，所以拒绝原假设（原假设为非平稳），即认为黄金期货日收益率序列是平稳的。综上描述，可以应用SV-N、SV-T及SPM模型对黄金期货日收益率序列进行实证研究。
（二）参数估计与黄金期货实证研究
根据SPM模型模拟产生样本长度的观测序列，其中？覬0=0.97，σ2=0.15，εt服从7个正态分布的混合分布。运用MCMC抽样方法进行参数估计，得到模型参数估计结果。
表2给出了数值模拟的实验结果，参数估计结果和相应的95%的置信区间，参数估计的结果接近于相应的真实值，且真实值均处于置信区间中，表明此估计方法比较准确，可以获得合理并有效的参数估计结果。本文以黄金期货日度收益率数据，运用MCMC抽样方法估计参数，运行100000次抽样，前5000次作为预热舍弃，后95000次抽样值用于模型分析，得到模型参数估计结果如表4所示。
表3给出了SPM模型、SV-N模型和SV-T模型的参数估计结果。从表中可以看出，波动率持续性参数 的估计值均接近于1，这意味着黄金期货收益的波动过程明显具有很强的持续性，其中SPM模型的值最大，证明了SPM模型能够更好地刻画序列的波动持续性。参数估计值大于4，说明分布具有厚尾特征。
（三）模型比较 本文采用对数预测得分对模型预测效果进行比较研究，向前一步预测的平均定义为：
LPS=■■logp（r■|r■）
其中rt=（r1，r2，…，rt）。一般LPS值越小说明模型预测能力越好，但研究发现，通常不同模型LPS值比较接近，另外在金融风险管理领域中，人们更关注于极端事件，因此对极端事件的预测能力更重要，于是本文采用对数预测尾部得分（LPTSβ）对模型极端风险预测效果进行比较研究LPTSβ定义分别为：
LPTSβ=■∑■■I（ri>zβ）logp（r■|r■）
其中zβ表示收益数据经验分布的上100β%分位数。具体评价准则为LPTSβ值越小，说明模型对于极端事件预测能力越好。
表3给出黄金期货日度收益率数据在不同模型中预测结果，从表4可以看出不同模型的LPS得分值非常接近，说明模型预测能力均较好，但是在LPTS得分，SPM模型得分值最小，说明在极端风险预测方面上，SPM模型预测效果最好。因此，SPM模型不但能够较好刻画黄金期货日度收益率数据，而且对极端事件预测方面均有较好的效果。
四、结语
本文使用SV-N、SV-T、SPM模型和MCMC估计方法对世界黄金价格波动过程的动态特征进行了实证分析，采用对数预测得分对模型预测效果进行比较研究。结果表明，从LPTS得分看，SPM得分最低，预测效果最好。相较于SV-N、SV-T模型，SPM在刻画金融数据尾部特征以及波动特征方面能力更强、拟合效果更好。
参考文献：
[1]陈杨林，向东进.基于波动率模型的世界黄金价格实证分析[J].决策与信息：财经观察，2008（09）.
[2]Batten J A， Lucey B M. Volatility in the Gold Futures Market[C].IIIS，2007.
[3]王兆才.上海黄金期货收益率波动状态转换行为研究——基于MCMC参数估计的MRS-GARCH（1，1）模型[J].世界经济情况，2012（01）.
[4]孙赵晖.中国黄金市场波动性特征分析[J].长沙理工大学学报（社会科学版）， 2015（02）.
[5]刘雪洁.中国黄金期货市场波动特征和风险度量研究[D].首都经济贸易大学，2016.
[6]苏理云，王杰.基于SV-POT模型的黄金市场的动态VaR预测[J].重庆理工大学学报，2017（05）.
[7]Delatola E I， Griffin J E. Bayesian Nonparametric Modelling of the Return Distribution with Stochastic Volatility[J]. Social Science Electronic Publishing， 2011（04）.
[8]Mark J. Jensen and John M. Maheu. Bayesian Semiparametric Stochastic Volatility Modeling[J]. Journal of Econometrics，20
10（02）.
[9]Taylor S J. Financial returns modelled by the product of two stochastic processes | a study of daily sugar prices 1961-79[J]. Time，2005（01）.
[10]Chib S， Shephard N， Nardari F. Markov Chain Monte Carlo Methods for Generalized Stochastic Volatility Models[J]. Economics，1998（08）.
[11]Liesenfeld R， Jung R C. Stochastic volatility models： conditional normality versus heavy-tailed distributions[J]. Journal of Applied Econometrics，2000（02）.
[12]Bush C A， Maceachern S N. A Semiparametric Bayesian Model for Randomised Block Designs[J]. Biometrika，1996（02）.
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（作者单位：贵州大学数学与统计学院）