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【摘要】数学建模课程具有基础课程涉及面相当广、教学形式多样且教学手段不固定、应用性极强、难度大等特征.为提高学生数学建模能力，教师可以从数学软件的使用、教学方法多样性和灵活性等多个角度进行教学变革，应该着重对学生进行钻研精神的培养，以及在数学分析能力、建模洞察等多个方面有意识地进行知识和能力的双重提升.
【关键词】数学建模课程特点;数学建模教学;创新能力培养
社会的发展对于人的培养要求越来越高，数学课程作为高校各个专业课程体系中非常重要的一门基础课程，对于学生实践能力和创新思维的培养，有非常重要的作用.然而实际教学过程中，经常听见学生抱怨数学抽象并脱离实际，但真正学过数学建模课程的学生就不会这样说了.从事数学建模课程教学的教师，也发现学生经过一个学期的学习，并未达到该课程学习的初衷，即通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高分析问题和解决问题的能力;提高学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能运用数学解决问题;提高利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，将数学、计算机有机结合起来解决实际问题.
对此，本文分析这门课程的特点，再提出如何针对这些特点开展教师教学和学生学习.总体而言，数学建模课程的特点可以概括为以下几点.
一、数学建模课程的特点
（一）基础课程涉及面相当广
当然这取决于所涉及的具体问题以及授课对象，但对于本科层次的数学建模，学生需先掌握高等数学、线性代数、概率论与数理统计、微分方程、计算方法等基础课程.除了数学外，学生还应具备计算机基本的编程能力以及熟悉常见的算法等.
（二）教学形式多样且教学手段不固定
有的教师会采用基于数学方法的教学，比如按照初等模型、图模型、微分方程模型、优化模型、概率模型、统计模型等进行教学.有的教师会基于案例从确定到随机模型，从静态到动态模型，从线性到非线性模型，从离散到连续模型，从白箱到灰箱再到黑箱模型等进行教学.
（三）应用性极强
从欧几里得几何学到开普勒三大定律、牛顿万有引力定律、微积分，以及一些重要的力学、物理学科的基本微分方程，诸如电动学中的Maxwell方程、流体力学中的Navier-Stokes方程、量子力学中的Schrodinger方程无一不是数学模型.其实数学的研究对象就是现实世界的数学模型.整个数学的发展历史就是不断建立数学模型并对其研究逐步深化的历史.各种不同类型、不同难度的林林总总的数学模型及对其相应的研究，构成了洋洋大观的局面，这就是我们现在所面对的数学科学.
（四）难度大
建模的一般步骤——模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型检验、模型应用等没有一个是轻而易举的，都需要投入相当大的精力.我们在建模时应分析清楚现实问题，情况不明必定带来思考混乱，不可能把模型建好.还要向有经验的人请教，与人合作等.模型假设可能需千锤百炼方能敲定，不经历简化和合理做各种折中的尝试，无法得出合理模型.成型的数学模型还得求解，求出的解还得接受现实世界无情的检验，这不是一蹴而就的事，需要不断反复、不断修正.最后建好的模型一定是完美无缺的吗？想想人口问题模型，从Malthus模型到Logistic模型再到偏微分方程模型，偏微分方程模型也不是最后的终点.统计学大师乔治·博克斯说过：“所有的模型都是错误的，但有些是有用的.”
二、数学建模课程教与学的措施
由于数学建模课程存在上述特点，因此学生在学习过程中自然会存在多种问题——基础不足、经验不够、钻研欠缺等，在学习这门课的过程中感到不适应、压力大，有时拿到一个实际问题，却无从下手，甚至想放弃.对此，本文从教师教学过程和学生学习过程提出了下列措施.
（一）教师的教学过程
教师的教学过程可以从数学软件的使用、教学方法多样性和灵活性等多个角度进行教学变革.
首先，任课教师必须有过硬的数学知识以及熟悉掌握相关数学软件的能力，充分备课，深入思考课堂教学形式和授课手段.数学建模课程中，学生掌握几分和教师的教学息息相关.若想把数学建模课程讲好，教师要投入大量的时间和精力，所以不妨尝试这门课由多位教师授课，比如运筹学教师讲优化模型和LINGO软件，统计学教师讲统计模型和数据分析软件，计算方法教师讲模型求解和MATLAB软件等.同时任课教师也可以把数学建模当成自己的研究方向，这种问题驱动的应用数学研究就是选择有意义的问题向纵深方向发展，刻苦钻研，无论建立模型本身，还是对建模进行理论分析或提供算法，都是向高级的程度、深入的境界发展，完全可以迸发出自己的创新能力.
其次，任课教师应注重课堂教学灵活多样.数学建模课程没有规定固定的教学方式，有时以教师授课为主，有时以学生讨论为主，有时以学生实践为主.教师授课时不必面面俱到，也不必过于理论，数学建模课程的定位是学生用数学知识解决实际问题，是理论课的后继课程，重点放在学生分析问题、解决问题的能力的培养上面，所以基于数学方法这种教学形式要少些，基于案例的教学要多些，因为后者更注重能力的培养.当然这又取决于任课教师在课堂上的引导以及任课教师非常明确通过这个具体的案例传递给学生什么样的信息，这样的信息就是学生學习的知识点.当然这种信息应该是思维或建模过程中的共性或一般规律，具体来说就是转化的思想、类比的思想，如把不熟悉的问题转变成熟悉的问题，善于把握知识与知识之间的联系、知识与问题之间的联系等.譬如看见了交通流的问题要想到水流的问题，看见了差分方程模型就自然想到微分方程模型，看见了随机模型自然会问能不能用蒙特卡罗模拟，等等，否则学生容易陷入“上数学模型课时，觉得挺厉害，但课后再回想就想不出什么知识点了”的困境.
再次，教学方法要因人而异，倡导分层次教学.对于基础薄弱的学生或班级，应强调案例的有趣性、模型构建的完整性，并且模型求解要求应适当降低，以提高学生学习数学建模的兴趣.对于基础一般的学生或班级，应强调从实际问题到构建模型的能力培养，介绍一些数学方法，适当拓宽学生的数学知识面.对于基础较好的学生或班级，应着重面对问题，强调面对问题如何一步步解决的过程，并且在案例分析过程中应留有适当思考空间让学生自主思考. （二）学生的学习过程
学生学习过程应该着重针对钻研精神培养、数学分析能力、建模洞察提升等多个方面有意识地进行知识和能力的双重提升.
第一，学生得有一定的基础，且善于学习，有钻研精神.数学建模不是数学造诣高的人的专利，也不是数学功底差的人的避风港[1].把一个模型建好，需要很多的条件，如果学生数学不好，计算机编程不好，写作也不好，就无法完成数学建模，况且很多实际问题来自生活的方方面面，比如交通、环境、生态、城镇规划、水资源、再生资源、污染问题，或来自一些交叉学科，如生物数学、医学數学、地质数学、数量经济学等，这就要求学生善于学习，自主学习，向别人请教，与人合作，发扬钻研精神.
第二，学生应重视数学建模能力的培养，不能只关注考研的学科，不了解建模方法，不了解建模步骤，可以先从模仿开始，多学习经典模型，看别人如何一步步建好模型，“熟读唐诗三百首，不会吟诗也会吟”.当然这只是停留在初级阶段，要想成为建模好手，还是“功夫在诗外”，靠深入的体验，靠举一反三的触类旁通和感悟来实现.通过选择一个有意义的模型，由简单到复杂，展现数学建模的逐步深入和发展的过程，学生只有亲身体会到建模的曲折、艰辛、趣味、意境，才会真正感受到建模的威力和魅力.
第三，对于数学建模的学习和训练，着重点不在广度，而在深度，在于有选择性地抓住适当的主题向深处进军，从不同的层面展示数学建模的风采，引领数学建模的发展，如果在这个过程中有新发现，提出新的方法，那就再好不过了.任何模型都不是尽善尽美的，都不可能永远画上句号，要鼓励创新，倡导不唯书，不唯师.
第四，建模过程中，想象力、洞察力、判断力，以及经验、直觉、灵感也是不可或缺的，往往它们起的作用比一些具体的数学知识更大，所以学生要注重逻辑思维的训练，也要注重形象思维、跳跃思维的培养.建模时要敢于想象，大胆猜测，只有突破前人的成果及思维模式，才会有更大的发明创造，否则，科学的发展就是一句空话，微积分、非欧几何、相对论、混沌等的发现都不会出现.
第五，积极参加“全国大学生数学建模竞赛”和“美国大学生数学建模竞赛”，接受挑战，砥砺前行.学校鼓励，教师动员，重在参与，不以得不得奖为目标，更不能有“成王败寇”的思想，而要通过建模竞赛知道差距，知道不足，发奋学习，勤于思考和探索，在比赛结束后，仍不断地进行后续研究.因为比赛的三天不可能把模型做得完美无缺，甚至缺点很多，一些更好的想法因时间关系来不及实施，应该在比赛后继续做分析、总结，改进自己的模型.
教与学在实施教学过程中体现了主体与客体的对立和统一，只有学生勤奋努力，教师用心传授，才能相辅相成，让每一片星光不负赶路前行的人.
【参考文献】
[1]李大潜.从数学建模到问题驱动的应用数学[J].数学建模及其应用，2014（3）：1-9.
[2]蒂莫西·高尔斯.牛津通识读本——数学[M].刘熙，译.南京：译林出版社，2014.
【关键词】数学建模课程特点;数学建模教学;创新能力培养
社会的发展对于人的培养要求越来越高，数学课程作为高校各个专业课程体系中非常重要的一门基础课程，对于学生实践能力和创新思维的培养，有非常重要的作用.然而实际教学过程中，经常听见学生抱怨数学抽象并脱离实际，但真正学过数学建模课程的学生就不会这样说了.从事数学建模课程教学的教师，也发现学生经过一个学期的学习，并未达到该课程学习的初衷，即通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高分析问题和解决问题的能力;提高学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能运用数学解决问题;提高利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，将数学、计算机有机结合起来解决实际问题.
对此，本文分析这门课程的特点，再提出如何针对这些特点开展教师教学和学生学习.总体而言，数学建模课程的特点可以概括为以下几点.
一、数学建模课程的特点
（一）基础课程涉及面相当广
当然这取决于所涉及的具体问题以及授课对象，但对于本科层次的数学建模，学生需先掌握高等数学、线性代数、概率论与数理统计、微分方程、计算方法等基础课程.除了数学外，学生还应具备计算机基本的编程能力以及熟悉常见的算法等.
（二）教学形式多样且教学手段不固定
有的教师会采用基于数学方法的教学，比如按照初等模型、图模型、微分方程模型、优化模型、概率模型、统计模型等进行教学.有的教师会基于案例从确定到随机模型，从静态到动态模型，从线性到非线性模型，从离散到连续模型，从白箱到灰箱再到黑箱模型等进行教学.
（三）应用性极强
从欧几里得几何学到开普勒三大定律、牛顿万有引力定律、微积分，以及一些重要的力学、物理学科的基本微分方程，诸如电动学中的Maxwell方程、流体力学中的Navier-Stokes方程、量子力学中的Schrodinger方程无一不是数学模型.其实数学的研究对象就是现实世界的数学模型.整个数学的发展历史就是不断建立数学模型并对其研究逐步深化的历史.各种不同类型、不同难度的林林总总的数学模型及对其相应的研究，构成了洋洋大观的局面，这就是我们现在所面对的数学科学.
（四）难度大
建模的一般步骤——模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型检验、模型应用等没有一个是轻而易举的，都需要投入相当大的精力.我们在建模时应分析清楚现实问题，情况不明必定带来思考混乱，不可能把模型建好.还要向有经验的人请教，与人合作等.模型假设可能需千锤百炼方能敲定，不经历简化和合理做各种折中的尝试，无法得出合理模型.成型的数学模型还得求解，求出的解还得接受现实世界无情的检验，这不是一蹴而就的事，需要不断反复、不断修正.最后建好的模型一定是完美无缺的吗？想想人口问题模型，从Malthus模型到Logistic模型再到偏微分方程模型，偏微分方程模型也不是最后的终点.统计学大师乔治·博克斯说过：“所有的模型都是错误的，但有些是有用的.”
二、数学建模课程教与学的措施
由于数学建模课程存在上述特点，因此学生在学习过程中自然会存在多种问题——基础不足、经验不够、钻研欠缺等，在学习这门课的过程中感到不适应、压力大，有时拿到一个实际问题，却无从下手，甚至想放弃.对此，本文从教师教学过程和学生学习过程提出了下列措施.
（一）教师的教学过程
教师的教学过程可以从数学软件的使用、教学方法多样性和灵活性等多个角度进行教学变革.
首先，任课教师必须有过硬的数学知识以及熟悉掌握相关数学软件的能力，充分备课，深入思考课堂教学形式和授课手段.数学建模课程中，学生掌握几分和教师的教学息息相关.若想把数学建模课程讲好，教师要投入大量的时间和精力，所以不妨尝试这门课由多位教师授课，比如运筹学教师讲优化模型和LINGO软件，统计学教师讲统计模型和数据分析软件，计算方法教师讲模型求解和MATLAB软件等.同时任课教师也可以把数学建模当成自己的研究方向，这种问题驱动的应用数学研究就是选择有意义的问题向纵深方向发展，刻苦钻研，无论建立模型本身，还是对建模进行理论分析或提供算法，都是向高级的程度、深入的境界发展，完全可以迸发出自己的创新能力.
其次，任课教师应注重课堂教学灵活多样.数学建模课程没有规定固定的教学方式，有时以教师授课为主，有时以学生讨论为主，有时以学生实践为主.教师授课时不必面面俱到，也不必过于理论，数学建模课程的定位是学生用数学知识解决实际问题，是理论课的后继课程，重点放在学生分析问题、解决问题的能力的培养上面，所以基于数学方法这种教学形式要少些，基于案例的教学要多些，因为后者更注重能力的培养.当然这又取决于任课教师在课堂上的引导以及任课教师非常明确通过这个具体的案例传递给学生什么样的信息，这样的信息就是学生學习的知识点.当然这种信息应该是思维或建模过程中的共性或一般规律，具体来说就是转化的思想、类比的思想，如把不熟悉的问题转变成熟悉的问题，善于把握知识与知识之间的联系、知识与问题之间的联系等.譬如看见了交通流的问题要想到水流的问题，看见了差分方程模型就自然想到微分方程模型，看见了随机模型自然会问能不能用蒙特卡罗模拟，等等，否则学生容易陷入“上数学模型课时，觉得挺厉害，但课后再回想就想不出什么知识点了”的困境.
再次，教学方法要因人而异，倡导分层次教学.对于基础薄弱的学生或班级，应强调案例的有趣性、模型构建的完整性，并且模型求解要求应适当降低，以提高学生学习数学建模的兴趣.对于基础一般的学生或班级，应强调从实际问题到构建模型的能力培养，介绍一些数学方法，适当拓宽学生的数学知识面.对于基础较好的学生或班级，应着重面对问题，强调面对问题如何一步步解决的过程，并且在案例分析过程中应留有适当思考空间让学生自主思考. （二）学生的学习过程
学生学习过程应该着重针对钻研精神培养、数学分析能力、建模洞察提升等多个方面有意识地进行知识和能力的双重提升.
第一，学生得有一定的基础，且善于学习，有钻研精神.数学建模不是数学造诣高的人的专利，也不是数学功底差的人的避风港[1].把一个模型建好，需要很多的条件，如果学生数学不好，计算机编程不好，写作也不好，就无法完成数学建模，况且很多实际问题来自生活的方方面面，比如交通、环境、生态、城镇规划、水资源、再生资源、污染问题，或来自一些交叉学科，如生物数学、医学數学、地质数学、数量经济学等，这就要求学生善于学习，自主学习，向别人请教，与人合作，发扬钻研精神.
第二，学生应重视数学建模能力的培养，不能只关注考研的学科，不了解建模方法，不了解建模步骤，可以先从模仿开始，多学习经典模型，看别人如何一步步建好模型，“熟读唐诗三百首，不会吟诗也会吟”.当然这只是停留在初级阶段，要想成为建模好手，还是“功夫在诗外”，靠深入的体验，靠举一反三的触类旁通和感悟来实现.通过选择一个有意义的模型，由简单到复杂，展现数学建模的逐步深入和发展的过程，学生只有亲身体会到建模的曲折、艰辛、趣味、意境，才会真正感受到建模的威力和魅力.
第三，对于数学建模的学习和训练，着重点不在广度，而在深度，在于有选择性地抓住适当的主题向深处进军，从不同的层面展示数学建模的风采，引领数学建模的发展，如果在这个过程中有新发现，提出新的方法，那就再好不过了.任何模型都不是尽善尽美的，都不可能永远画上句号，要鼓励创新，倡导不唯书，不唯师.
第四，建模过程中，想象力、洞察力、判断力，以及经验、直觉、灵感也是不可或缺的，往往它们起的作用比一些具体的数学知识更大，所以学生要注重逻辑思维的训练，也要注重形象思维、跳跃思维的培养.建模时要敢于想象，大胆猜测，只有突破前人的成果及思维模式，才会有更大的发明创造，否则，科学的发展就是一句空话，微积分、非欧几何、相对论、混沌等的发现都不会出现.
第五，积极参加“全国大学生数学建模竞赛”和“美国大学生数学建模竞赛”，接受挑战，砥砺前行.学校鼓励，教师动员，重在参与，不以得不得奖为目标，更不能有“成王败寇”的思想，而要通过建模竞赛知道差距，知道不足，发奋学习，勤于思考和探索，在比赛结束后，仍不断地进行后续研究.因为比赛的三天不可能把模型做得完美无缺，甚至缺点很多，一些更好的想法因时间关系来不及实施，应该在比赛后继续做分析、总结，改进自己的模型.
教与学在实施教学过程中体现了主体与客体的对立和统一，只有学生勤奋努力，教师用心传授，才能相辅相成，让每一片星光不负赶路前行的人.
【参考文献】
[1]李大潜.从数学建模到问题驱动的应用数学[J].数学建模及其应用，2014（3）：1-9.
[2]蒂莫西·高尔斯.牛津通识读本——数学[M].刘熙，译.南京：译林出版社，2014.