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摘 要：学生在面对解数学题中出错尤其是经常“看错”时，会倍感“焦虑”，从而产生厌烦数学的情绪。文章从知识技能、思想方法、心理情感等方面分析高中学生在数学解题的审题和运算化简中出现的“看错”的实例，分析其特点、成因和初步对策，有的放矢，为减少学生“看错”的频率，减轻学生的“数学焦虑”，提高学生的学习信心，也为教师提升学生“自我纠错”的意识和能力提供参考。
关键词：数学;审题;运算;减少看错;减轻焦虑
在学生的数学学习过程中解题出错是广泛存在的，其中“看错”也很常见。正所谓“千里之堤毁于蚁穴”，这些看似不起眼的“小错误”，往往会造成整个解题失败的严重后果，学生对此倍感“焦虑”。
心理学中的“焦虑”是指个体表现出紧张不安，惶惶不可终日，常常有着大祸临头的不幸心境。而学生的“数学焦虑”可以认为主要是由学生后天挫折导致的对数学的一种病态的恐惧神经过度反应，是一种紧张、害怕、担心和逃避数学的心理状态。作为数学教师常常接触到一些高中学生，尤其是高中毕业班学生，因解题时经常发生“看错”而很苦恼，产生或加剧自身的“数学焦虑”，对数学学习、数学老师产生厌烦的情绪，进而影响学生的继续学习和人生发展。
英国心理学家贝恩布里奇（R. Balnbndge）认为，差错人皆有之，作为教师不利用是不能原谅的。文章想做一件有意义的“大事”，旨在从知识技能、思想方法、心理情感等方面分析高中学生在数学解题的审题和运算化简中出现的“看错”的实例，分析其特点、成因和初步对策，有的放矢，为减少学生“看错”的频率，减轻学生的“数学焦虑”，提高学生的学习信心，也为教师提升学生“自我纠错”的意识和能力提供参考。
【例1】 审题时“看错”
美国数学家乔治·波利亚的“数学解题表”的第一步是弄清问题，可见正确审题是数学解题的基础。审题中的“看错”主要有：直接看错关键字符、数据和图表，漏看条件，混淆相近（反）文字，经验主义前摄抑制而看错等。
（1）混看：看错运算符号、单位长度、箭头方向、相近（反）概念等易混淆的条件。
大部分高三学生对数学考试中最基础的考题的有关知识、方法的理解掌握程度还是比较好的，但常有学生犯一些低级错误。如图1：把并集看成交集;混淆“函数零点”与“函数取到零点的点”;没看清极大值、极小值、极值;看错单调递增与递减;加减号、箭头方向看错等。出错的主要原因是学生不重视这些简单问题的审题，只想快速解决此类简单问题，结果是欲速而不达，类似错误还有很多，如不等号方向看错;等差与等比错看;成立与不成立看反了等。
（2）漏看：漏看部分条件，或对部分条件视而不见。
学生常会直接漏掉一些条件或对部分条件视而不见，如图2：没看到“x的范围”;“3b 3-b”直接漏看3，以为是“b （-b）”;没有注意到“lnx中x的要求”等。出现这样审题失常的主要原因是学生经验的不足，平时作业的题量过多，完成压力大导致审题时间过短，以至于心态失常而漏看一些清晰的条件。
（3）误看：经验主义影响而看错条件。
因平时不重视对解题的整个过程的理解和掌握，片面关注记忆结论。如图3：把左上图中“GA BG CG=0”错看成“GA GB GC=0”，以为点G是重心而错解;下图3中“求x的值”错看成“求费用之和最小”而填错;左下图中凭经验不自觉地把-3看成最小值，没想到-3也可能是最大值;右下图中直接把“导函数”看成“函数”。学生没有养成认真审题的良好习惯，凭经验猜题，凭直感审题，就易产生这种辜负自己能力的错误。
（4）假看：片面、错误理解，甚至不理解基本概念、方法而假冒看懂。
①没理解基本概念和基本方法而看错。如图4：左边三个图中学生没有正确理解函数定义域、值域、对应法则而看错，有的学生没有注意到“f（2x）与 f（x）的对应法则和定义域的区别和联系”“函数f（x）与F（x）的定义域和值域的关系”“函数f（x）与f（x-2）的值域的关系”而看错;右上圖因错误理解有解、存在、任意有关问题的解法异同而看错;下图4错看函数 f（x）单调性与函数定义域、值域的关系。
②只理解概念、方法的主要方面，不掌握特殊情况而看错。高中数学很多概念都存在有别于一般情形的特殊情况，片面理解概念和方法是产生这类错误的主要原因。如二次项系数可能为零，不理解f（x）值域与根式内部值域的包含关系，导数为零的点不一定是极值点，向量数量积大于零的角可能是零度角（不是锐角），直线方程中字母系数可能为零，向量共线与同一直线是不同的。
对于以上这些审题中可笑的“小错误”，学生大多时候都用“没看清”向老师解释自己的错误。我认为这不仅仅是简单的“看错”，我们不能被学生“没看清”这个表面理由所迷惑，“看错”是有原因的，主要有：学生对基础知识、基本方法的理解程度不足;学生因为作业量大，急于求成而轻视审题;学生片面记忆一些所谓好题型、结论，凭经验审题，甚至猜题;学生对基本概念的理解和基础知识、基本方法的落实不足。
【例2】 运算化简中“看错”
乔治·波利亚的“数学解题表”的第三步是执行你的解题方案，检查保证每一个步骤的正确性，由此可见正确运算化简是执行数学解题方案的关键。除直接算错外，运算化简中“看错”形式更是多种多样。
（1）运算化简中错看而只得到部分数值和结论，学生受勾股数影响，一看3、4就得到5，求正弦就以为只是正数，看到字母t、a、a 1、3-2a就认定为正数，去括号时少乘一项，三角恒等变形中等式两边错误约去因式等;
（2）运算化简中看错项数：如看错数列项数、错位相减法看错对应项和符号等;
（3）凭经验想当然得出一些错误结论：如认为函数值可能趋向正无穷大，直线斜率一定存在，字母不为零等; （4）凭经验化简，混淆相似的系数、符号、算式、概念等：如椭圆、双曲线混淆，字母A、C混淆，系数部分混淆，分解因式时混淆实根-1×4，1×3。
（5）恒等变形时漏看隐含条件：如求单调区间时没考虑定义域的要求，解方程时忽视判别式条件，变形不等价而把部分图像错看成全部图像等。
从上述实例看出，运算化简中的“看错”的主要原因有：（1）主观上轻视简单运算，想快速而不动笔，但自身心算能力不足而错;（2）运算化简表达过程不规范、不完整，草稿书写混乱，看错数值、符号、对应项和相近算式等;（3）含参（字母）运算化简只片面考虑正数的情况而造成不等价;（4）没有依据，凭直观经验臆想一些结果而错;（5）对数、式、图的感觉和把握的能力较弱，但又忽视对结果的反思检查。
教师只有在教学中不急功近利，重视双基的落实和能力的培养，重视对学生进行审题、运算指导和良好审题、运算习惯的养成教育，才能减少高中学生这类“看错”发生的可能性。笔者认为要注意以下几个方面：
一、 心態平和。社会和家长、教师都要为高中学生做到心态平和而努力，对学生不抱怨，多正面肯定，同时又适当严格要求，学生也要自己合理定位。因为不论期望值过高造成心理压力大，内心烦躁，还是轻视简单题目而得意忘形，都会增加在审题、运算中“看错”的频率;二、 立足双基。认真理解数学概念和公式、定理使用条件，要求学生从正面、侧面、反面认识条件，从数和形、运动和变化等多方面理解掌握基本概念和方法;三、 控制题量。教师认真精选习题，合理安排作业量，学生也要按自己能力对数学题目进行选择，保证审题、运算时间;四、 细心审题。一字一句地审题，不受思维定式的影响去猜题，甚至记题，要求学生审题时留意每一个条件并做一些简单的记号，不片面理解概念，关注条件每一个方面;五、 加强训练。只有平时做题时不省略计算过程，不“拷贝”他人的成果，不用计算器代劳，才能减少考场上的“看错”;六、 规范过程。书写表达清晰、完整，重视反思检查，不跳步;七、 及时总结。师生都要主动记录、分析解题中“看错”的情况，有针对性对学生进行易错概念、符号、文字、图像、算式等的辨识和纠错训练。
总之，只要我们教师做好学生的榜样，在紧张的课堂教学中都能有意识认真审题、细心运算化简，一定会提高加强高中学生自觉认真审题和细心运算的意识和行动，必然会减少“看错”的频率，让学生享受到“减错”的成效，减轻高中学生的“数学焦虑”，提高学生学习数学的信心，最终有利于学生个体的可持续发展。
参考文献：
[1]唐录义，王龙跃.基于自觉纠错能力培养的教学模式建构[J].福建中学数学，2013（11）.
[2]刘渊枢.数学解题错误分类例析：知识性错误[J].课程教育研究，2013（12）.
[3]刘渊枢.数学解题错误分类例析：心理性错误[J].课程教育研究，2013（11）.
[4]林佳乐，汪晓勤.美丽的错误[J].中学数学月刊，2013（10）.
作者简介：
梅红卫，谢尚军，浙江省台州市，浙江省台州市第一中学。
关键词：数学;审题;运算;减少看错;减轻焦虑
在学生的数学学习过程中解题出错是广泛存在的，其中“看错”也很常见。正所谓“千里之堤毁于蚁穴”，这些看似不起眼的“小错误”，往往会造成整个解题失败的严重后果，学生对此倍感“焦虑”。
心理学中的“焦虑”是指个体表现出紧张不安，惶惶不可终日，常常有着大祸临头的不幸心境。而学生的“数学焦虑”可以认为主要是由学生后天挫折导致的对数学的一种病态的恐惧神经过度反应，是一种紧张、害怕、担心和逃避数学的心理状态。作为数学教师常常接触到一些高中学生，尤其是高中毕业班学生，因解题时经常发生“看错”而很苦恼，产生或加剧自身的“数学焦虑”，对数学学习、数学老师产生厌烦的情绪，进而影响学生的继续学习和人生发展。
英国心理学家贝恩布里奇（R. Balnbndge）认为，差错人皆有之，作为教师不利用是不能原谅的。文章想做一件有意义的“大事”，旨在从知识技能、思想方法、心理情感等方面分析高中学生在数学解题的审题和运算化简中出现的“看错”的实例，分析其特点、成因和初步对策，有的放矢，为减少学生“看错”的频率，减轻学生的“数学焦虑”，提高学生的学习信心，也为教师提升学生“自我纠错”的意识和能力提供参考。
【例1】 审题时“看错”
美国数学家乔治·波利亚的“数学解题表”的第一步是弄清问题，可见正确审题是数学解题的基础。审题中的“看错”主要有：直接看错关键字符、数据和图表，漏看条件，混淆相近（反）文字，经验主义前摄抑制而看错等。
（1）混看：看错运算符号、单位长度、箭头方向、相近（反）概念等易混淆的条件。
大部分高三学生对数学考试中最基础的考题的有关知识、方法的理解掌握程度还是比较好的，但常有学生犯一些低级错误。如图1：把并集看成交集;混淆“函数零点”与“函数取到零点的点”;没看清极大值、极小值、极值;看错单调递增与递减;加减号、箭头方向看错等。出错的主要原因是学生不重视这些简单问题的审题，只想快速解决此类简单问题，结果是欲速而不达，类似错误还有很多，如不等号方向看错;等差与等比错看;成立与不成立看反了等。
（2）漏看：漏看部分条件，或对部分条件视而不见。
学生常会直接漏掉一些条件或对部分条件视而不见，如图2：没看到“x的范围”;“3b 3-b”直接漏看3，以为是“b （-b）”;没有注意到“lnx中x的要求”等。出现这样审题失常的主要原因是学生经验的不足，平时作业的题量过多，完成压力大导致审题时间过短，以至于心态失常而漏看一些清晰的条件。
（3）误看：经验主义影响而看错条件。
因平时不重视对解题的整个过程的理解和掌握，片面关注记忆结论。如图3：把左上图中“GA BG CG=0”错看成“GA GB GC=0”，以为点G是重心而错解;下图3中“求x的值”错看成“求费用之和最小”而填错;左下图中凭经验不自觉地把-3看成最小值，没想到-3也可能是最大值;右下图中直接把“导函数”看成“函数”。学生没有养成认真审题的良好习惯，凭经验猜题，凭直感审题，就易产生这种辜负自己能力的错误。
（4）假看：片面、错误理解，甚至不理解基本概念、方法而假冒看懂。
①没理解基本概念和基本方法而看错。如图4：左边三个图中学生没有正确理解函数定义域、值域、对应法则而看错，有的学生没有注意到“f（2x）与 f（x）的对应法则和定义域的区别和联系”“函数f（x）与F（x）的定义域和值域的关系”“函数f（x）与f（x-2）的值域的关系”而看错;右上圖因错误理解有解、存在、任意有关问题的解法异同而看错;下图4错看函数 f（x）单调性与函数定义域、值域的关系。
②只理解概念、方法的主要方面，不掌握特殊情况而看错。高中数学很多概念都存在有别于一般情形的特殊情况，片面理解概念和方法是产生这类错误的主要原因。如二次项系数可能为零，不理解f（x）值域与根式内部值域的包含关系，导数为零的点不一定是极值点，向量数量积大于零的角可能是零度角（不是锐角），直线方程中字母系数可能为零，向量共线与同一直线是不同的。
对于以上这些审题中可笑的“小错误”，学生大多时候都用“没看清”向老师解释自己的错误。我认为这不仅仅是简单的“看错”，我们不能被学生“没看清”这个表面理由所迷惑，“看错”是有原因的，主要有：学生对基础知识、基本方法的理解程度不足;学生因为作业量大，急于求成而轻视审题;学生片面记忆一些所谓好题型、结论，凭经验审题，甚至猜题;学生对基本概念的理解和基础知识、基本方法的落实不足。
【例2】 运算化简中“看错”
乔治·波利亚的“数学解题表”的第三步是执行你的解题方案，检查保证每一个步骤的正确性，由此可见正确运算化简是执行数学解题方案的关键。除直接算错外，运算化简中“看错”形式更是多种多样。
（1）运算化简中错看而只得到部分数值和结论，学生受勾股数影响，一看3、4就得到5，求正弦就以为只是正数，看到字母t、a、a 1、3-2a就认定为正数，去括号时少乘一项，三角恒等变形中等式两边错误约去因式等;
（2）运算化简中看错项数：如看错数列项数、错位相减法看错对应项和符号等;
（3）凭经验想当然得出一些错误结论：如认为函数值可能趋向正无穷大，直线斜率一定存在，字母不为零等; （4）凭经验化简，混淆相似的系数、符号、算式、概念等：如椭圆、双曲线混淆，字母A、C混淆，系数部分混淆，分解因式时混淆实根-1×4，1×3。
（5）恒等变形时漏看隐含条件：如求单调区间时没考虑定义域的要求，解方程时忽视判别式条件，变形不等价而把部分图像错看成全部图像等。
从上述实例看出，运算化简中的“看错”的主要原因有：（1）主观上轻视简单运算，想快速而不动笔，但自身心算能力不足而错;（2）运算化简表达过程不规范、不完整，草稿书写混乱，看错数值、符号、对应项和相近算式等;（3）含参（字母）运算化简只片面考虑正数的情况而造成不等价;（4）没有依据，凭直观经验臆想一些结果而错;（5）对数、式、图的感觉和把握的能力较弱，但又忽视对结果的反思检查。
教师只有在教学中不急功近利，重视双基的落实和能力的培养，重视对学生进行审题、运算指导和良好审题、运算习惯的养成教育，才能减少高中学生这类“看错”发生的可能性。笔者认为要注意以下几个方面：
一、 心態平和。社会和家长、教师都要为高中学生做到心态平和而努力，对学生不抱怨，多正面肯定，同时又适当严格要求，学生也要自己合理定位。因为不论期望值过高造成心理压力大，内心烦躁，还是轻视简单题目而得意忘形，都会增加在审题、运算中“看错”的频率;二、 立足双基。认真理解数学概念和公式、定理使用条件，要求学生从正面、侧面、反面认识条件，从数和形、运动和变化等多方面理解掌握基本概念和方法;三、 控制题量。教师认真精选习题，合理安排作业量，学生也要按自己能力对数学题目进行选择，保证审题、运算时间;四、 细心审题。一字一句地审题，不受思维定式的影响去猜题，甚至记题，要求学生审题时留意每一个条件并做一些简单的记号，不片面理解概念，关注条件每一个方面;五、 加强训练。只有平时做题时不省略计算过程，不“拷贝”他人的成果，不用计算器代劳，才能减少考场上的“看错”;六、 规范过程。书写表达清晰、完整，重视反思检查，不跳步;七、 及时总结。师生都要主动记录、分析解题中“看错”的情况，有针对性对学生进行易错概念、符号、文字、图像、算式等的辨识和纠错训练。
总之，只要我们教师做好学生的榜样，在紧张的课堂教学中都能有意识认真审题、细心运算化简，一定会提高加强高中学生自觉认真审题和细心运算的意识和行动，必然会减少“看错”的频率，让学生享受到“减错”的成效，减轻高中学生的“数学焦虑”，提高学生学习数学的信心，最终有利于学生个体的可持续发展。
参考文献：
[1]唐录义，王龙跃.基于自觉纠错能力培养的教学模式建构[J].福建中学数学，2013（11）.
[2]刘渊枢.数学解题错误分类例析：知识性错误[J].课程教育研究，2013（12）.
[3]刘渊枢.数学解题错误分类例析：心理性错误[J].课程教育研究，2013（11）.
[4]林佳乐，汪晓勤.美丽的错误[J].中学数学月刊，2013（10）.
作者简介：
梅红卫，谢尚军，浙江省台州市，浙江省台州市第一中学。