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摘 要： 为增强学生运用数学的意识，提高解决实际问题的能力，作者结合教学体会，从理论及实践上分析了高中数学建模的必要性，并针对问题分析了高中数学建模教学的基本方法及培养学生创新思维的途径。
关键词： 数学建模教学 建模意识 创新思维
我国普通高中新数学教学大纲明确指出“切实培养学生解决实际问题的能力”，要求“增强用数学的意识，能初步应用数学模型解决实际问题，逐步学会把实际问题归结为数学模型，然后应用数学方法进行探索、猜测、判断、证明、运算、检验使问题得到解决。”这些需求不仅契合数学自身发展的需求，而且是社会发展的需要。
一、明确数学建模，培养建模意识
“数学就是对于模式的研究”。（著名数学家怀特海语）什么是数学模型？即，对于某一特定研究对象，为了特定的目的，在一些必要而特定的简化假定的前提下，应用恰当的数学工具，并以数学语言的方式表述出来的一个数学结构。如数学中的各种数学公式、定理、方程式等，都是一些具体可感的数学模型。比如，二次函数即是一个数学模型。通过转化为二次函数的模式，很多数学问题和实际性问题能得以解决。如此，通过把问题数学化，借以模型构建，进而求解检验，从而使问题得以解决的方法，被称作数学模型方法。所以，说到底，我们的数学教学应该教给学生前人已知的一个个数学模型及如何才能够构建模型的思想意识，以便让学生能够应用数学模型解决数学问题及实际问题。
那么，具体地讲，数学模型方法是怎样操作的？如下所示：
由此可见，培养学生应用数学建模方式解决实际问题的能力关键在于把实际性问题转化为数学问题，这就必须先进行观察分析、提炼出实际问题的相关的数学模型，再把数学模型融入相关的知识系统中进行相应处理。这就要求学生必须有一定的抽象思维能力，还要有一定的观察能力、分析能力、综合能力及类比能力等。当然这种能力并非一朝一夕就能够轻而易举地获得，它需要教师始终把数学建模意识的培养贯穿在数学教学之中，即应该不断诱导学生以数学思维和观点进行观察、分析和把握各种关系和数学信息，从复杂繁琐的实际问题中抽象化为熟知的数学模型，最终解决实际问题，并要能够使数学建模意识潜化为学生思考问题的方法和习惯。
二、了解建模条件，掌握基本途径
1.树立学生的建模意识，应先内化自己的建模意识。这就意味着我们不仅在教学内容和要求上力求变化，更饱含着教育思想及教学观念的不断更新。因而，我们除需要了解本学科的发展历史进程和发展动态之外，还应该不断地学习新的数学建模理论，并且努力研究如何使之应用于现实生活。如，我在大街上曾看到这样的一则广告：“本店承接A1型号影印。”A1型号是什么？在弄清了诸多型号的比例关系之后，我就把这一材料引入到教学之中，获得了较好的课堂教学效果。
2.数学建模教学立足于现行教材。在教学中，应该向学生尽可能多地介绍一些常用的、典型的数学模型。比如，函数模型、解析几何模型、数列模型、方程模型等。我们应研讨在各个教学章节中应引入哪些模型问题，如储蓄问题可结合在数列教学中。在建模意识的渗透中，通过长期的潜移默化，学生就能够从各种建模问题中慢慢感受到数学建模的广泛应用，从而诱发学生研究的兴趣，进而提高应用数学知识进行建模的能力。
如，在教学二次函数的最值问题后，为促使学生懂得如何用数学建模的方法解决实际问题，我通过下面的例子辅以讲解。例：包间的定价问题。某个大酒店有150个包间，经过一阶段经营实践，得出：每间包间定价为160元时，下订率为55%，每间包间定价为140元时，下订率为65%，每间包间定价为120元时，下订率为75%，每间包间定价为100元时，下订率为85%。要使每天收入达最高值，每间包间应怎样定价？
[简化假设]
因为一个实际问题往往是复杂多变的，如不经过合理的简化假设，将很难转化成数学模型，即便转化成功，也可能是一个复杂的难于求解的模型，从而使建模归于失败。所以作出假设时要充分利用与问题相关的学科知识，充分发挥想象力和观察力，分清问题的主次，抓住主要因素，舍弃次要因素。此外语言要准确，就像做习题时写出已知条件一样。对例题来说，依前面的分析，我们可作如下假设：（1）每间包间最高定价为160元；（2）设随着定价的下降，下订率呈线性增长；（3）设大酒店每间包间定价相等。
[建立模型]
按照假设分析相关变量间关系，寻求等量（不等量）关系或其他关系以建立模型。这中间要尽量利用已知领域的已知模型或结果，通过类比等方法构造模型。另外，建立模型时还要注意一个原则：能用初等工具绝不用高等工具，能用简单方法绝不用复杂方法。按照上题我们建立其数学模型。
设y表示大酒店一天的总收入，与160元相比每间包间降低的定价为x元。由假设（2）可得，每降价1元，下订率就增加10%÷20=0.005。因此，得出，y=150（160-x）×（0.55 0.005x）。由0.55 0.005x≤1，可知0≤x≤90。于是问题转化为：当0≤x≤90时，y的最大值是多少？
[求解模型]
依据所建立模型的特点，归属（哪个数学分支）寻求其求解方法。由此，可得到：
通过二次函数求最值，即可得：当x=25时，包间定价为135元，y取最大值13668.75（元）。
[讨论与验证]
所谓检验是将数学上分析结果返回到实际问题中，并用实际现象或数据与模型计算出的结果进行比较，检验模型的合理性和适用性。
（1）验证得出，此收入在各种已知定价对应的收入中是最大的。如果为了便于管理，则定价为140元也是可以的，因为此时它与最高收入只差18.75元。
（2）如果定价为180元，下订率则为45%，其收入就只有12150元，所以假设（1）是合理的。 3.结合专题讨论与建模法研究。我们可选取合适的建模专题，比如“代数法建模”、“图解法建模”等，通过探讨、剖析和研究，了解并掌握一些数学建模的重要思想及基本方法。还可以让学生通过对平常生活的观察选取实际问题进行建模练习，从而尝到数学建模成功的“成就感”和难于解决的“不易感”，进而拓宽视野、增长知识、积累经验。
三、强化建模意识，培养创新思维
在众多的思维活动之中，创新思维属于最高层次的思维活动。它具有开拓性、创造性的特点。因此，培养学生创新思维的过程主要有三点基本要求。首先，积极对待周围的事物；接着，勇于提出问题；然后，巧于联想，善于理论联系实际。因而，培养学生建模意识，实际上是培养学生的创造性思维能力，其不仅有一定的理论性，还有实质性的实践活动。同时，在建模活动过程中，思维应具有深刻性和灵活性。
1.以“建模”为基点，培养直觉思维。在数学史中，我们不难发现，直觉思维促使了不少的数学发现，比如哥德巴赫猜想、欧拉定理等，这些都是在观察、比较、领悟中发现的。而通过数学建模教学，可以促使学生具有独特的见解和不同一般的思考方法。当然，这就要求在教学中尽量培养学生敏锐的观察能力和想象能力。
2.以“建模”为介质，培养转换能力。数学建模，其实就是把实际问题转换成为数学问题。所以，如果在数学教学中能够注重转化，则对培养学生思维的灵活性、创新性乃至提高解题速度都是有显著作用的。对“建模”的进一步研究，无疑会激起学生学习数学的主动性，且能发展学生的创造性思维能力，并养成善于发现问题，独立思考的习惯。
3.以“建模”为载体，培养创新能力。“建模”即构造模型，这不是一件轻而易举的事，必须具备较强的构造能力。而构造能力又制约着创造性思维及创造能力。可见，在数学教学中，构建学生的数学建模意识与培养学生的创造性思维能力紧密相关。所以，在教学中，我们应细心观察，精巧设计，可以把一些看似繁杂抽象的问题，去伪存真，从而构造出最基本的数学模型，培养学生的创新能力。
总之，要让学生解析和解决问题的能力得到质的飞跃，真正提高其数学应用能力，学到确实有用的数学，就应该坚持以学生为主体，充分调动学生的主观能动性，开展切合学生实际的建模教学。
参考文献：
[1]朱中华.中学数学建模活动的实践与认识[D].华中师范大学，2001.
[2]陈国勋.构建数学模型巧解有关问题[J].福建中学数学，2003（04）.
[3]赵冬歌.关于“高中学生数学建模”的评价[D].首都师范大学，2005.
[4]王广富，王凤灵.《数学模型》课程教学的探讨[J].保山师专学报，2007（02）.
[5]雷欣.中学数学常用的解题方法[J].江西教育，2010（Z3）.
关键词： 数学建模教学 建模意识 创新思维
我国普通高中新数学教学大纲明确指出“切实培养学生解决实际问题的能力”，要求“增强用数学的意识，能初步应用数学模型解决实际问题，逐步学会把实际问题归结为数学模型，然后应用数学方法进行探索、猜测、判断、证明、运算、检验使问题得到解决。”这些需求不仅契合数学自身发展的需求，而且是社会发展的需要。
一、明确数学建模，培养建模意识
“数学就是对于模式的研究”。（著名数学家怀特海语）什么是数学模型？即，对于某一特定研究对象，为了特定的目的，在一些必要而特定的简化假定的前提下，应用恰当的数学工具，并以数学语言的方式表述出来的一个数学结构。如数学中的各种数学公式、定理、方程式等，都是一些具体可感的数学模型。比如，二次函数即是一个数学模型。通过转化为二次函数的模式，很多数学问题和实际性问题能得以解决。如此，通过把问题数学化，借以模型构建，进而求解检验，从而使问题得以解决的方法，被称作数学模型方法。所以，说到底，我们的数学教学应该教给学生前人已知的一个个数学模型及如何才能够构建模型的思想意识，以便让学生能够应用数学模型解决数学问题及实际问题。
那么，具体地讲，数学模型方法是怎样操作的？如下所示：
由此可见，培养学生应用数学建模方式解决实际问题的能力关键在于把实际性问题转化为数学问题，这就必须先进行观察分析、提炼出实际问题的相关的数学模型，再把数学模型融入相关的知识系统中进行相应处理。这就要求学生必须有一定的抽象思维能力，还要有一定的观察能力、分析能力、综合能力及类比能力等。当然这种能力并非一朝一夕就能够轻而易举地获得，它需要教师始终把数学建模意识的培养贯穿在数学教学之中，即应该不断诱导学生以数学思维和观点进行观察、分析和把握各种关系和数学信息，从复杂繁琐的实际问题中抽象化为熟知的数学模型，最终解决实际问题，并要能够使数学建模意识潜化为学生思考问题的方法和习惯。
二、了解建模条件，掌握基本途径
1.树立学生的建模意识，应先内化自己的建模意识。这就意味着我们不仅在教学内容和要求上力求变化，更饱含着教育思想及教学观念的不断更新。因而，我们除需要了解本学科的发展历史进程和发展动态之外，还应该不断地学习新的数学建模理论，并且努力研究如何使之应用于现实生活。如，我在大街上曾看到这样的一则广告：“本店承接A1型号影印。”A1型号是什么？在弄清了诸多型号的比例关系之后，我就把这一材料引入到教学之中，获得了较好的课堂教学效果。
2.数学建模教学立足于现行教材。在教学中，应该向学生尽可能多地介绍一些常用的、典型的数学模型。比如，函数模型、解析几何模型、数列模型、方程模型等。我们应研讨在各个教学章节中应引入哪些模型问题，如储蓄问题可结合在数列教学中。在建模意识的渗透中，通过长期的潜移默化，学生就能够从各种建模问题中慢慢感受到数学建模的广泛应用，从而诱发学生研究的兴趣，进而提高应用数学知识进行建模的能力。
如，在教学二次函数的最值问题后，为促使学生懂得如何用数学建模的方法解决实际问题，我通过下面的例子辅以讲解。例：包间的定价问题。某个大酒店有150个包间，经过一阶段经营实践，得出：每间包间定价为160元时，下订率为55%，每间包间定价为140元时，下订率为65%，每间包间定价为120元时，下订率为75%，每间包间定价为100元时，下订率为85%。要使每天收入达最高值，每间包间应怎样定价？
[简化假设]
因为一个实际问题往往是复杂多变的，如不经过合理的简化假设，将很难转化成数学模型，即便转化成功，也可能是一个复杂的难于求解的模型，从而使建模归于失败。所以作出假设时要充分利用与问题相关的学科知识，充分发挥想象力和观察力，分清问题的主次，抓住主要因素，舍弃次要因素。此外语言要准确，就像做习题时写出已知条件一样。对例题来说，依前面的分析，我们可作如下假设：（1）每间包间最高定价为160元；（2）设随着定价的下降，下订率呈线性增长；（3）设大酒店每间包间定价相等。
[建立模型]
按照假设分析相关变量间关系，寻求等量（不等量）关系或其他关系以建立模型。这中间要尽量利用已知领域的已知模型或结果，通过类比等方法构造模型。另外，建立模型时还要注意一个原则：能用初等工具绝不用高等工具，能用简单方法绝不用复杂方法。按照上题我们建立其数学模型。
设y表示大酒店一天的总收入，与160元相比每间包间降低的定价为x元。由假设（2）可得，每降价1元，下订率就增加10%÷20=0.005。因此，得出，y=150（160-x）×（0.55 0.005x）。由0.55 0.005x≤1，可知0≤x≤90。于是问题转化为：当0≤x≤90时，y的最大值是多少？
[求解模型]
依据所建立模型的特点，归属（哪个数学分支）寻求其求解方法。由此，可得到：
通过二次函数求最值，即可得：当x=25时，包间定价为135元，y取最大值13668.75（元）。
[讨论与验证]
所谓检验是将数学上分析结果返回到实际问题中，并用实际现象或数据与模型计算出的结果进行比较，检验模型的合理性和适用性。
（1）验证得出，此收入在各种已知定价对应的收入中是最大的。如果为了便于管理，则定价为140元也是可以的，因为此时它与最高收入只差18.75元。
（2）如果定价为180元，下订率则为45%，其收入就只有12150元，所以假设（1）是合理的。 3.结合专题讨论与建模法研究。我们可选取合适的建模专题，比如“代数法建模”、“图解法建模”等，通过探讨、剖析和研究，了解并掌握一些数学建模的重要思想及基本方法。还可以让学生通过对平常生活的观察选取实际问题进行建模练习，从而尝到数学建模成功的“成就感”和难于解决的“不易感”，进而拓宽视野、增长知识、积累经验。
三、强化建模意识，培养创新思维
在众多的思维活动之中，创新思维属于最高层次的思维活动。它具有开拓性、创造性的特点。因此，培养学生创新思维的过程主要有三点基本要求。首先，积极对待周围的事物；接着，勇于提出问题；然后，巧于联想，善于理论联系实际。因而，培养学生建模意识，实际上是培养学生的创造性思维能力，其不仅有一定的理论性，还有实质性的实践活动。同时，在建模活动过程中，思维应具有深刻性和灵活性。
1.以“建模”为基点，培养直觉思维。在数学史中，我们不难发现，直觉思维促使了不少的数学发现，比如哥德巴赫猜想、欧拉定理等，这些都是在观察、比较、领悟中发现的。而通过数学建模教学，可以促使学生具有独特的见解和不同一般的思考方法。当然，这就要求在教学中尽量培养学生敏锐的观察能力和想象能力。
2.以“建模”为介质，培养转换能力。数学建模，其实就是把实际问题转换成为数学问题。所以，如果在数学教学中能够注重转化，则对培养学生思维的灵活性、创新性乃至提高解题速度都是有显著作用的。对“建模”的进一步研究，无疑会激起学生学习数学的主动性，且能发展学生的创造性思维能力，并养成善于发现问题，独立思考的习惯。
3.以“建模”为载体，培养创新能力。“建模”即构造模型，这不是一件轻而易举的事，必须具备较强的构造能力。而构造能力又制约着创造性思维及创造能力。可见，在数学教学中，构建学生的数学建模意识与培养学生的创造性思维能力紧密相关。所以，在教学中，我们应细心观察，精巧设计，可以把一些看似繁杂抽象的问题，去伪存真，从而构造出最基本的数学模型，培养学生的创新能力。
总之，要让学生解析和解决问题的能力得到质的飞跃，真正提高其数学应用能力，学到确实有用的数学，就应该坚持以学生为主体，充分调动学生的主观能动性，开展切合学生实际的建模教学。
参考文献：
[1]朱中华.中学数学建模活动的实践与认识[D].华中师范大学，2001.
[2]陈国勋.构建数学模型巧解有关问题[J].福建中学数学，2003（04）.
[3]赵冬歌.关于“高中学生数学建模”的评价[D].首都师范大学，2005.
[4]王广富，王凤灵.《数学模型》课程教学的探讨[J].保山师专学报，2007（02）.
[5]雷欣.中学数学常用的解题方法[J].江西教育，2010（Z3）.