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摘 要：逆向思维的开发是为了帮助学生拓宽思路，找到更多的解题方法。数学中存在一些题按照正常的思维习惯不易解答，而通过逆向思维则很容易得出答案的题。如同走迷宫，从终点往出发点走，会少很多岔路，但得到的路径和正常方式找出的是相同的。所以在特殊情况下，逆向思维可以大大降低解题难度，值得进行相关的教学探索。
关键词：初中数学；逆向思维；开发探索
逆向思维需要我们打破常规的思维习惯，根据所求分析条件，尝试站在出题者的角度还原整个解题过程。学生早已习惯正常的解题思维，要学会灵活使用逆向思维很困难。所以教师可以进行针对性的训练，帮助学生适应这种解题方法。当然不是逆向思维高于正常的思维，它的使用是有条件的，教会学生判断使用与否也是关键。这是一种解题技巧，在初中阶段的使用频率较高，我认为每个初中生都应该掌握这种技巧。尤其是在遇到一些难度较高的、条件很复杂的题目时，逆向思维往往是解题的捷径。比如在平面几何的证明题中，根据所给条件去求解，过程很混乱，很多题在推演了几步之后就难以继续，产生一个思维上的断点。
一、充分挖掘教材相关基础内容，形成逆向思维的意识
概念、公式等都是数学学习中最基础的部分，有了牢固的基础，才能保证思维的严谨可靠。加强基础部分的教学不光是逆向思维的需要，也是教学中必须注重的部分。就初中生而言，数学的学习其实还是比较困难的，要求他们再学会活用逆向思维就更难了。因此，先帮助学生打好基础，加强知识点的理解是非常重要的。这就要求教师在平时的教学中要充分挖掘教材相关基础内容，让学生形成逆向思维的意识，一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，乘方与开方也是互逆运算，整式乘法与因式分解互为逆运算等。教材中减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个数等于乘以这个数的倒数等运算法则就充分体现了互逆的思维。
另一方面要让学生建立起学好数学的自信心。很多学生本来就对数学抱有畏惧心理，不敢挑战难度大、形式新的题，也不愿尝试提起来很缥缈的逆向思维。事实上学生如果充分理解了教材中的各个知识点，就能做到融汇贯通，思维的发散性也会自然地提升不少，在解题中下意识地会进行一些逆向思考。而作为教师要做的就是让学生摸到这道门槛，并真正掌握这种技巧。例如：某校初一学生共有200人，课外活动时，有30名女生去跳绳，其余50名女生在踢毽子，在男生中，有20名喜欢打篮球，剩余的喜欢踢足球，把男生分为5组去踢足球，求平均每组多少人？在解答这道题时，逻辑思维强的学生很容易就会这样计算：（200-30-50）/5。但是有些学生逻辑思维能力不强，很容易被一些数据绕晕，我们就可以通过逆向思维来推导。男生分成五组，一共多少男生，在学生中除了男生就是女生，所以应该是总人数减去女生人数，通过这样的思维分析，同样可以得出（200-30-50）/5的结果。
教师在平时的教学中应充分挖掘教材相关基础内容，让学生形成逆向思维的意识，只有意识形成了才能懂得去应用 。
二、加强逆向思维题的训练，养成逆向思维的习惯
在平时多给学生接触一些巧用逆向思维解决的题，在潜移默化中改变学生的思维习惯。主要还是课堂例题部分，在备课时就多收集一些这类题。同一道题使用正常的思维解答与逆向思维解答虽然最后得到的结果是一样的。但是普通的解法的问题在于在思考的过程中会存在很多出题者故意设置的难点或者以让人思维混乱的干扰因素，这种情况下学生会很容易步入出题者的陷阱，犯一些很典型的错误。比如应用题中，很多时候会有一些干扰用的多余条件，还很难被发现，很容易被当做解题提示。而逆向思维的解答过程则能够最大程度地排除这些不利因素，直接由所求审视条件。 例： 某“希望学校”修建了一栋4层楼的教学大楼，每层楼有6间教室，进出这栋大楼共有3道门（两道大小相同的正门和一道侧门），安全检查中，对这3道门进行了测试：当同时开启一道正门和一道侧门时，2分钟内可以通过400名学生，若一道正门平均每分钟比一道侧门可多通过40名学生。求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
分析：这道题干扰的条件比较多，读起来学生会觉得无处下手，但如果学生能够熟练应用逆向思维时，从问题开始分析。如果要求每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生，那么只需要知道这两道门各自在多少时间内通过了多少学生即可。从题目可知，这两道门开了2分钟，那么问题变成了2分钟内，这两道门各自通过了多少学生。根据题目已知条件，利用一个简单的二元一次方程组便可轻松地得出这两道门在每分钟内各自通过了多少学生（解题过程略）。通过对逆向思维的分析与应用，学生自然就会发现运用逆向思维的便利之处。感受到这种思维方式的魅力，学生就会产生兴趣，教师再引入逆向思维的概念，就很容易被接受，学生就会去尝试应用逆向思维解题。
当然作业练习也是不可错过的训练机会，多让学生自己尝试这种解题方式，才能让学生切身体会其中的隐含技巧。光靠教师课堂上的讲解，学生很难正真掌握逆向思维的使用，亲自实践的过程不可或缺。经常性的让学生做一些使用反证法的题，是帮助他们逆向思维成型的不错的选择。一但形成思维习惯，在之后的数学学习过程中，学生就会很自然的使用。
三. 领会逆向思维的适用情形，正确运用逆向思维解题
很多学生在自己做题的过程中不懂得是否需要使用逆向思维，一味地按题目所给条件求解，花费了很长的时间及大量的精力也不一定解答正确，而在教师使用逆向思维讲解之后觉得恍然大悟。其实很多题学生是完全有能力解答的，只是不知道在什么情况下使用逆向思维。正难则反，其实没必要有多少犹豫，只要觉得正着解答难度超出自己的能力范围，就可以尝试使用逆向思维。既然解答不出，就不妨多花几分钟尝试逆向思考，说不定会有意外的收获。
例：如图，已知抛物线与[x]轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）。（1）求这个抛物线的解析式； （2）如果设抛物线的顶点为D，那么在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
解析：（1）根据A、B、C三点坐标易求得抛物线的解析式为[y=-x2+2x+3]
本题（2）小题的解决，从条件出发不好解，我们应该用逆向思维从结论出发，先假设△PDC是等腰三角形，我们可以先画草图构思等腰三角形的一边作为底和腰的情况有几种，结合图像我们进行边的长度的计算，数形结合，确定符合题目要求的几何图形是否存在，整理思路，再利用代数计算，从而使题目得到解答，并从中利用学生自己动手探究，培养其思维和挖掘数学深度的能力。面对复杂的函数，几何，应用题等数学题目，学生难免手足无措，思路闭塞，逆向思维如同赋予学生一双思考解决数学问题的翅膀，帮助他们在数学美丽奇妙的世界里翱翔。只有教师在课堂上，在教学过程中不断渗透逆向思维的重要性，展示其奇妙之处，引导学生掌握并应用到实际解题过程中去，才能逐步促进其数学素养和谐，有效，可持续的发展。
（2）由函数解析式易得对称轴和顶点D坐标 ，如图①若以CD为等腰三角形底边，
则PD=PC，设P点坐标为（x，y），根据勾股定理，得[x2+（3-y）2=（x-1）2+（4-y）2]，
即y=4-x。P点（x，y）在抛物线上，∴[4-x=-x2+2x+3]
解得[x=3±52]，[3-52<1]，由图象知舍去。即点P坐标为[3+52，5-52]。
如图②若以CD为三角形的一条腰，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时P（2，3）。∴符合条件的点P坐标为[3+52，5-52]或（2，3）。
教师要帮助学生消除思想上的包袱，辨明逆向思维的适用条件。逆向思维不是旁门左道，这是一种非常重要的解题思路，要鼓励学生勇于尝试。其实逆向思维的运用范围非常广泛，不一定是一道题的主要解题思路，它可以是局部的运用，只占很小的一部分，但对解题的过程起到的作用非常关键。
四、几种常见的逆向思维解题方法
1.逆向求证法
这种解题方法主要应用于证明题，具体思路是这样的，如果要证明A则需要证明B，若要证明B则要证明C……最终我们可以得出一个较为容易证明的对象。试证明关于x的方程[（a2-8a+20）x2+2ax+1=0]，a无论取何值，该方程都是一元二次方程；
本题中如果要证明关于x的方程是一元二次方方程，仅需证明a2-8a+20不等于0，则本题的思路就打开了。a2-8a+20=（a-4）2 +4，易知，该方程会一直大于等于4，因此其值不可能为0。从而证明了关于x的方程[（a2-8a+20）x2+2ax+1=0]a无论取何值，该方程都是一元二次方程。
2.排除法
这种解题方法主要是应用于选择题，因为选择题往往给了四个选项，要求学生在其中选出一个答案。运用逆向思维的话，就可以通过排除掉错误的答案，从而帮助学生快速锁定答案。
3.对立事件法
这种解题方法主要是用来解决概率问题的，如果求A事件概率比较困难的话，那么我们就求它对立事件的概率，从而求出A事件概率。例如，已知加命中率为70%，乙命中率为80%，甲乙两人同时射箭，问至少有一个人射中的概率。如果按照正常思维来解题的话，需要分析三种情况的概率，并相加。但通过求对立事件的概率，可以很方便地解决这道题，本题可求相反事件：甲乙两人无一人射中的概率，从而求得结果。
初中数学的内容难度不大，主要是为了培养学生的数学能力。试题一般不会要求学生进行非常复杂的解答，主要还是考察学生的思维灵活性。逆向思维作为一种主要的非正常思维，在初中数学中的使用率很高，教师应予以足够的重视，并在日常的教学中着重训练。
参考文献 ：
[1]王蔷.转换思维角度，学会逆向思维——初中数学课堂教学中学生逆向思维的培养[J].考试周刊，2011（46）：95～96
[2]郑传耀.对初中数学学生逆向思维的培养初探[J].数理
关键词：初中数学；逆向思维；开发探索
逆向思维需要我们打破常规的思维习惯，根据所求分析条件，尝试站在出题者的角度还原整个解题过程。学生早已习惯正常的解题思维，要学会灵活使用逆向思维很困难。所以教师可以进行针对性的训练，帮助学生适应这种解题方法。当然不是逆向思维高于正常的思维，它的使用是有条件的，教会学生判断使用与否也是关键。这是一种解题技巧，在初中阶段的使用频率较高，我认为每个初中生都应该掌握这种技巧。尤其是在遇到一些难度较高的、条件很复杂的题目时，逆向思维往往是解题的捷径。比如在平面几何的证明题中，根据所给条件去求解，过程很混乱，很多题在推演了几步之后就难以继续，产生一个思维上的断点。
一、充分挖掘教材相关基础内容，形成逆向思维的意识
概念、公式等都是数学学习中最基础的部分，有了牢固的基础，才能保证思维的严谨可靠。加强基础部分的教学不光是逆向思维的需要，也是教学中必须注重的部分。就初中生而言，数学的学习其实还是比较困难的，要求他们再学会活用逆向思维就更难了。因此，先帮助学生打好基础，加强知识点的理解是非常重要的。这就要求教师在平时的教学中要充分挖掘教材相关基础内容，让学生形成逆向思维的意识，一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，乘方与开方也是互逆运算，整式乘法与因式分解互为逆运算等。教材中减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个数等于乘以这个数的倒数等运算法则就充分体现了互逆的思维。
另一方面要让学生建立起学好数学的自信心。很多学生本来就对数学抱有畏惧心理，不敢挑战难度大、形式新的题，也不愿尝试提起来很缥缈的逆向思维。事实上学生如果充分理解了教材中的各个知识点，就能做到融汇贯通，思维的发散性也会自然地提升不少，在解题中下意识地会进行一些逆向思考。而作为教师要做的就是让学生摸到这道门槛，并真正掌握这种技巧。例如：某校初一学生共有200人，课外活动时，有30名女生去跳绳，其余50名女生在踢毽子，在男生中，有20名喜欢打篮球，剩余的喜欢踢足球，把男生分为5组去踢足球，求平均每组多少人？在解答这道题时，逻辑思维强的学生很容易就会这样计算：（200-30-50）/5。但是有些学生逻辑思维能力不强，很容易被一些数据绕晕，我们就可以通过逆向思维来推导。男生分成五组，一共多少男生，在学生中除了男生就是女生，所以应该是总人数减去女生人数，通过这样的思维分析，同样可以得出（200-30-50）/5的结果。
教师在平时的教学中应充分挖掘教材相关基础内容，让学生形成逆向思维的意识，只有意识形成了才能懂得去应用 。
二、加强逆向思维题的训练，养成逆向思维的习惯
在平时多给学生接触一些巧用逆向思维解决的题，在潜移默化中改变学生的思维习惯。主要还是课堂例题部分，在备课时就多收集一些这类题。同一道题使用正常的思维解答与逆向思维解答虽然最后得到的结果是一样的。但是普通的解法的问题在于在思考的过程中会存在很多出题者故意设置的难点或者以让人思维混乱的干扰因素，这种情况下学生会很容易步入出题者的陷阱，犯一些很典型的错误。比如应用题中，很多时候会有一些干扰用的多余条件，还很难被发现，很容易被当做解题提示。而逆向思维的解答过程则能够最大程度地排除这些不利因素，直接由所求审视条件。 例： 某“希望学校”修建了一栋4层楼的教学大楼，每层楼有6间教室，进出这栋大楼共有3道门（两道大小相同的正门和一道侧门），安全检查中，对这3道门进行了测试：当同时开启一道正门和一道侧门时，2分钟内可以通过400名学生，若一道正门平均每分钟比一道侧门可多通过40名学生。求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
分析：这道题干扰的条件比较多，读起来学生会觉得无处下手，但如果学生能够熟练应用逆向思维时，从问题开始分析。如果要求每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生，那么只需要知道这两道门各自在多少时间内通过了多少学生即可。从题目可知，这两道门开了2分钟，那么问题变成了2分钟内，这两道门各自通过了多少学生。根据题目已知条件，利用一个简单的二元一次方程组便可轻松地得出这两道门在每分钟内各自通过了多少学生（解题过程略）。通过对逆向思维的分析与应用，学生自然就会发现运用逆向思维的便利之处。感受到这种思维方式的魅力，学生就会产生兴趣，教师再引入逆向思维的概念，就很容易被接受，学生就会去尝试应用逆向思维解题。
当然作业练习也是不可错过的训练机会，多让学生自己尝试这种解题方式，才能让学生切身体会其中的隐含技巧。光靠教师课堂上的讲解，学生很难正真掌握逆向思维的使用，亲自实践的过程不可或缺。经常性的让学生做一些使用反证法的题，是帮助他们逆向思维成型的不错的选择。一但形成思维习惯，在之后的数学学习过程中，学生就会很自然的使用。
三. 领会逆向思维的适用情形，正确运用逆向思维解题
很多学生在自己做题的过程中不懂得是否需要使用逆向思维，一味地按题目所给条件求解，花费了很长的时间及大量的精力也不一定解答正确，而在教师使用逆向思维讲解之后觉得恍然大悟。其实很多题学生是完全有能力解答的，只是不知道在什么情况下使用逆向思维。正难则反，其实没必要有多少犹豫，只要觉得正着解答难度超出自己的能力范围，就可以尝试使用逆向思维。既然解答不出，就不妨多花几分钟尝试逆向思考，说不定会有意外的收获。
例：如图，已知抛物线与[x]轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）。（1）求这个抛物线的解析式； （2）如果设抛物线的顶点为D，那么在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
解析：（1）根据A、B、C三点坐标易求得抛物线的解析式为[y=-x2+2x+3]
本题（2）小题的解决，从条件出发不好解，我们应该用逆向思维从结论出发，先假设△PDC是等腰三角形，我们可以先画草图构思等腰三角形的一边作为底和腰的情况有几种，结合图像我们进行边的长度的计算，数形结合，确定符合题目要求的几何图形是否存在，整理思路，再利用代数计算，从而使题目得到解答，并从中利用学生自己动手探究，培养其思维和挖掘数学深度的能力。面对复杂的函数，几何，应用题等数学题目，学生难免手足无措，思路闭塞，逆向思维如同赋予学生一双思考解决数学问题的翅膀，帮助他们在数学美丽奇妙的世界里翱翔。只有教师在课堂上，在教学过程中不断渗透逆向思维的重要性，展示其奇妙之处，引导学生掌握并应用到实际解题过程中去，才能逐步促进其数学素养和谐，有效，可持续的发展。
（2）由函数解析式易得对称轴和顶点D坐标 ，如图①若以CD为等腰三角形底边，
则PD=PC，设P点坐标为（x，y），根据勾股定理，得[x2+（3-y）2=（x-1）2+（4-y）2]，
即y=4-x。P点（x，y）在抛物线上，∴[4-x=-x2+2x+3]
解得[x=3±52]，[3-52<1]，由图象知舍去。即点P坐标为[3+52，5-52]。
如图②若以CD为三角形的一条腰，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时P（2，3）。∴符合条件的点P坐标为[3+52，5-52]或（2，3）。
教师要帮助学生消除思想上的包袱，辨明逆向思维的适用条件。逆向思维不是旁门左道，这是一种非常重要的解题思路，要鼓励学生勇于尝试。其实逆向思维的运用范围非常广泛，不一定是一道题的主要解题思路，它可以是局部的运用，只占很小的一部分，但对解题的过程起到的作用非常关键。
四、几种常见的逆向思维解题方法
1.逆向求证法
这种解题方法主要应用于证明题，具体思路是这样的，如果要证明A则需要证明B，若要证明B则要证明C……最终我们可以得出一个较为容易证明的对象。试证明关于x的方程[（a2-8a+20）x2+2ax+1=0]，a无论取何值，该方程都是一元二次方程；
本题中如果要证明关于x的方程是一元二次方方程，仅需证明a2-8a+20不等于0，则本题的思路就打开了。a2-8a+20=（a-4）2 +4，易知，该方程会一直大于等于4，因此其值不可能为0。从而证明了关于x的方程[（a2-8a+20）x2+2ax+1=0]a无论取何值，该方程都是一元二次方程。
2.排除法
这种解题方法主要是应用于选择题，因为选择题往往给了四个选项，要求学生在其中选出一个答案。运用逆向思维的话，就可以通过排除掉错误的答案，从而帮助学生快速锁定答案。
3.对立事件法
这种解题方法主要是用来解决概率问题的，如果求A事件概率比较困难的话，那么我们就求它对立事件的概率，从而求出A事件概率。例如，已知加命中率为70%，乙命中率为80%，甲乙两人同时射箭，问至少有一个人射中的概率。如果按照正常思维来解题的话，需要分析三种情况的概率，并相加。但通过求对立事件的概率，可以很方便地解决这道题，本题可求相反事件：甲乙两人无一人射中的概率，从而求得结果。
初中数学的内容难度不大，主要是为了培养学生的数学能力。试题一般不会要求学生进行非常复杂的解答，主要还是考察学生的思维灵活性。逆向思维作为一种主要的非正常思维，在初中数学中的使用率很高，教师应予以足够的重视，并在日常的教学中着重训练。
参考文献 ：
[1]王蔷.转换思维角度，学会逆向思维——初中数学课堂教学中学生逆向思维的培养[J].考试周刊，2011（46）：95～96
[2]郑传耀.对初中数学学生逆向思维的培养初探[J].数理